ปัญหาของ Cardano และความสับสนระหว่างโอกาสกับค่าคาดหมาย
ในบทความ 15 หน้า Liber du ludo aleae ของ Gerolamo Cardano แพทย์และนักคณิตศาสตร์ศตวรรษที่สิบหก มีปัญหาความน่าจะเป็นข้อหนึ่งน่าสนใจ หากอาศัยความรู้ปัจจุบัน เด็กนักเรียนมัธยมยุคนี้ตอบได้สบาย ๆ ครับ แต่ในสมัยนั้น แม้แต่ Cardano เอง ก็ยังผิด

คำถามที่กวนใจ Cardano คือ เราต้องทอยลูกเต๋ายุติธรรมกี่ครั้งเพื่อให้โอกาสออกแต้มหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่ง



Cardano ให้เหตุผลว่า ถ้าเหตุการณ์ใดก็ตามมีโอกาสเกิดเท่ากับ p ในการทดลองหนึ่งครั้ง ดังนั้น สำหรับการทดลองที่เป็นอิสระจากกัน n ครั้ง เหตุการณ์จะเกิดขึ้นโดยเฉลี่ย np ครั้ง (ตรงนี้ถูกต้องนะ แต่พลาดตรงที่ดันสรุปว่า) ฉะนั้น นั่นคือสิ่งที่บ่งชี้ถึงโอกาสเกิดเหตุการณ์ดังกล่าวในการทดลอง n ครั้ง เมื่อเราลองแทนค่าตามปัญหาดู p = 1/6 และถ้าโยนสามครั้ง n = 3 ทำให้ np = 1/2 เท่ากับการโยน 3 ครั้งทำให้โอกาสออกหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งเท่ากับ 1/2

ตรงนี้ Cardano เขียนในบทที่ 9 ของ Liber du ludo aleae ว่า "One-half of the total number of faces always represents equality; thus the chances are equal that a given point will turn up in three throws..."

เด็ก ๆ ที่เรียนจบบทความน่าจะเป็นคงจับผิดได้ไม่ยาก การให้เหตุผลของ Cardano นั้น เกิดจากสับสนเอาค่าคาดหมายไปเป็นโอกาส ถ้าเราทอยเต๋าสามครั้ง ค่าคาดหมายของการออกแต้มหกเท่ากับ 1/2 ครั้ง ไม่ใช่โอกาสเท่ากับ 1/2 เพราะในการโยน n ครั้ง โอกาสที่ไม่ออกแต้มหกเลยเท่ากับ (5/6)n ฉะนั้น โอกาสออกหกอย่างน้อย 1 ครั้งเท่ากับ 1 - (5/6)n และเราต้องการให้โอกาสนี้เท่ากับ 1/2 เราก็แค่แก้สมการ 1/2 = 1 - (5/6)n ได้ n ประมาณ 3.8 นั่นคือต้องทอยเต๋า 4 ครั้ง เป็นคำตอบครับ



Create Date : 29 ธันวาคม 2555
Last Update : 29 ธันวาคม 2555 22:43:25 น.
Counter : 1755 Pageviews.

0 comments
นาฏศิลปสร้างสรรค์ ชุด สามแพรภูไท เกศสุริยง
(21 มี.ค. 2563 00:05:32 น.)
从现在开始 ตั้งแต่นี้เป็นต้นไป toor36
(18 มี.ค. 2563 00:09:06 น.)
ภาษาจีน วันละนิด 1 marzo
(11 มี.ค. 2563 05:52:44 น.)
หนังสือพิมพ์ฝรั่งเศสที่ออกทุกวันที่ 29 กุมภาพันธ์ของทุกปีเท่านั้น ravio
(5 มี.ค. 2563 11:36:48 น.)
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด