They're called miracles because they don't happen.

อิอิคุง
Location :
กรุงเทพฯ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 3 คน [?]




Orange Design Pointer
Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add อิอิคุง's blog to your web]
Links
 

 
ผลบวกรีมันน์


ลองมาดูตัวอย่างโจทย์หาค่าลิมิตสัก 3 ข้อนะครับ


แค่เห็นก็คงรู้สึกแล้วใช่ไหมครับว่ายากแน่ๆ แล้วโจทย์ลิมิตที่ดูแสนจะยากนรกแบบนี้ เขามีวิธีแก้กันยังไงนะ?

วิธีหนึ่งที่ใช้หาค่าลิมิตพวกนี้ได้คืออาศัยผลบวกรีมันน์ครับ 

ผลบวกรีมันน์คือพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] ซึ่งหาโดยการแบ่งช่วง [a,b] ออกเป็น n ช่วงย่อยๆ ให้แต่ละช่วงยาว d =(b-a)/n หน่วยเท่าๆกัน (ความจริงจะยาวไม่เท่ากันก็ได้แต่เพื่อความง่ายจึงให้ทุกช่วงยาวเท่ากัน) จากนั้นเราจะเลือกจุดมาช่วงละจุด (เพื่อความง่ายอีกเช่นเคยเรามักจะเลือกจุดซ้ายสุดหรือไม่ก็จุดขวาสุดของแต่ละช่วง) ดังนี้

ช่วงที่ 1 คือ [a, a+d] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x1 = a (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x1 = a+d ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(x1) หน่วยบนช่วง [a , a+d]

ช่วงที่ 2 คือ [a+d, a+2d] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x2 = a+d (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x2= a+2d ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(x2หน่วยบนช่วง [a+d , a+2d]

……………………………

……………………………

……………………………

ช่วงที่ n คือ [a+(n-1)d, b] เลือกจุดซ้ายสุดคือ x1 = a+(n-1)d (หรืออาจเลือกจุดขวาสุด x1 = a+nd = b ก็ได้) ทำให้เกิดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าสูง f(xn) หน่วยบนช่วง [a , a+d]


จะเห็นว่าผลรวมพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทุกรูปมีค่าใกล้เคียงกับพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] นั่นเอง

และถ้า n มีค่ามากขึ้น(พูดอีกอย่างได้ว่าจำนวนรูปสี่เหลี่ยมมากขึ้นหรือความกว้างของรูปสี่เหลี่ยมแต่ละรูปน้อยลง)ผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมจะยิ่งใกล้เคียงพื้นที่ใต้เส้นโค้งมากขึ้น

เนื่องจากผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ d*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]= ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]

ในกรณีที่เลือกจุดซ้ายสุดของแต่ละช่วงจะได้ว่าผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)]

ในกรณีที่เลือกจุดขวาสุดของแต่ละช่วงจะได้ว่าผลรวมพื้นที่สี่เหลี่ยมเท่ากับ ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)]

ดังนั้นพื้นที่ใต้เส้นโค้งจึงเท่ากับ

lim n--> ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)] = lim n--> ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)] แบบเลือกจุดซ้าย

หรือ

lim n--> ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)] = lim n--> ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)] แบบเลือกจุดขวา

ค่าลิมิตนี้เองที่เรียกว่าผลบวกรีมันน์ ในที่นี้ผมทำไว้ให้สองสูตรคือแบบเลือกจุดซ้ายกับแบบเลือกจุดขวา จะใช้สูตรไหนก็ได้ครับ ค่าเท่ากัน

ทีนี้ตามปกติที่เราร่ำเรียนกันมาตั้งแต่มัธยม เราทราบว่าพื้นที่ใต้เส้นโค้ง f(x) บนช่วง [a,b] เท่ากับ abf(x)dx

เราจึงได้ว่า abf(x)dx = lim n--> ((b-a)/n)*[f(a)+f(a+(b-a)/n)+…+f(a+(n-1)*(b-a)/n)]

หรือ abf(x)dx = lim n--> ((b-a)/n)*[f(a+(b-a)/n)+f(a+2(b-a)/n)+…+f(a+n(b-a)/n)]

เอาล่ะ !! คราวนี้กลับมาsolve โจทย์ข้างบนของเรากันได้แล้ว (ขอทำแบบไม่ละเอียดนะ ฝากลองทดๆดูเองถ้าข้อไหนผิดทักท้วงกันได้นะครับ)

ข้อ 1. ใช้สูตรแบบเลือกจุดขวาค่าของลิมิตเท่ากับ 12 sqrt(x)dx = (2/3)*(2sqrt(2)-1)

ข้อ 2.จัดรูปให้ดีก่อน และใช้สูตรแบบเลือกจุดซ้าย ค่าของลิมิตเท่ากับ 01 (1/(x+1))dx = ln2

ข้อ 3. จัดรูปและใช้สูตรแบบเลือกจุดขวาค่าของลิมิตเท่ากับ (1/π)0π(sinx)dx = 2/π


หมายเหตุ : นิยามของอินทิกรัลแบบไม่จำกัดเขตคือกระบวนการย้อนกลับของการหาอนุพันธ์(การหาปฏิยานุพันธ์)   ส่วนนิยามของอินทิกรัลแบบจำกัดเขตคือผลบวกรีมันน์ ฉะนั้น  abf(x)dx = lim n-->∞ ((b-a)/n)*[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)] โดยนิยามอยู่แล้ว

แต่วิธีการหาค่า abf(x)dx แบบหาปฏิยานุพันธ์ที่เราใช้กันมาตลอดเป็นผลจากทฤษฏีบทหลักมูลของแคลคูลัสครับ




Create Date : 26 พฤษภาคม 2556
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:23:30 น. 0 comments
Counter : 3354 Pageviews.

ชื่อ :
Comment :
  *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 
รหัสส่งข้อความ
กรุณายืนยันรหัสส่งข้อความ
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.