They're called miracles because they don't happen.

อิอิคุง
Location :
กรุงเทพฯ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 3 คน [?]




Orange Design Pointer
Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add อิอิคุง's blog to your web]
Links
 

 
เกี่ยวกับการสลับที่ระหว่างเครื่องหมายอินทิกรัล(Integral)และซัมเมชัน(Summation)

จากคุณสมบัติเบื้องต้นของการอินทิเกรตข้อนี้

ทำให้เราทราบว่าสามารถกระจายอินทิกรัลเข้าไปในผลบวกของฟังก์ชันที่บวกกันอยู่สองฟังก์ชันได้   และถึงแม้ว่าจะมีฟังก์ชันบวกกันอยู่มากกว่าสองตัวขึ้นไป เครื่องหมายอินทิกรัลก็สามารถกระจายเข้าไปในผลบวกได้ทั้งหมดเช่นกัน(โดยใช้คุณสมบัตินี้ซ้ำไปเรื่อยๆ)  
    นั่นหมายความว่าเครื่องหมายอินทิกรัลและซัมเมชันสามารถสลับที่กันได้โดยไม่ทำให้เกิดข้อผิดพลาด(ค่าของนิพจน์เปลี่ยนไป)     


แต่นั่นก็หมายถึงเฉพาะกรณีที่เป็นซัมเมชันแบบจำกัดเท่านั้นครับ     ถ้าหากเป็นซัมเมชันแบบอนันต์  คุณคิดว่าเรายังสามารถสลับที่ทั้งสองเครื่องหมายนี้โดยไม่เกิดข้อผิดพลาดได้หรือไม่ ?? 

สามัญสำนึกของคุณอาจบอกว่า  "ไม่เห็นมีปัญหาตรงไหน ในเมื่อตัวอินทิกรัลมันกระจายเข้าไปในผลบวกได้เหมือนคูณกระจาย  จะบวกกันกี่ร้อยกี่ล้านตัว หรือแม้แต่อนันต์ตัว มันก็ยังกระจายอินทิกรัลเข้าไปได้อยู่ดี   ฉะนั้นเครื่องหมายอินทิกรัลกับเครื่องหมายซัมเมชันแบบอนันต์ก็ต้องสลับที่กันได้เหมือนกัน"
ถ้าอย่างนั้น  ลองมาดูตัวอย่างของความผิดพลาดต่อไปนี้กันก่อนครับ
มีโจทย์ปัญหาอยู่ว่า

ซึ่งได้มีผู้แสดงวิธีคิดดังนี้

ถ้ามองเผินๆก็ดูเหมือนวิธีทำจะถูกต้องทุกประการ
แต่เราจะเห็นว่า A > 1 เพราะ A = 1 + 1/6 + 1/15 + ... ในขณะที่คำตอบจากวิธีคิดข้างต้นคือ A = ln2 ซึ่ง ln2 < 1 
 ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงผิด  แสดงว่าวิธีทำต้องมีจุดผิดพลาดแน่นอน ปัญหาคือจุดที่ผิดคือตรงไหน?  
 อาจมีบางคนคิดว่าจุดที่ผิดคือจากบรรทัด5ไป6 เพราะขอบเขตของการอินทิเกรตคือจาก0ถึง1 ซึ่งฟังก์ชันที่ใช้อินทิเกรตในบรรทัดนั้นไม่สามารถหาค่าได้ที่ 1  
  แต่การที่ฟังก์ชันไม่สามารถหาค่าที่จุดขอบของการอินทิเกรตเพียงจุดเดียว(ในที่นี้คือไม่สามารถหาค่าได้ที่ 1) ไม่ได้มีผลทำให้การอินทิเกรตผิดพลาดแต่อย่างใด   
เพราะมันจะสอดคล้องกับนิยามของอินทิกรัลไม่ตรงแบบชนิดที่สอง  นั่นคือสามารถมองขอบเขตการอินทิเกรตเป็นเพียงลิมิตเข้าใกล้ 1 ทางซ้ายได้ดังนี้


ฉะนั้นวิธีคิดข้างต้นไม่ได้มีปัญหาตรงบรรทัด5ไป6เลย     ที่จริงแล้ว ความผิดพลาดของวิธีคิดนี้เกิดจากการกระจายอินทิกรัลเข้าไปในผลบวกอนันต์ตรงบรรทัด3ไป4 ซึ่งก็คือการสลับที่ระหว่างเครื่องหมายอินทิกรัลกับซัมเมชันอนันต์นั่นเอง

จากตัวอย่างดังกล่าวทำให้เราเห็นว่าการสลับที่เครื่องหมายอินทิกรัลกับซัมเมชันอนันต์ไม่สามารถทำได้เสมอไป   นี่เป็นความจริงที่ดูเหมือนจะขัดกับสามัญสำนึก    ความจริงข้อนี้อาจทำให้บางคนรู้สึกตะขิดตะขวงใจและเกิดคำถามในหัวว่า ทำไมๆๆ 

สำหรับเรื่องนี้ ผมมีคำอธิบายที่น่าจะช่วยให้หายข้องใจได้ครับ
เริ่มจากการพิจารณาว่าเราสามารถสลับที่ระหว่างเครื่องหมายอินทิกรัลกับลิมิตได้เสมอหรือไม่   โดยดูจากตัวอย่างต่อไปนี้



จะเห็นว่าถ้าสลับอินทิกรัลกับลิมิตค่าของนิพจน์อาจเปลี่ยนไป   ดังนั้นจึงไม่สามารถสลับที่อินทิกรัลกับลิมิตมั่วๆซั่วๆได้    (หวังว่าข้อเท็จจริงนี้คงไม่ขัดกับสามัญสำนึกของคุณนะครับ)   

ทีนี้ถ้าดูที่ความหมายของซัมเมชันแบบอนันต์ จะพบว่าจริงๆแล้วมันก็คือลิมิตแบบหนึ่งนั่นเอง
ในเมื่อลิมิตกับอินทิกรัลไม่สามารถสลับที่กันได้ตามใจชอบ  ซัมเมชันแบบอนันต์(ซึ่งเป็นลิมิตแบบหนึ่ง)ก็ไม่สามารถสลับที่กับอินทิกรัลได้เช่นเดียวกัน

สำหรับเรื่องที่ผมกล่าวถึงในblogนี้ เป็นเนื้อหาส่วนหนึ่งของวิชาแคลคูลัสขั้นสูง ในหัวข้อที่เกี่ยวกับการลู่เข้าเอกรูป   
ซึ่งผมจะบอกเพียงคร่าวๆว่า  ฟังก์ชันที่ลู่เข้าเอกรูปจะสามารถสลับที่อินทิกรัลกับลิมิต(หรือสลับที่อินทิกรัลกับซัมเมชันอนันต์)ได้  
ดังนั้นถ้าเราต้องการสลับที่อินทิกรัลกับซัมเมชันอนันต์ จะต้องเช็คก่อนว่าฟังก์ชันที่ใช้อินทิเกรตลู่เข้าเอกรูปหรือไม่  ถ้ามันลู่เข้าเอกรูปก็สามารถกระจายอินทิกรัลเข้าไปในผลบวกอนันต์ได้ทันที   (แต่ถ้ามันไม่ลู่เข้าเอกรูปจะยังสรุปไม่ได้นะครับ)

ส่วนรายละเอียดที่ลึกกว่านี้เช่น  การลู่เข้าเอกรูปคืออะไร?  จะเช็คอย่างไรว่าฟังก์ชันใดบ้างลู่เข้าเอกรูป?  ผมขอไม่ลงรายละเอียดในที่นี้   หากคุณสนใจสามารถค้นหาเกี่ยวกับการลู่เข้าเอกรูปได้จากคำว่า uniformly convergence ครับ









Create Date : 17 สิงหาคม 2556
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:26:43 น. 0 comments
Counter : 2869 Pageviews.

ชื่อ :
Comment :
  *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 
รหัสส่งข้อความ
กรุณายืนยันรหัสส่งข้อความ
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.