ลองมาดูตัวอย่างโจทย์หาค่าลิมิตสัก 3 ข้อนะครับ

แค่เห็นก็คงรู้สึกแล้วใช่ไหมครับว่ายากแน่ๆ แล้วโจทย์ลิมิตที่ดูแสนจะยากนรกแบบนี้ เขามีวิธีแก้กันยังไงนะ?

ผลบวกรีมันน์คือพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] ซึ่งหาโดยการแบ่งช่วง [a,b] ออกเป็น n ช่วงย่อยๆ ให้แต่ละช่วงยาว d =(b-a)/n หน่วยเท่าๆกัน (ความจริงจะยาวไม่เท่ากันก็ได้แต่เพื่อความง่ายจึงให้ทุกช่วงยาวเท่ากัน) จากนั้นเราจะเลือกจุดมาช่วงละจุด (เพื่อความง่ายอีกเช่นเคยเรามักจะเลือกจุดซ้ายสุดหรือไม่ก็จุดขวาสุดของแต่ละช่วง) ดังนี้

ช่วงที่ 1 คือ [a, a+d] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x₁ = a (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x₁ = a+d ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(x₁) หน่วยบนช่วง [a , a+d]

ช่วงที่ 2 คือ [a+d, a+2d] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x₂ = a+d (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x₂= a+2d ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(x₂) หน่วยบนช่วง [a+d , a+2d]

ช่วงที่ n คือ [a+(n-1)d, b] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x₁ = a+(n-1)d (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x₁ = a+nd = b ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(x_n) หน่วยบนช่วง [a , a+d]

จะเห็นว่าผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทุกรูปมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] นั่นเอง

และถ้า n มีค่ามากขึ้น(พูดอีกอย่างได้ว่าจำนวนรูปสี่เหลี่ยมมากขึ้นหรือความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปน้อยลง)ผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมจะยิ่งใกล้เคียงพื้นที่ใต้เส้นโค้งมากขึ้น

เนื่องจากผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ d*[f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)]= ((b-a)/n)*[f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)]

ในกรณีที่เลือกจุดซ้ายสุดของแต่ละช่วงจะได้ว่าผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)]

ในกรณีที่เลือกจุดขวาสุดของแต่ละช่วงจะได้ว่าผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)]

ดังนั้นพื้นที่ใต้เส้นโค้งจึงเท่ากับ

lim _n-->∞ ((b-a)/n)*[f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)] = lim _n-->∞ ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)] แบบเลือกจุดซ้าย

หรือ

lim _n-->∞ ((b-a)/n)*[f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)] = lim _n-->∞ ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)] แบบเลือกจุดขวา

ค่าลิมิตนี้เองที่เรียกว่าผลบวกรีมันน์ ในที่นี้ผมทำไว้ให้สองสูตรคือแบบเลือกจุดซ้ายกับแบบเลือกจุดขวา จะใช้สูตรไหนก็ได้ครับ ค่าเท่ากัน

ทีนี้ตามปกติที่เราร่ำเรียนกันมาตั้งแต่มัธยม เราทราบว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] เท่ากับ _a∫^bf(x)dx

เราจึงได้ว่า _a∫^bf(x)dx = lim _n-->∞ ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)]

หรือ _a∫^bf(x)dx = lim _n-->∞ ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)]

เอาล่ะ !! คราวนี้กลับมาsolve โจทย์ข้างบนของเรากันได้แล้ว (ขอทำแบบไม่ละเอียดนะ ฝากลองทดๆดูเองถ้าข้อไหนผิดทักท้วงกันได้นะครับ)

ข้อ 1. ใช้สูตรแบบเลือกจุดขวาค่าของลิมิตเท่ากับ ₁∫² sqrt(x)dx = (2/3)*(2sqrt(2)-1)

ข้อ 2.จัดรูปให้ดีก่อน และใช้สูตรแบบเลือกจุดซ้าย ค่าของลิมิตเท่ากับ ₀∫¹ (1/(x+1))dx = ln2

ข้อ 3. จัดรูปและใช้สูตรแบบเลือกจุดขวาค่าของลิมิตเท่ากับ (1/π)₀∫^π(sinx)dx = 2/π

หมายเหตุ : นิยามของอินทิกรัลแบบไม่จำกัดเขตคือกระบวนการย้อนกลับของการหาอนุพันธ์(การหาปฏิยานุพันธ์)   ส่วนนิยามของอินทิกรัลแบบจำกัดเขตคือผลบวกรีมันน์ ฉะนั้น  _a∫^bf(x)dx = lim _n-->∞ ((b-a)/n)*[f(x₁)+f(x₂)+…+f(x_n)] โดยนิยามอยู่แล้ว

แต่วิธีการหาค่า _a∫^bf(x)dx แบบหาปฏิยานุพันธ์ที่เราใช้กันมาตลอดเป็นผลจากทฤษฏีบทหลักมูลของแคลคูลัสครับ

Create Date : 26 พฤษภาคม 2556
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:23:30 น.		0 comments
Counter : 13944 Pageviews.
Share Tweet