ปิศาจจิ๋วตนหนึ่งกำลังเดินอยู่บนกระบองยู่สี (กระบองทองสารพัดนึกของหงอคงนั่นแหละครับ) จากปลายด้านซ้ายสุดของกระบองไปยังปลายด้านขวาสุดด้วยความเร็วคงที่ 1 cm/s    

ในขณะที่กระบองกำลังยืดยาวขึ้นเรื่อยๆเช่นเดียวกัน ความยาวของมันเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ 1 m/s ถ้า ณ ขณะที่ปิศาจเริ่มเดินจากปลายด้านซ้าย  กระบองมีความยาวเริ่มต้น 1 m   

ปิศาจอมตะตนนี้ต้องใช้เวลาเท่าไหร่ในการเดินทางไปให้ถึงที่ปลายด้านขวาสุดของกระบอง?  

ดูเหมือนปิศาจจะไม่มีทางเดินไปถึงปลายด้านขวาภายในระยะเวลาจำกัดได้เลย และผมเชื่อว่าหลายๆคนที่เห็นปัญหาข้อนี้เป็นครั้งแรกจะคิดแบบนี้ทันทีหลังจากอ่านโจทย์จบ 

แน่นอนครับว่าในกรณีที่กระบองยืดออกเฉพาะส่วนปลายให้ยาวขึ้นด้วยความเร็ว 1m/s  ย่อมเป็นไปไม่ได้ที่ปิศาจจะเดินจนถึงปลายด้านขวาได้สำเร็จ แต่โจทย์ของเราไม่ได้อยู่ในกรณีนี้

เพราะเราถือว่ากระบองยืดออกแบบ uniform นั่นหมายความว่าสัดส่วนตำแหน่งของปิศาจกับความยาวของกระบองจะคงที่เสมอ  เช่น ถ้าให้ปิศาจยืนนิ่งๆที่ตำแหน่งกึ่งกลางของกระบอง

ปิศาจก็จะยังคงอยู่ที่ตำแหน่งกึ่งกลางเหมือนเดิมไม่ว่ากระบองจะยาวขึ้นแค่ไหน    ซึ่งถ้าเป็นแบบนี้ก็อาจเป็นไปได้ที่ปิศาจจะเดินไปถึงจุดหมายได้สำเร็จแม้อาจต้องใช้เวลานานนับอสงไขยก็ตาม

ปริศนานี้นับว่าเป็นปัญหา classic ข้อหนึ่ง บางคนอาจจะพอคุ้นเคยหรือผ่านหูผ่านตามาบ้างแล้วเช่นใน

//topicstock.pantip.com/wahkor/topicstock/2010/01/X8731152/X8731152.html

ซึ่งผมคิดว่ายังไม่ได้คำตอบที่ถูกต้อง และใน

//www.bloggang.com/mainblog.php?id=cryptomnesia&month=27-07-2008&group=11&gblog=2

ซึ่งผมคิดว่าคำตอบถูกต้องแต่แสดงวิธีทำไม่ค่อยละเอียดและเข้าใจยาก      ผมยกโจทย์นี้ขึ้นมาอีกครั้ง เพื่อแสดงวิธีทำให้ละเอียดมากขึ้น  เผื่อจะทำให้เข้าใจง่ายขึ้นครับ ( รึเปล่า?)

ก่อนอื่นเรากำหนดให้เวลาเริ่มต้น (t=0) คือเวลาเดียวกับตอนที่ปิศาจเริ่มเดิน (ซึ่งเป็นเวลาเดียวกับที่กระบองมีความยาว 1m และเริ่มยืดออก)

ให้ L(t)  เท่ากับความยาวในหน่วยเซนติเมตรของกระบองเมื่อเวลาผ่านไปจากเวลาเริ่มต้น t วินาที

เห็นได้ชัดว่า L(0) = 100 เพราะกระบองมีความยาว 1m= 100cm ที่เวลาเริ่มต้น

ส่วนที่เวลา t จะได้ L(t) = 100+100t = 100(t+1) เพราะกระบองยืดออกอย่างสม่ำเสมอ 1m/s  

และให้ f(t) เท่ากับระยะห่างในหน่วยเซนติเมตรระหว่างปลายด้านซ้ายสุดของกระบองกับตำแหน่งของปิศาจเมื่อเวลาผ่านไปจากเวลาเริ่มต้น t วินาที

เห็นได้ชัดว่า f(0) = 0 เพราะปิศาจอยู่ตรงปลายด้านซ้ายสุดของกระบองที่เวลาเริ่มต้น

แต่ที่เวลา t นั้นจำเป็นต้องใช้ความรู้คณิตศาสตร์ที่สูงเกินระดับมัธยมในการหา f(t)

ถ้าให้ T แทนเวลาที่ปิศาจเดินไปถึงจุดหมาย จะได้สมการ  f(T) = L(T) ⇔ f(T) = 100(T+1) ______(1)

หากเราแก้สมการ (1) ก็จะได้คำตอบ  แต่ก่อนจะแก้สมการได้เราต้องหารูปแจ้งชัดของ f(t) เสียก่อนซึ่งเท่าที่ผมนึกออกมีอยู่สองวิธีในการหา f(t) ดังนี้ครับ

1. ใช้ผลบวกรีมันน์ (อ่านเพิ่มเติมเกี่ยวกับผลบวกรีมันน์ได้ที่ //www.bloggang.com/viewblog.php?id=khlongez&date=26-05-2013&group=3&gblog=2 )

ในความเป็นจริงกระบองยู่สีนั้นยืดออกอย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอ 1m/s แต่เราจะสมมติว่ามันยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องก่อน

ถ้าสมมติว่ากระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่ 1 ครั้งต่อวินาทีกระบองจะยาวขึ้น 1m ต่อการยืดออกหนึ่งครั้ง (เพราะมันยาวขึ้น1m/s)

หมายความว่ากระบองจะอยู่นิ่งๆจนกว่าจะผ่านไป 1 วินาทีจึงจะยืดยาวขึ้น 1m ในทันที และอยู่นิ่งๆไปอีก 1 วินาทีจึงจะยืดยาวขึ้น 1m ในทันทีอีกครั้งเป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ 

ดังนั้นถ้าเวลาผ่านไป t วินาที กระบองจะยืดออกทั้งหมด t ครั้ง

ในการยืดครั้งแรกซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 1 วินาที ปิศาจจะเดินไป 1cm คิดเป็นสัดส่วน 1/L(0) = 1/100 ของความยาวกระบองในตอนเริ่มต้น

 แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(1) = 200cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น (1/L(0))*L(1)= 2cm

ในการยืดครั้งที่ 2 ปิศาจจะเดินต่อไปอีก (1/L(0))*L(1)+1 = 3cm คิดเป็นสัดส่วน 1/L(0) + 1/L(1) = 3/200 ของความยาวกระบองในวินาทีที่ 1 

แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(2) = 300cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น(1/L(0) + 1/L(1))*L(2) = 9/2cm

และจะเป็นในทำนองนี้ไปเรื่อยๆจนถึงการยืดครั้งที่ t ตำแหน่งของปิศาจจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น (1/L(0) + 1/L(1) +…+ 1/L(t-1))*L(t) cm

ดังนั้นเราอาจประมาณได้ว่า f(t) ≈ (1/L(0) + 1/L(1) +…+ 1/L(t-1))*L(t) = (1+1/2+…+1/t)*(t+1) แต่ก็ยังไม่ใช่ค่าที่ถูกต้องของ f(t) เป็นเพียงค่าที่ใกล้เคียงในระดับหนึ่งเท่านั้น 

(หากจับเอาค่าประมาณที่ได้ตรงนี้ไปแทนค่าแก้สมการ (1) เลยก็จะได้คำตอบคล้ายๆกับใน //topicstock.pantip.com/wahkor/topicstock/2010/01/X8731152/X8731152.html ซึ่งผมคิดว่ายังไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้องครับ)

เนื่องจากกระบองยืดออกอย่างต่อเนื่อง ถ้าต้องการให้การประมาณแม่นยำมากขึ้นก็ต้องสมมติให้กระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่สูงขึ้น

ยิ่งกระบองยืดถี่เท่าไหร่การประมาณยิ่งใกล้เคียงค่าจริงมากเท่านั้น ถ้ากระบองยืดด้วยความถี่เข้าใกล้อนันต์ก็จะเปรียบเสมือนว่ากระบองยืดอย่างต่อเนื่องได้

สมมติให้กระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่ N ครั้งต่อวินาที กระบองจะยาวขึ้น 1/N เมตรต่อการยืดออกหนึ่งครั้ง (เพราะมันยาวขึ้น 1m/s)

และเมื่อเวลาผ่านไป t วินาที (ทุก t บนช่วง [0,T] ) กระบองจะยืดออกทั้งหมด Nt ครั้ง

ในการยืดครั้งแรกซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 1/N วินาที ปิศาจจะเดินมาได้ไกล 1/N cm คิดเป็นสัดส่วน (1/N)/L(0) ของความยาวกระบองในตอนเริ่มต้น 

แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(1/N) cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น ((1/N)/L(0))*L(1/N) cm

ในการยืดครั้งที่ 2 ซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 2/N วินาที ปิศาจจะเดินมาได้ไกล ((1/N)/L(0))*L(1/N) + 1/N cm คิดเป็นสัดส่วน (1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) ของความยาวกระบองในวินาทีที่ 1/N

แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(2/N) cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น ((1/N)/L(0)+ (1/N)/L(1/N))*L(2/N) cm

และจะเป็นในทำนองนี้ไปเรื่อยๆจนถึงการยืดครั้งที่ Nt ซึ่งตำแหน่งของปิศาจจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น [(1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) +…+ (1/N)/L((Nt-1)/N)]*L(t) cm นั่นคือประมาณได้ว่า 

f(t) ≈ [(1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) +(1/N)/L(2/N)+…+(1/N)/L((Nt-1)/N)]*L(t) = (1/N)*(1 + 1/(1/N+1)+ 1/(2/N+1) +…+ 1/((Nt-1)/N+1) )*(t+1)

ถ้า take limit ให้ N --> ∞ ก็จะได้ว่า   f(t) = lim _N_-->∞ (1/N)*(1 + 1/(1/N+1) + 1/(2/N+1) +…+1/((Nt-1)/N+1) )*(t+1)

พิจารณา lim _N_-->∞ (1/N)*(1 + 1/(1/N+1) + 1/(2/N+1) +…+1/((Nt-1)/N+1) ) = lim _N-->∞ (t/(Nt))*(1 + 1/(t/(Nt)+1) + 1/(2t/(Nt)+1) +…+1/((Nt-1)t/(Nt)+1) )

ให้ n = Nt จะได้ lim _N-->∞ (t/(Nt))*(1 + 1/(t/(Nt)+1) + 1/(2t/(Nt)+1) +…+1/((Nt-1)t/(Nt)+1) ) = lim _n-->∞ (t/n)*(1 + 1/(t/n+1) + 1/(2t/n+1) +…+ 1/((n-1)t/n+1))

โดยผลบวกรีมันน์เราทราบว่า lim _n-->∞ (t/n)*(1 + 1/(t/n+1) + 1/(2t/n+1) +…+1/((n-1)t/n+1) ) = ₀∫^t(1/(x+1))dx

ดังนั้น f(t) = (₀∫^t(1/(x+1))dx)*(t+1) = (ln(t+1))*(t+1) =(t+1)*ln(t+1)  สำหรับทุกt บนช่วง [0,T]

2. ใช้สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations)

สำหรับ t ในช่วง (0,T) เริ่มจากพิจารณา lim _h-->0[f(t+h)-f(t)]/h เมื่อ h --> 0 ทางขวา (h>0) ก่อน

เนื่องจากเราสามารถประมาณการยืดแบบต่อเนื่องด้วยการยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลาสั้นๆได้ยิ่งช่วงเวลาสั้นมากเท่าไหร่ การประมาณยิ่งใกล้เคียงมากเท่านั้น

 ดังนั้นจึงถือได้ว่ากระบองยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลา t ถึง t+h เพราะ h --> 0

ซึ่งเราจะได้ว่า f(t+h) = [(f(t)+h)/L(t)]*L(t+h) = (f(t)+h)*(t+h+1)/(t+1)   ; คิดในทำนองเดียวกับวิธีข้างบน

ดังนั้น lim _h-->₀ [f(t+h)-f(t)]/h = lim _h-->0 [(f(t)+h)*(t+h+1)/(t+1) - f(t)]/h = f(t)/(t+1)+ 1

ต่อไปพิจารณา lim _h-->0 [f(t+h)-f(t)]/h เมื่อ h --> 0 ทางซ้าย (h<0)

ซึ่งถือได้ว่ากระบองยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลา t+h ถึง t จะได้ว่า f(t) =[(f(t+h)-h)/L(t+h)]*L(t) = (f(t+h)-h)*(t+1)/(t+h+1)

ดังนั้น lim _h-->0 [f(t+h)-f(t)]/h = lim _h-->0 [f(t+h) - (f(t+h)-h)*(t+1)/(t+h+1)]/h = f(t)/(t+1) + 1

โดยนิยามของอนุพันธ์จะได้ว่า f’(t) = f(t)/(t+1)+1 สำหรับ tในช่วง (0,T) ซึ่งเป็นสมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง

หาผลเฉลยโดยใช้วิธีการทางสมการเชิงอนุพันธ์จะได้ f(t) = (t+1)*ln(t+1) +c(t+1) เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆ

แต่เราทราบว่า f(t) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [0,T]  (ใช้สามัญสำนึกตัดสินเอาจากการที่ปิศาจเดินตรงเรื่อยๆเพียงอย่างเดียวคงไม่มีการกระโดดหรือหายตัวแว๊บไปมาแต่อย่างใด

มันจึงมีตำแหน่งที่แน่นอนตลอดช่วงเวลา [0,T] และไม่มีเวลาไหนในช่วงดังกล่าวที่ค่าของ f(t) ขาดแหว่งหรือโดดออกมาจากกราฟ )

ดังนั้น f(0)= 0 = (0+1)*ln(0+1) + c(0+1) ⇔ c = 0 นั่นคือ f(t) = (t+1)*ln(t+1)  สำหรับทุก t บนช่วง [0,T]

จากวิธีคิดทั้ง 2 แบบ ตอนนี้เราได้รูปแบบแจ้งชัดของ f(t) แล้ว เหลือเพียงแทนค่าลงในสมการ (1) ก็จะได้คำตอบที่ต้องการ

(T+1)*ln(T+1) = 100(T+1) ⇔ T = e¹⁰⁰ - 1

ดังนั้นปิศาจต้องใช้เวลาทั้งหมด e¹⁰⁰ -1 วินาทีในการเดินไปจนถึงปลายด้านขวาสุดของกระบอง

ถ้ามีตรงไหนผิดพลาดต้องขออภัยไว้ด้วยครับ

 แถมท้าย  :  e¹⁰⁰ -1 วินาทีหรือประมาณ 8.5 x 10³⁵ ปีเป็นระยะเวลาที่ยาวนานกว่าอายุของจักรวาล(ตามทฤษฎีคือ12,000-16,000ล้านปี) แต่ยังน้อยกว่าเวลาอสงไขย (10¹⁴⁰ปี)

Create Date : 26 พฤษภาคม 2556
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:23:08 น.		0 comments
Counter : 1126 Pageviews.
Share Tweet