a prime minister of a hill
เขียนโดย ศล



เรื่องมีอยู่ว่า จิ้งจอก อีกา กับเต่าเป็นเพื่อนกัน สัตว์น้อยทั้ง 3 ตัว ชอบเล่นสนุกสนาน วันหนึ่งๆ ไม่ทำอะไรนอกจากเล่นเกมนายกแห่งขุนเขา ถ้าเรารู้ตัวนายกตัวปัจจุบันวันนี้ (n) ว่าเป็นใคร โอกาสสำหรับการเป็นนายกตัวถัดไปในวันรุ่งขึ้น (n+1) แสดงดังตาราง



สมมติว่าจิ้งจอกเป็นนายกวันที่ 1 มกราคม คุณคิดว่าเต่าจะได้เป็นนายกเมื่อไร?

ผมดัดแปลงโจทย์ข้อนี้จากปัญหาแข่งขันคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษารายการหนึ่งของประเทศสหรัฐอเมริกา เคยนำไปตั้งเป็นกระทู้ถามในเว็บบอร์ดหว้ากอของพันทิพดอทคอม ต้องขออภัยคุณผู้อ่านด้วยครับ ผมย้อนกลับไปหาต้นฉบับคำถามเดิมเพื่ออ้างอิงไม่ได้เจอ จึงไม่สามารถระบุเจาะจงได้ว่าเป็นรายการแข่งขันรายการใด ปีอะไร แต่คิดว่าคงไม่ใช่เรื่องสำคัญมากนัก เชื่อว่าโจทย์ข้อนี้คงทำหน้าที่ของมันสมบูรณ์ในฐานะท้าทายสมองคุณผู้อ่านให้ได้ขบคิดเพื่อความบันเทิง

จากตารางเมื่อกำหนดตัวแปร An Bn และ Cn คือโอกาสที่จิ้งจอก อีกา และเต่าเป็นนายกวันที่ n ตามลำดับ เราเขียนความสัมพันธ์ได้ดังสมการ



มีจุดที่น่าสังเกตจากความสัมพันธ์



โอกาสที่เต่าเป็นนายกวันนี้เท่ากับ 1 ใน 3 ของโอกาสที่จิ้งจอกเป็นนายกเมื่อวันวานรวมกับ 1 ใน 4 ของโอกาสที่อีกาได้เป็นนายกวันเมื่อวาน และรวมกับโอกาสที่เต่าเป็นนายกเมื่อวาน หมายความว่า ถ้าเมื่อวานเต่าเป็นนายก วันนี้เต่าจะยังคงเป็นนายก แต่ถ้าเมื่อวานเต่าไม่ได้เป็นนายก โอกาสเป็นนายกครั้งแรกของเต่าวันนี้เท่ากับ



หลังจากนั้นเต่าจะเป็นนายกตลอดกาล

ดังนั้นเพื่อความง่ายในการคิดเราอาจลดรูปความสัมพันธ์ของ Cn โดยตัดพจน์ Cn-1 ทิ้ง แล้วหมายเอาว่า Cn คือโอกาสที่เต่าได้เป็นนายกวันที่ n และเป็นวันแรกที่เต่าได้เป็นนายก โจทย์ถามว่าเต่าจะได้เป็นนายกวันใด ในทฤษฎีความน่าจะเป็น นั่นคือโจทย์ถามค่าคาดหมาย (Expected value หรือ mathematical expectation) ซึ่งหาได้จากผลรวมของผลคูณของโอกาสที่เต่าจะได้เป็นนายก ณ วันใดๆ กับค่าลำดับวันที่นั้นๆ หรือ ค่าคาดหมายเท่ากับ



ถึงตรงนี้ มีคุณผู้อ่านท่านใดเกิดความรู้สึกเหมือนกับผมบ้าง ถ้ายังคิดต่อตามแนวทางเดิมน่าจะหนักมือสำหรับเด็กนักเรียนมัธยมพอสมควร และผมเชื่อว่าคณะกรรมการผู้ออกโจทย์ทดสอบก็คงไม่คาดหวังให้นักเรียนใช้วิธีตรงไปตรงมาแบบนี้ น่าจะวัดกึ๋นว่าใครใช้วิธีแปลกใหม่ หรือตีความโจทย์ได้ดีกว่ากันเสียมากกว่า

ผมขอลองเสนอวิธีหาคำตอบ 2 วิธี โดยวิธีแรกคิดแบบตรงไปตรงมา ส่วนวิธีที่ 2 เปลี่ยนมุมมองที่มีต่อโจทย์ใหม่ สำหรับวิธีที่ 1 ผมเลียนแบบการจัดรูปสมการมาจากเพื่อนคนหนึ่งคือ คุณ Duke! ซึ่งเคยเข้าไปตอบไว้ในกระทู้ คุณ Duke! จัดรูปสมการได้น่าทึ่งและสวยงามมากครับ สำหรับคุณผู้อ่านที่ยังไม่เคยศึกษาวิธีแก้สมการ recurrence หรือไม่สนใจการหาคำตอบด้วยวิธีแก้สมการ recurrence สามารถข้ามไปอ่านวิธีที่ 2 ได้ทันที

ค่าคาดหมาย (Expected Value, Mathematical Expectation)

เราอาจทำความเข้าใจค่าคาดหมายอย่างง่ายๆ ได้ว่าคือค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่อาจจะเกิดขึ้นในอนาคต หาได้จากผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์นั้นกับค่าของเหตุการณ์นั้น เช่นถ้าเราโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง จำนวนครั้งที่เหรียญออกหัวที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2 และ 3 ความน่าจะเป็นที่ไม่มีเหรียญออกหัวเลยเท่ากับ 1/8 ความน่าจะเป็นที่มีเหรียญออกหัว 1 ครั้ง 2 ครั้ง และ 3 ครั้งเท่ากับ 3/8, 3/8 และ 1/8 ตามลำดับ ดังนั้นในการโยนเหรียญ 3 ครั้งค่าคาดหมายของจำนวนครั้งที่ออกหัวเท่ากับ


หรือ 1.5 ครั้ง


วิธีที่ 1 จัดรูปความสัมพันธ์ของ Cn ใหม่



การแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ การจัดค่า Cn = An-1-An+Bn-1-Bn ถือเป็นกุญแจสำคัญที่ช่วยให้หาค่าคาดหมาย (E) ได้ง่าย



เราต้องรู้ค่า An กับ Bn เสียก่อน โดยการแก้สมการความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recurrence relation)

เริ่มต้นด้วยจัดรูป



ได้



สังเกตว่าหน้าตาของความสัมพันธ์ 2 ตัวนี้เหมือนกัน ดังนั้นเราหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเพียงตัวเดียว ก็สามารถใช้หาผลเฉลยเจาะจงของความสัมพันธ์ได้

Recurrence relations

เราอาจพูดถึงความสัมพันธ์แบบ recurrence อย่างง่ายๆ ว่าคือความสัมพันธ์ของลำดับ ที่มีพจน์ที่ n ใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของพจน์ที่ผ่านมาได้ ตัวอย่างที่คุ้นเคยกันดีคือลำดับ Fibonacci 0,1,1,2,3,5,8,13,… พจน์ที่ n เกิดจากผลรวมของ 2 พจน์ก่อนหน้านั้น (n-1 กับ n-2) หรือเขียนว่า Fn = Fn-1+Fn-2 วิธีแก้สมการ recurrence สามารถทำได้โดยการหาค่ารากของสมการ characteristic แล้วนำไปแทนในรูปแบบคำตอบทั่วไป จากนั้นจึงหาคำตอบเจาะจง

ขออนุญาตใช้พื้นที่เล็กๆ ตรงนี้ทบทวนการหาผลเฉลยของความสัมพันธ์ recurrence สำหรับผู้อ่านบางท่านที่อาจเหินห่างวิชาคณิตศาสตร์ไปนาน

ถ้าเราต้องการหาผลเฉลยของ Fn = Fn-1+Fn-2 หรือ Fn - Fn-1 - Fn-2 = 0

[1] เขียนสมการ characteristic


[2] หาค่ารากของสมการ characteristic


น่าทึ่งไหมครับ มีค่า r ค่าหนึ่งเป็น Golden ratio

[3] รูปแบบผลเฉลยทั่วไป


[4] เงื่อนไขตั้งต้นที่ n = 0 และ 1, Fn มีค่าเท่ากับ 0 และ 1 ตามลำดับ


ดังนั้น



จากสมการ มี เป็นสมการ characteristic หาค่ารากของสมการได้เท่ากับ



ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ



แทนเงื่อนไขเริ่มต้น เรารู้ว่าวันที่ 1 จิ้งจอกเป็นนายก A1 = 1 ส่วนวันที่ 2 โอกาสที่จิ้งจอกเป็นนายกเท่ากับ 1/3 หรือ A2 = 1/3 เพื่อให้ง่ายแก่การแก้สมการ เราอาจจับรูปสมการใหม่ได้ (ซึ่งค่า alpha จะค่าคงที่ที่แตกต่างจากเดิม)



หลังจากแก้ระบบสมการเชิงเส้น



เห็นว่า An คือผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมน้อยกว่า 1 เราสามารถหาผลรวมของอนุกรมอนันต์ได้

ผลรวมถึงพจน์อนันต์ของอนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตที่มี r < 1 เราสามารถหาผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตถึงพจน์ที่อนันต์ได้จากสูตร





ผลเฉลยทั่วไปของ An สามารถนำมาใช้กับ Bn ได้ด้วย



แทนเงื่อนไขเริ่มต้น เรารู้ว่าวันที่ 1 อีกาไม่ได้เป็นนายก B1 = 0 และวันที่ 2 โอกาสที่อีกาเป็นนายกเท่ากับ 1/3 หรือ B2 = 1/3



แก้ระบบสมการ





ดังนั้นค่าคาดหมาย (E) วันที่เต่าได้เป็นนายกวันแรกเท่ากับ



เต่าได้เป็นนายกวันที่ 4.25



วิธีที่ 2 เราอาจสร้างแผนภาพจากตารางที่โจทย์กำหนด


ทิศทางเส้นลูกศรทึบและตัวเลขกำกับหมายถึงโอกาสของนายกในวันต่อไป ส่วนเส้นประหมายถึงสถานะเดียวกัน อย่างเช่นสมมติว่าวันแรกอีกาเป็นนายก ถ้าวันที่ 2 จิ้งจอกเป็นนายก มีเส้นประออกจากจิ้งจอกไปยังจิ้งจอก หมายถึงในวันที่ 3 ทั้งจิ้งจอก อีกา และเต่ามีโอกาสเป็นนายก 1/3 เท่ากัน แต่ถ้าวันที่ 2 อีกาเป็นนายก มีเส้นประออกจากอีกาไปยังอีกา หมายความว่าวันที่ 3 จิ้งจอก อีกา และเต่ามีโอกาสเป็นนายกเท่ากับ 1/2, 1/4 และ 1/4 ตามลำดับ สรุปว่า ถ้ามีเส้นทึบเชื่อมหมายถึงเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นข้ามวัน และตัวเลขบนเส้นทึบแสดงค่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในวันถัดไป ถ้ามีเส้นประเชื่อมหมายถึงสถานะเดียวกันหรือวันเดียวกัน

เราลองลืมโจทย์ไปชั่วคราว แล้วดูเฉพาะตารางและแผนภาพ จะพบข้อสรุปที่ชัดเจนน่าสนใจ 3 ข้อ คือ (1) ไม่ว่าเกมจะเริ่มที่ตัวใด สุดท้ายเกมจะต้องจบที่เต่าเป็นนายกตลอดกาล (2) เกมสามารถเริ่มได้ 3 แบบ คือ เริ่มที่จิ้งจอก เริ่มที่อีกา หรือเริ่มที่เต่า (3) จำนวนวันที่เต่าต้องรอจนกว่าจะได้เป็นนายกเท่ากับจำนวนลูกศรเส้นทึบที่เป็นเส้นทางผ่าน เช่น เส้นทางการเป็นนายกคือ จิ้งจอก-อีกา-อีกา-จิ้งจอก-เต่า ผ่านลูกศรทึบ 4 ครั้ง เต่าจึงได้เป็นนายกในวันที่ 1+4 = 5 (บวก 1 คือการนับวันแรกที่จิ้งจอกเป็นนายก เลข 5 คือวันที่ที่เต่าได้เป็นนายก เมื่อจิ้งจอกเป็นนายกวันที่ 1)

ถ้าเรากำหนด x คือจำนวนลูกศรเส้นทึบเมื่อเริ่มต้นเกมจากจิ้งจอกจนกระทั่งถึงวันที่เต่าเป็นนายก และ y คือจำนวนลูกศรเส้นทึบเมื่อเริ่มเกมจากอีกาจนกระทั่งถึงวันที่เต่าเป็นนายก

เริ่มต้นเกมที่ จิ้งจอก -  -  -  - ... -  -  - เต่า (มีจำนวนขีด “–” เท่ากับ x) เริ่มต้นเกมที่ อีกา -  -  -  - ... -  -  - เต่า (มีจำนวนขีด “–” เท่ากับ y)

เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของค่า x กับค่า y



อธิบายสมการนี้ว่า จำนวนวันที่เต่าต้องรอจนกว่าจะได้เป็นนายกเมื่อวันแรกจิ้งจอกเป็นนายก (x) เท่ากับ วันถัดไป (1) คือวันที่ 2 ซึ่งวันนี้อาจจะเป็นจิ้งจอก อีกา หรือเต่าที่ได้เป็นนายกก็ได้ รวมกับ (+) ผลคูณของโอกาสที่จิ้งจอกจะได้เป็นนายกในวันที่สอง (1/3) กับวันที่เต่าต้องรอจนกว่าจะได้เป็นนายกเมื่อจิ้งจอกได้เริ่มต้นเป็นนายก (x) รวมกับ (+) ผลคูณของโอกาสที่อีกาได้เป็นนายกในวันที่สอง (1/3) กับวันที่เต่าต้องรอจนกว่าจะได้เป็นนายกเมื่ออีกาเป็นตัวเริ่มต้นเป็นนายก (y)

ส่วนอีกสมการก็สามารถอธิบายได้ในทำนองเดียวกัน



แก้ระบบสมการได้ x = 13/4 ดังนั้นเต่าได้เป็นนายกในวันที่ 1+(13/4) = 4.25 เปรียบเทียบ 2 วิธีแล้วคุณผู้อ่านมีความคิดเห็นอย่างไรบ้างครับ




บทความนี้ตีพิมพ์ใน MY MATHS, OCTOBER 2007, VOL. 3 NO. 9 ISSUE 33




Create Date : 08 สิงหาคม 2550
Last Update : 8 ตุลาคม 2550 19:19:04 น.
Counter : 2853 Pageviews.

2 comments
  
มึนจนสลบไปแล้วคร้าบบบบบ
โดย: coming soon (The Yearling ) วันที่: 22 สิงหาคม 2550 เวลา:14:49:27 น.
  
ขอบคุณนะคุณศล หลายสูตรในการหา มองดูเผินๆแล้วสุดจะยุ่งยากมากเลยนะเราว่า ถ้าคนห่างคณิตศาสตร์ โห มะรู้เรื่องแน่ๆ จิงป่ะ แต่เรามีวิธีหาคำตอบง่ายกว่าศลด้วยแหร่ะ อิอิ
โดย: aom (angel_science ) วันที่: 7 กันยายน 2550 เวลา:23:34:10 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด