ไล่จับมนุษย์ล่องหน
คุณกำลังไล่จับมนุษย์ล่องหน ก่อนที่เธอจะล่องหน คุณเห็นเธอครั้งล่าสุดอยู่ห่างออกไป 1 กิโลเมตรในทิศทางหนึ่ง คุณรู้ว่าเมื่อเธอล่องหนแล้ว เธอจะวิ่งหนีไปในทิศทางไหนก็ได้ด้วยความเร็วคงที่ (หมายถึงอัตราเร็วคงที่และเส้นทางที่เธอใช้เป็นเส้นตรง) ถ้าคุณวิ่งเร็วกว่าเธอ 3 เท่า คุณจะจับเธอได้มั้ยครับ ถ้าได้ ใช้เส้นทางไหน? ถ้าไม่ได้ ทำไม? (ให้ถือว่าเธอล่องหนได้แค่ครั้งนี้ครั้งเดียว)

โจทย์ข้อนี้เป็นปัญหาคลาสสิกข้อหนึ่งในแคลคูลัส ซึ่งแวบแรกดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ที่คุณจะไล่จับสิ่งที่คุณมองไม่เห็น เพราะมีความเป็นไปได้ หรือมีทิศทางให้เธอหนีนับอนันต์ ก่อนอื่นเรามาสร้างข้อตกลงเพื่อสะดวกในการคำนวณสัก 2 ข้อนะครับ 1. เธอจะหายตัวและเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงแบบนี้ไปตลอดกาลหรือจนกว่าจะจับได้ และ 2. คำว่าจับได้ หมายถึง การที่คุณและเธอครองตำแหน่งเดียวกัน ณ เวลาเดียวกัน

โจทย์ข้อนี้เราจับเธอได้ด้วยการไปจับเธอที่ทุกทิศทางที่เป็นไปได้ครับ กำหนดให้เราเห็นเธอครั้งสุดท้ายที่ตำแหน่ง (0,0) และเราอยู่ตำแหน่ง (d,0) ที่เวลา t = 0 เธอมีอัตราเร็ว v1 ส่วนเรามีอัตราเร็ว v2 และให้ v2/v1 = k เราจะคิดโจทย์ข้อนี้ในกรณีทั่วไป แล้วค่อยแทน d = 1, k = 3 เพื่อเป็นคำตอบเฉพาะสำหรับกรณีเฉพาะของโจทย์

ขั้นแรกเราจะวิ่งเข้าหาเธอโดยสมมติว่าเธอวิ่งเข้าหาเราเช่นกัน (เป็นทิศทางหนึ่งที่เป็นไปได้ใช่มั้ยครับ แม้มันจะน้อยนิดก็ตามที) เราจะได้สมการง่าย ๆ ที่เป็นข้อกำหนดว่าเรากับเธอเจอกันที่ t = T นั่นคือ v2T = dk/(1+k) หมายความว่าเธอวิ่งมาได้ระยะทาง d/(1+k) นับจากจุด (0,0) และตำแหน่งของเราก็อยู่ห่างจากจุก (0,0) เท่ากับ d/(1+k) เช่นกัน จากนั้นที่ t > T ก็ให้วิ่งเป็นวงก้นหอยที่มีขนาดใหญ่ขึ้น (increasing spiral) ซึ่งเส้นโค้ง spiral ดังกล่าวจะต้องสอดคล้องกับความเป็นไปได้ที่เวลา t > T ทั้งเราและเธออยู่ตำแหน่งเดียวกัน

ดังนั้น เราเขียนเวกเตอร์ตำแหน่งของเราที่ t ≥ T ซึ่งชี้ตำแหน่งอยู่บนเส้นโค้ง spiral ได้ด้วย p(t) = v1teiθ(t) เมื่อ θ(t) คือมุมที่เวกเตอร์ p(t) ทำกับแกน x ฉะนั้นเวกเตอร์ความเร็วของเราคือ

p'(t) = v1eiθ(t) + iv1teiθ(t)θ'(t)

จัดรูปนิดหน่อยโดยใช้ Euler's identity

p'(t) = v1[cos(θ) - t⋅sin(θ)⋅θ'(t) + i⋅{sin(θ) + t⋅cos(θ)⋅θ'(t)}]

ซึ่ง |p'(t)|2 ต้องเท่ากับ v22 เงื่อนไขอันนี้แหละครับที่จะทำให้เราไปอยู่จุดที่ p(t) ชี้เวลาเดียวกับเธอถ้าเธอวิ่งหนีมาในทิศทำมุม θ(t) กับแกน x

และ |p'(t)|2 = v12[1 + t2(θ'(t))2]

ได้ (θ'(t))2 = (k2-1)/t2

ถอดรูททั้งสองข้าง เอาแต่ค่าบวก (จะเอาค่าลบก็ได้ครับ มันบอกทิศทางการวิ่งวนของเราว่าจะวิ่งตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา) แล้วอินทิเกรตทั้ง 2 ข้าง หา θ(t)

θ(t) = ζ⋅ln(t) + C ที่ t ≥ T และเมื่อ ζ2 = k2-1

หาค่า C จาก ζ⋅ln(T) + C = 0 หรือ C = - ζ⋅ln(T) นั่นคือ θ(t) = ζ⋅ln(t) - ζ⋅ln(T) = ζ⋅ln(t/T)

หรือ t = Teθ(t)/ζ

ฉะนั้น |p(t)| = v1t = v1Teθ(t)/ζ

แทนค่า T = dk/[(1+k)v2]

|p(t)| = [d/(1+k)]eθ/ζ

จากสมการเห็นว่าเราสร้างเส้นโค้งได้เสมอยกเว้นกรณีที่ 0 < k ≤ 1 เพราะจะทำให้ ζ2 ≤ 0 ทีนี้คิดที่กรณีเฉพาะ d = 1, k = 3 ได้ |p(t)| = r = (1/4)eθ/sqrt(8) ลองเอาไปพล๊อตด้วย WolframAlpha ได้กราฟดังรูป อย่าลืมว่าเราสนใจเส้นโค้งนี้ที่ t ≥ T นะครับ (นั่นคือที่ r < 0.25 ก็ไม่ต้องไปสนใจมัน)



กลยุทธ์ที่คุณจะใช้คือเริ่มต้นด้วยวิ่งเข้าหาเธอจนกระทั่งถึงเส้นโค้งแล้ววิ่งต่อไปตามเส้นโค้ง ทุกจุดบนเส้นโค้งเหล่านี้คือจุดที่เป็นไปได้ที่คุณจะอยู่ตำแหน่งเดียวกับเธอ ณ เวลาเดียวกันถ้าเธอวิ่งในทิศนั้น ภายในการวิ่งตามเส้นครบรอบ 360 องศาจะรับประกันว่าคุณจับเธอได้ครับ

ลองเช็คคำตอบกับจุดง่าย ๆ สักจุดนะ สมมติเธอวิ่งในทิศ +y เส้นโค้งตัดแกน y จุดหนึ่งที่ θ = 0.5π หรือ r = 0.25e0.5π/sqrt(8) เธอจะถึงจุด (0,r) นี้ที่ t = 0.25e0.5π/sqrt(8)/v1 เรารู้ว่าที่ t = 0.25/v1 นั้น คุณวิ่งมาถึงเส้นโค้งพอดี ถ้าคุณใช้เวลา 0.25e0.5π/sqrt(8)/v1 - 0.25/v1 = 0.25(e0.5π/sqrt(8)-1)/v1 ในการวิ่งตามเส้นโค้งจากจุด (0.25,0) ถึง (0,r) ก็แปลว่าคุณจะทันกับเธอที่จุด (0,r) พอดี ซึ่งเราคำนวณความยาวเส้นโค้งในช่วงดังกล่าวได้โดยอินทิเกรต sqrt(r2 + (r')2) (วิธีหาความยาวส่วนของเส้นโค้งในรูปเชิงขั้ว) จำกัดเขตจาก θ ตั้งแต่ 0 ถึง 0.5π ถ้าผมอินทิเกรตไม่ผิดนะ มันจะได้ (3/4)(e0.5π/sqrt(8)-1) เมื่อเอาระยะทางหารด้วย v2 เราจะได้ 0.25(e0.5π/sqrt(8)-1)/v1 พอดี นั่นคือทันกันเป๊ะครับ



Create Date : 13 มิถุนายน 2554
Last Update : 14 มิถุนายน 2554 0:07:39 น.
Counter : 1420 Pageviews.

1 comments
สงครามหม้อต้มซุป ravio
(25 มี.ค. 2563 19:18:23 น.)
(◕‿◕❀) Blogger Review :Tui Laksi ❤ T H ☆ N K - Y ♡U ❤ BlogGang.com และเพื่อนสมาชิกทุกท่าน Tui Laksi
(7 มี.ค. 2563 21:52:39 น.)
หนังสือพิมพ์ฝรั่งเศสที่ออกทุกวันที่ 29 กุมภาพันธ์ของทุกปีเท่านั้น ravio
(5 มี.ค. 2563 11:36:48 น.)
☘️ โทงเทงฝรั่ง ☘️ โอน่าจอมซ่าส์
(27 ก.พ. 2563 10:00:50 น.)
  
คิดโจทย์ และเฉลยเองหรือครับ
โดย: Hueristic (Hueristic ) วันที่: 2 ตุลาคม 2554 เวลา:4:41:28 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด