มิติที่ไม่เต็มหน่วย
พูดถึงมิติเรานึกถึงอะไรครับ อวกาศ (Space) เวลา (Time) บางคนว่าเอกภพมี 4 มิติ เป็นอวกาศ 3 มิติ เวลา 1 มิติ บางทฤษฎีว่าอวกาศมี 10-11 มิติ รวมกับเวลาอีก 1 มิติ เป็นเอกภพ 11-12 มิติ คำว่ามิติในเรื่องนี้คืออวกาศ อย่างที่เรารู้กันว่า จุด (Point) มี 0 มิติ เส้นตรงเส้นโค้ง (Line, Curve) จะหยักจะหักมุมอย่างไรก็แล้วแต่ มี 1 มิติ พื้นผิว (Plane) จะเป็นระนาบ จะโค้ง จะม้วน หรือจะอยู่ในรูปทรงกลม (กลวง) มี 2 มิติ แต่ถ้ามีเนื้อตันเช่นลูกเต๋า ลูกเปตอง มี 3 มิติ ดูรูปตัวอย่าง 1 มิติ กับ 2 มิติ



จากรูปแถวบนเป็นรูปทรง 1 มิติ ส่วนแถวล่างเป็นรูปทรง 2 มิติ ข้อควรระวังคือรูปทรงมีกี่มิติกับรูปทรงนั้นอาศัยอยู่ในอวกาศกี่มิติมีความหมายไม่เหมือนกัน รูปทรงมีกี่มิติ ให้เราดูว่าเราจะบ่งบอกสมาชิกของรูปทรงนั้นด้วยตัวแปรที่เป็นอิสระต่อกันกี่ตัว เช่น เส้นทรงใด ๆ ถ้าเราอยากบ่งบอกจุดใดจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นนั้น เราก็ต้องซูมเข้าไปดูที่จุดนั้น พอถึงจุดนั้นจริง ๆ (สมมติว่าเราสามารถซูมจนเจอจุดได้จริง ๆ นะครับ) เราจะพบว่ามันมีจุดเพื่อนบ้านข้างเคียงแค่ 2 จุด อาจจะเป็นซ้าย-ขวา หรือหน้า-หลังไม่สำคัญ ที่สำคัญคือมันมีเพื่อนบ้านแค่ 2 จุด ฉะนั้นมันจึงมี 1 มิติ คุณผู้อ่านลองนึกภาพซูมพื้นผิวหรือซูมรูปทรงตันที่มีปริมาตรสิ กรณีพื้นผิว จุดใด ๆ จะมีเพื่อนบ้านอยู่รอบตัวมันใน 2 มิติ ส่วนทรงตัน จุดใด ๆ จะมีเพื่อนบ้านอยู่รอบตัวมัน 3 มิติ ดังนั้นปริมาณตัวแปรที่พอเพียงสำหรับบอกตำแหน่งจุดใด ๆ ก็ขึ้นอยู่กับรูปลักษณ์ของจุดนั้น ๆ กับเพื่อนบ้านว่าเป็นแบบใด มิติของรูปทรงดังที่กล่าวมานี้เรียกว่า Topological dimension

สำหรับรูปทรง n มิติ (Topological dimension = n) บางครั้งก็ไม่สามารถอาศัยอยู่ในอวกาศ n มิติได้ เช่น พื้นผิวทรงกลม (กลวง) มันไม่สามารถอาศัยอยู่ในอวกาศ 2 มิติได้ มันต้องการอวกาศ 3 มิติ ในขณะที่ตัวของมันเองเป็นรูปทรง 2 มิติ เราเรียกมิติของอวกาศที่มันอาศัยอยู่ว่า Embedding dimension แผ่นระนาบมี Embedding dimension = 2, ทรงกลมกลวงมี Embedding dimension = 3, รูปทรง Klein Bottle มี Embedding dimension = 4 (เราจึงไม่สามารถสร้างมันบนโลกนี้ ในเอกภพนี้ได้) แต่ Klein Bottle ตัวของมันเองมีมิติเท่ากับ 2

จะเกิดอะไรขึ้นหากเรานำเซ็ตของเส้นตรงสั้น ๆ จำนวนหนึ่งมารวมกับเซ็ตของระนาบหนึ่งแผ่น เส้นมี 1 มิติ ระนาบมี 2 มิติ เมื่อรวมกันแล้วเป็นรูปเส้นตรงสั้น ๆ ปักอยู่บนระนาบ รูปทรงนี้ก็ยังคงมี 2 มิติ (ใช้วิธีซูมเข้าไปดูจุดที่จะบอกตำแหน่งกับเพื่อนบ้านของมันแบบเดิมครับ ไม่มีจุดไหนที่ต้องใช้ตัวแปรอิสระถึง 3 ตัวเพื่ออธิบายตำแหน่งของมัน) นั่นคือผลรวมของรูปทรงเซ็ตจำกัด 2 รูป ให้กำเนิดเป็นรูปทรงใหม่ที่มีมิติเท่ากับมิติสูงสุดของรูปทรงที่นำมารวมกัน นี่หมายความว่าผลรวมของเซ็ตไม่ขยายมิติอย่างนั้นรึเปล่า ขอตอบว่าไม่เสมอไปครับ อย่างเช่น เซ็ตของจุด แต่ละจุดมีมิติเท่ากับ 0 ถ้าเรานำจุดมาเรียงต่อกันอนันต์จุดเป็นเส้นตรงที่มีมิติเท่ากับ 1 ตรงนี้น่าจะพอหยิบมาเป็นข้อสังเกตให้กับเกล็ดหิมะค็อคได้บ้าง Topological dimension ของเกล็ดหิมะค็อคเท่ากับ 1 เพราะมันเป็นเส้น แต่ถ้าเราเลือก 2 จุดใด ๆ บนเส้นเกล็ดหิมะค็อค เราจะพบว่าความยาวของเส้นระหว่างจุดคู่นั้นเป็นอนันต์ คุณสมบัตินี้ดูไม่เหมือนเส้นปกติธรรมดาสักเท่าไร และแน่นอนว่ามันไม่ใช่ระนาบ บางทีสัญชาตญาณอาจกระซิบบอกคุณผู้อ่านก็ได้ว่าเส้นเกล็ดหิมะค็อคน่าจะมีมิติมากกว่า 1 แต่ไม่ถึง 2 เป็นความคิดที่นำไปสู่มิติที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม เมื่อมันอาจเป็นมิติที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม วิธีนิยามมิติแบบ Topological ก็ตกไป เราจึงต้องมองหานิยามวิธีวัดมิติแบบใหม่ และที่เป็นที่นิยมของ Fractal มีหลายมิติ อาทิ Hausdorff dimension, Box-counting dimension, Information dimension, Correlation dimension ผมคงเล่าไอเดียแบบกว้าง ๆ พอให้เห็นภาพ ไม่เจาะลึกอะไรมากนัก ขอใช้การนิยามมิติ Box-counting เป็นตัวอย่างก็แล้วกันครับ

สมมติเรามีเส้นยาว L กับส่วนของเส้นเล็ก ๆ ยาว e คำถามคือเราต้องใช้ชิ้น e น้อยที่สุดกี่ชิ้นเพื่อปิดทับเส้น L ให้มิด คำตอบ L/e ถ้าเรามีพื้นผิวพื้นที่ A = LxL กับพื้นผิวเล็ก ๆ พื้นที่ exe เราต้องใช้พื้นที่เล็ก ๆ จำนวน A/e2 ชิ้นเพื่อปิด LxL ให้มิด ทำนองเดียวกันถ้าเรามีลูกบาศก์ปริมาตร V = LxLxL กับลูกบาศก์ตัวน้อย exexe เราต้องใช้ตัวน้อย V/e3 กล่องเพื่อปิด V ให้มิด สังเกตว่าเลขชี้กำลังของ e มันเท่ากับ Topological dimension เป๊ะ และยิ่ง e มีค่าน้อย จำนวนชิ้นตัวน้อยที่เอามาปิดยิ่งมีค่ามาก แทนที่เราจะให้ชิ้นตัวน้อยเป็นเส้นเล็ก ๆ บ้าง เป็นพื้นผิวเล็ก ๆ บ้าง หรือเป็นปริมาตรเล็ก ๆ บ้าง เรากำหนดให้มันเป็นกล่องลูกบาศก์เล็ก ๆ ที่มีความกว้าง ยาว สูง เท่ากับ e ก็ได้ครับ เพราะการที่เราสร้างกล่องเล็ก ๆ ขนาด e มาปิดรูปทรง (ขอเรียกชื่อรูปทรงว่าเซ็ต S) แล้วนับจำนวนกล่องเพื่อใช้หามิตินี่แหละ มิติจากการนิยามเช่นนี้จึงได้ชื่อว่า Box-counting dimension (หรือ Minkowski-Bouligand dimension)

ถ้าให้ Ne(S) แทนจำนวนกล่องเล็ก ๆ ขนาด e เมื่อ e>0

สังเกตค่า e เข้าสู่ 0 ทำให้ Ne(S) มีค่ามาก และถ้าหากมีจำนวน d ใด ๆ ที่ทำให้ Ne(S) แปรตาม 1/ed เราจะเรียก d ว่าเป็นมิติ Box-counting ของรูปทรง S





ปัญหาประการหนึ่งที่ชัดเจนที่เห็นได้จากสมการนี้เกิดขึ้นเมื่อ limit ไม่ลู่เข้า แล้วทำให้เราหาค่า d ไม่ได้ แต่คงไม่ซีเรียส ผมคิดว่าในเบื้องต้นเราทิ้งไว้แค่สมการนี้ก็น่าจะโอเคแล้ว อย่างน้อยคงเห็นว่า d ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม เรามาดูกันครับว่าเกล็ดหิมะค็อคมีมิติเป็นเท่าไร ?









Create Date : 08 กรกฎาคม 2551
Last Update : 8 กรกฎาคม 2551 11:27:36 น.
Counter : 2948 Pageviews.

2 comments
  
น่าสนใจมากมาย นำมาใช้ในชีวิตประจำวันบ้างก็ดี น่ะ

ขอบคุณที่นำความรู้มาฝาก จ๊ะ
โดย: บ้าได้ถ้วย วันที่: 8 กรกฎาคม 2551 เวลา:17:46:52 น.
  
ยิ่งอ่าน ยิ่งงง
โดย: AIam วันที่: 10 กรกฎาคม 2551 เวลา:19:34:54 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด