Kakeya's problem


ถ้าเรามีเข็มยาว 1 หน่วย แล้วต้องการหมุนเข็มแบบต่อเนื่อง 180 องศา เราต้องการพื้นที่น้อยที่สุดเท่าไร ในกรณีที่กำหนดว่าพื้นที่ต้องเป็น convex set คำตอบก็เป็น สามเหลี่ยมด้านเท่าที่สูง 1 หน่วย พื้นที่เท่ากับ 1/sqrt(3) หรือประมาณ 0.577 แต่ถ้าไม่มีข้อจำกัดว่าพื้นที่ต้องเป็น convex set (นั่นคือ ไม่จำเป็นว่าเส้นตรงที่เชื่อมระหว่าง 2 จุดใด ๆ บนพื้นที่นั้นต้องอยู่ภายในพื้นที่นั้น) ก็เชื่อกันว่าคำตอบคือ deltoid ตาม Fig.6 (deltoid สร้างจากการลากเส้นทางเดินของจุดใดจุดหนึ่งบนวงกลมเล็กที่มีรัศมี r ซึ่งสัมผัสและอยู่ภายในวงกลมใหญ่รัศมี 3r ที่วงกลมเล็กนั้นกลิ้งภายในวงกลมใหญ่โดยที่สัมผัสอยู่กับวงกลมใหญ่ตลอดเวลา พื้นที่ deltoid จะเท่ากับ 2*pi*r^2 และถ้าเราอยากให้ deltoid สูง 1 นั่นคือ 2*3r - 2*r = 1 หรือ r = 1/4 ฉะนั้น พื้นที่เท่ากับ 2*pi*(1/16) = pi/8)

แต่ความเชื่อนี้ผิดนะครับ ในปี 1930 Besicovitch พิสูจน์ว่า สำหรับค่า ε > 0 ใด ๆ จะมีบริเวณพื้นที่ที่น้อยกว่า ε ที่เราสามารถหมุนเข็มนั้นอย่างต่อเนื่องได้ 180 องศาเสมอ

แปลว่า ไม่มีพื้นที่ที่น้อยที่สุด!

(รูปจากหนังสือ A Mathematician's Miscellany ของ J.E. Littlewood)



Create Date : 09 กรกฎาคม 2558
Last Update : 9 กรกฎาคม 2558 1:12:52 น.
Counter : 859 Pageviews.

0 comments
สงครามหม้อต้มซุป ravio
(25 มี.ค. 2563 19:18:23 น.)
ตอนที่1วิกฤตไวรัสโควิช-19 จะนำมาซึ่งโอกาสดีเสมอ ธนูคือลุงแอ็ด
(21 มี.ค. 2563 18:02:45 น.)
从现在开始 ตั้งแต่นี้เป็นต้นไป toor36
(18 มี.ค. 2563 00:09:06 น.)
เพลง "UEFA Champions League anthem" toor36
(13 มี.ค. 2563 00:04:57 น.)
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด