ปัญหาทอยลูกเต๋า
ถ้าพูดถึงโจทย์ความน่าจะเป็น โจทย์ยอดฮิตคงหนีไม่พ้น ไพ่ เหรียญ ลูกแก้วหลากสีในถุง ลูกเต๋า และรวมถึงถุงเท้า เสื้อผ้าหลากแบบในตู้ ปัญหาข้อนี้ผมนำมาจากเว็บบอร์ดแห่งหนึ่ง เป็นเกมของคน 2 คนผลัดกันทอยลูกเต๋าที่มี N หน้า (โอกาสเกิดแต่ละหน้าเท่ากัน) ใครที่ทอยแล้วได้แต้มไม่มากไปกว่าแต้มของคนที่ทอยครั้งก่อนหน้า คนนั้นแพ้ โจทย์ข้อนี้ให้หาความน่าจะเป็นที่คนแรกชนะครับ



เราอาจเริ่มต้นจากการคิดง่าย ๆ กรณีที่ค่า N น้อย ๆ ที่ N = 1 คนโยนก่อนชนะแน่นอน ที่ N = 2 คนแรกมีโอกาสชนะ 3/4 ที่ N = 3 คนแรกมีโอกาสชนะ 19/27 หรือถ้าเราจับตามองโอกาสแพ้ของคนแรก จะได้โอกาสเท่ากับ 0, 1/4, 8/27 ที่ N = 1, 2, 3 ตามลำดับ ถ้าใครอึดแจกแจงต่อกรณี N = 4 จะพบว่าโอกาสแพ้ของคนแรกเท่ากับ 81/256 แล้วเห็นว่าลำดับ 0, 1/4, 8/27, 81/256,... มีรูปแบบที่มองออกได้ไม่ยากนักคือ (1 - 1/N)N ผลจากการสังเกตทำให้เราตอบว่าโอกาสที่คนแรกชนะเท่ากับ 1 - (1 - 1/N)N ก็ได้ครับ และเป็นคำตอบที่ถูกซะด้วย แต่ต้องไม่ลืมว่าคำตอบนี้มาจากการสังเกตรูปแบบที่ได้จากการแจกแจงกรณี N ต่ำ ๆ แล้วนำไปสู่ความสัมพันธ์ของรูปแบบ N ใด ๆ ยังไม่ใช่การพิสูจน์ที่ถูกต้องยอมรับได้ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ลองดูต่อไปครับ

ถ้าให้ Lr คือ โอกาสที่คนโยนคนต่อไปแพ้เมื่อหน้าลูกเต๋าล่าสุดออกแต้ม r ดังนั้นคนต่อไปจะชนะได้ก็ต่อเมื่อเขาหรือหล่อนต้องทอยเต๋าที่มีแต้มสูงกว่า r นั่นคือค่าใดค่าหนึ่งตั้งแต่ r+1 จนถึง N ซึ่งแต่ละหน้าพวกนี้ก็มีโอกาสเกิดเท่ากันเท่ากับ 1/N และคู่แข่งของหล่อนต้องได้แต้มน้อยกว่านั้นในการโยนครั้งต่อไป จึงพูดได้ว่าหล่อนมีโอกาสชนะเมื่อคู่แข่งทอยได้ r เท่ากับ 1-Lr = (1/N)Lr+1+(1/N)Lr+2+...+(1/N)LN

1-Lr = (Lr+1+Lr+2+...+LN)/N ... (1)

แทน r ใน (1) ด้วย r-1 ได้

1-Lr-1 = (Lr+Lr+1+...+LN)/N ... (2)

(2) - (1) ได้

Lr-1 = (1 - 1/N)Lr แทนความสัมพันธ์นี้ด้วย r ตั้งแต่ 1 ถึง N โดย LN = 1 เราได้ Lr = (1 - 1/N)N-r โอกาสชนะของผู้เล่นคนแรกก็คือ 1 - L0 (หนึ่งลบด้วยโอกาสแพ้เมื่อแต้มก่อนหน้าคือ 0) หรือ 1 - (1 - 1/N)N ตรงกับความสัมพันธ์ที่ได้จากการพิจารณารูปแบบของลำดับในตอนต้น

สังเกตพจน์ (1 - 1/N)N เมื่อ N เข้าสู่อนันต์มันก็คือค่าคงที่ e ดังนั้นกรณี N ใหญ่ ๆ เราอาจประมาณโอกาสชนะของผู้โยนคนแรกได้เท่ากับ 1 - 1/e หรือ 63.2% ส่วนกรณีลูกเต๋า 6 หน้าธรรมดานั้นโอกาสชนะของผู้โยนคนแรกเท่ากับ 1 - (5/6)6 หรือประมาณ 66.5%





Create Date : 22 เมษายน 2551
Last Update : 22 เมษายน 2551 16:43:35 น.
Counter : 3717 Pageviews.

0 comments
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด