ทฤษฎีบทของ van der Waerden ว่าด้วยลำดับเลขคณิต
สร้างภาพรายวัน



วันนี้เป็นจดหมายที่อาจารย์ Khinchin เขียนตอบลูกศิษย์คนหนึ่งชื่อ Seryozha ซึ่งเท่าที่คนเป็นอาจารย์จำได้นั้น Seryozha เคยลงเรียนกับแกปีหนึ่ง ก่อนจะออกไปรบในสงครามโลกครั้งที่สอง Seryozha คงบาดเจ็บแหละนะ เราเดา เพราะจากจดหมายของ Khinchin เรารู้แค่เพียงว่า ระหว่างพักฟื้นที่โรงพยาบาล Seryozha ขอให้อาจารย์ท่านนี้ส่งทฤษฎีบทงามทางคณิตศาสตร์ไปให้ขบคิด ลับสมอง สักสองสามอัน

อาจารย์เองก็ใจดีมาก ตอบจดหมายพร้อมเลือกทฤษฎีบทที่น่าสนใจ อธิบายส่งไป 3 อัน ทั้งสามอันเป็นทฤษฎีบทที่พิสูจน์ด้วยวิธีทางคณิตศาสตร์พื้นฐาน elementary arithmetical method แกว่างั้น แต่อย่าสับสน elementary กับ simple นะ ยังมีอีกเหตุผลที่เลือกทฤษฎีบทชุดนี้คือ ทั้งหมดเป็นปัญหาที่แก้โดยนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ วัยเริ่มต้น และแก้ได้ก่อนบรรดานักคณิตศาสตร์มีชื่อทั้งหลายที่แข่งกันแก้เสียอีก

เราเพิ่งอ่านจบอันแรก ทฤษฎีบทของ van der Waerden

Khinchin เล่าประวัติเล็กน้อยว่า ปี 1928 แกไปเกิททิงเง่น และ van der Waerden นักเรียนเลขชาวฮอลแลนด์ก็เพิ่งแก้ปัญหานี้ได้ก่อนแกไปถึงเพียงไม่กี่วัน แถมยังได้เรียนรู้วิธีการจากปากคำของเจ้าตัวเองด้วย แต่วิธีที่เอามาเขียนเล่า Seryozha เป็นแบบปรับปรุงใหม่ให้ง่ายขึ้นของ Lukomskaya ทฤษฎีบทดังกล่าวมาจากปัญหาหนึ่งที่ถามว่า ถ้าเราแบ่งเซ็ตของจำนวนนับออกเป็นสองกลุ่ม ไม่ว่าจะแบ่งด้วยวิธีอะไรก็ตาม (เช่น จำนวนคู่-คี่, จำนวนเฉพาะ-ประกอบ) เราจะสามารถพูดได้มั้ยว่าจะมีลำดับเลขคณิตความยาวใด ๆ อยู่ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งเสมอ

อันที่จริง สิ่งที่ van der Waerden พิสูจน์นั้นกว้างขวางกว่าคำตอบของปัญหามาก

ทฤษฎีบทของ van der Waerden บอกว่า ถ้ากำหนด k กับ l เป็นจำนวนธรรมชาติใด ๆ (ในหนังสือใช้คำว่า natural number ซึ่งอาจจะหมายถึง {0, 1, 2, ...} หรือ {1, 2, 3, ...} ก็ได้ และในบริบทของทฤษฎีบทนี้ เราจะนับ 0 หรือไม่นับ 0 ก็ไม่มีผลอะไร และต่อไปผมจะใช้คำว่าจำนวนนับแทน natural number นะครับ พิพม์ง่ายกว่า) แล้วจะมีจำนวนนับ n(k,l) ที่ทำให้ส่วนหรือท่อนของลำดับของจำนวนนับความยาว n(k,l) ซึ่งถูกแบ่งด้วยวิธีอะไรก็ได้ออกเป็น k กลุ่ม แล้วจะมีลำดับเลขคณิต (arithmetic progression) ความยาว l ปรากฎอยู่ในอย่างน้อย 1 กลุ่ม

คำว่า ลำดับเลขคณิตความยาว l หมายถึงลำดับเลขคณิตที่มี l พจน์ เช่น 1, 5, 9 เป็นลำดับเลขคณิตความยาว 3

ดูตัวอย่างล่ะกัน สมมติกำหนด k = 2 และ l = 3 ทฤษฎีบทนี้ก็จะมีบอกว่า มีท่อนของลำดับของจำนวนนับที่ยาว n(2,3) ที่เมื่อเราแบ่งจำนวนที่เป็นสมาชิกของท่อนนี้ออกเป็น 2 กลุ่ม (k = 2) แล้วจะต้องมีลำดับเลขคณิตที่มีความยาวเท่ากับ 3 (l = 3) อยู่ในท่อนใดท่อนหนึ่ง ทฤษฎีบทนี้ไม่ได้บอกว่าค่าของ n(2,3) เท่ากับเท่าไหร่นะฮะ มันบอกแค่ว่า มีจำนวนนับ n(2,3) อยู่

โอเค สมมติว่าเราแบ่งท่อน (11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18) ออกเป็นสองกลุ่ม กลุ่มหนึ่งคือ {11, 14, 15, 18} กลุ่มสองคือ {12, 13, 16, 17} เห็นว่า ในทั้งสองกลุ่มนี้ ไม่มีลำดับเลขคณิตที่ยาว 3 นั่นคือ n(2,3) > 8 แน่ ๆ ทีนี้ พอเราเพิ่ม 19 เข้าไปในท่อนดังกล่าว ตัวเลข 19 นี้จะต้องถูกจัดสรรให้ไปอยู่ในกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งระหว่างกลุ่มหนึ่งกับกลุ่มสอง ถ้ามันอยู่ในกลุ่มหนึ่ง 11, 15, 19 จะเป็นลำดับเลขคณิตที่มีความยาว 3 แต่ถ้ามันอยู่ในกลุ่มสอง 13, 16, 19 ก็จะเป็นลำดับเลขคณิตความยาว 3 และถ้าคุณลองหาทางอื่นในการแบ่งสองกลุ่ม คุณจะไม่มีทางที่แบ่งแล้วไม่พบลำดับเลขคณิตความยาว 3 อยู่ในอย่างน้อยหนึ่งกลุ่ม (ลองแบ่งเล่น ๆ ดูฮะ และอันที่จริง ในกรณีท่อนความยาว 9 และแบ่งเป็น 2 กลุ่ม เราสามารถแสดงได้ไม่ยากว่า ไม่มีวิธีที่จะแบ่งแล้วไม่พบลำดับเลขคณิตความยาว 3) ฉะนั้น ค่า n(2,3) ที่น้อยที่สุดคือ 9

เนื้อหาของบทแรกก็พิสูจน์ทฤษฎีบทอันนี้นี่แหละฮะ

เดี๋ยวคืนนี้หรือพรุ่งนี้ว่าง ๆ จะแปลบทแรกเล่น ๆ ลงบล็อกเก็บไว้เป็นที่ระลึก อ่านอยู่ 4-5 รอบกว่าจะเข้าใจ ... คิดว่านะ

May 6, 2015 11:40




บทที่ 1 ทฤษฎีบทของ van der Waerden ว่าด้วยลำดับเลขคณิต (van der Waerden's Theorem on Arithmetic Progressions)
แปลจาก Three Pearls of Number Theory ของ A. Y. Khinchin โดย ศล

[ข้อความสี crimson เป็นส่วนที่เราขยายเข้าไปเอง สามารถข้ามได้ ไม่จำเป็นต้องอ่าน]

- 2 -


จะว่าไป สิ่งที่ van der Waerden พิสูจน์นั้นตอบเกินกว่าที่โจทย์ถาม อันดับแรก เขาสมมติว่าจำนวนนับถูกแบ่งออกเป็น k กลุ่ม (ไม่จำเป็นต้องเป็น 2) ต่อมา เขาพบว่า เราไม่จำเป็นต้องแบ่งลำดับของจำนวนนับทั้งหมดเพื่อที่จะให้มั่นใจได้ว่ามีลำดับเลขคณิตความยาว l ใด ๆ ที่ต้องการในอย่างน้อยหนึ่งกลุ่ม นั่นคือ แค่ส่วนหนึ่งหรือท่อนหนึ่งของลำดับจำนวนนับก็เพียงพอแล้วสำหรับวัตถุประสงค์ดังกล่าว โดยความยาวของท่อนนี้ (คือ n(k,l)) เป็นฟังก์ชั่นของจำนวน k และ l และแน่นอน ไม่สำคัญว่าลำดับท่อนนั้นจะเอามาจากไหน [หมายถึง ไม่สำคัญว่าจำนวนเริ่มต้นของท่อนดังกล่าวคือตัวเลขอะไร] ตราบเท่าที่มันมีจำนวนนับ n(k,l) ตัวเรียงติดต่อกัน

ทฤษฎีบทของ van der Waerden บอกว่า ถ้ากำหนดจำนวนนับ k กับ l ใด ๆ แล้วจะมีจำนวนนับ n(k,l) ที่ทำให้ส่วนหรือท่อนของลำดับของจำนวนนับความยาว n(k,l) ซึ่งไม่ว่าจะถูกแบ่งด้วยวิธีอะไรก็ตามออกเป็น k กลุ่ม แล้วในอย่างน้อย 1 กลุ่ม จะมีลำดับเลขคณิตความยาว l ปรากฎอยู่

[ทบทวนเลข ม. ปลาย ลำดับ a1, a2, a3, ..., am เป็นลำดับเลขคณิตก็ต่อเมื่อผลต่างระหว่างพจน์ที่อยู่ติดกันเป็นค่าคงที่ หรือเขียนว่า ai+1 - ai = d ซึ่งเป็นค่าคงที่ เมื่อ i ∈ {1, 2, ..., m-1} และเราพูดว่าลำดับดังกล่าว มีความยาว m]

เห็นได้ชัดว่า กรณี l = 2 ทฤษฎีบทนี้เป็นจริง เพราะเราก็แค่กำหนดให้ n(k,2) = k+1 นั่นคือ ถ้าเราแบ่งจำนวน k+1 ตัวออกเป็น k กลุ่ม จะมีอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มที่มี 2 ตัว [อันนี้ก็คือ Dirichlet's Box Principle หรือ Pigeonhole Principle พูดว่า ถ้าเอาวัตถุ m > n ชิ้นใส่ลงใน n กล่อง จะมีอย่างน้อย 1 กล่องที่มีวัตถุมากกว่า 1 ชิ้น] และคู่ของจำนวนใด ๆ เป็นลำดับเลขคณิตความยาว 2 โดยปริยาย ซึ่งเท่ากับพิสูจน์ทฤษฎีบทในกรณี l = 2 ทีนี้ เราจะพิสูจน์ทฤษฎีบทด้วย induction (อุปนัย) บนค่าของ l [ทบทวนเลข ม. ปลาย ถ้าเราจะพิสูจน์ P(n) ด้วย induction บนค่าของ n เราจะต้องทำสองขั้นตอน คือ 1. พิสูจน์ P(1) หรือ P(0) หรือ P อะไรก็แล้วแต่ที่เป็น base case และในที่นี้ base case ของมันคือ P(2) เพราะกรณี l = 1 ไม่จำเป็นต้องพิสูจน์ เนื่องจากจำนวนนับโดด ๆ หนึ่งตัวก็เป็นลำดับเลขคณิตความยาว 1 อยู่แล้ว ต่อมา 2. แสดงให้เห็นว่า ถ้า P(n) แล้ว P(n+1) ขั้นตอนนี้เรียกว่า inductive step] ฉะนั้น เราจะถือว่าทฤษฎีบทนี้เป็นจริงสำหรับจำนวน l ≥ 2 และสำหรับค่า k ใด ๆ แล้ว สิ่งที่เราจะแสดงคือ มันยังคงเป็นจริงสำหรับจำนวน l+1 ด้วย (และแน่นอน สำหรับทุกจำนวนk ด้วย)

- 3 -


ดังนั้น จากสมมติฐานของเราที่ว่า สำหรับทุกจำนวนนับ k จะมีจำนวนนับ n(k,l) ที่ ถ้าส่วนหรือท่อนของจำนวนนับใด ๆ ที่ยาว n(k,l) ถูกแบ่งออกเป็น k กลุ่ม ไม่ว่าจะด้วยเกณฑ์ไหนก็ตาม จะต้องมีอย่างน้อยหนึ่งกลุ่มที่มีลำดับเลขคณิตความยาว l นั่นคือ เราจะต้องพิสูจน์ว่า สำหรับทุกจำนวนนับ k จะมีจำนวน n(k,l+1) อยู่ด้วย และวิธีที่เราจะใช้แก้ปัญหาดังกล่าวคือการสร้างจำนวน n(k,l+1)

เริ่มจาก กำหนด q0 = 1 และ n0 = n(k,l)

ต่อมา นิยามจำนวน q1, q2, ..., n1, n2, ... ตามลำดับ จาก ถ้า qs-1 และ ns-1 ถูกนิยามเรียบร้อยแล้วสำหรับบางค่า s > 0 แล้ว

(1)          

เห็นได้ชัดว่า จำนวน ns, qs ถูกนิยามสำหรับ s ≥ 0 ใด ๆ และเรากำลังจะอ้างว่า สำหรับ n(k,l+1) เราจะเลือกให้มันเท่ากับจำนวน qk นั่นคือ เราจะต้องแสดงว่า ถ้าส่วนหรือท่อนของลำดับของจำนวนนับที่ยาว qk ถูกแบ่งด้วยวิธีอะไรก็ตามออกเป็น k กลุ่มแล้ว จะมีลำดับเลขคณิตยาว l+1 อยู่ในอย่างน้อยหนึ่งกลุ่ม เราจะพิสูจน์กันในเนื้อหาส่วนที่เหลือของบทนี้

เพื่อความกระชับ เราเขียนแทน l+1 ด้วย l'

- 4 -


สมมติว่าเรามีส่วนของลำดับของจำนวนนับยาว qk และเขียนแทนส่วนดังกล่าวด้วย Δ อันเป็นส่วนที่จะถูกแบ่งไม่ว่าด้วยวิธีอะไรก็ตามออกเป็น k กลุ่ม เราจะพูดว่าจำนวน a กับ b ของ Δ เป็นชนิดเดียวกัน ถ้า a และ b อยู่กลุ่มเดียวกัน และจะเขียนแทนด้วย a ≈ b ต่อมา เราจะพูดว่าส่วนย่อยหรือท่อนย่อยของ Δ จำนวนสองท่อนย่อย คือ δ = (a, a+1, ..., a+r) กับ δ' = (a', a'+1, ..., a'+r) เป็นชนิดเดียวกัน ถ้า a ≈ a', a+1 ≈ a'+1, ..., a+r ≈ a'+r และจะเขียนแทนด้วย δ ≈ δ' แน่นอนว่า จำนวนของชนิดที่เป็นไปได้ที่แตกต่างกันสำหรับตัวเลขที่เป็นสมาชิกของท่อน Δ เท่ากับ k และสำหรับท่อนที่อยู่ในรูป (a, a+1) (หรือพูดอีกอย่าง ท่อนย่อยที่ยาว 2) จะมีจำนวนชนิดที่เป็นไปได้เท่ากับ k2 และในกรณีทั่วไป สำหรับท่อนยาว m จะมีจำนวนชนิดเท่ากับ km (แน่นอน ไม่จำเป็นที่ทุกชนิดจะต้องปรากฎอยู่จริงในท่อน Δ)

เนื่องจาก qk = 2nk-1qk-1 (ดู (1)) ฉะนั้นเราอาจถือว่า ท่อน Δ เป็นลำดับของท่อนย่อยซึ่งยาว qk-1 จำนวน 2nk-1 ท่อน และดังที่เราได้วิเคราะห์ไปก่อนหน้า ท่อนย่อยดังกล่าวสามารถมี ชนิดที่แตกต่างกัน ทีนี้ ครึ่งซ้ายของท่อน Δ มีท่อนย่อยแบบนั้นอยู่ nk-1 ท่อน เมื่อ ตามสมการ (1) ต่อมา เราอาศัยความหมายของ ใช้อ้าง (โดยการพิจารณาตัวเลขตัวแรกในท่อนย่อยจำนวน nk-1 ท่อนนั้น —โน้ตภายในวงเล็บนี้เป็นของผู้แปลจากภาษารัสเซียเป็นภาษาอังกษ ได้แก่ F. Bagemihl, H. Komm กับ W. Seidel) ว่าครึ่งซ้ายของท่อน Δ มีลำดับเลขคณิตยาว l ของท่อนย่อยดังกล่าวที่เป็นท่อนย่อยชนิดเดียวกัน ได้แก่

          Δ1, Δ2, ..., Δl

โดยที่แต่ละท่อนย่อยนี้มีความยาว qk-1 เพื่อความกระชับ ในที่นี้ เราพูดว่า ท่อน Δi ที่มีความยาวเท่ากัน สร้างลำดับเลขคณิต ถ้าตัวเลขเริ่มต้นของพวกมันเรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต เราเรียกผลต่างระหว่างตัวเลขเริ่มต้นของสองท่อนใด ๆ ที่อยู่ติดกันของลำดับ Δ1, Δ2, ..., Δl ว่าผลต่าง d1 ของลำดับ และค่าผลต่างของตัวเลขตัวที่สอง (หรือสาม หรือสี่ ไปเรื่อย) ของสองท่อนที่อยู่ติดกันนั้นก็ย่อมต้องเท่ากับ d1 ด้วย

ต่อมา เราเพิ่มพจน์ที่ (l+1) หรือท่อน Δl' เข้าไปในลำดับของท่อนดังกล่าว (อย่าลืมนะ l' = l+1) ซึ่งท่อนใหม่ที่เพิ่มเข้าไปนี้อาจจะอยู่นอกฝั่งซ้ายของท่อน Δ แต่ก็มั่นใจได้ว่าทั้งหมดยังอยู่ในท่อน Δ ทำให้ท่อน Δ1, Δ2, ..., Δl, Δl' สร้างลำดับเลขคณิตยาว l' = l+1 ที่ผลต่าง d1 โดยแต่ละท่อนยาว qk-1 ขณะที่ Δ1, Δ2, ..., Δl เป็นชนิดเดียวกัน แต่เราไม่รู้ว่าท่อนสุดท้าย Δl' เป็นชนิดอะไร

เอาล่ะ ทั้งหมดนี้คือขั้นแรกของการสร้างของเรา ก่อนที่เธอจะอ่านต่อ ลองทบทวนทั้งหมดอีกสักรอบก็แล้วกัน

- 5 -


ตอนนี้เรามาถึงขั้นที่สองแล้ว เราหยิบท่อนย่อยหนึ่งท่อนจาก l พจน์แรกของลำดับของท่อนที่เราเพิ่งสร้างขึ้นมาท่อนหนึ่ง สมมติท่อนนั้นคือ ทั้งนี้ 1 ≤ iil และ เป็นท่อนที่มีความยาว qk-1 ต่อมา เราทำกับท่อนที่หยิบมานั้นเหมือนกับที่ทำกับ Δ เนื่องจาก qk-1 = 2nk-2qk-2 ฝั่งซ้ายของท่อน สามารถมองว่าเป็นลำดับของท่อนย่อยที่มีความยาว qk-2 จำนวน nk-2 ท่อน สำหรับท่อนย่อยที่มีความยาวเท่านี้ จะมี ชนิดที่เป็นไปได้ ขณะเดียวกัน เพราะ (1) ฉะนั้น ฝั่งซ้ายของ จะต้องมีลำดับยาว l ของลำดับย่อยเหล่านี้ที่เป็นชนิดเดียวกัน (เมื่อ 1 ≤ i2l) ที่ยาว qk-2 ให้ d2 เป็นผลต่างของลำดับดังกล่าว (นั่นคือ ระยะห่างระหว่างตัวเลขตัวแรกของท่อนที่อยู่ติดกัน) ต่อมา เราเพิ่มพจน์ที่ (l+1) หรือ เข้าไปต่อท้ายลำดับของท่อน แน่นอนว่า เราไม่รู้ชนิดของท่อนที่เพิ่มเข้าไปใหม่นี้ และท่อน ก็ไม่จำเป็นต้องเป็นท่อนที่อยู่ฝั่งซ้ายของ แต่ยังไงเสียมันก็ต้องเป็นส่วนหนึ่งของท่อน

ถึงตอนนี้ เราได้ดำเนินการเพียงแค่หนึ่งท่อนของ ทั้งหมด ต่อไป เราก็ทำแบบเดียวกันกับท่อน ที่เหลือ (ทุกค่า 1 ≤ iil') ผลลัพธ์หลังจากจบขั้นตอนดังกล่าว เราจะได้เซ็ตของท่อน ( 1 ≤ i1l', 1 ≤ i2l') ที่มี index สองตัว เรามองออกไม่ยากว่า สำหรับสองท่อนใด ๆ ของเซ็ตนี้ที่มี index ไม่เกิน l จะเป็นชนิดเดียวกัน



เธอคงเห็นว่ากระบวนการนี้สามารถทำต่อเนื่องไปได้อีก เราจะทำมันทั้งหมด k ครั้ง ผลลัพธ์ของการสร้างหลังจากการดำเนินการครั้งแรกคือท่อนที่ยาว qk-1 หลังจากครั้งที่สอง ได้ท่อนที่ยาว qk-2 เป็นต้น ดังนั้น หลังจากครั้งที่ k ผลลัพธ์ของการสร้างคือท่อนที่ยาว q0 = 1 หรือก็คือตัวเลขในท่อน Δ เริ่มต้นของเรานั่นเอง แต่เราก็ยังจะเขียนแทนจำนวนด้วยวิธีที่เราทำมา นั่นคือ



สำหรับ 1 ≤ s ≤ k และ 1 ≤ i1, ..., is, i'1, ..., i'sl เราจะได้

(2)          

ต่อไป เราจะตั้งข้อสังเกต 2 ข้อ ซึ่งจะเล่นบทสำคัญในขั้นตอนถัดไป

1) ใน (2) ถ้า s < k และถ้า is+1, is+2, ..., ik เป็น index ใด ๆ ที่เอามาจากลำดับ 1, 2, ..., l, l' แล้ว ตำแหน่งของจำนวน ในท่อน จะเป็นตำแหน่งเดียวกับตำแหน่งของจำนวน ในท่อน ทีนี้ เนื่องจากสองท่อนนี้เป็นชนิดเดียวกัน เพราะ (2) ทำให้

(3)          

ถ้า 1 ≤ i1, ..., is, i'1, ..., i'sl และ 1 ≤ is+1, is+2, ..., iki' (1 ≤ s ≤ k)

2) สำหรับ s ≤ k และ i's = is+1 จะเห็นชัดเจนว่า กับ เป็นท่อนที่ติดกันในการสร้างขั้นที่ s ของเรา ดังนั้น สำหรับ index is+1, ..., ik ใด ๆ จำนวน กับ ปรากฎในตำแหน่งเดียวกันในสองท่อนที่อยู่ติดกันดังกล่าว ทำให้ (เมื่อ i's = is+1)

(4)          

- 6 -


ถึงตอนนี้เราก็ใกล้เส้นชัยแล้วล่ะ เราพิจารณาตัวเลขของท่อน Δ จำนวน k+1 ตัว

(5)          

เนื่องจากท่อน Δ ถูกแบ่งออกเป็น k กลุ่ม และเรามีอยู่ k+1 จำนวนใน (5) ฉะนั้น จะต้องมีตัวเลขสองตัวในจำนวนเหล่านี้ที่อยู่กลุ่มเดียวกัน สมมติให้จำนวนดังกล่าวคือ ar กับ as (r < s) นั่นคือ

(6)          

เราพิจารณาจำนวน l+1 ตัว

(7)          

จำนวน l ตัวแรกของจำนวนชุดนี้ (หมายถึง ตัวที่ i < l') อยู่ในกลุ่มเดียวกัน เพราะ (3) อย่างไรก็ตาม ตัวสุดท้าย (i = l') เป็นชนิดเดียวกับตัวแรก เพราะ (6) ทำให้จำนวนทั้ง l+1 ตัวใน (7) เป็นชนิดเดียวกัน และในการพิสูจน์ข้ออ้างของเรา เราก็แค่แสดงให้เห็นว่าจำนวนเหล่านี้เรียงกันเป็นลำดับเลขคณิต กล่าวคือ ผลต่าง ci+1 - ci (1 ≤ i ≤ l) ไม่ขึ้นอยู่กับค่า i

เพื่อความกระชับ เรากำหนด i+1 = i' และให้



จะได้ ci,0 = ci, ci,s-r = ci+1 และดังนั้น



จาก (4) เราได้



ดังนั้น ผลต่าง

          ci+1 - ci = dr+1 + dr+2 + ... + ds

เป็นอิสระจาก i ■



Create Date : 07 พฤษภาคม 2558
Last Update : 7 พฤษภาคม 2558 8:43:40 น.
Counter : 1105 Pageviews.

1 comments
  
เป็นบล็อกที่เนื้อหาโหดมากครับ
โดย: เป็ดสวรรค์ วันที่: 14 พฤษภาคม 2558 เวลา:2:35:33 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด