The Cantor Set
Henry Smith (1826-1883) กับ Georg Cantor (1845-1981) เป็นผู้ค้นพบและแสดงเซตอนันต์ที่มีคุณสมบัติชวนฉงนและน่าสนใจที่เรารู้จักกันในนามเซตคันทอร์ วิธีที่ช่วยให้เราเห็นภาพของเซตคันทอร์ ได้ง่ายวิธีหนึ่งคือให้เริ่มต้นด้วยเซตของจำนวนจริงในช่วงปิด [0,1] เขียนแทนด้วยส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวหนึ่งหน่วย จากนั้นแบ่งส่วนของเส้นตรงนี้ออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กัน แล้วลบส่วนกลางหรือช่วง (1/3,2/3) ทิ้ง เราจะเหลือส่วนของเส้นตรงที่มีความยาว 1/3 หน่วยสองส่วน ได้แก่ [0,1/3] และ [2/3,1] แต่ละส่วนเราย้อนกลับไปทำแบบเดิมคือ แบ่งออกเป็น 3 ส่วนย่อยที่เท่า ๆ กัน แล้วลบส่วนตรงกลางทิ้ง ในรอบสองนี้เราจะเหลือส่วนของเส้นตรงที่มีความยาว 1/9 หน่วยสี่ส่วน ทำแบบนี้ต่อไปเรื่อย ๆ เป็นรอบที่ 3, 4, ... จนถึงอนันต์ เซตที่เราเหลือที่อนันต์นั่นแหละครับคือเซตคันทอร์ (C)




คำถามแรกที่อยากชวนให้คิดคือเซต C นี้มีขนาด “เล็ก” หรือ “ใหญ่” (ถามสามัญสำนึกโดยที่เรายังไม่นิยามว่าจะใช้อะไรวัดความเล็กความใหญ่ของเซต เราอาจตอบได้ทันทีในกรณีที่ให้เปรียบเทียบเซตประชากรในตำบลท้ายช้างกับเซตประชากรประเทศไทยว่าอันหลังใหญ่กว่าอันแรก) การใช้วิธีลบส่วนกลางทิ้งไปเรื่อย ๆ ไม่สิ้นสุดแบบนี้ทำให้เราไม่สามารถวาดรูปที่แท้จริงของเซตคันทอร์ ได้ แต่มั่นใจได้ร้อยเปอร์เซ็นต์ว่าส่วนที่ลบทิ้งออกไปนั้นมีเยอะมาก ขณะเดียวกันเราก็รู้ด้วยว่าช่วงจำนวนจริงใด ๆ สามารถนำมาลบส่วนกลางทิ้งได้เสมอ นั่นหมายความว่ามีจุดที่ลบทิ้งไม่ได้ก็มีเหลืออยู่มหาศาลเช่นกัน แล้วตกลง C เล็กหรือใหญ่?




ก่อนอื่นเราลองมาดูนิยามในเชิงคณิตศาสตร์กัน เริ่มต้นด้วยการกำหนด C0 = [0,1] และจากนั้น Cn เป็นการรวมกัน (union) ของช่วงปิดจำนวน 2n ช่วง และ C0 C1 … Cn Cn+1 … โดยที่เราสร้าง Cn จากการลบช่วงเปิดตรงกลางของแต่ละช่วงใน Cn-1 กล่าวคือแทนที่แต่ละช่วง [a,b] ใน Cn-1 ด้วยช่วงปิดสองช่วงได้แก่ ช่วงทางซ้าย L[a,b] = [a,a+(b-a)/3] และช่วงทางขวา R[a,b] = [a+2(b-a)/3,b] ดังนั้นเซตคันทอร์ หรือ C = C0 C1 … Cn Cn+1 … หากเราดูความยาวช่วงที่ถูกลบออกไปเริ่มตั้งแต่ลบความยาว 1/3 จาก C0 เพื่อให้ได้ C1, จากนั้นลบ 2/9 จาก C1 เพื่อให้ได้ C2, ลบ 4/27 จาก C2 เพื่อให้ได้ C3 และต่อไปเรื่อย ๆ เมื่อรวมความยาวของช่วงที่ถูกลบออกไปทั้งหมด เราได้



เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มี r = 2/3 ดังนั้นความยาวรวมของช่วงที่ถูกลบออกไปคือ



หมายความว่าเราลบ C0 ซึ่งมีความยาว 1 หน่วยด้วยความยาวรวมทั้งหมด 1 หน่วย ดังนั้นความยาวรวมของ C เท่ากับ 0 มองในแง่นี้ C ค่อนข้างเล็กทีเดียว

มองอีกมุมหนึ่งบ้าง C0 มีปลายสองจุดซึ่งเป็นสมาชิกของ C แน่นอนนั่นคือ 0 กับ 1 และ C1 มีปลายอีกสองจุดที่เป็นสมาชิกของ C แน่นอนเช่นกันนั่นคือ 1/3 กับ 2/3, C2 มีปลายเพิ่มอีกสี่จุด 1/9, 2/9, 7/9 และ 8/9, C3 มีปลายเพิ่มอีกแปดจุด จะเห็นว่าจุดปลายที่เหลืออยู่ใน C เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เมื่อทำซ้ำต่อไปเรื่อย ๆ ดังนั้น

C = {0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, 7/9, 8/9 …}

เชื่อหรือไม่ครับว่าจำนวนสมาชิกใน C (จำนวนจุด) เท่ากับจำนวนจุดในช่วง [0,1] ถ้ามันเท่ากันจริง อย่างนั้น C ก็ไม่ได้เล็กอย่างที่คิดแล้วล่ะ เพราะในแง่นี้มันใหญ่เท่ากับ [0,1]

เพื่อที่จะพิสูจน์ให้เห็นว่า C มีจำนวนจุดเท่ากับจำนวนจุดใน [0,1] และจำนวนจุดใน [0,1] มีอยู่นับไม่ถ้วน ผู้เขียนขอพาคุณผู้อ่านออกนอกทางไปชมทฤษฎีบทที่สวยงามบทหนึ่งของคันทอร์ นั่นคือ ทฤษฎีบท Uncountability (ไม่สามารถนับได้) ที่บอกว่ามีลำดับอนันต์ของ 0 กับ 1 อยู่นับอนันต์ หมายความว่าเราสามารถเขียนลำดับ 0-1 ที่มีความยาวอนันต์แตกต่างกันได้ถึงอนันต์แบบ ฟังดูสอดคล้องกับสามัญสำนึกดีจริงมั้ยครับ แต่จะพิสูจน์อย่างไร? คันทอร์ใช้วิธีที่เรียกว่า diagonal proof (พิสูจน์โดยใช้แนวเส้นทแยงมุม) โดยเริ่มต้นยอมรับว่ามีลำดับ 0-1 อยู่จำกัดลำดับแล้วแสดงให้เห็นข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) ให้ S1, S2, S3 … เป็นลิสต์ของลำดับ และเขียนสัญลักษณ์ Si(j) แทนสมาชิกตัวที่ j ของลำดับ Si



ถ้าเราให้ Sd คือลำดับที่เป็นนิเสธ (นิเสธของ 0 คือ 1, นิเสธของ 1 คือ 0) ของลำดับตามแนวเส้นทแยงมุม นั่นคือ Sd(i) = 1 – Si(i) ทำให้แต่ละค่าของ i เราได้ Sd(i) แตกต่างจาก Si(i) ดังนั้น Sd ไม่ใช่ลำดับใดในกลุ่ม Si เลย ขัดแย้งกับข้อความที่บอกว่ามีลำดับ 0-1 อยู่จำกัด เอาล่ะ เรายอมรับว่ามีลำดับอนันต์ 0-1 อยู่ไม่จำกัด แล้วมันเกี่ยวกับช่วงปิด [0,1] หรือเซตคันทอร์ตรงไหน เรารู้ว่าจำนวนจุดใน [0,1] สามารถเขียนแทนได้ด้วยลำดับ 0-1 ในรูปเลขทศนิยมฐานสอง พูดง่าย ๆ ว่าแต่ละค่า x ใน [0,1] สามารถเขียนแทนด้วย

x = (0.b1b2b3…)2

มีข้อสังเกตที่น่าสนใจตรงนี้คือตัวเลขบางค่าอาจเขียนในรูปเลขทศนิยมฐานสองได้มากกว่าหนึ่งแบบ เช่น 0.5 อาจเขียนแทนด้วย (0.1)2 หรือ (0.0111…)2 ก็ได้ แต่ที่สำคัญคือไม่ว่าจำนวนใดก็ตามใน [0,1] เราสามารถนำมาเขียนในรูปเลขทศนิยมฐานสองได้เสมอโดยใช้ลำดับของตัวเลข 0-1 ในเมื่อเรามีลำดับอนันต์ของ 0-1 อยู่ไม่จำกัด ก็เท่ากับเรามีจำนวนจุดในช่วง [0,1] อยู่ไม่จำกัด แบบนี้เรียกว่าใหญ่ได้ใช่มั้ยล่ะครับ

พิจารณากระบวนการสร้างเซตคันทอร์ด้วยวิธีลบส่วนกลางทิ้ง ทำให้แต่ละช่วง [a,b] ในรอบที่ n-1 ถูกแบ่งออกเป็นสองช่วงในรอบที่ n คือช่วงทางซ้าย L[a,b] และช่วงทางขวา R[a,b] ดูตัวอย่างกระบวนการรอบที่ 4 (รูปด้านล่าง) ถ้าเราเลือกช่วงใดช่วงหนึ่งใน C4 (สีแดง) มันมีสถานะไม่เป็น L[a,b] ก็ R[a,b] ของช่วงใดช่วงหนึ่ง [a,b] ของ C3 ตามรูปนี้ช่วงสีแดงใน C4 ของเราเป็น L และถ้าไล่ย้อนกลับขึ้นไปตามแนวดิ่ง (ดูช่วงสีแดง) เราพบว่าช่วงสีแดงใน C3 เป็น L, ช่วงสีแดงใน C2 เป็น R, ช่วงสีแดงใน C1 เป็น L หมายความว่าเราสามารถกำหนดสัญลักษณ์ที่ใช้แทนช่วงทั้ง 16 ช่วงใน C4 ได้โดยการเขียนลำดับ L-R ที่สืบทอดกันมาตั้งแต่ C1 ถึง C4 สำหรับรูปนี้ช่วงสีแดงใน C4 คือ [18/81,19/81] เขียนแทนได้ด้วย LRLL




ช่วงทั้ง 16 ช่วงจะมีลำดับ L-R ที่แตกต่างกันเป็นของตัวเอง ดังนั้นสำหรับเซตคันทอร์ ถ้าเราเลือกจุดใดจุดหนึ่งใน C ขึ้นมาพิจารณาไล่ย้อนกลับขึ้นไปตามแนวดิ่งและเขียนลำดับ L-R ที่สืบทอดตั้งแต่ C1 จนถึง Cอนันต์ เราก็จะสามารถเขียนลำดับอนันต์ของ L-R แทนจุดนั้นได้ และเรายังรู้ด้วยว่าลำดับอนันต์ L-R นี้สามารถมีได้นับอนันต์ (เหมือนลำดับ 0-1 นั่นแหละครับ คุณอาจกำหนดให้ L = 0 และ R = 1 ก็ได้) หมายความว่าเราสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างลำดับ L-R กับลำดับ 0-1 และทุกจุดใน [0,1] เขียนแทนได้ด้วยลำดับ 0-1 ดังนั้นจำนวนจุดในเซตคันทอร์มีจำนวนเท่ากับจำนวนจุดใน [0,1] จริงอยู่ว่าในแง่ความยาว (length) รวมของ C เท่ากับ 0 ซึ่งเล็กจิ๋ว แต่ในแง่ขนาด (size) หรือจำนวนจุดนี้ C ของเราใหญ่มาก

นอกจากนี้เซตคันทอร์ยังเป็นแฟรกทัลที่ไม่ว่าเราจะซูมมองมันที่ระดับไหนมันก็ยังดูเหมือนเดิม (self-similar fractals) และมีมิติเท่ากับ log(2)/log(3) = 0.63093 มิติ




Create Date : 02 มิถุนายน 2552
Last Update : 2 มิถุนายน 2552 16:42:09 น.
Counter : 1652 Pageviews.

0 comments
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด