ซอง 2 ซอง
มาดูปัญหาคลาสสิกอีกสักข้อ มีซอง 2 ซอง ให้คุณเลือก 1 ซอง แล้วผมบอกว่าในซองมีเงิน ซึ่งเงินที่อยู่ในซองหนึ่งเป็น 2 เท่าของเงินที่อยู่ในอีกซองหนึ่ง โดยที่คุณยังไม่เปิดซอง ถามว่าคุณจะเปลี่ยนใจสลับซองที่คุณเลือกไปกับอีกซองหนึ่งที่คุณไม่ได้เลือกมั้ยครับ?



ปัญหาข้อนี้ถ้าคุณไม่คิดมากให้เปลืองสมอง คุณก็ให้เหตุผลง่าย ๆ ว่า (I) "จะสลับให้เมื่อยทำไม มันก็มีอยู่แค่ 2 ซอง เลือกแบบสุ่ม โอกาส 50-50" แต่ถ้าคุณเพิ่งเรียนทฤษฎีความน่าจะเป็นมาหมาด ๆ และคุณครูเพิ่งสอนเรื่องค่าคาดหมาย ด้วยความร้อนวิชา เอาล่ะ คุณหยิบกระดาษกับปากกา ส่งสายตากำชัยให้ผมแล้วพูดว่า "ดูนี่" จากนั้นอธิบาย

(II) "สมมติว่าซองนี้ (หมายถึงซองที่คุณเลือกเป็นซองแรก) มีเงินอยู่ x บาท ซึ่งมันอาจจะเป็นซองที่มีเงินมากกว่าหรือน้อยกว่าอีกซองหนึ่งก็ได้เท่า ๆ กัน นั่นคือ มีโอกาส 0.5 ที่อีกซองหนึ่งจะมีเงิน 2x บาท และมีโอกาส 0.5 ที่อีกซองหนึ่งจะมี x/2 บาท ถ้าเราสลับไปเลือกอีกซองหนึ่ง ค่าคาดหมายของเงินที่เราจะได้รับเท่ากับ (0.5)(2x) + (0.5)(x/2) = 1.25x เห็นชัดว่า 1.25x > x ฉะนั้น 'สลับซอง' ซะ"

ชิโร่เพื่อนคุณซึ่งนั่งอยู่ข้าง ๆ ค้านขึ้นมาทันที (III) "เนื่องจากเราไม่รู้ค่า x และหลังจากสลับซองเรียบร้อยแล้วสมมติว่าค่าของมันคือ y และคิดแบบเดียวกันเพื่อให้ได้ 1.25y งี้ก็ต้องสลับซองอีกรอบ แล้วก็จะได้ซองเดิม แล้วก็ต้องสลับอีกรอบ อีกรอบ อีกรอบ น่าจะมีอะไรไม่ชอบมาพากลนะ"

สมมติว่าคุณรั้นนิด ๆ (IV.I) "ลองคิดดูสิว่ามันผิดตรงไหน สมมติว่าศลยอมให้ผมเปิดซองแรกที่เลือกได้ ผมเปิดออกมาเจอเช็ค 20,000 บาท แปลว่า อีกซองหนึ่งถ้าไม่เป็น 10,000 บาท ก็ต้องเป็น 40,000 บาท ถูกมั้ยชิโร่?"

ถูก (ผมตอบให้ก็ได้)

คุณต่อ (IV.II) "เนื่องจากว่าโอกาสมันเท่า ๆ กันที่อีกซองหนึ่งจะเป็น 1 หมื่น หรือ 4 หมื่น ดังนั้นค่าคาดหมายหากเราเปลี่ยนซองเป็น (0.5)(10,000) + (0.5)(40,000) = 5,000 + 20,000 = 25,000 มากกว่าเดิมตั้ง 5,000 บาท แล้วทำไมจะไม่เปลี่ยนล่ะ?"

ผมเชื่อว่าชิโร่แอบอึ้ง เอ่อ...ผมได้บอกคุณรึยังครับว่าเรามีตัวละครที่คุณก็รู้ว่าใครนั่งร่วมวงด้วย นี่เป็นเสียงของเขาตอนที่ยังไม่คืนร่าง (V) "นายคิดค่าคาดหมายผิดรึเปล่า? สมมติว่าเงินที่ใส่ในซอง 2 ซองคือ x กับ 2x มันมีโอกาส 50% ที่นายจะได้ x และ 50% ที่นายจะได้ 2x ถ้านายได้ x และเปลี่ยนซอง นายก็จะได้ 2x ถูกมั้ย? แต่ถ้านายได้ 2x และเปลี่ยนซอง นายก็จะได้ x แบบนี้ค่าคาดหมายก็ต้องเท่ากับ (0.5)(2x) + (0.5)(x) = 1.5x มากกว่า 1.25x ซะอีก"

เจอแบบนี้ใครที่ตั้งสติไม่ดีอาจจะหลุดวงโคจรได้เลย ไอ้คนสุดท้ายนะดันมามึนตอนจบจับ 1.5x ไปเปรียบเทียบกับ 1.25x เฉยเลย เห็นมัน x ๆ เหมือนกันอย่าหลงคิดว่าเป็น x เดียวกันนะครับ เพราะ x ใน (II) หมายถึงตัวแปรที่แทนเงินที่อยู่ในซองของคุณซองแรก ส่วน x ใน (V) หมายถึงค่าของเงินที่น้อยที่สุดที่อยู่ในซอง 2 ซองนั้น จะเป็นซองไหนเป็นอีกเรื่องหนึ่ง ก่อนอื่นมาดูกันว่าเหตุผลของใครฟังเข้าท่าบ้าง เริ่มจาก (I) อันนี้เข้าที่สุด ปัญหาแบบนี้ไม่ต้องวิตกจริตคิดให้ปวดสมอง แม้ว่า (I) จะเป็นอะไรที่ไม่ซับซ้อนเลย แต่มันก็ไม่มีอะไรที่จะบอกว่ามันผิดไม่ได้เลยเหมือนกัน ต่อมา (III) ก็เป็นการให้เหตุผลที่ดีครับ สุดท้าย (V) ถ้าเราไม่นับตอนจบ 1.5x > 1.25x ก่อนหน้านั้นที่พูดมาถือว่าถูกต้องทุกประการ, x ในความหมายของ (V) ทำให้เราได้ค่าคาดหมายที่จะได้เงินเมื่อเปลี่ยนซองเท่ากับ 1.5x คำถามที่น่าถามคือถ้าไม่เปลี่ยนซองล่ะ? คุณก็ยังได้ค่าคาดหมายเท่ากับ 1.5x เท่าเดิม แปลว่า ไม่ว่าคุณจะเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยนซอง มันก็ไม่มีผลอะไรกับค่าคาดหมายของคุณ แล้ว 1.5x ใน (V) นี้แปลว่าอะไร? มันแปลว่า ถ้าค่าต่ำสุดของเงินในซองคือ x และสูงสุดคือ 2x ถ้าคุณเล่นเกมนี้สัก N รอบ (N ยิ่งเยอะยิ่งดี) ค่าเฉลี่ยของเงินที่คุณจะได้จากเกมเท่ากับ 1.5x

คราวนี้มาดูลอจิกที่ดูเหมือนสมเหตุสมผล แต่ผิดอย่างจัง เริ่มจาก (II) ถ้าซองของคุณตอนนี้มีเงินอยู่ x และทำการเปลี่ยนซอง คุณจะได้ค่าคาดหมายของเงินเท่ากับ 1.25x แปลว่าได้เงินเพิ่มขึ้นจากเดิม 25% ซึ่ง (III) ได้ตั้งข้อสงสัยไว้แล้วว่าต่างฝ่ายจะต่างได้เงินเพิ่มทั้งคู่ได้อย่างไร ลองดู (IV.I) ซึ่งผมตอบว่า "ถูก" แต่คำว่าถูกนี้ไม่ได้ครอบคลุมไปถึง (IV.II) เพราะว่าถ้าเปิดซองขึ้นมาแล้วคุณพบ 20,000 บาท แปลว่าอีกซองถ้าไม่เป็น 10,000 ก็ต้องเป็น 40,000 แน่ ตรงนี้ถูกครับ แต่ไม่มีอะไรไม่มีใครไม่มีพระเจ้าองค์ใดที่บอกว่าโอกาสที่อีกซองหนึ่งจะเป็น 10,000 บาทเท่ากับโอกาสที่อีกซองหนึ่งจะเป็น 40,000 บาท ความผิดพลาดขั้นร้ายแรงของการให้เหตุผลของ (II) และ (IV.II) มาจากการประเมิน posterior probabilities ผิด กล่าวคือ คุณ (ตัวละครในเรื่องนี้) ประเมินให้ P(อีกซองมีเงินเท่ากับ x/2|ซองนี้มีเงินเท่ากับ x) = P(อีกซองมีเงินเท่ากับ 2x|ซองนี้มีเงินเท่ากับ x) = 1/2 โดยมิได้สนใจการกระจายความน่าจะเป็นของเงินในซอง ตัวอย่างที่จะช่วยให้เราเข้าใจปัญหานี้ได้ง่ายขึ้น สมมติว่าผมใส่เงินในซอง 5 บาท กับ 10 บาท ถ้าเงินในซองของคุณคือ 5 บาท การประเมินว่าอีกซองหนึ่งมีโอกาสมีเงิน 2.5 บาทเท่ากับโอกาสมีเงิน 10 บาทก็ผิดจากความจริงแล้วใช่มั้ยครับ? (เพราะผมไม่ได้เตรียมเงิน 2.5 บาทไว้เลย) หรือถ้าในซองของคุณมีเงิน 10 บาท การประเมินความน่าจะเป็นของ 15 บาท ก็ไม่ควรจะเท่ากับ 5 บาท (เพราะผมไม่ได้เตรียมเงิน 15 บาทไว้เช่นกัน) ข้อมูลสำคัญจริง ๆ ที่พอจะช่วยคุณในการตัดสินใจได้ว่าควรจะเปลี่ยนซองดี หรือไม่เปลี่ยนซองดี นอกจากเงินในซองของคุณแล้วยังต้องรู้การกระจายโอกาสของเงินต่ำสุดที่ใส่ซอง เช่น ถ้าคุณรู้ว่าโอกาสของมูลค่าเงินต่ำสุดกระจายแบบสม่ำเสมอในช่วง 0 ถึง 30,000 บาท และซองของคุณมีเงินอยู่ 40,000 บาท ก็อย่าทะลึ่งไปเปลี่ยนมัน แต่ถ้าโอกาสกระจายสม่ำเสมอในช่วง 30,000 ถึง 100,000 บาท ก็ไม่มีเหตุผลที่คุณจะเก็บซองนั้นเอาไว้




Create Date : 15 มิถุนายน 2552
Last Update : 15 มิถุนายน 2552 19:35:28 น.
Counter : 1262 Pageviews.

1 comments
  
รบกวนถาม

"การกระจายโอกาสของเงินต่ำสุดที่ใส่ซอง"

กำลังจะได้ที่เลย
โดย: judo13 วันที่: 16 กรกฎาคม 2552 เวลา:12:02:38 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด