Bloggang.com : koo@AC125

คณิตศาสตร์และฟิสิกส์มีขอบเขตไม่สิ้นสุด

Group Blog

All Blogs

ลิมิตของฟังก์ชันและแคลคูลัส

ลิมิตของฟังก์ชันและแคลคูลัส

คณิตศาสตร์สำหรับฟิสิกส์
(Math for Physics)

ฟังก์ชัน

ฟังก์ชัน เป็นเซตของความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรหนึ่งกับตวแปรอื่นๆ เช่นเราจะกล่าวว่า
“yเป็นฟังก์ชันของ x ” เมื่อมีความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y โดยที่เราสามารถหาค่า y ได้เมื่อกำหนดค่า x ให้
เช่น y = x(x) + 1
ซึ่งเรียก y ว่าตัวแปรตาม
เรียก x ว่าตัวแปรต้น
ซึ่งเราสามารถเขียน y ด้วย y(x) หรือ f(x) และจากฟังก์ชันตัวอย่างนี้เราสามารถหาค่าของของตัวแปรตาม (y)
เมื่อกำหนดค่าของ ตัวแปรต้น (x)ให้
เช่นเมื่อ x=1 จะได้ y(1) = 1+1 = 2
x =2 จะได้ y(2) =4+ 1= 5

จากตัวอย่างข้างตนเรากล่าวได้ว่า ฟังก์ชัน y= x(x) + 1 นี้หาค่าได้ที่ ตำแหน่ง x = 1 และ x =2

ลิมิตของฟังก์ชัน

กำหนดฟังก์ชัน f(x) = 2x - 1 พิจารณาค่าของ f(x) เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 โดย พิจารณาจากตารางต่อไปนี้
เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางซ้ายมือ (x < 2 )

จากตารางทั้งสองจะเห็นว่า เมื่อ x มีค่าเข้าใกล้ 2 ทางซ้ายหรือทางขวา f(x) จะมีค่าเขาใกล้ 3 ทั้งสองด้าน ซึ่งเราสามารถแสดงได้เป็น

lim 2x−1 = 3
x→2
เรียกว่าฟังก์ชัน f(x) = 2x−1
หาลิมิตที่ x เขาสู่ 2 ได้ และจากฟังก์ชัน
f(x) = 2x−1 จะเห็นได้ว่า สามารถหาค่าได้ทุก ค่าของ x
*** ฟังก์ชันบางฟังก์ชันอาจหาค่าไม่ได้ที่ตำแห่นงหนึ่ง ของตัวแปรต้น แต่สามารถหาลิมิตได้

ที่มา : //www.mwit.ac.th/~somporn/education/Lesson/%E1%A4%C5%A4%D9%C5%D1%CA%BA%D7%E9%CD%A7%B5%E9%B9.pdf

ทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยววกับลิมิต

กำหนดให้ u(x) , v(x) เป็นฟังก์ชั่นของตัวแปร x และให้
lim u(x) =A , lim v(x) = B x →a x →a
และให้ c เป็นค่าคงตัวไม่ขึ้นกับ x สามารถพิสูจน์ได้ว่า
1. lim (u+c) = A+c
x→a
2. lim (cu) = cA
x→a
3. lim c/u = c/A
x→a
4. lim (u+v) = A+B
x→a
5. lim (uv) = AB
x→a
6. lim u/v = A/B

ที่มา : //www.sripatum.ac.th/online/physic6/k02.htm

อัตราการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ย ของ y หรือ f(x) ในช่วง x1 ถึง x1+h คือ
f(x1-h) - f(x1)
h

อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y = f(x) ณ x = x1

lim f(x+h) - f(x) คือ อัตราการเปลี่ยนแปลง ของ y = f(x) ณ x ใด ๆ
h

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f แทนด้วย f /(x) หรือ dy/dx

ถ้า y = f(x) เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริงเราเรียก lim f(x+h) - f(x) ที่หาได้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่ x
h
สูตรในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

สูตรที่ 1. ถ้า y = f(x) = c เป็นค่าคงที่ dy/dx = f/(x) = 0
สูตรที่ 2. ถ้า y = f(x) = x dy/dx = f/(x) = 1
สูตรที่ 3. ถ้า y = f(x) = xn เมื่อ n เป็นจำนวนจริง dy/dx = f/(x) =nxn-1
สูตรที่ 4. ถ้า y = f(x) = g(x) + h(x) dy/dx = g/ (x) + h/ (x)
สูตรที่ 5. ถ้า y = f(x) = g(x) - h(x) dy/dx = g/ (x) - h/ (x)
สูตรที่ 6. ถ้า y = f(x) = cg(x) dy/dx = cg/ (x)
สูตรที่ 7. ถ้า y = f(x) = g(x) h(x) dy/dx = g/(x)h(x)+h/ (x)g(x)
สูตรที่ 8. ถ้า y = f(x) = g(x)/h(x) เมื่อ h(x) ไม่เท่ากับ 0
สูตรที่ 9. ถ้า y = f(x) = un เมื่อ u เป็นฟังก์ชันของ x และ n เป็นจำนวนจริงจะได้ว่า dy/dx = nuยกกำลัง(n-1) du/dx

วิธีหาค่าจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์

1.หา dy/dx = f/(x)
2.ให้ dy/dx = f/(x) = 0
3.แก้สมการหาค่าตัวแปร x ที่จะทำให้ f(x) มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ หรือไม่เกิดค่า 2 อย่างดังกล่าวก็ได้ เราเรียกค่า x นี้ว่า ค่าวิกฤต
4.นำค่า x ดังกล่าวนี้มาตรวจสอบว่าทำให้ f(x) มีค่าสูงสุด หรือต่ำสุดสัมพัทธ์ หรือไม่เป็นทั้งสองอย่าง ซึ่งมีวิธีการตรวจสอบได้ 2 วิธีดังนี้
(1)ตรวจสอบดูจากเครื่องหมายความชัน
ก.ถ้าความชัน f/(x) เปลี่ยนจากบวกเป็นลบ แสดงว่าจุดดังกล่าวเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
ข.ถ้าความชัน f/(x) เปลี่ยนจากลบเป็นบวก แสดงว่าจุดดังกล่าวเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
ค.ถ้าไม่เป็นไปตามข้อ ก หรือ ข แสดงว่าจุดดังกล่าวไม่เป็นทั้งจุดสูงสุดและต่ำสุดสัมพัทธ์
(2)ตรวจสอบดูจากเครื่องหมายของ f//(x)
ก. ถ้า f//(x) > 0 แสดงว่าเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
ข. ถ้า f//(x) < 0 แสดงว่าเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
ค. ถ้า f//(x) = 0 แสดงว่าการตรวจสอบวิธีนี้ใช้ไม่ได้ ต้องย้อนกลับไปใช้วิธี(1)

ที่มา : //www.tutormaths.com/mathapa15.doc

Create Date : 01 กันยายน 2551

Last Update : 2 กันยายน 2551 19:44:46 น.

Counter : 5806 Pageviews.

8 comment

Share
Tweet