ถ้าเรามีสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปที่คล้ายกันมีฐาน และสูงที่เท่ากันแต่
รูปนึงฐานและสูงเป็นด้านประกอบมุมฉาก ในขณะอีกรูปนึงฐานคือด้านที่ยาวที่สุด(ด้านตรงข้ามมุมฉาก) ส่วนสูงคือเส้นที่ลากจากจุดยอดซึ่งเป็นมุมฉากไปตั้งฉากกับฐานดังกล่าว

สมมติสามเหลี่ยมมุมฉาก ด้านยาว 3,4,5 พื้นที่=6
แต่ถ้าฐานยาว 5 สูงจะเท่ากับ 12/5
รูปสามเหลี่ยมไม่เหมือนกัน

อีกอย่างนีง
ถ้าเป็นมุมฉาก ที่ฐานและสูงเท่ากัน
อาจเป็นเงาของกัน ซึ่งก็จะไม่เท่ากันทุกประการและไม่คล้ายกันด้วย

กำหนดให้
1. สามเหลี่ยม1 กับสามเหลี่ยม2 เป็นสามเหลี่ยมคล้าย มีมุมเท่ากัน 3 คู่
2. พื้นที่ของ สามเหลี่ยม1 = พื้นที่ของ สามเหลี่ยม2

พิสูจน์
ตั้งชื่อ จุดที่มุมของสามเหลี่ยม1 ว่า A,B,C โดยเรียงตามขนาดของมุม CAB >= ABC >= BCA
ตั้งชื่อ จุดที่มุมของสามเหลี่ยม2 ว่า D,E,F โดยเรียงตามขนาดของมุม FDE >= DEF >= EFD
ขนาดของมุม CAB = FDE
ขนาดของมุม ABC = DEF
ขนาดของมุม BCA = EFD
อัตราส่วนของความยาวด้าน
AB/BC = DE/EF

ฐาน1 = BC
สูง1 = sin(ABC)*AB
พื้นที่1 = 1/2*สูง1*ฐาน1
= 1/2*sin(ABC)*AB*BC
= 1/2*sin(ABC)*AB*(BC/BC)*BC
= 1/2*sin(ABC)*(AB/BC)*(BC*BC)

ฐาน2 = EF
สูง2 = sin(DEF)*DE
พื้นที่2 = 1/2*สูง2*ฐาน2
= 1/2*sin(DEF)*DE*EF
= 1/2*sin(DEF)*DE*(EF/EF)*EF
= 1/2*sin(DEF)*(DE/EF)*(EF*EF)

พื้นที่1 = พื้นที่2
1/2*sin(ABC)*(AB/BC)*(BC*BC) = 1/2*sin(DEF)*(DE/EF)*(EF*EF)
แทนค่า AB/BC = DE/EF
แทนค่า ABC = DEF
1/2*sin(ABC)*(AB/BC)*(BC*BC) = 1/2*sin(ABC)*(AB/BC)*(EF*EF)
BC*BC = EF*EF
รากที่สอง ทั้งสองข้าง
BC = EF

ABC=DEF; BC=EF; BCA=EFD
สามเหลี่ยม1 กับ สามเหลี่ยม2 เท่ากันทุกประการ แบบ มุม-ด้าน-มุม

--------
Credit : ผลึกความคิด

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน จะเท่ากันทุกประการเมื่อใด
ก. มีความยาวรอบรูปเท่ากัน
ข. มีพื้นที่เท่ากัน
ค. มีฐานและสูงเท่ากัน
ง. เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ตอบ ง.

ก.ความยาวรอบรูปเท่ากันไม่ได้หมายความว่ามุมแบบเดียวกัน หรือด้านจะเท่ากัน
ข.พื้นที่เท่ากันไม่จำเป็นจ้า เพราะ เศษ 1 ส่วนสองคูณฐานคูณสูง ก็ไม่จำเป็นว่าจะเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก อาจจะเป็นสูงที่ลากสมมุติขึ้นมาอีกที เป็นสามเหลี่ยมแบบอื่นที่มีสูงเท่ากัน แล้วคำณวณได้พื้นที่เท่ากันกัน
ค.ก็เหมือนกับข. สูงอาจลากสมมุติขึ่้นโดยที่รูปสามเหลี่ยมไม่ได้เป็นแบบเดียวกัน เพียงแค่มีสูงเท่ากัน
ง.ด้านเท่ากันหมด ไม่ว่าลากขนาเท่าไหร่ ย่อมมีหน้าตาเหมือนกัน


ตอบ ง.ค่ะ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน จะเท่ากันทุกประการเมื่อใด
ก. มีความยาวรอบรูปเท่ากัน

กำหนดให้รูปสามเหลี่ยมABC ~ สามเหลี่ยม A'B'C' จะได้ว่า
i มีมุมเท่ากันแบบมุมต่อมุม
ii อัตราส่วนด้านที่สมนัยกันเท่ากัน
AB = kA'B', BC = kB'C' และ CA = kC'A'
เมื่อkเป็นจำนวนจริงบวก

ก. เนื่องจากสามเหลี่ยมมีความยาวรอบรูปเท่ากันนั้นคือ
AB+BC+CA = A'B'+B'C'+C'A'=k(AB+BC+CA)
จะได้ว่า k = 1 ดังนั้น นั้นคือสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน จะเท่ากันทุกประการเมื่อใด
ข. มีพื้นที่เท่ากัน

จาก Hero's formular
s = (AB+BC+CA)/2 และ s* = k(AB+BC+CA)/2=ks
เนือ่งจาก Area of ABC = Area of A'B'C'
sqrt(s(s-AB)(s-BC)(s-CA)) = sqrt(s*(s*-A'B')(s*-B'C')(s*-C'A'))
= k^2 sqrt(s(s-AB)(s-BC)(s-CA))
จะได้ว่า k^2 = 1 ดังนั้น k = 1 เนือ่งจาก kเป็นจำนวนบวก
ดังนั้น สามเหลี่ยมทั้งสองรูปเท่ากันทุกประการ

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน จะเท่ากันทุกประการเมื่อใด
ค. มีฐานและสูงเท่ากัน
จะเห็นได้โดยง่ายว่าสามเหลี่ยมทั้งสองเท่ากันทุกประการแบบ ม-ด-ม

รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่คล้ายกัน จะเท่ากันทุกประการเมื่อใด
ง. เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

สามเหลี่ยมด้านเท่าสองรูปย่อมคล้ายกันเสมอ แต่ไม่เพียงพอจะสรุปได้ว่าเท่ากันทุกประการ

^_^