reasoning on the mean
ปัญหาข้อหนึ่งใน Mathematical Puzzles: A Connoisseur's Collection ของ Peter Winkler ถามว่า ถ้าคุณมีโอกาสวางเดิมพัน 1 เหรียญ โดยเลือกจำนวนเต็มตั้งแต่ 1 ถึง 6 แล้วเจ้ามือจะทอยเต๋า 3 ลูก ถ้าตัวเลขที่คุณเลือกไม่ขึ้นเลย ก็จะเสีย 1 เหรียญนั้น แต่ถ้าเต๋าออกแต้มที่คุณเลือก 1 หรือ 2 หรือ 3 ลูก คุณก็จะได้รับเงิน 1 หรือ 2 หรือ 3 เหรียญตามลำดับ คำถามคือ คุณจะเล่นเกมนี้มั้ยฮะ (คุณอาจหยุดคิดก่อนอ่านย่อหน้าถัดไป)

ตอนอ่านปัญหานี้ เรานึกถึงคุณหมอนักคณิตศาสตร์จากศตวรรษที่ 16 คนหนึ่งขึ้นมาทันที เป็นบุคคลสำคัญผู้พยายามศึกษาการคำนวณความน่าจะเป็นอย่างเป็นระบบ ... Gerolamo Cardano

Cardano คงกระโดดเข้าวางเดิมพันในเกมนี้นะ

ใน Liber de Ludo Aleae (ตีพิมพ์หลังจากแกเสียชีวิต) Cardano ถามว่า เราต้องทอยลูกเต๋ายุติธรรมกี่ครั้งเพื่อให้โอกาสออกแต้มหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งมีค่าเท่ากับ 1/2 แกเขียน "One-half of the total number of faces always represents equality; thus the chances are equal that a given point will turn up in three throws..." ลอจิกของข้อความนี้คือ สำหรับเหตุการณ์ที่มีโอกาส p ในการทดลอง 1 ครั้ง ถ้าทดลอง n ครั้ง เหตุการณ์นั้นจะเกิดขึ้นเฉลี่ย np ครั้ง และนี่คือโอกาสเกิดเหตุการณ์ดังกล่าวเมื่อทดลอง n ครั้ง ฉะนั้น กรณีนี้ p = 1/6 เราต้องการ โอกาสหรือ np = 1/2 จึงได้ n = 3

นั่นคือ เกมในหนังสือของ Winkler สำหรับ Cardano แล้ว ถือว่าผู้เล่นได้เปรียบ

Ore เรียกความผิดพลาดในการให้เหตุผลที่เอาค่าคาดหมายไปเป็นโอกาสแบบนี้ของ Cardano (ในหนังสือ Cardano: The Gambling Scholar) ว่า "reasoning on the mean"

ลองดูคำถามของ Cardano ก่อนนะฮะ ถ้าเราให้ X เป็นจำนวนแต้มหกที่ขึ้นในการทอยเต๋า 3 ครั้ง ตัวแปรสุ่ม X จะกระจายแบบ binomial หรือ X ~ B(3,1/6) ถ้าลองป้อน "binomial distribution n=3, p=1/6" ลง wolfram alpha จะเห็นว่าโอกาสออกหกอย่างน้อยหนึ่งตัว (ดูตาราง at least one success) เท่ากับ 42.13% ไม่ใช่ 50% อย่างที่ Cardano เข้าใจ ในการโยน n ครั้ง โอกาสที่ไม่ออกแต้มหกเลยเท่ากับ (5/6)^n ทำให้โอกาสออกหกอย่างน้อย 1 ครั้งเท่ากับ 1 - (5/6)^n และเราต้องการให้โอกาสนี้เท่ากับ 1/2 เราก็แค่แก้สมการ 1/2 = 1 - (5/6)^n ได้ n ประมาณ 3.8 นั่นคือต้องทอยเต๋า 4 ครั้ง นึ่จึงเป็นคำตอบที่ Cardano ต้องการ

ทีนี้ คำถามของ Winkler สามารถตอบได้โดยไม่ต้องคำนวณซับซ้อน ให้จินตนาการผู้เล่น 6 คน เลือกกันคนละตัวเลขไม่ซ้ำกัน กรณีที่แย่ที่สุดสำหรับเจ้ามือคือเต๋าออกแต้มไม่ซ้ำกัน แต่กรณีนี้เจ้ามือก็ไม่เสียอะไร เขาก็แค่กินเงินของสามคนที่แพ้ไปจ่ายให้สามคนที่ชนะ ส่วนกรณีที่ออกแต้มซ้ำกัน 2 หรือ 3 ลูก เจ้ามือจะกินเงินจาก 4 หรือ 5 คนตามลำดับ แล้วเอาไปจ่ายให้คนชนะ ซึ่งเงินที่จ่ายรวมกันแล้วเท่ากับเงินของคนเพียง 3 คนที่กินมาเท่านั้นเอง!

(ถ้าอยากเช็คตัวเลข คำตอบคือ เฉลี่ยคุณเสีย 17/216 เหรียญต่อเกม)

2015.10.20



Create Date : 22 ตุลาคม 2558
Last Update : 22 ตุลาคม 2558 13:38:08 น.
Counter : 305 Pageviews.

0 comments
หักเหลี่ยมร้ายซ่อนลายรัก (เปิดจองรูปเล่ม) lovereason
(20 ก.พ. 2562 09:02:30 น.)
:: ปูรณฆฏะ :: กะว่าก๋า
(18 มี.ค. 2562 06:13:13 น.)
ชุดที่ 1 โอน่าจอมซ่าส์
(5 มี.ค. 2562 22:03:30 น.)
นุ่งซิ่นชวนแว้นคลายร้อน ตะลีกีปัส
(11 มี.ค. 2562 12:44:10 น.)
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด