how to succeed in love
คณิตศาสตร์กับการเลือกคู่ครอง
เขียนโดย ศล

ในบทที่สิบสาม How to Succeed in Love จากหนังสือ CHANCE (Thunder’s Mouth Press, 2547) เขียนโดย Amir D. Aczel [1] ได้นำประเด็นคำถามที่น่าสนใจของปรากฏการณ์ที่อิงบนความสัมพันธ์อันแนบแน่นระหว่างโอกาสกับเวลาในเอกภพ เราทุกคนรู้ว่าเหตุการณ์ในบางปรากฏการณ์ปรากฏเป็นลำดับของเวลา เมื่อมีเหตุการณ์อย่างหนึ่งเข้ามาในชีวิตบางครั้งเราต้องตัดสินใจ และผลจากการตัดสินใจย่อมกระทบเหตุการณ์อื่นที่ตามมา

ความรักเป็นตัวอย่างหนึ่งของปรากฏการณ์ที่มีเหตุการณ์เกิดขึ้นตามลำดับเวลา แน่นอนครับ หลายท่านอาจแย้งว่าเคยมีประสบการณ์ที่หลายเหตุการณ์เกิดขึ้นในเวลาเดียวกัน คุณอาจเคยพบรัก A และ B พร้อมกันในงานเลี้ยงรื่นเริง หรือคุณอาจพบรักกับ A ในโรงเรียนสามัญ และต่อมาพบรักกับ B ในโรงเรียนกวดวิชา ถ้าคุณสานความสัมพันธ์ต่อเนื่อง ทั้งสองกรณีนี้เราสามารถพูดได้ว่าเหตุการณ์ความรัก A และ B ใช้เวลาซ้อนทับกัน เพื่อลดความวุ่นวายในทางคณิตศาสตร์ (เพราะชีวิตจริงของบางคนอาจไม่ใช่แค่ A กับ B แต่มี C D E F…Z) ผมขอกำหนดเป็นเงื่อนไขขึ้นมาว่าคนรักที่คุณพานพบไม่เข้ามาพร้อมๆกัน และคุณจะไม่สานสัมพันธ์รักกับคนมากกว่าหนึ่งคนในช่วงเวลาเดียวกัน

คำถามสำคัญคำถามหนึ่งในชีวิตคือ “คนนี้ใช่มั้ย?” คุณจะเลือกคนรักคนปัจจุบันเป็นคู่ชีวิตหรือเปล่า ถ้าคุณเลือกคนนี้ เท่ากับคุณตัดโอกาสที่จะได้เจอคนที่ดีกว่า แต่ถ้าคุณไม่เลือกคนนี้ คุณมั่นใจได้อย่างไรว่าอนาคตข้างหน้าคุณจะพบคนที่ดีกว่าคนนี้ สมมติว่าชีวิตคุณมีคนรักเดินหน้าเข้ามาให้เลือก N คน คุณจะใช้วิธีทดสอบคุณภาพทั้ง N คนแล้วค่อยย้อนกลับไปเลือกคนที่ดีที่สุดคงเป็นไปได้ยาก เพราะเขาหรือเธอคงไม่รอคุณ ดังนั้นกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับปรากฏการณ์แบบนี้คือ ให้สำรวจกลุ่มตัวอย่างจำนวนหนึ่งเพื่อหาคนที่ดีที่สุดขึ้นมาเป็นมาตรฐาน และเลือกคนแรกที่ดีกว่ามาตรฐานที่เข้ามาในชีวิตคุณ

Dr. Amir D. Aczel เขียนสรุปไว้ในหนังสือว่า “เพื่อให้มีโอกาสสูงสุดที่คุณจะได้คู่ครองที่ดีที่สุด คุณต้องทดลองคบหาคนรักจำนวน 37% ของจำนวนคนรักทั้งหมดที่(คาดว่าจะ)เข้ามาในชีวิต หลังจากนั้นให้เลือกคนแรกที่ดีกว่าคนที่ดีที่สุดในกลุ่ม 37% ซึ่งคนที่คุณเลือกมีโอกาสเป็นคนที่ดีที่สุดถึง 37%” เนื้อหาส่วนที่เหลือของบทความ เราจะมาพิสูจน์คำกล่าวอ้างนี้กันครับ

ถ้าสมมติว่าชีวิตของคุณมีโอกาสพบรักกับคน N คน และคุณทดลองคบคนรัก x% ของจำนวน N กำหนดให้สัญลักษณ์ L1, L2, L3,…, LN แทนคนรักคนที่ดีที่สุดอันดับที่ 1 ถึงอันดับที่ N สำหรับลำดับคนรักที่เข้าในชีวิตคุณนั้นเป็นลำดับอย่างสุ่ม มีโอกาสน้อยมาก[2]ที่จะเรียง L1, L2, L3,…,LN สำหรับขั้นแรกเรามาลองพิจารณาทีละกรณีดังนี้

กรณีที่ 1: L1 อยู่ในกลุ่ม x% กรณีนี้ถือว่าซวยครับ เพราะหลังจาก x% ไปแล้วคุณจะไม่เจอใครที่ดีกว่า L1 อีกเลย

กรณีที่ 2: L1 ไม่อยู่ในกลุ่มทดลองคบหา x% แต่ L2 อยู่ในกลุ่ม กรณีนี้ถือว่าโชคดีอย่างยิ่ง เพราะคุณจะรอจนกว่าได้พบ L1 แน่นอน ดังนั้นคำถามที่ตามมาคือ กรณีนี้มีโอกาสเกิดขึ้นเท่าไร

จากความรู้เรื่องการจัดหมู่ (combination) เรารู้ว่าการเลือกคน x คนที่แตกต่างกันอย่างสุ่มจาก 100 คน มีวิธีเลือกได้ C100,x แบบ[3] ถ้ากำหนดให้ L2 คือคนหนึ่งในจำนวน x ดังนั้นเราต้องเลือกเพิ่มอีก x-1 คนจาก 99 คน ซึ่งสามารถเลือกได้ C99,x-1 แบบ เมื่อนำมารวมกับทฤษฎีความน่าจะเป็น[4] (probability) โอกาสที่ L2 อยู่ในกลุ่มทดลองคบคือ



ค่า x/100 นี้ไม่จำเพาะเฉพาะโอกาสที่ L2 อยู่ในกลุ่ม x% แต่เป็นโอกาสที่ใครสักคนหนึ่งจะอยู่ในกลุ่ม x% นี้ ทุกคนมีโอกาสเท่ากันคือ x/100 นั่นคือ L1 ก็มีโอกาสอยู่ในกลุ่มทดลองคบเท่ากับ x/100 เช่นกัน ดังนั้นโอกาสที่ L1 ไม่อยู่ในกลุ่มทดลองคบจึงเท่ากับ 1-(x/100) ตามหลักการเติมเต็มของเหตุการณ์[5] (complementary of event)

เพื่อความสะดวกผมขอแทน y = x/100

โอกาสที่ L1 ไม่อยู่ในกลุ่มทดลองคบหา x% แต่ L2 อยู่ในกลุ่ม[6] ประมาณเท่ากับ (1-y)y [7] นั่นคือโอกาสได้คนที่ดีที่สุดเป็นคู่ในกรณีที่สอง

กรณีที่ 3: L1 และ L2 ไม่อยู่ในกลุ่มทดลองคบหา x% แต่ L3 อยู่ในกลุ่ม สำหรับกรณีนี้ หลังจากผ่านช่วงทดลองมาแล้ว ถ้าเราพบ L2 ก่อน L1 เราจะไม่ได้คนที่ดีที่สุดเป็นคู่ ในทาง

ตรงกันข้ามถ้าเราพบ L1 ก่อน L2 เราจะได้คนที่ดีที่สุดเป็นคู่ โอกาสที่ L1 มาก่อน L2 หรือ L2 มาก่อน L1 นั้นเท่ากันคือ 50-50 หรือ 1/2 ดังนั้นโอกาสที่ได้คู่ที่ดีที่สุดจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของโอกาสเกิดกรณีนี้

เลียนแบบกรณีที่สอง โอกาสที่ L3 อยู่ในกลุ่มทดลองคบหาเท่ากับ y โอกาสที่ L1 ไม่อยู่ในกลุ่มเท่ากับ 1-y เท่ากับโอกาสที่ L2 ไม่อยู่ในกลุ่ม สรุปโอกาสที่ L3 อยู่ในกลุ่มทดลองคบหาแต่ L1 และ L2 ไม่อยู่ในกลุ่มคือ y(y-1)(y-1) หรือ y(y-1)2 และโอกาสได้คู่ที่ดีที่สุดของกรณีนี้คือ (1/2)y(y-1)2

กรณีที่ 4 ถึงกรณีที่ N-yN+1 ก็เช่นเดียวกัน[8] กรณีหลังๆยิ่งมีโอกาสได้คู่ที่ดีที่สุดน้องลง เช่นโอกาสประสบความสำเร็จในการเลือกคู่กรณีที่ 4 เท่ากับ (1/3)y(y-1)3 เราสามารถสร้างเป็นความสัมพันธ์ทั่วไปของโอกาสเลือกได้คู่ดีที่สุดกรณีที่ f+1 เท่ากับ (1/f)y(y-1)f เมื่อ f มีค่าเริ่มตั้งแต่ 1 จนถึง N-yN ค่าตัวเลข 1/f มาจากโอกาสเรียง L1, L2, L3,…,Lf โดยมีตัวหน้าสุดคือ L1

เมื่อรวมโอกาสที่จะได้คู่ที่ดีที่สุดของทุกกรณี



หรือ



ซึ่งเราพบว่าค่าใน {…} ประมาณเท่ากับค่าที่ได้จากการกระจาย ln(1/y) หรือ -lny ด้วยอนุกรม Maclaurin [9] ดังนั้น



หมายความว่าโอกาสประสบผลสำเร็จในการเลือกคู่เพื่อให้ได้มาซึ่งคู่ครองที่ดีที่สุดโดยทดลองคบหา x% แรกของคนรักทั้งหมด N คนเท่ากับ –ylny ถ้าเราต้องการรู้ค่า y ที่ทำให้ –ylny มีค่าสูงสุด เราสามารถนำความรู้เรื่องการหาค่าสูงสุดด้วยอนุพันธ์ [10] (differential) เข้ามาช่วยหาคำตอบได้



เนื่องจาก y = x/100 ดังนั้น x = 100/e หรือถ้าเราประมาณ e เท่ากับ 2.7 จะพบว่า x เท่ากับ 100/2.7 ประมาณเท่ากับ 37 นั่นคือให้คุณทดลองคบหาประมาณ 37% ของจำนวนจำนวนคนรักทั้งหมด แล้วหลังจากนั้นให้เลือกคนที่ดีกว่าคนที่ดีที่สุดในกลุ่มทดลองนั้น โอกาสที่คุณจะได้คู่ครองเป็นคนที่ดีที่สุดคือ –ylny หรือ -(1/e)ln(1/e) ซึ่งเท่ากับ 1/e ประมาณเท่ากับ 0.37 หรือ 37%

สิ่งที่ยากไม่ใช่คณิตศาสตร์ครับ แต่อยู่ที่คุณจะใช้คุณสมบัติใดมาตัดสินว่าใครดีที่สุดสำหรับคุณ ที่ยากกว่านั้นคงต้องดูด้วยว่าคุณดีที่สุดสำหรับใคร ถ้าเขาหรือเธอที่คุณคบหาอยู่เป็นนักคณิตศาสตร์ตัวฉกาจ คุณมั่นใจแค่ไหนว่าคุณไม่ใช่หนึ่งในกลุ่ม 37% ของเขาหรือเธอ!







[1] การศึกษา: BA, MA คณิตศาสตร์ จาก University of California ที่ Berkeley และ Ph.D. สถิติ จาก University of Oregon เป็นเจ้าของผลงานหนังสือโด่งดังหลายเล่มอาทิ Entanglement, Fermat’s Last Theorem, God’s Equation, The Mystery of the Aleph และ Descartes’ Secret Notebook ในเว็บบอร์ดประวัติส่วนตัว เขาบอกว่าเป็นแฟนผลงานตัวยงของ Umberto Eco

[2] มีโอกาสเท่ากับ 1/N! = 1/(N(N-1)(N-2)(N-3)…(3)(2)(1))

[3] เลือกสิ่งของจำนวน r สิ่งจากของที่แตกต่างกัน n สิ่ง สามารถเลือกได้ Cn,r = n!/(n-r)!r! แบบ

[4] ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด = (จำนวนแบบที่เกิดขึ้นได้ของเหตุการณ์นั้น)/(จำนวนแบบที่เกิดขึ้นได้ของทุกเหตุการณ์) เช่น ทอยลูกเต๋า เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นทั้งหมดคือหน้าลูกเต๋าขึ้นแต้ม {1, 2, 3, 4, 5, 6} มีทั้งสิ้น 6 แบบ ถ้าเหตุการณ์ที่สนใจคือการเกิดแต้มคู่ {2, 4, 6} มี 3 แบบ ความน่าจะเป็นที่ทอยเต๋าได้แต้มคู่คือ 3/6

[5] ผลรวมความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ทุกเหตุการณ์เท่ากับ 1 เสมอ

[6] ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นร่วมกันเท่ากับผลคูณความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์ เช่น ความน่าจะเป็นของการโยนเหรียญหนึ่งเหรียญแล้วออกหัวเท่ากับ 1/2 โยนเหรียญเดิมครั้งที่สองโอกาสออกหัวก็ยังเท่าเดิมคือ 1/2 แต่โอกาสที่โยนเหรียญสองครั้งแล้วออกหัวทั้งคู่นั้นเท่ากับ (1/2)(1/2) = 1/4

[7] ค่าที่ได้จากการคำนวณตอนนี้เป็นโดยค่าประมาณเนื่องจาก เมื่อเรากำหนดให้ L2 อยู่ในกลุ่มทดลองคบหาแล้วนั้น การจัดกลุ่มของ L1 จะเป็นการจัดกลุ่มจากจำนวน N-1 คน แต่เมื่อ N มีค่ามากพอ การประมาณในความน่าจะเป็นจึงแตกต่างกันเพียงเล็กน้อย

[8] เลือกกลุ่มคนจำนวน x% จาก N คน ต้องมีคนในกลุ่มเท่ากับ yN คน ดังนั้นกรณีสุดท้ายคือกรณีที่ L1 ถึง L(N-yN) อยู่นอกกลุ่มทดลองคบหา แต่ L(N-yN+1) อยู่ในกลุ่ม ซึ่งเป็นกรณีสุดท้าย

[9] อนุกรม Maclaurin เป็นรูปเฉพาะรูปแบบหนึ่งของอนุกรม Taylor สามารถใช้กระจายฟังก์ชั่นให้อยู่ในรูปอนุกรมได้ดังสมการ



รายละเอียดการคำนวณให้ดูบทเสริม

[10] ค่า x ที่ทำให้ f(x) มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด(สัมพัทธ์)หาได้จากสมการที่อนุพันธ์ของ f(x) เท่ากับศูนย์ หรือ f’(x) = 0 เพราะ f’(x) คือความชันของ f(x) ที่ x ใดๆ ดังนั้นจุด x ที่ทำให้ f(x) มีความชันเท่ากับศูนย์ คือจุดสูงสุดหรือต่ำสุดสัมพัทธ์






บทเสริมการกระจาย –lny ด้วยอนุกรม Maclaurin



ถ้ากำหนดให้ให้ f(x) = ln(x+1)



แทน y = x+1 หรือ x = y-1 = -(1-y) ดังนั้น







บทความนี้ตีพิมพ์ใน MY MATHS, MAY 2007, VOL. 3 NO. 4 ISSUE 28




Create Date : 01 กุมภาพันธ์ 2550
Last Update : 8 ตุลาคม 2550 19:08:31 น.
Counter : 1824 Pageviews.

5 comments
นาฏศิลปสร้างสรรค์ ชุด สามแพรภูไท เกศสุริยง
(21 มี.ค. 2563 00:05:32 น.)
面子上好看 Miànzi shàng hǎokàn ภายนอกดูดี Kavanich96
(19 มี.ค. 2563 04:44:46 น.)
ภาษาจีน วันละนิด 1 marzo
(11 มี.ค. 2563 05:52:44 น.)
(◕‿◕❀) Blogger Review :Tui Laksi ❤ T H ☆ N K - Y ♡U ❤ BlogGang.com และเพื่อนสมาชิกทุกท่าน Tui Laksi
(7 มี.ค. 2563 21:52:39 น.)
  
แป๊ววว หายหมดเลย ไม่ได้ล็อกนี่อ่ะ

แบบนี้เอง เอาคณิตศาสตร์มาใช้กับความรัก
55555 คนอ่านเลยปวดหัว มึนตึ๊บ

อิอิ อยู่แบบเดียว ๆ เดี่ยว ๆ ดีก่า
จาได้ไม่ต้องปวดหัว นิ นิ
กว่าจะสำมะเร็จ ถอดสมการกันลากเลือด หุหหุ

ช่างคิดจริง ๆ ท่าน
โดย: พรายทราย วันที่: 1 กุมภาพันธ์ 2550 เวลา:20:02:12 น.
  
เอ่อ...ถ้าจะมีแฟนทั้งทีมันยากลำบากขนาดนี้ ผมก็ขออยู่เป็นโสดต่อไปแบบนี้เรื่อย ๆ ดีกว่า
โดย: null (redistuO ) วันที่: 1 กุมภาพันธ์ 2550 เวลา:20:14:43 น.
  
นี้ๆๆๆๆๆ เอาอะไรยากๆๆ มาให้อ่านอีกหละ
โดย: แบ่งกันเซ็ง วันที่: 1 กุมภาพันธ์ 2550 เวลา:21:38:52 น.
  
แต่ผมว่า นิยามคำว่าดีที่สุด ก็หายากที่สุดแล้วครับ

สวัสดีครับ
โดย: อีคิวศูนย์ วันที่: 4 พฤษภาคม 2550 เวลา:10:34:52 น.
  
เห็นสมการแล้วสลบไปพักใหญ่ๆ ฟื้นขึ้นมาขออยู่เป็นโสดต่อไปดีกว่า
โดย: coming soon (The Yearling ) วันที่: 6 พฤษภาคม 2550 เวลา:15:00:28 น.
ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
 *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 

Zol.BlogGang.com

ศล
Location :
กรุงเทพ  Thailand

[ดู Profile ทั้งหมด]
 ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]

บทความทั้งหมด