วงล้อของอริสโตเติ้ล
วงล้อของอริสโตเติ้ล (Aristotle's wheel) เป็นพาราด็อกซ์หนึ่งที่กล่าวถึงใน Mechanica ตำรากรีกโบราณเชื่อกันว่าเป็นผลงานของอริสโตเติ้ล พูดถึงวงล้อที่มีวงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน ถ้าวงล้อเริ่มต้นที่จุด A (ดูรูป) แล้วกลิ้งไปทางขวามือโดยไม่ไถลครบหนึ่งรอบพอดีมันจะไปถึงจุด B เราพูดได้ว่าระยะ AB คือเส้นรอบวงวงกลมวงใหญ่ใช่มั้ยครับ? มันเหมือนกับทุกจุดที่อยู่บนเส้น AB สัมผัสกับทุกจุดที่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมวงใหญ่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะว่า ณ เวลา t ใด ๆ จะมีจุดเพียงจุดเดียวเท่ากันบนวงกลมที่สัมผัสกับ AB ข้ออ้างอันนี้ฟังขึ้น แต่พอมองดูวงกลมวงเล็กบ้าง ทันทีที่วงใหญ่ครบรอบ วงเล็กก็ครบรอบเช่นกัน (ไม่ขาด ไม่เกิน) อย่างนั้นทุกจุดบนวงกลมวงเล็กก็ต้องสัมผัสกับทุกจุดบน CD แบบหนึ่งต่อหนึ่งเหมือนกันนะสิ? ใช่ครับ และไม่มีข้อโต้แย้งใด ๆ ซะด้วย แต่เราเห็นได้ชัดว่าระยะ CD ซึ่งเท่ากับ AB ไม่เท่ากับความยาวรอบวงวงกลมวงเล็กแน่นอน ไม่อย่างนั้นจะเกิดเหตุการณ์ที่ว่าไม่ว่าคุณจะกลิ้งวงกลมเล็กใหญ่แค่ไหนก็ตามครบหนึ่งรอบมันจะวิ่งไปได้ไกลเท่ากันเสมอ ซึ่งเรารู้ว่าไม่ใช่! แล้วเกิดอะไรขึ้นล่ะเนี่ย ทั้ง ๆ ที่เราพูดได้ว่าแต่ละจุดบนเส้น CD จะจับคู่จุดบนเส้นรอบวงวงเล็กที่มาสัมผัสมันแบบไม่ซ้ำกันได้ (เรียกว่าจับคู่กันแบบ 1 ต่อ 1) แล้วระยะ CD = AB เป็นไปได้อย่างไร?



ปัญหาข้อนี้มีการให้เหตุผลผิดที่บอกว่าการที่วงกลมปั้มรอยล้อแบบ 1 ต่อ 1 ลงบนพื้นนี่นะ เมื่อมันกลิ้งครบ 1 รอบจะทำให้ความยาวรอบวงวงกลมเท่ากับความยาวรอยล้อที่ปั้มอยู่บนพื้น ในกรณีวงใหญ่กับ AB นั้นความยาวมันเท่ากันจริงครับ แต่เห็นได้ชัดว่าวงเล็กกับ CD ไม่เท่ากัน มูลเหตุมันเกิดมาจากจำนวนจุดบนเส้นรอบวง ๆ กลมทั้งสอง และจำนวนจุดที่อยู่บนส่วนของเส้นตรง AB และ CD มีอยู่นับอนันต์ เส้น 2 เส้นไม่จำเป็นต้องมีความยาวเท่ากันแต่มันจะมีจำนวนจุด (สมาชิกของเส้น) เท่ากัน (พูดว่าคาร์ดินัลลิตี้ของจุดบนเส้นเท่ากันเสมอ) ยกตัวอย่างง่าย ๆ นะ คุณรู้ว่าเส้นที่แทนด้วยช่วง [0,1] ยาว 1 หน่วย และ [0,2] ยาว 2 หน่วย เส้นที่สองยาวกว่าเส้นแรก แต่คุณบอกได้มั้ยครับว่าจำนวนจุดหรือจำนวนสมาชิกของเซ็ตของเส้นที่สองมากกว่าเส้นแรก เหมือนกับถามว่าจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0,2] มีมากกว่าจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0,1] หรือไม่? คำตอบคือไม่ ทั้งคู่นั้นนับไม่ได้เพราะคุณไม่สามารถจับมันจับคู่มันแบบ 1 ต่อ 1 กับเซตจำนวนนับ {1, 2, 3, ...} ได้ แล้วเรามีวิธีไหนที่จะทำความเข้าใจได้บ้างว่าจำนวนจุดที่อยู่บน [0,1] เท่ากับจำนวนจุดที่อยู่บน [0,2] ขออธิบายแบบเด็ก ๆ แบบนี้ครับ พิจารณารูป



เรามีเส้นตรง 2 เส้น เส้นล่างยาวกว่าเส้นบน 2 เท่า ให้เส้นบนคือ [0,1] เส้นล่างคือ [0,2] แต่ละเส้นเรามีหมุดปักอยู่บนมันโดยหมุดนี่จะปักลงบนจุดพอดี พูดง่าย ๆ ก็คือหมุดจะชี้จุด x ใด ๆ ที่เป็นสมาชิกของเส้นนั้น สมมติว่าหมุดแดง-ดำเริ่มต้นที่จุดสตาร์ทที่ปลายด้านซ้ายมือ และทั้งคู่จะวิ่งไปทางขวามือ ถ้าหมุดทั้งสองวิ่งด้วยอัตราเร็วเท่ากัน หมุดแดงจะเข้าเส้นชัยก่อน แต่ถ้าเรากำหนดว่าหมุดทั้ง 2 จะต้องถึงเส้นชัยพร้อมกัน เราก็สามารถคำนวณอัตราเร็วของหมุดแต่ละตัวได้ด้วยสูตรฟิสิกส์ s = vt แปลว่าหมุดดำจะต้องวิ่งเร็วกว่าหมุดแดง 2 เท่า สมมติเราคำนวณมาแล้วล่ะ ได้อัตราเร็วหมุดดำเท่ากับ 10 ฉะนั้นอัตราเร็วหมุดแดงก็เท่ากับ 5 และได้ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง (ตำแหน่ง) กับเวลา sหมุดแดง = 5t, sหมุดดำ = 10t ถ้าเราตั้งสมมติฐานว่าเวลามีความต่อเนื่องกัน ณ เวลา t ใด ๆ หมุดแต่ละอันจะอยู่บนจุด ๆ หนึ่งซึ่งเป็นสมาชิกของเส้นที่มันเหยียบ และหมุดจะไม่เหยียบจุดใด ๆ ซ้ำ 2 ครั้ง ถ้าเวลามากขึ้นแม้เศษเสี้ยว หมุดก็ต้องเคลื่อนไปเหยียบจุดถัดไปเสมอ แสดงว่าเราใช้ t เป็นตัวกลางในการจับคู่จุดบนเส้นสั้นกับจุดบนเส้นยาวได้แล้วล่ะครับ คือจับคู่จุดที่เวลา t ใด ๆ ที่อยู่บนเส้นสั้นกับจุดที่เวลา t เดียวกันนั้นบนเส้นยาว เห็นได้ชัดว่าเราจับคู่จุดต่อจุดบนเส้นทั้งสองแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้โดยที่เส้นทั้งสองไม่ต้องมีความยาวเท่ากัน (หัวใจของมันคืออนันต์กับสมมติฐานความต่อเนื่อง) อันที่จริงยิ่งเป็นรูปวงกลมเรายิ่งแสดงให้เห็นว่ามีการจับคู่จุดวงนอกกับวงในครบทุกจุดแบบหนึ่งต่อหนึ่งง่ายมากครับ คุณนึกถึงนาฬิกาที่มีเข็มเดียว แล้วเข็มเป็นเส้นและลากเข็มออกมาให้ยาวพาดทับวงกลมทั้ง 2 วงที่ซ้อนกัน เข็มเครื่องที่ครบ 1 รอบ มันจะทับทุก ๆ จุดของวงนอกและวงในไม่ซ้ำกันเลยแบบหนึ่งต่อหนึ่ง




Create Date : 19 มิถุนายน 2552
Last Update : 8 เมษายน 2553 12:30:13 น.
Counter : 1348 Pageviews.

0 comments
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด