จากสมการข้างบนอายุคงเหลือหรือเวลาในเส้น Yield Curve จะถูกแบ่งเป็นท่อนๆแต่ละท่อนถูกประมาณค่าโดยสมการ Polynomial ที่เห็นข้างบน หากเลือก knot ตามอายุคงเหลือของพันธบัตรจะมีชุดสมการทั้งหมด n-1 ท่อนสำหรับพันธบัตร n ตัว

ลองนึกภาพตามดูนะครับว่าถ้ามีพันธบัตร 31 ตัวจะมีจำนวนตัวแปรทั้งสิ้น (31-1)*4 + 1 = 121 นั่นคือ 121 ตัวแปรที่ต้องหาค่า นี่ไม่ใช่เรื่องสนุกนักสำหรับการทำ Nonlinear Optimization สิ่งที่ Quant ต้องทำคือ การ Optimizeค่า E ข้างบนโดยการใส่ค่าเริ่มต้น ao,a1,a2,a3เข้าไปในสมการ Smooting Spline เพื่ออัพเดทค่าE ใหม่ (ทำ Nonlinear Minimization บน E) จากนั้นนำค่า E ตัวใหม่ที่ได้เข้าไปในระบบ Nonlinear Optimization ดังสมการข้างล่างเพื่อปรับค่าตัวแปรให้ราคาจากโมเดลใกล้เคียงกับราคาโควตของตลาดนี่เป็นการทำ Double Optimization คำถามคือผลลัพธ์เป็นอย่างไร

คำตอบก็คือ สามารถหาคำตอบได้มาอย่างง่ายดายในเวลาอันรวดเร็วและระบบ Nonlinear Optimization ที่ถูกออกแบบมีความเสถียรสูงมาก ลองมาดูหน้าตา Yield Curve กัน รูปที่ 1 เป็น Zero Yield Curve รูปที่2 เป็น Instantaneous Forward Curve

จากรูปที่ 1 พบว่าวิธี Nelson-Siegel และ Svensson ได้ Yield Curve ที่มีเส้นโค้งที่เรียบมากแต่อาจมีลักษณะหักมุม เช่นในกรณีของวิธี Svensson นอกจากนั้นลักษณะของเส้นโค้งปรับรูปได้ไม่ดีนัก โดยไม่ผ่าน T-Bill (จุดสีเขียว) ซึ่งเป็น zero coupon bond ส่วนในวิธี Piecewise Cubic Spline เส้น Yield Curve ที่ได้แกว่งจนน่าตกใจครับ แต่ผ่าน T-Bill (จุดสีเขียว) ทุกจุด มาที่วิธี Smoothing Spline ดูเรียบ รูปร่างเส้นโค้งปรับตัวดีมาก ผ่าน T-Bill (จุดสีเขียว) หลายจุดครับ

จากรูปที่ 2 Instantaneous forward curve แสดงให้เห็นว่าวิธี Piecewise Cubic Spline เส้นที่ได้ไม่เสถียรขนาดไหน มีลักษณะที่แกว่งมาก

ตารางเปรียบเทียบความถูกต้องของราคาที่คำนวณได้จากเส้นYieldCurve ทั้ง 4 Model กับ ราคาโควต

จากตารางข้างบนเป็นคุณภาพในเรื่อง Pricing Power ของทั้ง 4 model ครับว่า เส้นโค้งแบบไหนคำนวณราคาได้แม่นที่สุด ผลที่ได้คือ Model โดยวิธี Cubic Spline มาอันดับหนึ่ง รองลงมาคือ Smoothing Spline, Svensson, และ Nelson-Siegel ตามลำดับ

สรุป จาการสร้างเส้น Yield Curve โดยวิธีต่างๆ เมื่อพิจารณาในแง่ "ความเรียบ" และ "ความแม่น" เส้นโค้งของ Yield Curve ที่สามารถปรับรูปได้ดี โดยใช้วิธีแบบ Smoothing Spline เป็นทางเลือกที่น่าสนใจมากครับ โดยเฉพาะในตลาด Emerging Market ของประเทศไทยเรา แต่สำหรับวิธีแบบ Piecewise Cubic Spline คงเป็นวิธีที่ใช้เพื่อ benchmark ค่า Mean Sqaure Error (MSE) ครับ ส่วนวิธี Nelson-Siegel และ Svensson ถึงแม้จะเรียบ สร้างง่ายกว่าแต่ความแม่นยำเทียบกับราคาโควตไม่ค่อยได้ครับ รวมถึงรูปร่างเส้นโค้งอาจไม่ดีพอจึงอาจใช้วิธีนี้เป็นตัวทดสอบระบบซอฟแวร์เพื่อความสะดวกครับ ใช้งานจริงๆอาจยังไม่ดีเท่าที่ควร

ประโยชน์ของ Yield Curve ท่านผู้อ่านอาจมีคำถามว่าการหาเส้น Yield Curve ยุ่งยากมากขนาดนี้ แล้วจะมีประโยชน์อะไร? คำตอบคือ เส้น Yield Curve มีประโยชน์กับสถาบันการเงินสำหรับใช้ตรวจสอบการไหลของเงินครับ

ความแตกต่างอยู่ที่ในตลาดตราสารหนี้นักลงทุนนิยมดูการเปลี่ยนแปลงของ “ดอกเบี้ย”  ไม่เหมือนในตลาดหุ้นที่นักลงทุนดูการเปลี่ยนแปลงของ “ราคา”

ผมเขียนบทความเรื่อง FundFlow มาหลายบทความ อธิบายอยู่เสมอว่า ถ้าหุ้นตก เงินมักไหลไปที่ตราสารหนี้ และจากในลักษณะของ Fund Flow นี้เองเมื่อเงินไหลไปอยู่ในตลาดตราสารหนี้ทำให้ราคาเพิ่มสูงขึ้นดังนั้นดอกเบี้ยต้องลดลงตามสมการในบทความตอนที่ 1 ( //www.bloggang.com/viewdiary.php?id=topstock&month=02-2013&date=22&group=8&gblog=1) เพราะฉะนั้นหากเราดู Yield Curve ทุกวันประกอบกับดัชนีหุ้นต่างๆ เราสามารถคาดคะเนได้ว่าเงินไหลไปไหนครับ