คล้าย ๆ มอนตี้ฮอลล์ แต่ไม่ใช่
บล็อกตอนนี้ผมเขียนร่วมสนุกกับคำถามคณิตศาสตร์ในห้องหว้ากอ แต่เสียดายเข้าไปตอนตลาดวาย เป็นกระทู้ที่มีผู้สนใจแลกเปลี่ยนความเห็นเยอะมาก ต่อเนื่องกันถึงสามกระทู้ มีผู้ตั้งกระทู้แรกคือคุณชนาธิป-พุทธแท้ ตามมาด้วยคุณ 3N และสุดท้ายคุณนฤมลประการ นำปัญหามาจำลอง monte carlo ผมไม่ได้อ่านทุกความเห็น และไม่ได้อ่านความเห็นไหนละเอียดนะครับ แต่ก็อยากหยิบยกประเด็นที่น่าสนใจมาพูดคุยกัน ทั้งหมดล้วนตามความเห็นส่วนตัว (หมายความว่าอาจจะผิดก็ได้) และขอเรียบเรียงคำถามพร้อมวิธีการนำเสนอใหม่

เริ่มด้วยนึกภาพเหตุการณ์ต่อไปนี้ครับ คุณทำข้อสอบ 4 ตัวเลือก 100 ข้อ ซึ่งคุณไม่มีความรู้อะไรในเรื่องนั้นสักนิดเดียว สมมติว่าคุณสอบเรื่อง 1Q84 (ถ้าคุณเคยอ่านหรือรับรู้อะไรมาบ้าง โปรดสมมติว่าคุณไม่เคยรู้อะไรเกี่ยวกับ 1Q84 เลย) คุณไม่อ่านโจทย์ ไม่แม้แต่จะเปิดดูข้อสอบด้วยซ้ำ กามั่ว ๆ เดาทั้ง 100 ข้อ เสร็จภายใน 3 นาที กรณีนี้เราจะพูดว่าคุณมีโอกาสตอบถูกแต่ละข้อ 1/4 หรือ 25% และค่าคาดหมายของคะแนนคือ 25 คะแนน คุณรีบส่งกระดาษคำตอบให้กรรมการคุมสอบ กรรมการส่ายหน้า ชี้ไปที่ข้อความบนข้อสอบว่า "ห้ามออกจากห้องสอบก่อน 1 ชั่วโมง" คุณคอตก กลับมานั่งที่โต๊ะ ไหน ๆ ก็มีเวลา พลิกดูโจทย์หน่อยจะเป็นไรไป

     1. Mr. Tengo is ................
          (a) a writer
          (b) a curator
          (c) a mathematics professor
          (d) an irrational number

พอเห็นโจทย์ข้อแรก คุณตกใจสุดขีด ถึงแม้คุณจะเกลียดมูราคามิแค่ไหน แต่คุณก็รู้ว่านาย Tengo ไม่มีทางเป็นจำนวนอตรรกยะ คุณรีบดูในกระดาษคำตอบทันทีว่าเผลอเดาข้อ d ไปหรือไม่ ถ้าหากเดา d คุณก็จะสุ่มเลือกใหม่ระหว่าง a, b, c พร้อมกระหยิ่มในโอกาสได้คะแนนเพิ่มขึ้นจาก 1/4 เป็น 1/3

เรื่องตลกของข้อสอบชุดนี้คือ ทุกข้อจะมีตัวเลือกหนึ่งที่ผิดที่ผิดทางอย่างแรง และคุณรู้ว่าตัวเลือกนั้นผิดแน่ ๆ คำถามเกิดขึ้นตรงนี้ครับ ถ้าตัวเลือกที่คุณรู้ว่าผิดแน่ ๆ ตรงกับตัวเลือกที่คุณเดา คุณก็แค่เดาใหม่ด้วยโอกาสถูก 1/3 แต่ถ้าตัวเลือกที่คุณรู้ว่าผิดแน่ ๆ ไม่ตรงกับที่คุณเดาไว้ตอนแรก คุณจะทำอย่างไร ระหว่าง

     ก. คงตัวเลือกเดิมที่เดาตอนแรกเอาไว้
     ข. สุ่มเลือกตัวเลือกใหม่ที่ไม่ใช่ตัวเลือกแรกหรือตัวเลือกที่คุณรู้ว่าผิดแน่ ๆ (นั่นคือ คุณเหลืออีก 2 ตัวเลือกให้เดา)

ไม่ว่าจะเลือก ก. หรือ ข. มันก็ไม่ใช่ตัวเลือกที่คุณรู้ว่าผิดแน่ ๆ ทั้งสองกรณี ก่อนที่เราจะตอบคำถามนี้ ลองมองไปที่เพื่อนของคุณคนหนึ่งซึ่งไม่เคยรู้อะไรเกี่ยวกับ 1Q84 เช่นกัน แต่อ่านโจทย์ครบทั้ง 100 ข้อ และรู้ตัวเลือกที่ผิดแน่ ๆ 1 ตัวเลือกในแต่ละข้อ เพื่อนก็เดาเหมือนกับคุณนั่นแหละ ต่างกันเพียงเดาจาก 3 ตัวเลือก ทำให้เขามีโอกาสตอบถูก 1/3 และไม่ต้องมาตัดสินใจเลือก ก. หรือ ข. เหมือนกับคุณ คำถามง่าย ๆ ตรงนี้คือ เพื่อนกับคุณผู้ซึ่งไม่รู้อะไรเลย ทั้งคู่ควรจะมีค่าคาดหมายของคะแนนเท่ากันคือเท่ากับ 100/3 มั้ยครับ?

ในกระทู้ การโต้แย้งแบ่งออกเป็น 2 กลุ่ม คือกลุ่มที่บอกว่าเท่ากัน กับกลุ่มที่บอกว่าไม่เท่ากัน โดยกลุ่มที่บอกว่าไม่เท่ากันให้เหตุผลว่า การตัดสินใจเลือก ข. ของคุณจะเพิ่มโอกาสตอบถูกเช่นเดียวกับกรณีปัญหามอนตี้ฮอลล์ (ถ้าคุณไม่รู้จัก Monty Hall Problem หยุดอ่าน แล้วไปทำความรู้จักมันก่อนครับ) และเหตุผลนี้ถูกโต้กลับว่าจะคิดแบบมอนตี้ฮอลล์ไม่ได้ เพราะมอนตี้ฮอลล์รู้คำตอบที่ถูกต้อง แต่ตอนทำข้อสอบคุณไม่รู้ ซึ่งเดี๋ยวผมจะแย้งข้อแย้งนั้นว่า มอนตี้ไม่จำเป็นต้องรู้คำตอบที่ถูกต้อง แต่เงื่อนไขที่ทำให้คิดแบบมอนตี้ฮอลล์ได้คือ มอนตี้ต้องรู้คำตอบที่ผิด 2 คำตอบ สำหรับในกรณีประตูสามบาน การรู้คำตอบที่ผิด 2 คำตอบมีความหมายเท่ากับการรู้คำตอบที่ถูก แต่ในกรณีประตู 4 บาน มันไม่เท่า แต่อย่างไรก็ตาม แน่นอนว่าโจทย์การสอบนี้จะคิดโดยนำข้อสรุปจากมอนตี้ฮอลล์มาใช้ไม่ได้

อะไรทำให้บางคนคิดว่า ในการอ่านโจทย์หลังจากเดา ถ้าหากคุณเจอกรณีที่คุณเดาไม่ตรงกับตัวเลือกที่ผิด (เช่น ข้อ 1 คุณเดา b. และรู้ว่า d. ผิด) การเปลี่ยนไปเดาตัวเลือกอื่น (คือ เดาใหม่ระหว่าง a. กับ c.) จะเพิ่มโอกาสตอบถูกมากกว่าเดิม? คำตอบคือ เขาคิดว่ากรณีนี้เหมือนกับกรณีมอนตี้ฮอลล์ 4 ประตูครับ และให้เหตุผลเลียนแบบมอนตี้ฮอลล์ 4 ประตู ทั้ง ๆ ที่แท้จริงแล้วทั้งสองกรณีแตกต่างกัน ข้อแตกต่างนั้นคือ 'การแสดงคำตอบที่ผิดที่แตกต่างจากคำตอบที่คุณเลือกได้เสมอ' ในกรณีข้อสอบ เงื่อนไขนี้ไม่เป็นจริง ส่วนในกรณีมอนตี้ฮอลล์ เงื่อนไขนี้เป็นจริงเมื่อมอนตี้รู้ประตูที่ผิด 2 ประตู (ไม่จำเป็นต้องรู้ประตูที่ถูก) การที่มอนตี้รู้ประตูที่ผิด 2 ประตู ทำให้เขาสามารถ 'แสดงคำตอบที่ผิดที่แตกต่างจากคำตอบที่คุณเลือกได้เสมอ'

ทบทวนมอนตี้ฮอลล์ 4 ประตูแบบคลาสสิก แบบนี้เหมือนมอนตี้ฮอลล์ 3 ประตูเกือบทุกอย่าง ยกเว้นเพียงมี 4 ประตูเท่านั้นแหละ ความรู้ของมอนตี้คือประตูไหนเป็นแกะ ประตูไหนเป็นรถ กำหนดให้ 4 ประตูคือ A B C D ถ้าคุณเลือกอย่างสุ่ม คุณมีโอกาสได้รถ 1/4 สมมติว่าคุณเลือก A ต่อมามอนตี้เปิดประตูบานที่ไม่มีรถหนึ่งบานคือ B ถามว่าคุณจะเปลี่ยนใจไปเลือก C หรือ D มั้ย หรือจะยังคง A เอาไว้ แบบคลาสสิกนี้ ถ้าคุณคง A คุณก็จะมีโอกาสได้รถเท่ากับ 1/4 แต่ถ้าคุณเปลี่ยนใจไปเลือก C หรือ D คุณจะเพิ่มโอกาสได้รถเป็น 3/8 ดูรูปที่ 1



ทีนี้ลองพิจารณากรณีมอนตี้แบบที่ 2 มี 4 ประตูเหมือนเดิมคือ A B C D และทีมงานไม่บอกมอนตี้ว่ารถอยู่ประตูไหน แต่บอกมอนตี้ว่ามีสองประตูไหนบ้างที่เป็นแกะ คุณคิดว่าในมุมมองของผู้เล่นเกม มอนตี้ฮอลล์แบบที่ 2 กับแบบคลาสสิกแตกต่างกันมั้ยครับ? ลองสมมติให้รถอยู่ A เริ่มเกม ผู้เล่นเลือกได้ 4 แบบคือเลือก A หรือ B หรือ C หรือ D ด้วยโอกาสเท่ากันคือ 1/4 และเกมนี้ทีมงานอาจบอกมอนตี้ได้ 3 แบบคือ (B,C), (B,D) และ (C,D) ด้วยโอกาสเท่ากันคือ 1/3, ถ้าผู้เล่นเลือก A ไม่ว่ามอนตี้จะถูกบอกด้วยแบบไหนก็ตามใน 3 แบบนั้น มอนตี้ก็แค่เลือกเปิด 1 บาน และหากผู้เล่นเลือกที่จะเปลี่ยนประตู เขาก็จะไม่ได้รถ, ถ้าผู้เล่นเลือก B มอนตี้เปิด C กรณี (B,C) และถ้าผู้เล่นเปลี่ยนก็จะมีโอกาส 1/2 ระหว่าง A กับ C (ลองคิดกรณีมอนตี้ (B,D), (C,D) และกรณีผู้เล่นเลือก C, D ต่อเองนะ หรือดูรูปที่ 2) สุดท้ายคุณจะพบว่า ผู้เล่นที่เปลี่ยนใจจะมีโอกาสได้รถเท่ากับ (1/4)(0) + (1/4)(1/2) + (1/4)(1/2) +(1/4)(1/2) = 3/8 ซึ่งไม่แตกต่างจากกรณีมอนตี้ 4 ประตูแบบคลาสสิก ตรงนี้ผมจึงอยากตั้งข้อสังเกตว่า จริง ๆ แล้วความรู้สำคัญของมอนตี้ฮอลล์แบบคลาสสิกที่คุณมอนตี้จะต้องมี คือ ความสามารถในการแสดงตัวเลือกที่ผิดที่ไม่ใช่ตัวเลือกที่ผู้เล่นเลือก โดยไม่จำเป็นว่ามอนตี้จะต้องรู้ว่าคำตอบที่ถูกคือข้อไหน หากปราศจากความสามารถอันนี้จะเกิดอะไรขึ้น ลองมาดูมอนตี้แบบที่สามกัน



มอนตี้ฮอลล์แบบที่ 3 ทีมงานจะบอกมอนตี้ให้รู้ว่าประตูไหนไม่มีแกะแค่เพียงประตูเดียว ในมอนตี้ฮอลล์แบบนี้ เห็นได้ชัดว่าคุณมอนตี้ขาดความสามารถในการแสดงตัวเลือกที่ผิดที่ไม่ใช่ตัวเลือกที่ผู้เล่นเลือก เพราะมีโอกาส 1/4 ที่ผู้เล่นจะเลือกตรงกับประตูที่มอนตี้รู้ว่าผิด และถ้าเป็นกรณีดังกล่าว มอนตี้อาจบอกว่าประตูที่คุณเลือกผิด แน่นอน คุณต้องเปลี่ยนใจ และมีโอกาสได้รถ 1/3 จากการเลือกใหม่ ดูรูปที่ 3 จะเห็นว่าโอกาสที่คุณได้รถเมื่อเปลี่ยนใจเท่ากับ 1/3 และโอกาสได้รถเมื่อไม่เปลี่ยนใจถ้าหากมอนตี้ไม่เปิดตรงกับประตูที่คุณเลือก (ถ้าเปิดตรง แน่นอน คุณต้องเปลี่ยน) เท่ากับ (1/4)(1) + (3/4)(1/3)(1/3) = 1/3 นั่นคือ ในมอนตี้ฮอลล์แบบที่ 3 นี้ ไม่ว่าคุณจะเปลี่ยนใจหรือไม่เปลี่ยนใจ (ถ้าไม่จำเป็น) โอกาสได้รถก็เท่ากัน!



คุณคิดว่าสถานการณ์ข้อสอบต้นเรื่องตรงกับมอนตี้ 4 ประตูแบบคลาสสิกหรือแบบที่ 3 ครับ? ผมคิดว่าเป็นแบบที่ 3 นะ เพราะตอนทำข้อสอบคุณไม่สามารถสร้างเงื่อนไข 'การแสดงตัวเลือกอื่นที่ผิดที่คุณไม่ได้เลือกได้เสมอ' ทำให้การแจกแจงความเป็นไปได้ของเหตุการณ์แตกต่างกันระหว่างรูปที่ 2 กับ 3 ข้อแตกต่างชัด ๆ อีกประการระหว่างสองรูปนี้คือ ในรูปที่ 3 จะมีกรณีที่คุณถูกบังคับให้เปลี่ยน (เว้นแต่คุณจะยอมเลือกข้อที่รู้ในภายหลังว่าผิด) - โปรดกลับไปอ่านข้อความในวงเล็บย่อหน้าแรกอีกที :-D



Create Date : 17 สิงหาคม 2555
Last Update : 17 สิงหาคม 2555 22:05:02 น.
Counter : 2092 Pageviews.

0 comments
➦ ถนนสายนี้มีตะพาบ โครงการที่ 249 ✤โจทย์ » » » “ส วั ส ดี” ✤โดย --- กะว่าก๋า Tui Laksi
(23 มี.ค. 2563 20:12:26 น.)
从现在开始 ตั้งแต่นี้เป็นต้นไป toor36
(18 มี.ค. 2563 00:09:06 น.)
👌 จับปิ้ง 👌 โอน่าจอมซ่าส์
(17 มี.ค. 2563 04:18:48 น.)
การไหว้ Insignia_Museum
(3 มี.ค. 2563 14:41:41 น.)
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด