coin tossing & ladder climbing
ว่าด้วยกลยุทธ์พิชิตเกมโยนเหรียญขึ้นบันได
เขียนโดย ศล กับ กี้

กี้ ม.6 โรงเรียนสวนกุหลาบวิทยาลัย ได้รับคัดเลือกเป็นตัวแทนประเทศไทยเพื่อไปแข่งขันคอมพิวเตอร์โอลิมปิก พ.ศ. 2548 ณ ประเทศสาธารณรัฐโปแลนด์ (เหรียญเงิน) และ พ.ศ. 2549 ณ ประเทศสหรัฐเม็กซิโก (เหรียญทองแดง)




สมมติว่าคุณอยู่ ณ ขั้นใดขั้นหนึ่งบนบันได 5 ขั้น คุณมีเหรียญปกติยุติธรรม หนึ่งเหรียญ และถุงซึ่งบรรจุเหรียญอีกหนึ่งเหรียญ 1 ใบ เหรียญที่อยู่ในถุงนั้นอาจจะเป็นเหรียญที่มีหัวทั้งสองด้านหรือก้อยทั้งสองด้านก็ได้ ความน่าจะเป็นที่เหรียญในถุงเป็นเหรียญหัว-หัว หรือเหรียญก้อย-ก้อยเท่ากัน เท่ากับ 1/2 ก่อนเคลื่อนที่คุณต้องโยนเหรียญ 1 ครั้ง ถ้าผลจากการโยนเหรียญออกหัว คุณเคลื่อนที่ขึ้นบันได 1 ขั้น แต่ถ้าผลจากการโยนเหรียญออกก้อย คุณต้องลงมา 1 ขั้น และถ้าคุณลงจากบันไดขั้นที่ 1 เมื่อไร คุณแพ้ ตรงกันข้าม ถ้าคุณขึ้นจากบันไดขั้นที่ 5 ได้เมื่อไร คุณชนะ เกมนี้จะจบก็ต่อเมื่อคุณแพ้หรือคุณชนะเท่านั้น คุณมีสิทธิใช้เหรียญที่อยู่ในถุงได้ตลอดเวลา โดยมีเงื่อนไขว่าหลังจากเปิดถุงแล้วคุณต้องโยนเหรียญที่อยู่ในถุงนั้นทันที 1 ครั้ง หลังจากนั้นคุณจะใช้เหรียญใดก็สุดแท้แต่ใจ คำถามคือคุณมีกลยุทธ์อย่างไรเพื่อให้เกิดโอกาสชนะมากที่สุด

โจทย์ถามกลยุทธ์ ดูเหมือนจะเป็นคำถามเปิดให้แสดงความคิดเห็น แต่เนื่องจากข้อกำหนดของเกมที่ไม่เปิดโอกาสให้ผู้เล่นเข้าไปมีส่วนต่อกลไกของเกม มีเพียงตัวแปรเดียวที่ผู้เล่นควบคุมได้ คือการเปิดถุง ดังนั้นคำถามที่สำคัญต่อผู้เล่นจึงมีเพียง “จะเปิด หรือไม่เปิดถุง?” และ “ถ้าเปิดถุง จะเปิดเมื่อไร?” เรานำคำตอบของสองคำถามนี้มาสร้างเหตุการณ์ได้จำนวนจำกัดแบบเช่น

ก. ไม่เปิดถุง
ข. เปิดถุง ณ บันไดขั้นไหน เมื่อไรก็ได้
ฃ. เปิดถุง ณ บันไดขั้นไหนก็ได้ แต่ต้องเปิดทันทีที่เริ่มเล่นเกม
ค. เปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ x เท่านั้น
ฅ. เปิดถุง ณ บันไดขั้นไหนก็ได้ ยกเว้นขั้นที่ x
ฆ. เปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ x หรือขั้นที่ y เท่านั้น
ง. ...

ปัญหาข้อนี้เป็นโจทย์จากแข่งขันคณิตศาสตร์ในรายการ The Harvard-MIT Mathematics Tournament ปีพุทธศักราช 2542 เป็นปัญหาที่ไม่ยากมากมายนัก แต่ก็มีจุดที่น่าสนใจให้หยิบยกมาพูดคุยกันพอสมควร หลังจากหาผลเฉลยกันได้แล้ว ผมชอบประโยคหนึ่ง กี้พูดว่า “แปลกแต่จริง คนเราเก็บดวงไว้ใช้ตอนฉุกเฉินได้ด้วย...” ดังนั้นผมคาดหวังว่าหลังจากอ่านบทความนี้จบแล้ว คุณคงจะสรุปได้อย่างเดียวกัน

HMMT (The Harvard-MIT Mathematics Tournament) เป็นรายการแข่งขันแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษา รายละเอียดดูเพิ่มเติมจากเว็บไซต์ //web.mit.edu/hmmt/www/


เริ่มต้น วิธีคิดอย่างตรงไปตรงมาที่สุด เราเพียงเปรียบเทียบค่า α คือโอกาสชนะเมื่ออยู่บนบันไดขั้นที่ n โดยไม่เปิดถุง กับค่า β คือโอกาสชนะเมื่ออยู่บันไดขั้นเดียวกันแต่เปิดถุง ถ้า α > β ทุกๆค่า n เราก็ตอบข้อ ก. ไม่เปิดถุง หรือถ้า α > β ที่บางค่าของ n เราก็อาจตอบข้อ ค.-ฆ. เปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ x ≠ n แต่ก็ไม่จำเป็นเสมอไป หากเราพบว่าในกลุ่ม n ที่ β > α มีเฉพาะค่า n = c เท่านั้นที่ทำให้มีโอกาสชนะมากที่สุด เราก็ตอบข้อ ค. โดย x = c เป็นต้น

แต่บางทีเราก็ลืมหลักการพื้นฐานที่เรียบง่ายเช่นนี้ไปเพราะความคิดถูกลวงโดยภาพรวมของระบบ คุณคงยังไม่ตกเป็นเหยื่อของระบบนี้ และด่วนตั้งคำถามว่า “ถ้าฉันมีถุงใส่เหรียญพิเศษนั้นไว้กับตัวแล้ว ฉันจะเปิดมันตอนนี้ หรือตอนไหน เหรียญที่อยู่ในถุงคงไม่เปลี่ยนแปลงมิใช่ดอกหรือ? เหตุใดฉันต้องคิดให้ซับซ้อนด้วยล่ะ เปิดตอนไหนก็ได้ผลเหมือนกัน” ทำให้ผมนึกถึงเจ้าชายจันทโครพด่วนเปิดผอบก่อนเสด็จกลับถึงพระนคร หากคุณโอนเอียงใจไปทางคำถามนั่น คงต้องเผื่อใจเชื่อมั่นท่านท้าวอมรินทร์ไว้ด้วยเช่นกัน

ตามนิทานพื้นบ้านของไทย เรื่องจันทโครพ การเปิดผอบก่อนเวลาที่พระดาบสกำหนด เป็นเหตุให้จันทโครพต้องตาย ภายหลังพระอินทร์ชุบชีวิตจันทโครพขึ้นมาใหม่อีกครั้ง และสาปนางโมราผู้เห็นแก่ได้เพียงประโยชน์เฉพาะหน้าให้กลายเป็นชะนี


เพื่อความสะดวก เราจะลองสมมติโจทย์ย่อยใหม่สัก 2 ข้อ เริ่มกันที่ ‘กี้’ กับ ‘ศล’ แข่งเกมนี้โดยมีเพียงเหรียญยุติธรรมคนละ 1 เหรียญ ใครก้าวขึ้นจากขั้นที่ 5 ได้ก่อน คนนั้นชนะ หรือใครตกลงจากขั้นที่ 1 ก่อน คนนั้นแพ้ ทั้งกี้และศลโยนเหรียญพร้อมกัน ถ้าพระเจ้าจับกี้วางไว้ ณ บันไดขั้นที่ 5 และวางศลที่ขั้น 1 แล้วเปิดโต๊ะรับแทงผลแพ้-ชนะ (ไม่มีราคาแต้มต่อ) คุณจะแทงข้างใครครับ?



โดยสามัญสำนึก (ของคนที่สติยังดี) ก็ต้องทายผลว่ากี้มีโอกาสชนะมากกว่าศล ถ้าคุณเป็นศล ผมเชื่อว่าคุณจะต้องตัดพ้อต่อว่าพระเจ้าไม่ยุติธรรม เมื่อพระองค์ตรัสถามว่าไม่ยุติธรรมอย่างไร คุณคงหยิบดินสอกับกระดาษแล้วเริ่มต้นพิสูจน์ด้วยสมการคณิตศาสตร์ให้แจ้งประจักษ์หน้าพระพักตร์ของพระองค์

สมมติว่าศลอยู่ ณ บันไดขั้นที่ n มีโอกาสชนะเกมนี้เท่ากับ α(n) หรืออาจพูดกลับกันในอีกมุมมองหนึ่ง ศลมีโอกาสแพ้เท่ากับ 1- α(n) หลังจากโยนเหรียญ มี 2 ทางที่เป็นไปได้คือ คือ ขึ้นไปอยู่ขั้นที่ n+1 หรือตกลงไปอยู่ที่ขั้น n-1 ขึ้นอยู่กับผลการโยนเหรียญว่าออกหัวหรือก้อย โอกาสขึ้นหรือลงเท่ากัน เท่ากับ 1/2 ถ้าโยนออกหัว โอกาสชนะขั้นที่ n เท่ากับโอกาสชนะขั้นที่ n+1 ถ้าโยนออกก้อย โอกาสชนะขั้นที่ n เท่ากับโอกาสชนะขั้นที่ n-1

ถ้า α(n+1) และ α(n-1) คือโอกาสชนะเกมนี้ เมื่ออยู่ ณ บันไดขั้นที่ n+1 และ n-1 ตามลำดับ ดังนั้นโอกาสชนะเกมนี้เมื่ออยู่ ณ บันไดขั้นที่ n เท่ากับครึ่งหนึ่งของโอกาสชนะเมื่ออยู่ ณ บันไดขั้นที่ n+1 รวมกับครึ่งหนึ่งของโอกาสชนะเมื่ออยู่ ณ บันไดขั้นที่ n-1 หรือ



อย่าลืมนะครับ ต้องเป็นเหรียญยุติธรรม มีโอกาสออกหัวเท่ากับโอกาสออกก้อย แต่ถ้าเป็นเหรียญไม่ยุติธรรมที่มีโอกาสออกหัวเท่ากับ δ หน้าตาของสมการจะเปลี่ยนไปเป็น

ลองแทน n = 1 ถึง 5



α(0) คือโอกาสชนะเมื่อตกจากบันไดขั้นที่ 1 ซึ่งเท่ากับ 0 ก็คือแพ้นั่นแหละครับ ส่วน α(6) คือโอกาสชนะเมื่อได้ขึ้นจากบันไดขั้นที่ 5 ซึ่งเท่ากับ 1 ก็คือชนะแล้วนั่นเอง เรามีสมการ 5 สมการ 5 ตัวแปร แก้ระบบสมการโดยง่าย จะได้คำตอบ α(1) = 1/6, α(2) = 2/6, α(3) = 3/6, α(4) = 4/6 และ α(5) = 5/6 หรือ



โอกาสชนะเกมนี้เมื่ออยู่ ณ บันไดขั้นที่ n มีความสัมพันธ์ที่แปรผันตรงกับ n คุณจึงร้องเรียนต่อพระเจ้าว่าโอกาสชนะของคุณน้อยกว่ากี้ถึง 5 เท่า แต่ก็ไม่ได้หมายความว่าคุณจะแพ้นะครับ ถ้าพระเจ้ามีจริงและทรงอยู่ข้างคุณ ด้วยโอกาสชนะที่น้อยกว่า คุณอาจจะได้รับ manna from heaven ก็เป็นได้


manna from heaven บางทีสะกด mana คำว่า “manna” หรือ “man hu” เป็นเสียงในภาษาฮิบบรูแปลได้ความว่า “มันคืออะไรนะ” จากคัมภีร์ Exodus ตอนที่โมเสสนำชาวยิวอพยพจากอิยิปต์มุ่งสู่ดินแดนแห่งพันธะสัญญา เมื่อขบวนประสบความอดอยากหิวโหยกลางทะเลทราย ระหว่างการเดินทางอันยาวนาน (ใช้เวลาเดินทางทั้งหมดนานถึง 40 ปี) พระเจ้าประทานอาหารให้จากฟากฟ้า ซึ่งพวกชาวยิวไม่รู้จัก จึงหันหน้าถามกันว่า manna มันคืออะไร สำนวนนี้จึงหมายถึง “โชคดีอย่างไม่น่าเชื่อ”


เอาใหม่ สมมติว่าพระเจ้ารับฟังความร้องเรียน และจัดกี้กับศลให้เริ่มต้นที่บันไดขั้นเดียวกัน แต่คราวนี้พระองค์ทรงมอบถุงใบหนึ่งให้กับกี้ บอกกี้ว่าในถุงนั้นมีเหรียญประหลาดที่อาจจะเป็นหัวทั้ง 2 หน้า หรือก้อยทั้ง 2 หน้า อย่างใดอย่างหนึ่งด้วยโอกาสเท่ากัน กี้จะเปิดถุงเมื่อไรก็ได้ แต่ถ้าเปิดแล้วต้องโยนเหรียญในถุงอย่างน้อย 1 ครั้งหลังจากเปิด ต่อจากนั้นจะเลือกใช้เหรียญใดก็แล้วแต่กี้ ถ้าคุณเป็นศล คุณจะยอมรึเปล่าครับ? หรือว่าคุณจะร้องขอถุงแบบนั้นด้วยอีกใบ?

สมมติศลอยู่ ณ บันไดขั้นที่ n โยนเหรียญปกติออกหัว ได้ขึ้นไปขั้น n+1 แต่ถ้าออกก้อย ต้องตกลงไปอยู่ขั้นที่ n-1 กรณีของกี้ที่โยนเหรียญปกติก็เช่นเดียวกัน แต่ถ้ากี้เลือกเปิดถุง โอกาสได้เหรียญหัว-หัว เท่ากับโอกาสได้เหรียญก้อย-ก้อย เท่ากับโอกาสโยนเหรียญปกติออกหัวหรือออกก้อย กรณีได้เหรียญหัว-หัว กี้ชนะ กรณีได้เหรียญก้อย-ก้อย ก็แค่ตกลงไปอยู่ขั้นที่ n-1 จึงเห็นชัดเจน ไม่ว่ากี้จะเปิดถุงที่ขั้นไหน (ยกเว้นขั้นที่ 5) กี้ก็ได้เปรียบศลทุกกรณี

ถ้า β(n) คือโอกาสชนะเมื่อเปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ n ค่าของ β(n) จะเท่ากับโอกาสชนะกรณีที่ได้เหรียญหัว-หัว รวมกับโอกาสชนะกรณีที่ได้เหรียญก้อย-ก้อย โอกาสชนะกรณีได้เหรียญหัว-หัว คือ 1 ส่วนโอกาสชนะกรณีที่ได้เหรียญก้อย-ก้อย คือ α(n-1) หรือ โอกาสชนะเมื่ออยู่ ณ บันได้ขั้นที่ n-1 สำหรับเหตุการณ์ที่ไม่มีถุง และจากเงื่อนไขโจทย์ โอกาสได้เหรียญหัว-หัว เท่ากับโอกาสได้เหรียญก้อย-ก้อย เท่ากับ 1/2 ดังนั้น

หรือ

เรารู้ว่า หรือ

เมื่อแทนค่า α(n-1) ลงในสมการ β(n) จะได้



ซึ่งคุณคงสังเกตเห็นว่าที่ n = 5 ค่า α(n) = β(n) = 5/6 เราสามารถสรุป α(n), β(n) และ Δ ได้ตามตาราง



ตั้งแต่ n = 1 ถึง 4 ค่า β(n) มากกว่า α(n) ทำให้เราได้ข้อสรุปที่ปราศจากข้อโต้แย้งว่าไม่มีความจำเป็นต้องเปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ 5 คำถามต่อมาคือ แล้วการเปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ 1 ถึง 4 ล่ะ? จะให้โอกาสชนะเกมที่แตกต่างกันหรือไม่? ลองดูค่า Δ บอกอะไรกับเราบ้าง

Δ คือผลต่างของโอกาสชนะระหว่างกรณีเปิดถุงกับไม่เปิดถุง ค่า Δ ยิ่งมาก จึงมีนัยหมายถึงอิทธิฤทธิ์ของถุงที่เพิ่มมากขึ้น อิทธิฤทธิ์ของถุงที่ว่านี้คือความสามารถในการพลิกโอกาสจากใกล้แพ้เป็นมีโอกาสชนะ (อย่างน้อยครึ่งหนึ่ง) ดังนั้นคุณอาจเชื่อสามัญสำนึกของคุณแล้วตอบว่าเปิดถุงที่ n = 1 น่าจะให้ผลดีที่สุดก็ได้ ลองมาดูกันต่อนะครับ



โอกาสชนะเกมนี้กรณีไม่มีถุง เมื่อบันไดขั้นเริ่มต้นถูกกำหนดอย่างสุ่ม การเริ่มต้นอย่างสุ่มทำให้โอกาสที่เราจะเริ่มจากบันไดขั้นใดขั้นหนึ่งนั้นเท่ากัน คือเท่ากับ 1/5 นั่นคือโอกาสชนะเกมนี้ (Ωα) จึงเท่ากับผลรวมของผลคูณระหว่างโอกาสชนะเมื่ออยู่ ณ บันไดแต่ละขั้นกับโอกาสที่ได้เริ่มต้น ณ บันไดขั้นนั้น

หรือ 50%

ทำนองเดียวกัน เราสามารถคำนวณหาโอกาสชนะเกมนี้ (Ωβ(k)) กรณีเปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ k โดยบันไดขั้นเริ่มต้นถูกกำหนดอย่างสุ่มได้เช่นกัน ในที่นี้ผมขอแจกแจงวิธีคิดค่า Ωβ(1) เพียงค่าเดียวนะครับ ส่วน Ωβ(2) ถึง Ωβ(5) ขอฝากให้คุณผู้อ่านพิสูจน์เป็นการลับสมอง

กำหนดให้ ω(n,k) คือโอกาสชนะเกมนี้เมื่ออยู่ ณ บันไดขั้นที่ n และเปิดถุงเมื่ออยู่ ณ บันไดขั้นที่ k การหาค่า Ωβ(1) เราจำเป็นต้องรู้ ω(n,1) สำหรับ n = 1 ถึง 5 ซึ่งหาความสัมพันธ์ดังนี้



แก้สมการ 5 สมการ 5 ตัวแปร ได้



หรือ

เมื่อเราแทน β(1) = 1/2 ได้ค่า ω(1,1) = 5/10, ω(2,1) = 6/10, ω(3,1) = 7/10, ω(4,1) = 8/10 และ ω(5,1) = 9/10 ทำให้โอกาสชนะเกมนี้กรณีเปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ 1 หรือ Ωβ(1) มีค่าเท่ากับ

หรือ 70%

หาค่า Ωβ(2) ถึง Ωβ(5)



หรือคิดเป็น 65%



หรือคิดเป็น 60%



หรือคิดเป็น 55%



หรือคิดเป็น 50%

เป็นอีกครั้งที่เราได้ข้อสรุปยืนยันว่า Ωα = Ωβ(5) ไม่มีประโยชน์สำหรับการเปิดถุงขั้นที่ 5 แต่คราวนี้เราได้คำตอบของคำถามด้วยเลยครับ ไม่ว่าเริ่มต้นเกม ณ บันไดขั้นใดก็ตาม ให้เปิดถุงที่บันไดขั้นแรก จะให้โอกาสชนะสูงที่สุดคือ 70% หากเปิดถุงก่อนหน้านี้ โอกาสชนะจะลดน้อยลงตามลำดับขั้นบันไดเปิดถุงที่สูงขึ้น น่าสนใจมั้ยครับ เก็บดวงไว้ใช้ยามคับขันช่วยเพิ่มโอกาสประสบความสำเร็จ!

ถึงตอนนี้ ถ้าคุณช่างสังเกตคงพบความสัมพันธ์ระหว่าง ω, β, n, k กับ Ωβ(k)




เอาล่ะ เมื่อเราอธิบายด้วยทฤษฎีแล้ว ลองมาพิสูจน์ทฤษฎีกัน

การทดลองนี้กี้ได้เขียนโปรแกรมด้วยภาษาซีซึ่งมีฟังก์ชั่นกลยุทธ์หลัก 3 กลยุทธ์ กลยุทธ์ที่ 1 int strategy1(int k) เปิดถุง ณ บันไดขั้นที่ k กลยุทธ์ที่ 2 int strategy2() เปิดถุงทันทีที่เริ่มเล่น และกลยุทธ์ที่ 3 int strategy3() ไม่เปิดถุง โดยมีฟังก์ชั่น int rand_coin() สุ่มโยนเหรียญและสุ่มโอกาสที่เหรียญในถุงจะเป็นเหรียญหัว-หัว หรือเหรียญก้อย-ก้อย มีฟังก์ชั่น int rand_rung() สุ่มขั้นบันได้เริ่มต้น กี้เขียนโค้ดให้ทดลองเล่นเกมหนึ่งหมื่นครั้ง for(i=1;i<=10000;i++) ดังนี้

#include stdio.h
#include stdlib.h
#include time.h

int rand_coin(){
return rand()%2;
}

int rand_rung(){
return (rand()%5)+1;
}

int strategy1(int k){
int rung = rand_rung(), openbag=0;
while(1<=rung && rung<=5){
if(rung==k && openbag==0){
openbag=1;
if(rand_coin()==1) return 1;
else rung--;
}else{
if(rand_coin()==1) rung++;
else rung--;
}
}
if(rung>5)return 1;
return 0;
}

int strategy2(){
int rung = rand_rung();
if(rand_coin()==1) return 1;
else rung--;
while(1<=rung && rung<=5){
if(rand_coin()==1) rung++;
else rung--;
}
if(rung>5)return 1;
return 0;
}

int strategy3(){
int rung = rand_rung();
while(1<=rung && rung<=5){
if(rand_coin()==1) rung++;
else rung--;
}
if(rung>5)return 1;
return 0;
}

int main(){
int i,j,win1[6],win2=0,win3=0;
srand(time(NULL));
for(i=1;i<=5;i++){
win1[i]=0;
}
for(i=1;i<=10000;i++){
for(j=1;j<=5;j++){
if(strategy1(j)==1)win1[j]++;
}
if(strategy2()==1)win2++;
if(strategy3()==1)win3++;
}
printf("Strategy 1\n");
for(i=1;i<=5;i++){
printf("k=%ld : win %d/10000\n",i,win1[i]);
}
printf("\n");
printf("Strategy 2\nwin %d/10000\n\n",win2);
printf("Strategy 3\nwin %d/10000\n\n",win3);
}


ผลที่ได้

Strategy 1
k=1 : win 6961/10000
k=2 : win 6610/10000
k=3 : win 6053/10000
k=4 : win 5519/10000
k=5 : win 5072/10000

Strategy 2
win 6652/10000

Strategy 3
win 5015/10000


เปรียบเทียบผลการทดลองกับการคำนวณด้วยทฤษฎีดังตาราง



กรณีชนะเมื่อเปิดถุงทันทีสามารถคำนวณได้ค่าเท่ากับ





การคำนวณและการทดลอง ให้ผลที่สอดคล้องกัน คุณมองเห็นความมหัศจรรย์ของปาฏิหาริย์เล็กๆ ยามวิกฤต กับคณิตศาสตร์ที่ไม่พูดถึงสิ่งที่เกิดขึ้นจริงๆ บ้างไหม?



บทความนี้ตีพิมพ์ใน MY MATHS, JULY 2007, VOL. 3 NO. 6 ISSUE 30




Create Date : 07 มิถุนายน 2550
Last Update : 8 ตุลาคม 2550 19:13:41 น.
Counter : 1357 Pageviews.

3 comments
  
ปกติเค้าไม่ได้ใช้หมองไว้คิดเรื่องพรรค์นี้อ่ะ วันๆ ก็คิดแต่วันนี้ตูจะกินไรดีฟะ หิวมาก...

ขอชมว่าคุณศลช่างหาเรื่องมาให้สมองทำงานหนักได้ดีมากกกกกกก... เดี๋ยวว่างๆ จะลองใช้สมองอันน้อยนิดของเราคิดตามนะ ตอนนี้อ่านผ่านๆ ไปก่อน

ดูๆ จากการ update เว็บเนี่ย เหมือนแบบว่าคุณศลมีเวลาว่างมากเลย แต่จากการที่เห็นอยู่ มันเอาเวลาตอนไหนไปอัพเดทเว็บวะเนี่ย หาเวลานอนยังจะยากเลย...

manna from heaven โชคดีอะไรอย่างนี้ ที่พระเจ้าดลใจให้คุณศลช่างเป็น energetic man หาอะไรมาให้คิด(ปวดหัว)อยู่เรื่อย เมื่อไหร่พระเจ้าจะให้อะไรคนเรามาเท่าๆ กันเสียทีนะ (แอบโอดครวญเล็กๆ กะพระเจ้า) ว่าแล้วก็กลับมานั่งแทะข้าวโพดต่อ หยับ หยับ
โดย: ง่า เหงื่อตก (คุณน้องหนู ) วันที่: 8 มิถุนายน 2550 เวลา:8:05:19 น.
  
ช่างสรรหาเรื่องให้ปวดหัวอยู่เป็นระยะ ๆ
โดย: เจ้าชายไร้เงา วันที่: 9 มิถุนายน 2550 เวลา:13:29:05 น.
  
เห็นสูตรต่างๆก็สลบไปรอบหนึ่ง ตื่นขึ้นก็เห็นดาวเต็มไปหมด นึกถึงเรื่องBeautiful mind
โดย: coming soon (The Yearling ) วันที่: 12 มิถุนายน 2550 เวลา:11:25:03 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด