creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

เศรษฐวิทย์



ในบรรดาหนังสือสอนภาษาอังกฤษซึ่งมีอยู่อย่างมากมายในตลาดหนังสือบ้านเรา ผมชอบหนังสือของคุณเศรษฐวิทย์ครับ ปกอาจจะดูการ์ตูน แต่เนื้อหา ลีลาเขียนของแกนี่ไม่การ์ตูนเลย บางเล่มแทรกสอดข้อคิดชีวิตคมคายทีเดียว




 

Create Date : 18 มิถุนายน 2553    
Last Update : 19 มิถุนายน 2553 11:36:42 น.
Counter : 3131 Pageviews.  

แดนสนธยาอาถรรพ์ (The Willows)



ช่วงต้นที่บรรยายแม่น้ำดานูบ ผมรู้สึกเอื่อยเฉื่อยน่าเบื่อ แต่ก็พาเราไหลตามไปได้เรื่อย ๆ ตั้งแต่ออกจากกรุงเวียนนา มาจนถึงป่าหลิวอันเป็นแดนอาถรรพณ์ ซึ่งเหตุการณ์ทั้งหมดเกิดขึ้นที่นี่ เราทราบเพียงว่า "ข้าพเจ้า" กับเกลอสวีดิชกำลังมุ่งหน้าไปบูดาเปสต์ ฮังการี แต่มีอันต้องแวะพักบนเกาะป่าต้นหลิวที่ค่อย ๆ จมลงเรื่อย ๆ (น้ำสูงขึ้น) และพบเรื่องลี้ลับ มิติอื่น โลกของอสูรและความน่าหวาดกลัวที่จะหาคุณเจอเมื่อใจคุณยอมให้หาเจอ ตรงนี้ผมว่าเล่นแง่กับจิตวิทยาสวยงามดีทีเดียวครับ นอกจากนี้การสร้างตัวละคร "ข้าพเจ้า" ที่เพียรพยายามหาคำอธิบายปรากฎการณ์ต่าง ๆ ซึ่งขัดแย้งกับตัวตนของ "อ้ายเจ้าสวีดิช" ที่ยอมรับสิ่งที่เกิดขึ้นอย่างเตรียมพร้อม ก็เป็นเสมือนสองแรงที่ปะทะต่อต้านและผลักดันให้เรื่องเดินไปข้างหน้าอย่างมีลีลาชั้นเชิง ลองหามาอ่านครับ สุดท้ายแล้วแบล็ควูดคงอยากบอกให้เรารู้ว่าความกลัวนั่นแหละคือสิ่งที่น่ากลัว

ผมให้




 

Create Date : 02 มิถุนายน 2553    
Last Update : 2 มิถุนายน 2553 21:50:23 น.
Counter : 1303 Pageviews.  

Logic: A Very Short Introduction



แม้เป็น introduction แถม very short แต่ไม่ very easy (หรือแม้แต่ easy) นะครับ หลังจาก 3 บทแรกที่แนะนำความคิดพื้นฐาน logic เหมือนตอนเราเรียนในวิชาเลข ม.4 เรื่องตรรกศาสตร์ บทที่เหลือต้องตั้งสติสมาธิอ่านอย่างยิ่ง โดยเฉพาะกับผู้อ่านที่ไม่คุ้นเคยสัมผัส modern logic มาก่อน แต่กระนั้นโปรเฟสเซอร์ Graham Priest ก็นำคุณท่องชมโลกของ logic สมัยใหม่ได้อย่างทั่วถึงและเป็นลำดับขั้นตอน แต่ละบท Priest จะมีคำถามท้าทายความคิดผู้อ่าน และผลเฉลยที่เป็นที่ยอมรับกัน (ถ้ามี) ต่อปัญหานั้น จบบทก็มีกรอบสรุป main idea of the chapter เพื่อให้ผู้อ่านทบทวน สำหรับคนที่ชอบขบคิด หนังสือเล่มนี้เหมาะกับคุณครับ ขอยกตัวอย่างอะมีบ้าในบทที่ 9 ที่คุณอาจจะต้องคิดแบบนักปรัชญาสักนิด (ลดดีกรีความเป็นวิทยาศาสตร์ลงมาหน่อย) แล้วจะเห็นว่า argument นั้นน่าสนใจใช่ย่อย แก่นของบทนี้ Identity and Change: Is Anything Ever the Same? คือการแยกความต่างระหว่าง object กับ properties ของ object และ Leibniz' law สำหรับวัตถุ x และ y ใด ๆ ที่ x = y แล้วคุณสมบัติอะไรก็ตามที่ y มี x มี และกลับกัน มันก็ฟังดูสมเหตุสมผล (valid) ใช่มั้ยครับ? ทีนี้ผู้เขียนเริ่มชักใยให้เรางงงวยยิ่งขึ้นด้วยการนำ tense operator (ในตัวอย่างใช้ G แทน "นับจากนี้ไป" - it is always going to be the case that) มาใช้กับ self โดยเริ่มจากให้ x เป็นอะไรก็ได้ที่คุณชอบ สมมติว่า x เป็นมาริโอ้ แล้วพิจารณา x = x เท่ากับพูดว่า x มีคุณสมบัติของการเป็นอย่างเดียวกันกับ x ซึ่งมันจริงเสมอไม่ว่าจะเป็นอดีต ปัจจุบัน อนาคต (มาริโอ้ก็ยังเป็นมาริโอ้ คนเดิมหรือเปลี่ยนไปไม่สำคัญ ที่สำคัญคือต้องยังเป็นมาริโอ้) ฉะนั้น Gx=x ก็เป็นจริงด้วย เพราะมันเท่ากับแค่พูดย้ำว่า "นับจากนี้ไปมาริโอ้เป็นมาริโอ้" ทีนี้เอาใส่กลับเข้าไปในกฎของไลบ์นิซ

     x=y, Gx=x ฉะนั้น Gx=y

โปรเฟสเซอร์ Priest ใช้อะมีบ้า A ที่ต่อมาแบ่งตัวออกเป็นอะมีบ้า B กับ C ซึ่งก่อนแบ่งตัวนั้นทั้ง B และ C คือ A จึงพูดว่า B = C แต่หลังจากแบ่งตัว B กับ C ก็เป็นอะมีบ้าคนละตัวกัน ¬B = C ฉะนั้น Gx=y จึงไม่จริงเสมอไป ตรงนี้ Priest เองก็ได้ยกข้อที่อาจจะแย้งหลายอย่าง เช่น ก่อนแบ่งตัว B เป็นส่วนหนึ่งของ A เท่านั้น แต่ก็แย้งกลับว่าอะมีบ้าเป็นสัตว์เซลล์เดียวจึงไม่มีส่วนที่เป็น B (ผมไม่รู้ว่าข้อแย้งกลับนี่จริงหรือเปล่านะครับ ต้องถามนักชีววิทยาว่าจริงมั้ย) หรืออีกอัน แย้งว่า ก่อนแบ่งตัว B กับ C ไม่มีอยู่จริง ทำให้พูดว่า B = C ไม่ได้ ตรงนี้ Priest ก็แก้ว่า ครั้นจะพูดว่า B เป็นอะมีบ้าตัวใหม่ก็พูดได้ไม่เต็มปาก ลองสมมติให้ตอนแบ่งตัวแล้ว C เกิดตายขึ้นมาสิ เราคงพูดได้แน่ ๆ ว่า B คือ A (เหมือนงูลอกคราบ) เก่งที่สุดเราก็ยังเถียงได้อยู่ดีนั่นแหละครับว่า B ไม่ใช่ A เพราะคุณสมบัติของมันเปลี่ยนไป แต่เอ๊ะ ถ้างั้นคุณสมบัติที่เปลี่ยนไปเท่ากับตัวตนวัตถุที่เปลี่ยนไปหรือ? ย้อนกลับไปตั้งคำถามยังแก่นของบทนี้ คุณที่มีอายุมากขึ้นยังเป็นคุณอยู่ไหม?

ผมให้




 

Create Date : 31 พฤษภาคม 2553    
Last Update : 31 พฤษภาคม 2553 17:57:31 น.
Counter : 1144 Pageviews.  

Einstein's Riddle ไขสุดยอดปริศนา ปัญหาระดับโลก



อ่านแล้วปวดหัวครับ ไม่ใช่เพราะปัญหายากมากอะไรนะ เอ่อ...จะว่าไปจริง ๆ แล้วปัญหาทุกข้อที่นำมารวบรวมและจับแต่งตัวแปลงโฉมใหม่ในเล่มนี้ก็เป็นปัญหาที่ค่อนข้างยาก และน่าสนใจอย่างมากนั่นแหละ แต่ที่ทำให้ผมปวดหัวคือ มีหลายข้อที่ผมไม่เห็นด้วยกับเฉลยและตรรกะของผู้เขียนแฮะ มีความรู้สึกว่าการให้เหตุผลของผู้เขียนอ่อนกว่าที่คาดหวังไว้อย่างมาก กระทั่งทำให้เสียความรู้สึก ในเมื่อผมเกริ่นภาพลบของหนังสือไว้แบบนี้ ก็จำเป็นต้องวิจารณ์ละเอียดหน่อยนะครับ จะได้ไม่เป็นการกล่าวหาเลื่อนลอย ใครจะว่าผมจับผิดก็ยอมรับล่ะ แต่ขอทำความเข้าใจกันว่าไม่ได้ตั้งหน้าตั้งตา (รวมถึงตั้งใจ) จับผิดนะครับ แค่อ่านไปเรื่อย ๆ แล้วเกิดความคิดคัดค้าน แค่นั้น (สาบาน :P)

     1. ปัญหาที่ว่ากันว่าเป็นของไอน์สไตน์และอ้างว่ามีคนเพียง 2% เท่านั้นที่ไขออก อันนี้ผมไม่เชื่อ ผมเชื่อว่าใครก็ตามที่เกาะกับปัญหานานพอ คนนั้นคิดออก พูดแบบนี้ผมไม่มีหลักฐานอะไร แค่หมั่นไส้ไอ้เจ้าตัวเลข 2% ไม่รู้อ้างจากอะไร - ใครรู้บอกผมที

     2. ในบทที่ 2 เมื่อการใช้เหตุผลเกิดความผิดพลาด ผมว่าผู้เขียนนั่นแหละที่ใช้เหตุผลผิดพลาด มาดูกัน ผู้เขียนยกตัวอย่างนี้ครับ

          คนทุกคนล้วนมีความสุขหรือด้านสว่างของชีวิต
          คนทุกคนล้วนมีด้านหม่นหมองของชีวิต
          ดังนั้นคนที่มีด้านหม่นหมองทุก ๆ คนล้วนมีความสุขหรือด้านสว่างของชีวิต

ผู้เขียนถามคนอ่านว่าเห็นด้วยมั้ย? valid มั้ย? conclusion นั้นคลอดมาจาก premises มั้ย? คุณว่าไงครับ ผมว่าใช่ valid แต่ผู้เขียนว่าไม่ใช่ โดยให้เปรียบเทียบกับการให้เหตุผลตัวอย่างนี้

          ม้าทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม
          ม้าทุกตัวเป็นสัตว์สี่ขา
          ดังนั้นสัตว์สี่ขาทุกตัวย่อมเป็นสัตว์เลี้ยงลูกด้วยนม

ซึ่งอันนี้เราเห็นชัดว่าไม่ valid ผู้เขียนมองไม่ออกว่าตัวอย่างหลังแตกต่างจากตัวอย่างแรกตรงไหน ผมว่าง่ายมากครับ ในตัวอย่างหลัง premises ของเราเป็น "ม้า" แต่ดันมา conclusion "สัตว์" ลองเปลี่ยนประโยคสรุปเป็น "ม้าที่เป็นสัตว์สี่ขาทุกตัวย่อมเป็นสัตว์ที่เลี้ยงลูกด้วยนม" สิ ยังจะ invalid อยู่อีกมั้ย? ส่วนตัวอย่างแรก valid เพราะ คนที่มีด้านหม่นหมองก็ยังเป็นคน กล่าวคือ ไม่มีกรณีใดเลยที่ premises เป็นจริงแล้ว conclusion ไม่เป็นจริง

     3. ในบทที่ 2 ปัญหา "เป็นการสันนิษฐานที่ดีมาก" ข้อนี้ผมเข้าใจนะว่าโจทย์ต้องการถามและต้องการสื่อถึงอะไร จึงไม่แน่ใจว่าเป็นความกำกวมจากการแปลหรือเปล่า ไพ่ 4 ใบดังรูป ซึ่งมีกฎในการผลิตไพ่ว่า "หากไพ่ใบหนึ่งมีรูปวงกลมอยู่บนด้านหนึ่ง อีกด้านหนึ่งจะต้องเป็นสีเหลือง" (ดูรูปครับ)

ถามว่าคุณจะต้องพลิกไพ่กี่ใบเพื่อเช็คว่ามีไพ่กี่ใบที่ไม่เป็นไปตามกฎ



ไม่ยากใช่มั้ยครับ ถ้าเราตั้งสมมติฐานตาม common sense (หรือรู้) ว่าไม่มีไพ่ที่มีสีทั้งสองหน้า หรือมีรูปทรงทั้งสองหน้า เราก็จะตอบว่าพลิกไพ่ใบที่สองกับใบที่สี่ แค่เช็คอีกด้านหนึ่งของไพ่ใบที่สองต้องเป็นสีเหลือง และอีกด้านหนึ่งของไพ่ใบที่สี่ห้ามเป็นวงกลม ไม่จำเป็นต้องเช็คไพ่ใบแรกและใบที่สาม แต่ทีนี้พอมีข้อมูลบอกเพิ่มแบบนี้สิครับ "กฎมีอยู่ว่าไพ่ทุก ๆ ใบจะต้องมีรูปทรงอยู่ที่ด้านหนึ่ง และอีกด้านหนึ่งจะต้องเป็นสี" ถ้าเราต้องการดูว่าไพ่ผลิตขึ้นตามกฎหรือไม่ เราจำเป็นต้องพลิกไพ่ทุกใบครับ เพราะตอนนี้มีกฎอยู่ 2 ข้อ แบบแรกเรามีกฎข้อเดียวและถือว่ากฎข้อที่ 2 เป็นความจริงที่เป็นจริงเสมอ แต่พอมองเป็นกฎ 2 ข้อ (เพราะหนังสือเขียนแบบนั้น) เราก็ต้องพลิกไพ่ใบแรกเพื่อดูว่าอีกด้านหนึ่งไม่ใช่รูปทรงนะ และพลิกไพ่ใบที่สามเพื่อดูว่าอีกด้านหนึ่งไม่ใช่สีนะ มิฉะนั้นมันจะเป็นไพ่ที่ไม่ผลิตขึ้นตามกฎข้อที่ 2 ครับ (ถึงแม้กฎข้อนี้จะไม่ถูกตีกรอบ แต่มันก็ถูกเขียนไว้ชัดว่าเป็นกฎ)

     4. ในบทที่ 3 ปัญหา "วิธีคิดแบบผิด ๆ ของนักเสี่ยงโชค" ปัญหานี้ต้องการนำเสนอ 2 ประเด็น คือ Monte Carlo fallacy กับ Martingale ประเด็นแรกไม่มีอะไรครับ หนังสือเขียนดีแล้ว แต่ประเด็นหลังนี่สิไม่ชัด หนังสือเขียนไว้ว่า (หน้า 107) "Martindale betting system ... แต่ปัญหาของระบบนี้คือ การเพิ่มมูลค่าเงินเดิมพันขึ้นเป็นทวีคูณเพื่อจะชดเชยการแพ้พนัน มันจะทำให้นักเสี่ยงโชคที่นำแนวคิดนี้มาใช้ต้องล้มละลายอย่างไม่ต้องสงสัย" ตรงนี้ผมสงสัยนะ เพราะจริง ๆ แล้ว Martingale เป็นระบบที่การันตีว่ายังไงคุณก็ต้องได้เงินคืน แต่ปัญหาของ Martingale คือ มันจะการันตีเมื่ออยู่ภายใต้เงื่อนไขอุดมคติอันประกอบไปด้วย 1. คุณมีเงินไม่อั้น 2. ไม่มีขอบเขตสูงสุดที่กำหนดให้แทง (ซึ่งคาสิโนทั่วไปมี) 3. คาสิโนและคุณมีเวลาไม่จำกัด (แม้คาสิโนส่วนใหญ่จะเปิด 24 ชั่วโมง แต่ทั้งคุณและมันก็ต่างมีอายุขัย) ลองดูตัวอย่างนี้ครับ สมมติคุณมีเงิน 1270 บาท และเริ่มแทงที่ 10 บาท ถ้าแพ้แทงสองเท่า คุณจะหมดตัวเมื่อแพ้ต่อเนื่องกัน 7 เกม คือเสียเงิน 10 20 40 80 160 320 640 บาทตามลำดับ รวมแล้ว 1270 บาทพอดี สมมติเรากำลังเล่นเกมที่โอกาสแพ้เท่ากับโอกาสชนะ (เช่นเกมทายหัวก้อยของการโยนเหรียญยุติธรรม ไม่มีคาสิโนไหนมีเกมแบบนี้นะครับ) โอกาสที่คุณจะแพ้ต่อเนื่องกัน 7 ครั้งมีแค่ 1/27 = 0.78% น้อยนิด นั่นคือคุณมีโอกาสได้ 10 บาทสูงถึง 99.22% ฉะนั้นคิดค่าคาดหมายของเงินที่จะได้เท่ากับ (+10)(99.22%) + (-1270)(0.78%) = 0.089 บาท ยังกำไรอยู่เกือบ 10 สตางค์นะครับ แต่พอเราปรับอะไรที่ใกล้เคียงกับคาสิโนในความเป็นจริงนิดนึง คือ ทำให้เป็นเกมที่มีโอกาสแพ้ 11/20 โอกาสแพ้ 7 เกมต่อเนื่องกันเท่ากับ (11/20)7 = 1.522% ค่าคาดหมายของเงินที่คุณจะได้เท่ากับ (+10)(100% - 1.522%) + (-1720)(1.522%) = -9.48 บาท เห็นชัดว่าแค่เราปรับโอกาสแพ้จาก 10/20 เป็น 11/20 ค่าคาดหมายของเงินที่ได้ก็ติดลบแล้ว แววไปสู่การล้มละลายอยู่ตรงนี้ครับ อยู่ตรงเงื่อนไขและสภาพแวดล้อมของ Martingale ไม่ใช่ตัวระบบการแทงแบบ 2 เท่าในอุดมคติของมันเอง

     5. ในบทที่ 4 ปัญหา "ตรรกะเรื่องชายศรีษะล้าน" เรื่องนี้เป็นปัญหาที่เราเรียกว่า sorites paradox ผู้เขียนเขียนในเฉลยว่ายังไม่มีทางแก้ปัญหานี้ ไม่เห็นด้วยแฮะ ผมคิดว่าเราใช้ fuzzy logic แก้ได้นะครับ ซึ่งมันจะทำให้ an, anan+1/an+1 ไม่ valid ทุกค่าของ n ขึ้นอยู่กับเรายอมรับค่าความจริงได้แค่ไหน เช่น ถ้าสมมติให้ค่าความจริงของ a0 ถึง a4 เท่ากับ 1 ถึง 0 โดยลดลงทีละสเต็ป สเต็ปละ 0.25 แล้วกำหนด level of acceptability ที่ 0.75 เห็นว่า a1 = 0.75 เป็นจริง และ a1a2 = 1 - (0.75 - 0.5) = 0.75 เป็นจริง แต่ a2 = 0.5 เป็นเท็จ ฉะนั้นการให้เหตุผลจึงไม่ valid ผมจึงคิดว่า fuzzy logic แก้ปัญหา sorites paradox ได้ตรงไปตรงมาและสอดคล้องกับสามัญสำนึกของคนเราดีครับ คำถามที่ผู้เขียนถามว่าแซมซันใช้ตรรกะผิดพลาดตรงไหน คำตอบก็คือปัญหานี้ไม่เหมาะกับการใช้ formal logic นั่นแหละ

     6. เฉลยพาราด็อกซ์ St. Petersburg หน้า 124 ในตารางค่าคาดหวังของเงินที่จะได้ ต้องคำนวณจากเงินรางวัลคูณด้วยความน่าจะเป็น ไม่ใช่ "เงินรางวัลหารด้วยความน่าจะเป็น" ไม่แน่ใจว่าผิดที่ต้นฉบับหรือการแปล? เช่น มีโอกาส 50% ที่จะได้เงินรางวัล 2000 เหรียญ และอีก 50% ที่จะได้เงินรางวัล 200 เหรียญ ฉะนั้นค่าคาดหวังของเงินเท่ากับ (2000)(50%) + (200)(50%) = 1100

     7. เฉลยปริศนาเจ้าหญิงนิทรา หน้า 135 ที่บอกว่ายังไม่มีคำตอบที่ถูกต้องและยอมรับกันทั้งโลกนั้นผมว่าไม่จริง กรณีโจทย์ที่ผูกขึ้นมานั้น หากถามเจ้าหญิง เจ้าหญิงต้องทายก้อยเพราะโอกาสสูงถึง 2/3 ถูกต้องแล้ว และโอกาสที่เจ้าหญิงทายว่าก้อยก็เป็นคนละเรื่องกับโอกาสที่เหรียญจะออกก้อย (คือ 1/2) ปัญหามันมาจากการซอยก้อยให้มีความถี่สูงครับ หัวปลุก 1 ครั้ง ก้อยปลุก 2 ครั้ง และเจ้าหญิงของเรา memoryless หากหล่อนอยากเพิ่มโอกาสทายถูก ก็ต้องทายตามความถี่ที่ถูกซอย ไม่ใช่ทายตามโอกาสการออกหัวหรือก้อยของเหรียญ แค่นั้นเอง

อันที่จริงส่วนที่ไม่ชัดเจนและบางส่วนที่อาจถือว่าสรุปผิดได้เลยในหนังสือยังมีมากกว่านี้ เอาหอมปากหอมคอแค่นี้พอครับ

ผมให้




 

Create Date : 28 พฤษภาคม 2553    
Last Update : 5 ธันวาคม 2555 1:26:46 น.
Counter : 1859 Pageviews.  

Journey through Genius



หนังสือประวัตินักคณิตศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่บางท่าน พร้อมด้วยทฤษฎีบทสำคัญ ๆ ของนักคณิตศาสตร์เหล่านั้น นักคณิตศาสตร์ที่ William Dunham ยกมาพูดถึงที่เป็นตัวแสดงหลักมี 9 คนครับ เริ่มจากฮิปโปเครตีส กับ quadrature of the lune, ยุคลิด และบางส่วนใน elements, อาร์คิมิดีส กับการหาพื้นที่ของวงกลม, เฮรอน กับสูตรพื้นที่สามเหลี่ยม, คาร์ดาโน่ กับวิธีแก้สมการคิวบิก (x3 + mx = n), นิวตัน ทฤษฎีการแจกแจงทวินาม กับแคลคูลัส, แบร์นูลลี กับอนุกรมฮาร์โมนิก, ออยเลอร์ กับตัวอย่างทฤษฎีจำนวน และผลรวมของอนุกรม 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... สุดท้าย คันทอร์กับความบ้าคลั่งบนความหมายของอนันต์ ผมตัดตอนและผสมผสานบางบทออกมาเป็นเกร็ดความรู้เล็ก ๆ น้อย ๆ เรียบเรียงใหม่ให้คุณลองชิมกันในกลุ่มเรื่องที่น่าสนใจ ลองคลิกเข้าไปอ่านได้ที่ link ครับ ถ้าชอบ หนังสือเล่มนี้ก็เหมาะกับคุณ Dunham ไม่ได้เจาะจงเขียนให้นักคณิตศาสตร์อ่านนะครับ แต่เขียน-กึ่งหนึ่งเชิงประวัติศาสตร์-ให้ผู้ที่สนใจทั่วไปได้ทึ่ง และเห็นในความอัจฉริยะของนักคณิตศาสตร์เหล่านั้น ส่วนอีกกึ่งหนึ่งที่เป็นทฤษฎีบท แกก็อธิบายละเอียดด้วยภาษาที่คุณมองเห็นภาพตามได้ทุกสเต็ป สนุกครับ

          วิธีที่อาร์คิมิดีสใช้คำนวณพื้นที่ของวงกลม
          วิธีที่นิวตันใช้ประมาณค่า π (พาย)
          วิธีที่ออยเลอร์ใช้คำนวณ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

ผมให้




 

Create Date : 10 พฤษภาคม 2553    
Last Update : 10 พฤษภาคม 2553 20:44:24 น.
Counter : 1142 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.