|
ปิศาจอมตะกับกระบองยู่สี
ปิศาจจิ๋วตนหนึ่งกำลังเดินอยู่บนกระบองยู่สี (กระบองทองสารพัดนึกของหงอคงนั่นแหละครับ) จากปลายด้านซ้ายสุดของกระบองไปยังปลายด้านขวาสุดด้วยความเร็วคงที่ 1 cm/s ในขณะที่กระบองกำลังยืดยาวขึ้นเรื่อยๆเช่นเดียวกัน ความยาวของมันเพิ่มขึ้นอย่างสม่ำเสมอ 1 m/s ถ้า ณ ขณะที่ปิศาจเริ่มเดินจากปลายด้านซ้าย กระบองมีความยาวเริ่มต้น 1 m ปิศาจอมตะตนนี้ต้องใช้เวลาเท่าไหร่ในการเดินทางไปให้ถึงที่ปลายด้านขวาสุดของกระบอง? 
ดูเหมือนปิศาจจะไม่มีทางเดินไปถึงปลายด้านขวาภายในระยะเวลาจำกัดได้เลย และผมเชื่อว่าหลายๆคนที่เห็นปัญหาข้อนี้เป็นครั้งแรกจะคิดแบบนี้ทันทีหลังจากอ่านโจทย์จบ แน่นอนครับว่าในกรณีที่กระบองยืดออกเฉพาะส่วนปลายให้ยาวขึ้นด้วยความเร็ว 1m/s ย่อมเป็นไปไม่ได้ที่ปิศาจจะเดินจนถึงปลายด้านขวาได้สำเร็จ แต่โจทย์ของเราไม่ได้อยู่ในกรณีนี้ เพราะเราถือว่ากระบองยืดออกแบบ uniform นั่นหมายความว่าสัดส่วนตำแหน่งของปิศาจกับความยาวของกระบองจะคงที่เสมอ เช่น ถ้าให้ปิศาจยืนนิ่งๆที่ตำแหน่งกึ่งกลางของกระบอง ปิศาจก็จะยังคงอยู่ที่ตำแหน่งกึ่งกลางเหมือนเดิมไม่ว่ากระบองจะยาวขึ้นแค่ไหน ซึ่งถ้าเป็นแบบนี้ก็อาจเป็นไปได้ที่ปิศาจจะเดินไปถึงจุดหมายได้สำเร็จแม้อาจต้องใช้เวลานานนับอสงไขยก็ตาม
ปริศนานี้นับว่าเป็นปัญหา classic ข้อหนึ่ง บางคนอาจจะพอคุ้นเคยหรือผ่านหูผ่านตามาบ้างแล้วเช่นใน
//topicstock.pantip.com/wahkor/topicstock/2010/01/X8731152/X8731152.html ซึ่งผมคิดว่ายังไม่ได้คำตอบที่ถูกต้อง และใน
//www.bloggang.com/mainblog.php?id=cryptomnesia&month=27-07-2008&group=11&gblog=2 ซึ่งผมคิดว่าคำตอบถูกต้องแต่แสดงวิธีทำไม่ค่อยละเอียดและเข้าใจยาก ผมยกโจทย์นี้ขึ้นมาอีกครั้ง เพื่อแสดงวิธีทำให้ละเอียดมากขึ้น เผื่อจะทำให้เข้าใจง่ายขึ้นครับ ( รึเปล่า?)
ก่อนอื่นเรากำหนดให้เวลาเริ่มต้น (t=0) คือเวลาเดียวกับตอนที่ปิศาจเริ่มเดิน (ซึ่งเป็นเวลาเดียวกับที่กระบองมีความยาว 1m และเริ่มยืดออก) ให้ L(t) เท่ากับความยาวในหน่วยเซนติเมตรของกระบองเมื่อเวลาผ่านไปจากเวลาเริ่มต้น t วินาที เห็นได้ชัดว่า L(0) = 100 เพราะกระบองมีความยาว 1m= 100cm ที่เวลาเริ่มต้น ส่วนที่เวลา t จะได้ L(t) = 100+100t = 100(t+1) เพราะกระบองยืดออกอย่างสม่ำเสมอ 1m/s และให้ f(t) เท่ากับระยะห่างในหน่วยเซนติเมตรระหว่างปลายด้านซ้ายสุดของกระบองกับตำแหน่งของปิศาจเมื่อเวลาผ่านไปจากเวลาเริ่มต้น t วินาที เห็นได้ชัดว่า f(0) = 0 เพราะปิศาจอยู่ตรงปลายด้านซ้ายสุดของกระบองที่เวลาเริ่มต้น แต่ที่เวลา t นั้นจำเป็นต้องใช้ความรู้คณิตศาสตร์ที่สูงเกินระดับมัธยมในการหา f(t) ถ้าให้ T แทนเวลาที่ปิศาจเดินไปถึงจุดหมาย จะได้สมการ f(T) = L(T) ⇔ f(T) = 100(T+1) ______(1) หากเราแก้สมการ (1) ก็จะได้คำตอบ แต่ก่อนจะแก้สมการได้เราต้องหารูปแจ้งชัดของ f(t) เสียก่อนซึ่งเท่าที่ผมนึกออกมีอยู่สองวิธีในการหา f(t) ดังนี้ครับ
ในความเป็นจริงกระบองยู่สีนั้นยืดออกอย่างต่อเนื่องสม่ำเสมอ 1m/s แต่เราจะสมมติว่ามันยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องก่อน ถ้าสมมติว่ากระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่ 1 ครั้งต่อวินาทีกระบองจะยาวขึ้น 1m ต่อการยืดออกหนึ่งครั้ง (เพราะมันยาวขึ้น1m/s) หมายความว่ากระบองจะอยู่นิ่งๆจนกว่าจะผ่านไป 1 วินาทีจึงจะยืดยาวขึ้น 1m ในทันที และอยู่นิ่งๆไปอีก 1 วินาทีจึงจะยืดยาวขึ้น 1m ในทันทีอีกครั้งเป็นแบบนี้ไปเรื่อยๆ ดังนั้นถ้าเวลาผ่านไป t วินาที กระบองจะยืดออกทั้งหมด t ครั้ง ในการยืดครั้งแรกซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 1 วินาที ปิศาจจะเดินไป 1cm คิดเป็นสัดส่วน 1/L(0) = 1/100 ของความยาวกระบองในตอนเริ่มต้น แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(1) = 200cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น (1/L(0))*L(1)= 2cm ในการยืดครั้งที่ 2 ปิศาจจะเดินต่อไปอีก (1/L(0))*L(1)+1 = 3cm คิดเป็นสัดส่วน 1/L(0) + 1/L(1) = 3/200 ของความยาวกระบองในวินาทีที่ 1 แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(2) = 300cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น(1/L(0) + 1/L(1))*L(2) = 9/2cm และจะเป็นในทำนองนี้ไปเรื่อยๆจนถึงการยืดครั้งที่ t ตำแหน่งของปิศาจจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น (1/L(0) + 1/L(1) +
+ 1/L(t-1))*L(t) cm ดังนั้นเราอาจประมาณได้ว่า f(t) ≈ (1/L(0) + 1/L(1) +
+ 1/L(t-1))*L(t) = (1+1/2+
+1/t)*(t+1) แต่ก็ยังไม่ใช่ค่าที่ถูกต้องของ f(t) เป็นเพียงค่าที่ใกล้เคียงในระดับหนึ่งเท่านั้น (หากจับเอาค่าประมาณที่ได้ตรงนี้ไปแทนค่าแก้สมการ (1) เลยก็จะได้คำตอบคล้ายๆกับใน //topicstock.pantip.com/wahkor/topicstock/2010/01/X8731152/X8731152.html ซึ่งผมคิดว่ายังไม่ใช่คำตอบที่ถูกต้องครับ) เนื่องจากกระบองยืดออกอย่างต่อเนื่อง ถ้าต้องการให้การประมาณแม่นยำมากขึ้นก็ต้องสมมติให้กระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่สูงขึ้น ยิ่งกระบองยืดถี่เท่าไหร่การประมาณยิ่งใกล้เคียงค่าจริงมากเท่านั้น ถ้ากระบองยืดด้วยความถี่เข้าใกล้อนันต์ก็จะเปรียบเสมือนว่ากระบองยืดอย่างต่อเนื่องได้ สมมติให้กระบองยืดออกแบบไม่ต่อเนื่องด้วยความถี่ N ครั้งต่อวินาที กระบองจะยาวขึ้น 1/N เมตรต่อการยืดออกหนึ่งครั้ง (เพราะมันยาวขึ้น 1m/s) และเมื่อเวลาผ่านไป t วินาที (ทุก t บนช่วง [0,T] ) กระบองจะยืดออกทั้งหมด Nt ครั้ง ในการยืดครั้งแรกซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 1/N วินาที ปิศาจจะเดินมาได้ไกล 1/N cm คิดเป็นสัดส่วน (1/N)/L(0) ของความยาวกระบองในตอนเริ่มต้น แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(1/N) cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น ((1/N)/L(0))*L(1/N) cm ในการยืดครั้งที่ 2 ซึ่งเกิดเมื่อเวลาผ่านไป 2/N วินาที ปิศาจจะเดินมาได้ไกล ((1/N)/L(0))*L(1/N) + 1/N cm คิดเป็นสัดส่วน (1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) ของความยาวกระบองในวินาทีที่ 1/N แต่กระบองจะยืดยาวขึ้นเป็น L(2/N) cm จะได้ว่าตำแหน่งของปิศาจอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น ((1/N)/L(0)+ (1/N)/L(1/N))*L(2/N) cm และจะเป็นในทำนองนี้ไปเรื่อยๆจนถึงการยืดครั้งที่ Nt ซึ่งตำแหน่งของปิศาจจะอยู่ห่างจากจุดเริ่มต้น [(1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) +
+ (1/N)/L((Nt-1)/N)]*L(t) cm นั่นคือประมาณได้ว่า f(t) ≈ [(1/N)/L(0) + (1/N)/L(1/N) +(1/N)/L(2/N)+
+(1/N)/L((Nt-1)/N)]*L(t) = (1/N)*(1 + 1/(1/N+1)+ 1/(2/N+1) +
+ 1/((Nt-1)/N+1) )*(t+1) ถ้า take limit ให้ N --> ∞ ก็จะได้ว่า f(t) = lim N-->∞ (1/N)*(1 + 1/(1/N+1) + 1/(2/N+1) +
+1/((Nt-1)/N+1) )*(t+1) พิจารณา lim N-->∞ (1/N)*(1 + 1/(1/N+1) + 1/(2/N+1) +
+1/((Nt-1)/N+1) ) = lim N-->∞ (t/(Nt))*(1 + 1/(t/(Nt)+1) + 1/(2t/(Nt)+1) +
+1/((Nt-1)t/(Nt)+1) ) ให้ n = Nt จะได้ lim N-->∞ (t/(Nt))*(1 + 1/(t/(Nt)+1) + 1/(2t/(Nt)+1) +
+1/((Nt-1)t/(Nt)+1) ) = lim n-->∞ (t/n)*(1 + 1/(t/n+1) + 1/(2t/n+1) +
+ 1/((n-1)t/n+1)) โดยผลบวกรีมันน์เราทราบว่า lim n-->∞ (t/n)*(1 + 1/(t/n+1) + 1/(2t/n+1) +
+1/((n-1)t/n+1) ) = 0∫t(1/(x+1))dx ดังนั้น f(t) = (0∫t(1/(x+1))dx)*(t+1) = (ln(t+1))*(t+1) =(t+1)*ln(t+1) สำหรับทุกt บนช่วง [0,T]
2. ใช้สมการเชิงอนุพันธ์ (Differential Equations) สำหรับ t ในช่วง (0,T) เริ่มจากพิจารณา lim h-->0[f(t+h)-f(t)]/h เมื่อ h --> 0 ทางขวา (h>0) ก่อน เนื่องจากเราสามารถประมาณการยืดแบบต่อเนื่องด้วยการยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลาสั้นๆได้ยิ่งช่วงเวลาสั้นมากเท่าไหร่ การประมาณยิ่งใกล้เคียงมากเท่านั้น ดังนั้นจึงถือได้ว่ากระบองยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลา t ถึง t+h เพราะ h --> 0 ซึ่งเราจะได้ว่า f(t+h) = [(f(t)+h)/L(t)]*L(t+h) = (f(t)+h)*(t+h+1)/(t+1) ; คิดในทำนองเดียวกับวิธีข้างบน ดังนั้น lim h-->0 [f(t+h)-f(t)]/h = lim h-->0 [(f(t)+h)*(t+h+1)/(t+1) - f(t)]/h = f(t)/(t+1)+ 1 ต่อไปพิจารณา lim h-->0 [f(t+h)-f(t)]/h เมื่อ h --> 0 ทางซ้าย (h<0) ซึ่งถือได้ว่ากระบองยืดแบบไม่ต่อเนื่องในช่วงเวลา t+h ถึง t จะได้ว่า f(t) =[(f(t+h)-h)/L(t+h)]*L(t) = (f(t+h)-h)*(t+1)/(t+h+1) ดังนั้น lim h-->0 [f(t+h)-f(t)]/h = lim h-->0 [f(t+h) - (f(t+h)-h)*(t+1)/(t+h+1)]/h = f(t)/(t+1) + 1 โดยนิยามของอนุพันธ์จะได้ว่า f(t) = f(t)/(t+1)+1 สำหรับ tในช่วง (0,T) ซึ่งเป็นสมการอนุพันธ์เชิงเส้นอันดับหนึ่ง หาผลเฉลยโดยใช้วิธีการทางสมการเชิงอนุพันธ์จะได้ f(t) = (t+1)*ln(t+1) +c(t+1) เมื่อ c เป็นค่าคงที่ใดๆ แต่เราทราบว่า f(t) เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง [0,T] (ใช้สามัญสำนึกตัดสินเอาจากการที่ปิศาจเดินตรงเรื่อยๆเพียงอย่างเดียวคงไม่มีการกระโดดหรือหายตัวแว๊บไปมาแต่อย่างใด มันจึงมีตำแหน่งที่แน่นอนตลอดช่วงเวลา [0,T] และไม่มีเวลาไหนในช่วงดังกล่าวที่ค่าของ f(t) ขาดแหว่งหรือโดดออกมาจากกราฟ ) ดังนั้น f(0)= 0 = (0+1)*ln(0+1) + c(0+1) ⇔ c = 0 นั่นคือ f(t) = (t+1)*ln(t+1) สำหรับทุก t บนช่วง [0,T]
จากวิธีคิดทั้ง 2 แบบ ตอนนี้เราได้รูปแบบแจ้งชัดของ f(t) แล้ว เหลือเพียงแทนค่าลงในสมการ (1) ก็จะได้คำตอบที่ต้องการ (T+1)*ln(T+1) = 100(T+1) ⇔ T = e100 - 1 ดังนั้นปิศาจต้องใช้เวลาทั้งหมด e100 -1 วินาทีในการเดินไปจนถึงปลายด้านขวาสุดของกระบอง ถ้ามีตรงไหนผิดพลาดต้องขออภัยไว้ด้วยครับ แถมท้าย : e100 -1 วินาทีหรือประมาณ 8.5 x 1035 ปีเป็นระยะเวลาที่ยาวนานกว่าอายุของจักรวาล(ตามทฤษฎีคือ12,000-16,000ล้านปี) แต่ยังน้อยกว่าเวลาอสงไขย (10140ปี)
| Create Date : 26 พฤษภาคม 2556 | | |
| Last Update : 8 กันยายน 2556 19:23:08 น. |
| Counter : 1124 Pageviews. |
| |
|
| |
|
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
ผู้ติดตามบล็อก : 3 คน [
(พันทิปห้องหว้ากอเป็นศูนย์รวมคนเก่งด้านวิทยาศาสตร์ไว้มากมาย ซึ่งรวมไปถึงคนเก่งคณิตศาสตร์ที่เป็นขาประจำเล่นอยู่ห้องนั้นหลายๆคนด้วย) และถ้าคุณลองได้อ่านเฉลยแล้วล่ะก็คงจะเห็นตรงกับผมว่าคนที่สามารถแก้โจทย์ข้อนี้ออกได้ด้วยตัวเองโดยไม่รู้แนวทางหรือเคยเห็นโจทย์คล้ายๆกันมาก่อนต้องเป็นคนที่มีจินตนาการหรือsenseทางคณิตศาสตร์ดีทีเดียวครับ
