สวัสดีครับ บล็อคนี้เชิงวิชาการนะครับ(คณิตศาสตร์ วิศวกรรม ปรัชญา)
 
 

Reviews ODEs

เทคนิคการหาผลเฉลยสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ


สมการเชิงอนุพันธ์สามัญอันดับ 1 

1. วิธีแยกตัวแปร 
รูปแบบสมการ  y'(x) = f(x)g(y)  ผลเฉลยคือปริพันธ์ของ g(y)dy-f(x)dx = c.

 2. สมการแม่นตรง
รูปแบบสมการ P(x,y)dx+Q(x,y)dy = g(x,y) ถ้า dP/dy = dQ/dx แล้วจะมี u(x,y) ทำให้
 du = P(x,y)dx+Q(x,y)dy=g(x,y) นั้นคือ du/dx = P และ du/dy = Q.

3. สมการเิิชิงเส้น
รูปแบบสมการ y'(x) + py = q , คูณด้วย u ทั้งสองข้างจะได้ uy'+(up)y = uq
ถ้า u' = up แล้ว จะได้  (uy)' = uq โดยที่ u คือตัวประกอบอินทิเกรตจากสมการ u'=up

4.สมการเบอร์นูลี
รูปแบบสมการ y'(x) +py = qy^n, ทำให้อยู่ในรูปแบบสมการเชิงเส้นจะได้
                      y^(-n)y' + py^(1-n) = q    เปลี่ยนตัวแปรโดยให้ v = y^(1-n)
นั้นคือ v' = (1-n)y^(-n)y' จะได้สมการเชิงเส้น v'+(n-1)pv = (n-1)q

5. รูปแบบที่ควรรูป 
                   2(dx+dy) = d(x^2+y^2)                 xdy + ydx = d(xy) 
                   (ydx-xdy)/y^2 = d(x/y)                  dx/(1+x^2) = d(arctanx)

6. การเปลี่ยนตัวแปร
ุ-  u = xy จะได้ u' = y+xy'  หรือ u = y/x  จะได้ y' = u+xu'
 - เปลี่ยนสมการเชิงเส้น ax+by+c และ ex+dy+f ให้เป็น u,v(กำจัดค่าคง why??)
โดยการเลื่อนจุดตัด(คำตอบระบบ)ไปไว้ที่จุด (0,0) พิจารณาระบบ Ax = -b
 จได้คำตอบคือ  x* = -(A*)b เมื่อเลื่อนจุดจะได้ 
                                      u = x-x* = x - (A*)b 
                                   Au = Ax+Ax* = Ax+b
(ax+by+c)และ(ex+dy+f) จะเปลี่ยนเป็น (au+bv) และ (eu+dv)

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับ 2 ที่มีสปสเป็นค่าคงที่

สมการเอกพันธ์ L :=   mD^2+bD+k   , Ly = 0
ให้ y = e^(rx) จะได้   (mr^2+br+k) = 0 charecteristic equation มีคำตอบสามกรณี

กรณีที่รากจำนวนจริงแตกต่างกันคือ r,s
     y = ae^(rx) + be^(sx)
กรณีที่รากเป็นจำนวนเชิงซ้อน r+si, r-si
      y = e^(rx)(acos(sx) + bsin (sx))
กรณีที่รากซ้ำ r,r
      y = (a+bx)e^rx

การหาผลเฉลยเฉพาะและสมการnon homogeneous Ly = A(D)y = g(x)

1. วิธีเทียบ สปส.ใ้ช้กรณีที่หา B(D) ที่ทำให้ B(D)g = 0
เมื่อพิจารณา BAy =Bg = 0 จะสามารถหาค่า y = y'+y" โดยที่ y'' ผลเฉลยเฉพาะ
จากนั้นสามารถเทียบสปส.จาก
      Ay = A(y'+y'') = Ay" = g(x)

2. วิธีแปรตัวพารามิเตอร์

3. วิธีดำเนินการผกผัน L = f(D) , L* = 1/f(D)

กรณีที่  Ly = e^mx 
y" = L*e^mx = [1/f(m)]e^mx เมื่อf(m)ไ่ม่เป็นศูนย์ 
ถ้าเป็นศูนย์ [1/f '(m)]xe^mx , [1/f ''(m)] x^2e^mx ทำซ้ำจนไม่เป็นศูนย์

กรณีที่ Ly = x^n 
y" = L*x^n = [1/1+D*]x^n = (1+D*+D*^2 +D*^3+...)x^n 

กรณีที่ Ly = e^(mx)x^n 
y" = L*e^(mx)x^n = e^mx[1/f(D+m)x^n]

Note cosax = Re[e^(aix)] , sinax = Im[e^(aix)]





 

Create Date : 10 พฤษภาคม 2555   
Last Update : 10 พฤษภาคม 2555 13:50:54 น.   
Counter : 1183 Pageviews.  


คณิตศาสตร์ที่เคยศึกษา ผ่านหูผ่านตามา

Analysis:

Mathematical analysis : Metric topology, sequence and series, limit and derivative of function uniform convergent, Reimaan stiljes integral

Advanced analysis : point set, open set, closed set, sequence, series, sequence of function, metric space, fixed point, compact space.

Functional analysis : Norm space, Banach space, Inner product space, Hilbert space, Linear operators, Duality Hahn-Banach Theorem.

Applied analysis : Differential and integral calculus, line and surface integral ,Normed and Banach space, Hilbert spaces.

Theory Of Differential Equations. : existence and uniqueness first order, high order, linear, autonomous, autonomous system, phase portrait, stability, bifurcation.

Algebra:

Linear and multi-linear algebra:Vector space, dual space, linear operator, Canonical form, multi-linear and tensor product.

Applied mathematics:

Numerical analysis 1: system of linear and nonlinear(drop from school)

Numerical analysis 1 : error analysis, nonlinear equations, interpolation, differential and integral, IVP, linear systems, iterative for linear systems, least squares, householder,SVD.

Partial differential equations :

Classical mechanics : Newtonian, Hamiltonian and Lagrangian.

Continuum mechanics : Vector and Tensor, Kinematics, Balance law, Thermodynamics, Objectivity, Constitutive laws, Linear elasticity, Finite Elasticity, Heat transfer and Thermoelasticity, Fluids, Viscoelasticity and Plasticity.

Method of applied mathematics : Green's function, Generalize functions, Boundary Value Problems, Integral equations, Perturbations

Control theory : Classical control discrete control Linear control linear feedback control ability observability global and local stability Lyapunov and optimal control

Optimization:

Operation research:Linear programing, game theory

Mathematical modeling :Identification and constructing model

Stochastic : Markov chain, Queuing system, stochastic programing,Probabilistic dynamic programing

Graph theory : graph, digraph, isomorphism, subgraph, graph operations tree binary search trees, priority trees, spanning trees, Eulerian and Hamilton, planarity and duality.

Advanced Graph theory
: basic graph tree connectivity Eulerian and Hamitonion graph matching graph factorization graph parameter.

Research fields

Functional equations:Applied functional equations, Stability and sensitivity
Applied analysis

Mathematical modelling : Contact mechanic model.

Seminar (Course works)

Algebra : The Mathematical Foundations Of Bond Graph I.

Analysis : The Cauchy Functional Equations In Distributions.

Applied analysis 1/1 : Signorini's problem.

Applied analysis 1/2 : Existence theorem for noncoercive incremantal contact problems with coulomb friction.

Applied analysis 2/1 : Nonlocal contact Continuous problem.

Applied analysis 2/1




 

Create Date : 07 กุมภาพันธ์ 2551   
Last Update : 14 สิงหาคม 2556 22:23:15 น.   
Counter : 338 Pageviews.  



คณิตศาสตร์โลกที่สาม
 
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 1 คน [?]




T_T
[Add คณิตศาสตร์โลกที่สาม's blog to your web]

 
pantip.com pantipmarket.com pantown.com