They're called miracles because they don't happen.

อิอิคุง
Location :
กรุงเทพฯ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 3 คน [?]




Orange Design Pointer
Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add อิอิคุง's blog to your web]
Links
 

 
ข้อสอบเข้า Kobe University, Science Course ปี 1998 วิชาแคลคูลัส

มีโจทย์คณิตศาสตร์ข้อหนึ่งที่ผมเห็นว่าน่าสนใจดี  เคยนำไปโพสถามไว้ที่พันทิปห้องหว้ากอหลายครั้ง แต่ก็ยังไม่มีใครหาคำตอบหรือแสดงวิธีคิดที่ถูกต้องได้  จนกระทั่งครั้งสุดท้ายคุณ"ผลึกความคิด"สามารถหาคำตอบออกมาได้สำเร็จด้วยแนวคิดที่น่าสนใจทีเดียว   แต่ก็เป็นที่ถกเถียงกันเล็กน้อยว่าวิธีที่คุณผลึกความคิดใช้นั้นถูกต้องจริงหรือเปล่า   แต่ก่อนอื่นเรามาดูหน้าตาของโจทย์ที่ว่ากันก่อนครับ   


กำหนดให้ An = จำนวนของจำนวนเต็ม k ทั้งหมดที่จำนวนหลักของ 7k-1  เท่ากับจำนวนหลักของ 7k  (เมื่อเขียนด้วยเลขฐานสิบ) โดยที่ 2 k n   จงหาค่าของ  lim n--> An/n   


ดูเหมือนจะยากพอสมควรเลยใช่ไหมครับ  ซึ่งก็คงยากจริงๆนั่นแหละ ไม่งั้นคงมีคนตอบถูกตั้งแต่การโพสครั้งแรกแล้วล่ะครับSmiley (พันทิปห้องหว้ากอเป็นศูนย์รวมคนเก่งด้านวิทยาศาสตร์ไว้มากมาย ซึ่งรวมไปถึงคนเก่งคณิตศาสตร์ที่เป็นขาประจำเล่นอยู่ห้องนั้นหลายๆคนด้วย)  และถ้าคุณลองได้อ่านเฉลยแล้วล่ะก็คงจะเห็นตรงกับผมว่าคนที่สามารถแก้โจทย์ข้อนี้ออกได้ด้วยตัวเองโดยไม่รู้แนวทางหรือเคยเห็นโจทย์คล้ายๆกันมาก่อนต้องเป็นคนที่มีจินตนาการหรือsenseทางคณิตศาสตร์ดีทีเดียวครับ
สำหรับวิธีคิดเท่าที่ผมรวบรวมมาจากคำตอบของเพื่อนๆสมาชิกหว้ากอและวิธีคิดจากเฉลยที่ผมมีอยู่กับตัวทั้งหมดก็มีแค่ 3 วิธีซึ่งได้แก่

1. วิธีคิดแบบอุปนัย
เป็นวิธีคิดของสมาชิกในหว้ากอท่านหนึ่ง  น่าเสียดายที่ผมจำไม่ได้แล้วว่าเป็นใคร
ต้องบอกไว้ตั้งแต่ตรงนี้เลยว่าวิธีคิดนี้ผิดครับ ผิดทั้งคำตอบและวิธีทำเลย
 แต่ถึงจะผิดผมก็อยากนำเสนอไว้เพราะมันเป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นถึงความผิดพลาดทางคณิตศาสตร์ที่เกิดจากการใช้เหตุผลแบบอุปนัย   
สำหรับวิธีนี้ ก็เริ่มจากการทดลองหาค่า An ออกมาหลายๆค่าก่อนเพื่อสังเกตรูปแบบของมัน



จะเห็นว่า A7 = 1 , A13 = 2 , A20 = 3 , A26 = 4 , A33 = 5 , A39 = 6 , A46 = 7, ... และ(น่าจะ)เป็นในลักษณะนี้ไปเรื่อยๆ
จึงสรุปได้ว่า A13n/2 = n เมื่อ n เป็นจำนวนคู่บวกใดๆ (และ A7+13(n-1)/2 = n เมื่อ n เป็นจำนวนคี่บวกใดๆ)   ซึ่งข้อสรุปนี้เองที่เป็นจุดผิดพลาดของวิธีคิดแบบอุปนัย  เพราะไม่มีอะไรมายืนยันได้เลยว่ามันจะอยู่ในรูปแบบนั้นต่อไปเรื่อยๆ เราจึงไม่สามารถด่วนสรุปไปแบบนั้นได้
อันที่จริงข้อสรุปนี้ผิดด้วยซ้ำ เพราะถ้าลองหาค่า An ต่อไปมากๆจะพบว่ารูปแบบของมันไม่เหมือนเดิม
ถึงแม้ว่าวิธีการสังเกตและคาดเดารูปแบบเพื่อหาคำตอบหรือข้อสรุปจะเป็นวิธีการที่นิยมใช้กัน  แต่มันก็มีโอกาสเกิดความผิดพลาดได้เพราะมันเป็นเพียงการสังเกตจากประสบการณ์โดยไม่มีเหตุผลใดๆรองรับ  
ดังนั้นทางที่ถูกต้องจึงต้องมีการพิสูจน์เพื่อยืนยันข้อสังเกตของเราว่าเป็นจริงด้วย       
จากข้อสรุป(ที่ผิด)ข้างบนจะได้ว่า
 lim n--> An/n  = lim m--> A13m/(13m) =   lim m--> 2m/(13m) = 2/13   ##
ถึงแม้ว่าวิธีการหาค่าลิมิตจะไม่ผิดแต่คำตอบที่ได้ก็ไม่ถูกต้องเนื่องจากข้อสรุปที่ผิดก่อนหน้านั่นเอง

2. วิธีคิดแบบอาศัย Squeeze theorem
เป็นวิธีคิดตามเฉลยที่ผมมีอยู่กับตัวครับ ซึ่งเฉลยไว้ได้อย่างสวยงามทีเดียว(และแน่นอนว่าถูกต้องสมบูรณ์อย่างไม่มีข้อกังขาด้วย)  ในเมื่อมันเป็นโจทย์แคลคูลัสวิธีแก้โจทย์ก็ต้องใช้ทฤษฎีบททางแคลคูลัสจริงไหมครับ?  และทฤษฎีบทที่ว่าก็คือ Squeeze theorem นั่นเอง   เชื่อว่าคนที่เคยเรียนวิชาแคลคูลัสต้องเคยผ่านตา Squeeze theorem มาบ้างในชื่อทฤษฎีบทแซนวิช แต่คงไม่มีโอกาสได้ใช้มันเท่าไหร่
ให้ m = จำนวนหลักของ 7n แล้วจะได้ว่า  
10m-1  7n < 10m   เพราะฉะนั้น   m-1  n(log107) < m _____(1)
เนื่องจาก7เป็นจำนวนที่มี1หลัก เมื่อนำ7มาคูณต่อไปเรื่อยๆ ถ้าการคูณ1ครั้งทำให้จำนวนหลักเพิ่มขึ้น1หลัก  ก็จะได้ว่า 7n เป็นจำนวนที่มี n หลัก  แต่เนื่องจากมีอยู่ An ครั้งที่คูณแล้วไม่ทำให้จำนวนหลักเพิ่มขึ้น   ดังนั้น 7n เป็นจำนวนที่มี n - An หลัก นั่นคือ m = n - An
แทนค่า m ใน (1) จะได้       n - An - 1   ≤   n(log107)   <   n - An
                                        n - 1   ≤   An + n(log107)   <   n 
                       n - n(log107) - 1≤   An   <    n - n(log107)
                         1 - log107 - 1/n   ≤   An/n   <   1 - log107   
เนื่องจาก   lim  n --> {1- log107 - 1/n} = 1 - log107   และ  lim n--> {1 - log107} = 1 - log107  
โดย Squeeze theorem จะได้ว่า lim n--> An/n = 1- log107   ##
วิธีในเฉลยก็ไม่ได้ซับซ้อนจนเกินไป  ออกจะเรียบง่ายดีด้วย(ในความรู้สึกผมนะ)   แต่จุดที่ทำให้โจทย์ข้อนี้ไม่ค่อยมีคนตอบถูกคงเป็นเพราะการใช้ Squeeze theorem ที่หลายคนไม่ค่อยคุ้นเคยกับการเขียนจำนวนหลักของ 7n ให้อยูในรูป An ที่อาจจะทำให้นึกไม่ถึงกันล่ะมั้งครับ

3. วิธีคิดแบบอาศัย fractional part
ปิดท้ายด้วยวิธีคิดของคุณผลึกความคิดครับ ถึงแม้จะไม่อาจบอกได้ว่าถูกต้องสมบูรณ์ แต่จัดว่าเป็นวิธีที่น่าทึ่งเลยล่ะและคำตอบก็ออกมาถูกซะด้วย ผมเองก็ไม่ทราบเหมือนกันว่าอะไรดลใจให้เขานึกวิธีแบบนี้ออกมาได้  เรามาดูกันเลยดีกว่า

สำหรับจำนวนจริง x เราให้ [x] แทนจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ x
และให้ {x} แทน fractional part ของ x นั่นคือ {x} = x - [x]

สำหรับจำนวนเต็มบวก k ใดๆ จะได้ว่า  0 < {k(log107)} < 1 
นั่นคือทุกจำนวนเต็มบวก k ค่าของ {k(log107)} จะกระจายตัวอยู่บนช่วง (0,1)  

และถ้าจำนวนเต็มบวก k มีคุณสมบัติว่า จำนวนหลักของ 7k-1  เท่ากับจำนวนหลักของ 7k  
(ต่อไปจะขอเรียกสั้นๆว่าคุณสมบัติQ) แล้ว [k(log107)] = [(k-1)(log107)]
ดังนั้น  {k(log107)} = k(log107) - [k(log107)] =  (k-1)(log107) - [(k-1)(log107)] + log107
                         = {(k-1)(log107)log107 > log107     เพราะ {(k-1)(log107)} > 0
สรุปสั้นๆคือ ถ้าจำนวนเต็มบวก k มีคุณสมบัติQ แล้ว {k(log107)log107
และพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าในทางกลับกัน (converse) ก็เป็นจริง
นั่นคือ ค่าของ {k(log107)} จะกระจายตัวอยู่บนช่วง (log107,1) ก็ต่อเมื่อ จำนวนเต็มบวก k มีคุณสมบัติQ

เนื่องจาก lim n--> An/n คือสัดส่วนของจำนวนที่มีคุณสมบัติQกับจำนวนเต็มทั้งหมด 
(หรืออาจจะคิดอีกแบบก็ได้ว่า  lim n--> An/n คือความน่าจะเป็นที่สุ่มจำนวนเต็มบวกมาหนึ่งตัวแล้วได้จำนวนที่มีคุณสมบัติQ)
นอกจากนี้จะเห็นว่า จำนวนเต็มบวก k ทั้งหมดสมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับจำนวนอตรรกยะ {k(log107)} บนช่วง (0,1)     และจำนวนเต็มบวก k ที่สอดคล้องกับคุณสมบัติQ สมนัยแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ {k(log107)} บนช่วง (log107,1) 
ดังนั้น ถ้าหากการกระจายตัวของ {k(log107)} เป็นไปอย่างสม่ำเสมอบนช่วง (0,1) เราก็จะสรุปได้ว่า 
lim n--> An/n = ความยาวของช่วง(log107,1) / ความยาวของช่วง(0,1) = 1 - log107   ##

จะเห็นว่าเป็นคำตอบที่ถูกต้องตรงกับเฉลย  แต่จุดผิดพลาดคือคุณผลึกความคิดอ้างมาลอยๆว่าการกระจายตัวดังกล่าวเป็นไปอย่างสม่ำเสมอโดยไม่ได้พิสูจน์หรือยกทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องมาใช้  จึงทำให้เกิดข้อสงสัยและมีคนทักท้วงคุณผลึกความคิดไปว่า เขาทราบได้อย่างไรว่ามันกระจายตัวสม่ำเสมอ?? อันนี้สำคัญมากครับเพราะกว่าเค้าจะพิสูจน์ว่าเลขหลังทศนิยมของค่า pi กระจายตัวอย่างสม่ำเสมอได้ก็ลำบากอยู่ไม่ใช่น้อย
อันที่จริงการพิสูจน์ว่าการกระจายตัวของ {k(log107)} เป็นไปอย่างสม่ำเสมอน่าจะยุ่งยากซับซ้อนมากครับ  และอาจจำเป็นต้องใช้คณิตศาสตร์ระดับสูงเช่น Measure Theory มาเกี่ยวข้องก็ได้ 
คุณผลึกความคิดเองก็ยอมรับว่าเขาตัดสินเอาจากการสังเกตและความรู้สึกยังไม่ได้คิดเรื่องพิสูจน์ออกมาเป็นเรื่องเป็นราว แต่สุดท้ายเขาก็ได้ไปค้นหาทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องคือEquidistribution Theorem มายืนยันแนวคิดของเขาได้เป็นที่เรียบร้อยครับ

หมายเหตุ : โจทย์ข้อนี้เป็นข้อสอบเข้า Kobe University, Science Course ปี 1998 ได้มาจากหนังสือ 100 โจทย์คณิตพิชิต Admission ของสำนักพิมพ์ ส.ส.ท. ครับ



Create Date : 29 พฤษภาคม 2556
Last Update : 8 กันยายน 2556 19:22:35 น. 0 comments
Counter : 1009 Pageviews.

ชื่อ :
Comment :
  *ใช้ code html ตกแต่งข้อความได้เฉพาะสมาชิก
 
รหัสส่งข้อความ
กรุณายืนยันรหัสส่งข้อความ
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.