creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

The Martian



ถ้าคุณเป็นนักบินอวกาศที่เพื่อน ๆ เข้าใจผิดคิดว่าตาย เพราะถูกพายุทรายพัดหายบนดาวอังคาร โดยมีเสาอากาศเสียบทะลุชุดก่อนปลิวลับไปต่อหน้าต่อตา การถูกทิ้งไว้บนดาวเคราะห์ร้างสีแดงตามลำพังด้วยเครื่องยังชีพจำกัด คุณจะยังเหลือความหวังให้ชีวิตแค่ไหน คุณจะรอดได้กี่วัน ถึงแม้จะมีหลายตอนที่ Andy Weir เขียนให้ The Martian อ่านคล้ายคู่มือการเอาตัวรอดบนดาวอังคาร แต่ก็เป็นแค่การเพิ่มความแข็งแกร่งให้กับสไตล์ hard science fiction ซึ่งเขียนได้อย่างชาญฉลาด ผมหมายถึง ทั้งฉลาดในแง่เรื่องเล่า และฉลาดในความแม่นยำของข้อมูลวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี ยังมี ฉลาดในการสร้างบุคลิกของพระเอกอารมณ์ดีแม้ในสถานการณ์ที่ริบหรี่สุด ๆ อันนี้นี่แหละครับที่ทำให้อ่านติดหนึบถึงแม้คุณจะไม่อินกับวิธีทำให้คาร์บอนไดออกไซด์ให้กลายเป็นของเหลวเพื่อแยกมันออกมาจากอากาศ เปลี่ยนน้ำตาลให้เป็นระเบิด หรือใช้มุมของดาวคำนวณละติจูด-ลองจิจูด ก็ยังลุ้นว่ามันจะรอดจากคลื่นความซวยลูกแล้วลูกเล่าได้อย่างไร

ผมให้




 

Create Date : 17 สิงหาคม 2558    
Last Update : 18 สิงหาคม 2558 13:39:10 น.
Counter : 926 Pageviews.  

The Girl on the Train



เป็น psycho-thriller ที่ชวนให้ติดตามตั้งแต่ต้นจนจบ เรื่องถูกเล่าผ่านตัวละครผู้หญิง 3 คน Rachel, Megan กับ Anna เริ่มต้นเรื่องด้วย Rachel นางเป็นขี้เมา ผัวทิ้ง ถูกไล่ออกจากงาน แต่ยังหลอกเพื่อนร่วมบ้านโดยการนั่งรถไฟออกไปทำงานทุกวัน รถไฟที่เธอนั่งจะผ่านบ้านบนถนน Blenheim เธอเฝ้ามองคู่สามีภรรยาของบ้านหลังหนึ่งจากบนรถไฟแล้วจินตนาการเรื่องราวต่าง ๆ ขึ้นมา บ้านหลังนั้นคือบ้านของ Megan และบ้านที่อยู่ใกล้ ๆ กันที่เธอไม่อาจแสร้งเป็นมองไม่เห็นมัน เป็นบ้านของผัวเก่ากับเมียใหม่ของเขา Anna แล้วพล็อตของเรื่องก็ถูกสร้างผ่านเหตุการณ์การหายตัวไปของ Megan และจากบนรถไฟนั้น Rachel เห็นว่า Megan อาจจะมีชู้ และเธอไม่อาจระงับแรงกระตุ้นที่อยากเข้าไปยุ่งไม่ได้ ความซับซ้อนในเกมรักเกมอารมณ์อยู่ในระดับโอเค แต่การบรรยายความรู้สึกนึกคิดของพวกเธอนั้น Hawkins ทำได้ชวนเชื่อดีทีเดียว ลีลาการเผยแง้มปมก็เข้าท่า ถือว่าลงตัวครับ การสร้างบรรยากาศชวนหลอน ชวนหดหู่ ก็ออกมาดี อ่านเพลิน ไม่ทันรู้สึกเบื่อเราก็พลิกหน้าหนังสือไปจนถึงจุดที่ไม่อาจถอนตัว

ผมให้




 

Create Date : 01 สิงหาคม 2558    
Last Update : 1 สิงหาคม 2558 16:05:56 น.
Counter : 3014 Pageviews.  

Reflections



ขอบคุณเพื่อนที่น่ารักคนหนึ่งผู้ส่งมาให้อ่านนะครับ เป็นหนังสือเกร็ดประวัติของ Smullyan ที่มีทั้งส่วนของ puzzle เรื่องตลก (เรื่องตลกมีเยอะมาก) เรื่องเล่าเกี่ยวกับนักดนตรี มายากล และสาว ๆ ที่แกรัก ในส่วนที่เป็น logic puzzle หรือ theorem แทบทั้งหมดเป็นงานที่เล่าซ้ำแบบกระชับ ๆ จากหนังสือเล่มอื่น ๆ ส่วนที่ค่อนข้างใหม่จริง ๆ คือ 2 บทสุดท้าย The Piano Society ที่แกแทบยกห้องแชทของกลุ่มมาให้อ่านกันเลย กับ Lovely Ladies I Have Known ที่พูดถึงผู้หญิงหลาย ๆ คนในชีวิต

ระหว่างอ่าน เจอตอนไหนถูกใจ ก็เก็บความบ้าง แปลบ้าง เอาไปเล่าซ้ำใน facebook ข้อความต่อจากนี้คือรวบรวมมาจากหลาย ๆ ตอนที่เล่ากระจัดกระจาย และคิดว่า มันน่าจะทำหน้าที่แนะนำหนังสือและตัวผู้เขียนได้ดี

*

ตอนเรียนปริญญาเอกที่พรินซ์ตัน Smullyan แชร์ออฟฟิศได้ Barry Mazur ผู้ซึ่งต่อมาเป็นนักคณิตศาสตร์ชื่อเสียงโด่งดังที่ MIT หลายปีให้หลัง หลังจากตีพิมพ์หนังสือปริศนาตรรกะเล่มแรก เขาได้รับจดหมายจาก Zeke ลูกชายวัยสิบขวบของ Barry เด็กคนนี้เขียนมาเสนอปัญหาตรรกะที่น่าทึ่ง ทำให้ Smullyan ได้ไอเดียสำหรับเขียนหนังสือบทหนึ่งเลยทีเดียว เขาโทรหา Barry บอกว่าอยากคุยกับ Zeke เพื่อชื่นชมปัญหาตรรกะอันชาญฉลาดนั้น ก่อน Barry จะเรียก Zeke มาคุย ก็พูดเบา ๆ แอบมีเลศนัยว่า "นี่ .. Zeke กำลังอ่านหนังสือของนายอยู่นะ ชอบมากด้วย แต่อย่าให้รู้ว่ามันเกี่ยวกับเลขล่ะ เขาเกลียดเลข!"

*

ตอนเรียนที่มหาวิทยาลัยชิคาโก้ Raymond Smullyan มีเพื่อนคนหนึ่งซึ่งมีน้องชาย 2 คน อายุ 8 ขวบกับ 6 ขวบ เขาไปเที่ยวบ้านเพื่อนคนนี้บ่อย มีอยู่หนหนึ่ง แกอยากแกล้งเด็ก "ฉันมีคาถาที่จะเสกให้พวกเธอกลายเป็นสิงโต!" ผิดคาด แทนที่เด็กจะกลัวกลับตอบ "ก็ได้ เสกให้เราเป็นสิงโตเลย" Smullyan ตอบ "เอ่อ ... เอาจริงอะ ... ฉันว่าอย่าดีกว่า เพราะถ้าเสกให้เป็นสิงโตแล้วจะเสกกลับมาเป็นคนอีกไม่ได้" น้องคนเล็กพูด "ไม่ได้ก็ไม่เป็นไร พวกเราอยากเป็นสิงโต" Smullyan ว่า "แน่ใจ ไม่มีทางที่ฉันจะเสกเธอกลับมาเป็นคนจริง ๆ นะ" พี่คนโตเริ่มแหกปาก "ผมอยากให้พี่ทำให้พวกเรากลายเป็นสิงโต!" ทีนี้น้องคนเล็กถาม "พี่เสกให้พวกเราเป็นสิงโตได้ยังไงฮะ" Smullyan ตอบ "ก็แค่ร่ายมนตร์ไม่กี่คำ" คนหนึ่งถาม "คำว่าอะไรครับ" Smullyan ตอบ "ถ้าฉันพูดคำนั้นออกมา พวกเธอจะกลายเป็นสิงโต" คนหนึ่งถามต่อ "แล้วไม่มีคาถาแก้ที่จะแปลงร่างเรากลับเหรอ" Smullyan ตอบ "มีสิ แต่ปัญหาคือ พอฉันร่ายมนตร์ ไม่ใช่แค่พวกเธอสองคนเท่านั้นนะ พวกเราทุกคนบนโลก รวมทั้งฉันด้วย จะกลายเป็นสิงโต เธอก็รู้นี่ พวกสิงโตพูดไม่ได้ ฉะนั้น ไม่เหลือใครที่จะร่ายคาถาแก้ไง" พี่คนโตก็เลยว่า "งั้นเขียนก็ได้" น้องคนเล็กพูด "ฉันอ่านไม่หนังสือไม่ออก" Smullyan แก้ต่อ "ไม่ได้ ไม่ได้ เช่นกัน แค่เขียน ทุกคนก็กลายเป็นสิงโตแล้ว" ทั้งคู่อุทาน "โอ"

สองสามวันต่อมา Smullyan เจอพี่คนโต ถาม "พี่ครับ ผมอยากถามอะไรหน่อย คาใจมาหลายวันล่ะ" Smullyan ว่า "เอาสิ" เขาถาม "แล้วพี่เรียนคาถานั้นได้ยังไงอะฮะ"

Smullyan เขียนเล่าเหตุการณ์ตอนนี้ใน Reflections "He really had me stumped!" แปลเป็นไทย เงิบไปเลย

*

Smullyan เล่าว่า เคยแก้ปัญหาลอจิกง่าย ๆ ข้อหนึ่งไม่ออก (อันที่จริงมันง่ายมาก และเป็นมุกที่แกใช้ประจำในหนังสือของแกเองเสียด้วย) เล่นเอาเสียเซลฟ์ไปพักใหญ่

มีคนสามคน อาเทอร์ เบ็ตตี้ และชาร์ล อาเทอร์กำลังมองเบ็ตตี้ และเบ็ตตี้กำลังมองชาร์ล อาเทอร์แต่งงานแล้ว แต่ชาร์ลยังไม่แต่งงาน คำถามคือประโยคต่อไปนี้จริงหรือเท็จ "มีคนที่แต่งงานแล้วกำลังมองคนที่ยังไม่แต่งงาน" ("one of the three is married and looking at an unmarried one")

Smullyan เอาไปให้นักเรียนระดับแกรดคนหนึ่งเล่น ("one of my brightest graduate students" แกว่า) ผลลัพธ์คือคิดไม่ออกเหมือนกัน อาการเสียเซลฟ์หมดไปหลังจากอ่านงานวิจัยชิ้นหนึ่งที่ว่า ไม่พบ correlation ระหว่างความสามารถในการแก้ปัญหาข้อนี้กับความฉลาด (intelligence) หลังอ่าน แกก็ทดลองให้คนที่ฉลาด ๆ ทำ ก็มีคนแก้ไม่ได้ และคนให้คนที่ฉลาดน้อยลงมาหน่อยทำ กลับแก้ได้อย่างรวดเร็ว สุดท้าย ทิ้งไว้ด้วยคำถาม คุณลักษณะอะไรที่ใช้บอกว่าใครสามารถแก้ปัญหาได้หรือไม่ได้ ถ้าไม่ใช่ความฉลาด แล้วอะไร?

คุณแก้ได้มั้ย เร็วหรือช้า

*

ครั้งหนึ่ง Smullayan เห็นป้าย "GOOD FOOD IS NOT CHEAP. CHEAP FOOD IS NOT GOOD." (อาหารดีมีราคาไม่ถูก อาหารราคาถูกมีคุณภาพไม่ดี) แล้วถามคนอื่น ๆ ว่าสองประโยคนี้พูดถึงสิ่งเดียวกันหรือคนละสิ่งกัน คนส่วนใหญ่ที่ Smullyan เจอตอบว่าคนละสิ่ง

ในทางตรรกะ Smullyan ว่า สองประโยคนี้พูดถึงสิ่งเดียวกันคือ ไม่มีอาหารที่ทั้งดีและถูก แต่ในทางจิตวิทยา มันทำให้เกิดความคิดที่ต่างกัน ตอนคนอ่าน Good food is not cheap. คนก็มักจะนึกถึงภาพอาหารดี ราคาแพง ขณะที่ Cheap food is not good. ก็มันจะชวนให้นึกถึงอาหารขยะ ราคาถูก

*

ปู่แกเรียนไม่จบ ม.ปลายนะครับ เป็นนักดร็อปมืออาชีพเลย และสาเหตุที่ดร็อป ม.ปลาย เพราะออกมาอ่าน Galois!

*

นักเปียโนขวัญใจคนหนึ่งของปู่เรย์คือชนาเบล ครั้งหนึ่งปู่เข้าฟังเลกเชอร์ของชนาเบลที่มหาวิทยาลัยชิคาโก้ ผู้ฟังยกมือขึ้นถามชนาเบลว่า คิดอย่างไรกับคำวิจารณ์ล่าสุดฮะ ชนาเบลตอบ "ผมไม่อ่านนักวิจารณ์อเมริกันนะ เพราะตอนที่พวกเขาเสนอแนะอะไรสักอย่าง ผมไม่รู้ว่าจะต้องทำยังไง เปรียบเทียบกับเยอรมัน คนละเรื่องเลย นักวิจารณ์คนหนึ่งเขียนถึงคอนเสิร์ตที่ผมเล่นว่า เล่นท่อนแรกในโซนาต้าของบราห์มเร็วไป พอคิดแล้วเห็นจริงแฮะ โอเค ผมรู้ล่ะว่าจะต้องทำยังไง คราวหน้าผมจะเล่นให้ช้าลงมาหน่อย แต่พอนักวิจารณ์วิจารณ์อเมริกันพูด 'ปัญหาของชนาเบลอยู่ที่เขาไม่ใส่แสงนวลแห่งจันทราลงไปมาพอขณะเล่น' ผมไม่รู้จริง ๆ ว่าจะต้องทำยังไง!"

*

จดหมายที่ Smullyan เขียนถึง Carnap ให้ David Edmonds

ถึงเดวิด

ต่อไปนี้เป็นความทรงจำบางส่วนของผมเกี่ยวกับคาร์นัป

ผมรู้จักโปรเฟสเซอร์คาร์นัปครั้งแรกตอนเรียนปริญญาตรีที่มหาวิทยาลัยชิคาโก้ เอกคณิตศาสตร์ จะว่าไป ไม่มีวิชาเลขที่เปิดสอนวิชาไหนถูกใจผมเลย คงเป็นเพราะผมสนเพียงแค่ตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ แต่ที่ได้ลงเรียนกับคาร์นัปสามตัวมีประโยชน์นัก วิชาแรกคือตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาสตร์ วิชาที่สองวากยสัมพันธ์ วิชาที่สามเป็นสัมมนา ว่าด้วยวากยสัมพันธ์กับอรรถศาสตร์ ทั้งสามตัวตัดเกรดกันที่เปเปอร์ปลายภาคอย่างเดียว ไม่มีสอบครับ สำหรับวิชาแรก ผมเขียนบทความเกี่ยวกับกระบวนวิธีตัดสินใจแบบใหม่สำหรับ monadic first-order logic* ซึ่งในฐานะบทแทรก ได้นำไปสู่สองกระบวนวิธีตัดสินใจของควิน โปรเฟสเซอร์คาร์นัปให้เกรด A และเขียนตอบกลับมาว่า ผมควรจะส่งสำเนาบทความดังกล่าวไปให้ควิน ผมทำตาม

ขอนอกเรื่องสักหน่อย ควินตอบกลับหลังจากนั้นไม่นาน ว่า "ผมชอบวิธีแก้ปัญหาแบบเมตริกซ์ของคุณนะ แต่เปเปอร์นี้คงยังไม่พอสำหรับตีพิมพ์ ดูจากความเข้าใจลึกซึ้งไม่ธรรมดาของคุณเกี่ยวกับสิ่งที่ทำให้ quantification theory** ทำงานแล้ว ผมคิดว่าคุณควรจะปรับปรุงต่อยอดอีกสักหน่อย อาจได้อะไรที่ใหม่ออกมา" ในบทความนี้ ผมสะกดคำว่า "procedures" ผิดทุกจุด ควินเขียนด้วยอารมณ์ขัน "คุณสะกด procedures ผิดคงเส้นคงวาได้อย่างน่าชื่นชม"

กลับมาที่คาร์นัป ผมไม่ได้ส่งเปเปอร์สำหรับสองวิชาที่เหลือ นั่นทำให้ติดเกรดส่งงานไม่ครบ (incomplete) ทั้งสองวิชา หลายเดือนต่อมา ผมไปเยี่ยมคาร์นัปที่พรินซ์ตัน แล้วบอกเขาว่า "ตอนนี้ผมเขียนเปเปอร์ชั้นยอดสองชิ้นเสร็จแล้วละครับ จะส่งให้อาจารย์เร็ว ๆ นี้" [ใช่ ผมไม่ถ่อมตัวเลยสักนิดในการเรียกบทความของตัวเอง "ชั้นยอด"!] พอกลับถึงบ้าน ก็ส่งบทความทั้งสองไปให้ คาร์นัปให้เกรด A กลับมาทั้งคู่ และเห็นได้ชัดว่าแกจำที่ผมเรียกเปเปอร์ของตัวเองว่า "ชั้นยอด" ได้ เพราะแกเขียน "การประเมินตัวเองของเธอถูกต้องนะ" แถมยังบอกอีกด้วยว่า "ฉันเขียนไปบอกฝ่ายทะเบียนให้แก้เกรดเธอจากส่งงานไม่ครบเป็น A แล้วล่ะ แน่นอน สำหรับฉัน เธอควรจะได้ A+ ด้วยซ้ำ แต่ฝ่ายทะเบียนไม่ยอมให้มีประจุ" หนึ่งในสองเปเปอร์นี้ คาร์นัปแนะนำ "ฉันว่าน่าจะส่งไปตีพิมพ์ใน Journal of Symbolic Logic" สำหรับอีกเปเปอร์ อาจารย์เขียน "อันนี้ก็ด้วย ฉันเชียร์ให้เธอตีพิมพ์!"

ผมตีพิมพ์เปเปอร์แรกใน Journal of Symbolic Logic ตามคำแนะนำ ชื่อของบทความคือ "Languages in which Self-Reference is Possible" และได้รับการตอบรับอย่างดี สำหรับเปเปอร์ที่สอง ส่วนหนึ่ง ผมตีพิมพ์เป็นบทความ และอีกส่วนหนึ่ง ตีพิมพ์ในหนังสือ Theory of Formal Systems ของผม

โปรเฟสเซอร์คาร์นัปช่วยเหลือผมในหลาย ๆ ด้าน ตอนอาจารย์อยู่พรินซ์ตัน แกเคยอวดบทความปลายภาค "Languages in which Self-Reference is Possible" ของผมให้เกอเดลดู หลายปีต่อมา ตอนผมเรียนที่พรินซ์ตัน ผมเจอเกอเดลผู้ซึ่งแสดงความยินดีกับบทความนั้นที่แกคิดว่าเป็นวิทยานิพนธ์ปริญญาเอก! นี่แปลกมาก ผมรู้นะว่ามันดี แต่ก็คิดว่าไม่น่าเพียงพอสำหรับทีสีส ป. เอก!

ย้อนกลับมาตอนผมยังเป็นนักเรียนที่ชิคาโก้ เพื่อนนักเรียนคนหนึ่งในคลาสของคาร์นัปคือ สแตนลีย์ เทนเน็นบัม ผู้ซึ่งต่อมาได้ตีพิมพ์ผลงานชิ้นสำคัญมากในตรรกศาสตร์เชิงคณิตศาตร์สองชิ้น เราสามคนเป็นแก๊งสนิทสนมกัน สแตนลีย์กับผมมักจะเดินไปส่งคาร์นัปที่บ้านหลังเลิกเรียน สแตนลีย์จัดงานปาร์ตี้ฉลองวันเกิดปีที่ 60 ให้คาร์นัปที่บ้านของเขา คาร์นัปหลงรักดนตรีคลาสสิก ผมเลยเล่นเปียโนให้ในงาน หลังเล่นจบ คาร์นัปว่า "ถ้าฉันเล่นได้อย่างเธอ ฉันจะเล่นวันละสิบสองชั่วโมง!"

หลังจากปาร์ตี้ที่้บ้านของสแตนลีย์ พวกเราไปต่อกันที่บ้านของคาร์นัป ที่นั่น ผมได้นำเสนอบทพิสูจน์การมีตัวตนของพระเจ้าให้คาร์นัปฟัง ตอนนั้นผมเป็นนักมายากลอาชีพอยู่นะครับ บทพิสูจน์เป็นแบบนี้ ผมหยิบควีนโพดำออกมาจากไพ่หนึ่งสำรับ ให้ทุกคนเห็นแล้วคว่ำลงบนโต๊ะ จากนั้นพูด "อาจารย์รู้ว่าสำหรับประพจน์สองประพจน์ p กับ q, ถ้า p เป็นจริงแล้ว ไม่ p ก็ q เป็นจริง***" คาร์นัปยอมรับ ผมพูดต่อ "ให้ p เป็นประพจน์ไพ่ใบนี้มีดอกสีดำ และ q เป็นประพจน์พระเจ้ามีจริง ทีนี้ เนื่องจากไพ่ใบนี้มีดอกสีดำจริง ฉะนั้น ไม่ไพ่ใบนี้มีดอกสีดำ ก็พระเจ้ามีจริง" อาจารย์ยอมรับ จากนั้นผมหงายไพ่ใบที่คว่ำไว้ เล่นเอาทุกคนตะลึง เพราะมันเปลี่ยนเป็นหน้าดอกสีแดง! ผมจึงพูดว่า "เนื่องจากมันไม่ใช่สีดำ ฉะนั้นพระเจ้ามีจริง" คาร์นัปตอบกลับอย่างเบิกบาน "แหงล่ะ พิสูจน์ด้วยมายากล แบบเดียวกับที่พวกนักเทววิทยาใช้กัน!"

มีอีกหนหนึ่ง ใครบางคนเล่นกลที่เกี่ยวกับปรากฏการณ์ซึ่งไม่น่าเป็นไปได้ทางกายภาพ คาร์นัปว่า "โอ สวรรค์! ฉันไม่คิดว่ามันจะเป็นไปได้ไม่ว่าใน possible world ไหนก็ตาม ยิ่งไม่ต้องพูดถึงในโลกใบนี้!"

คาร์นัปเป็นโรคปวดหลัง ผมก็เป็น ตอนไปเยี่ยมเขาที่พรินซํตัน เขานอนบนเตียงตลอดเวลา เพราะปวดหลัง ผมเคยแนะนำว่าบางทีอาการอาจเกิดจากปัญหาทางจิต เลยแนะนำให้ลองปรึกษานักจิตบำบัด เขาทำตามนะครับ หลายปีต่อมา ผมเจอนักจิตบำบัดคนนั้น เขาพูดชื่นชมคาร์นัปมาก

ผมบอกคุณแล้วว่าคาร์นัปช่วยเหลือผมหลายด้านมาก ที่จริง เขาอาจเป็นคนที่เปลี่ยนเส้นทางชีวิตของผมด้วยซ้ำ! เรื่องเป็นแบบนี้

หลายเดือนหลังจากเยี่ยมคาร์นัปที่พรินซ์ตัน ผมกลับไปใช้ชีวิตเป็นนักมายากลอยู่ที่ชิคาโก้ วันหนึ่ง ผมได้รับโทรศัพท์จากโปรเฟสเซอร์จอห์น เคเมนี หัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ที่วิทยาลัยดาร์ตมัธในแฮนโอเวอร์ นิวแฮมป์เชียร์ เขาบอกว่าภาควิชาต้องการคนสอนเลข และตอนที่เขาอยู่พรินซ์ตัน คาร์นัปเคยแนะนำผมว่าในฐานะ "นักคณิตศาสตร์ผู้ปราดเปรื่อง" ซึ่งเหมาะกับตำแหน่งนี้ เคเมนีถามว่าผมจะมาสัมภาษณ์ที่ดาร์ตมัธมั้ย เขาจะออกค่าใช้จ่ายให้ ผมก็โอเค ไปดาร์ตมัธ ได้งาน และสอนที่นั่นอยู่สองปี นั่นแหละครับผม อาจารย์ดาร์ตัธผู้ไม่มีปริญญาตรี ไม่มีแม้กระทั่งวุฒิ ม. ปลาย! ภายหลังมหาวิทยาลัยชิคาโก้ให้ปริญญาตรีผมนะ ส่วนหนึ่งก็เป็นเครดิตจากคอร์สที่ผมไม่เคยลงเรียน แต่เคยสอนที่ดาร์ตมัธ

จบสองปีที่ดาร์ตมัธ จอห์น เคเมนีเป็นคนช่วยให้ผมได้เป็นเข้าเรียนระดับบัณฑิตศึกษาที่พรินซ์ตัน คาร์นัปก็ช่วย ผมขอให้เขาเขียนจดหมายรับรองเข้าพรินซ์ตัน อาจารย์ตอบคำขอของผมว่า "แน่นอน ฉันเขียนจดหมายให้เธออยู่แล้ว เธอก็รู้ว่าฉันเห็นศักยภาพในตัวเธอและเต็มใจช่วยเสมอถ้าช่วยได้"

ถ้าผมไม่รู้จักคาร์นัป ผมก็คงไม่ได้งานที่ดาร์ตมัธ และอาจไม่ไปได้พรินซ์ตัน และก็ไม่แน่ว่าจะได้ปริญญาเอกคณิตศาสตร์จากที่ไหนด้วยหรือไม่ แล้วชีวิตผมจะลงเอยยังไง เป็นไปได้สูงว่านักเดี่ยวเปียโน หรือไม่ก็นักมายากล!

ครั้งสุดท้ายที่ผมเจอคาร์นัปคือที่พรินซ์ตัน หลังจากผมส่งวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกได้ไม่นาน คำพูดประโยคสุดท้ายที่เขาพูดกับผมคือ "ฉันเข้าใจว่าเธอเขียนวิทยานิพนธ์ที่เยี่ยมยอด"

...

เดวิด ผมรู้ว่าผมไม่ถ่อมตัวเอาเสียเลย ถึงขั้นหลงตัวเองที่เล่าเรื่องเหล่านี้ ก็แต่ละเรื่องดันซะตัวเองเด่นนี่! ข้อเท็จจริงอันน่าเศร้าคือ โชคร้ายครับที่ผมเป็นพวกหลงตัวเองชนิดไม่อาจเยียวยา ฝืนไม่ได้จริง ๆ ติดอยู่ในพันธุกรรมเสียแล้ว มาร์ค ทเวนเคยพูดว่า "ผมเกิดมาอ่อนน้อมถ่อมตน แต่ความอ่อนน้อมถ่อมตนนะอยู่ได้ไม่นาน" ส่วนผม "ผมเกิดมาก็หลงตัวเองเอาเสียแล้ว แถมมันยังอยู่มาจนถึงวันนี้!"

ด้วยความนับถือ
เรย์มอนด์

ป.ล. จู่ ๆ ก็นึกขึ้นได้อีกสองเรื่องเกี่ยวกับคาร์นัป ครั้งหนึ่งในชั้นเรียน แทนที่จะพูด "ตอนฉันเขียน Logical Syntax of Language" อาจารย์กลับพูด "ตอนที่ฉันเขียน Principia Mathematica" ภายหลังพอผมบอก อาจารย์ก็ขำแล้วว่าเป็นการพลั้งปากแบบฟรอยด์ "ฉันเดาว่าในจิตใต้สำนึก คงหวังให้ตัวเองเป็นคนเขียน Principia Mathematica"

อีกเรื่องหนึ่ง เขาเล่าให้คลาสฟังเกี่ยวกับเกอเดล เขาเป็นคนอ่านตรวจสอบวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของเกอเดลว่าด้วย completeness ของ first-order logic อาจารย์ว่า "นั่นเป็นวิทยานิพนธ์ที่สั้นที่สุดเท่าที่ฉันเคยอ่านมาเลย!"

คาร์นัปยังเล่าพวกเราด้วยว่า ครั้งหนึ่งเขาเคยเสนอเขียนเปเปอร์ร่วมกับเกอเดล "นี่อาจช่วยให้คุณดัง" อาจารย์เล่า พอได้ยินแบบนั้นเกอเดลยืดตัวตรงอย่างมั่นคง แล้วพูด "ผมจะดังด้วยตัวของผมเอง"

THE END

อันนี้เป็นโน้ตของผมซึ่งอาจจะไม่ช่วยเหลืออะไรสักเท่าไร

* พูดแบบหยาบ ๆ นะ มันคือ first-order logic ที่ arity ของ predicate คือ 1
** มันก็คืออีกชื่อหนึ่งของ first-order logic นั่นแหละ
*** แกพูดว่า p∨q เป็นจริง เพราะ p เป็นจริง

*

ตัวอย่างหนึ่งที่ปู่เรย์ใช้อธิบายให้ชาวบ้านทั่วไปให้พอได้อารมณ์ของ incompleteness theorem ทฤษฎีบทแรกของเกอเดล เป็นแบบนี้ครับ

สมมติมีเครื่องจักรหนึ่งซึ่งจะพิมพ์ข้อความที่สร้างจากสัญลักษณ์ P N R *

เราจะเรียกข้อความที่เครื่องจักรสามารถพิมพ์ออกมาได้ว่าเป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ และถือว่าเครื่องจักรถูกโปรแกรมให้พิมพ์ข้อความทั้งหมดที่มันสามารถพิมพ์ได้ไม่ช้าก็เร็ว

ประโยคหมายถึงข้อความในรูปแบบใดรูปแบบหนึ่งต่อไปนี้ เมื่อ X แทนข้อความใด ๆ

(1) P*X
(2) NP*X
(3) PR*X
(4) NPR*X

ประโยค P*X จะถูกตีความว่า "สามารถพิมพ์ X ได้" และประโยคนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ X เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้, ประโยค NP*X จะถูกตีความว่า "ไม่สามารถพิมพ์ X ได้" และประโยคนี้จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ X เป็นข้อความที่ไม่สามารถพิมพ์ได้, ประโยค PR*X จะถูกตีความว่า "สามารถตีพิมพ์ XX ได้" และมันเป็นจริงก็ต่อเมื่อ XX เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้, สุดท้าย NPR*X เป็นจริงก็ต่อเมื่อ XX เป็นข้อความที่ไม่สามารถพิมพ์ได้

เรารู้ว่าเครื่องจักรเครื่องนี้แม่นยำมาก และทุกประโยคที่พิมพ์ออกมา เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ถ้า PR*X เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ ย่อมหมายความว่าข้อความนี้เป็นจริง และนั่นหมายความว่า ข้อความ XX จะต้องถูกพิมพ์ออกมาไม่ช้าก็เร็ว

ทีนี้ ถ้ากำหนดว่า X เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ เราจะบอกได้มั้ยว่า P*X ก็เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ด้วย

คำตอบคือ ไม่จำเป็นครับ การที่ X เป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ ทำให้ประโยค P*X เป็นจริง แต่ไม่ได้หมายความว่า P*X จะเป็นข้อความที่สามารถพิมพ์ได้ สิ่งที่ปู่เรย์บอกตอนเริ่มต้นนั้นมีแค่ว่า ประโยคที่พิมพ์ได้ทั้งหมดเป็นจริง แต่ไม่ได้บอกว่า ประโยคทั้งหมดที่เป็นจริง พิมพ์ได้ และในความเป็นจริงแล้ว มันมีประโยคที่เป็นจริงที่เครื่องจักรไม่สามารถพิมพ์ได้ ถ้าสนใจลองหาประโยคนั้นเองก่อน ก็อย่าเพิ่งอ่านย่อหน้าต่อไป

สำหรับข้อความ X ใด ๆ ประโยค NPR*X เป็นจริงก็ต่อเมื่อข้อความ XX ไม่สามารถพิมพ์ได้ ถ้าให้ X คือ NPR* ล่ะ ฉะนั้น NPR*NPR* เป็นจริงก็ต่อเมื่อ NPR*NPR* ไม่สามารถพิมพ์ได้ ทำให้เกิดความเป็นไปได้แบบใดแบบหนึ่งในสองแบบนี้ คือ ก. NPR*NPR* เป็นจริงและไม่สามารถพิมพ์ได้ หรือ ข. NPR*NPR* ไม่เป็นจริงแต่มันสามารถถูกพิมพ์ได้ (เผื่อใครกำลังงง A iff B เป็นจริง ได้ 2 กรณีคือ ก. A และ B เป็นจริงทั้งคู่ กับ ข. A และ B เป็นเท็จทั้งคู่) แต่เรารู้ว่ากรณี ข. เกิดขึ้นไม่ได้ เพราะเครื่องจักรไม่พิมพ์ข้อความที่ไม่จริง ฉะนั้น NPR*NPR* คือข้อความที่เป็นจริงที่เครื่องจักรไม่สามารถพิมพ์ได้

ยังมีอะไรบางอย่างที่น่าสนใจเกี่ยวกับเครื่องจักรนี้ นั่นคือ เป็นไปได้ที่เราจะสร้างประโยค X กับ Y ที่มีประโยคหนึ่งในสองประโยคเป็นจริงแต่ไม่สามารถพิมพ์ได้ แต่ไม่มีทางที่จะรู้ได้ว่าประโยคดังกล่าวคือประโยคไหน ไอเดียคือสร้าง X ที่บอกว่า P*Y และสร้าง Y ที่บอกว่า NP*X เพราะ ถ้า X จริง นั่นคือ Y จริง และไม่สามารถพิมพ์ X ได้ ฉะนั้น ถ้า X จริง X ก็จะเป็นประโยคที่เป็นจริงที่ไม่สามารถพิมพ์ได้ แต่ถ้า X เท็จ แปลว่า ไม่สามารถพิมพ์ Y ได้ และข้อความที่ว่า NP*X ก็เป็นจริง เพราะเครื่องจักรไม่สามารถพิมพ์ข้อความที่เป็นเท็จได้ ฉะนั้น ถ้า X เท็จ Y ก็จะเป็นประโยคที่เป็นจริงที่ไม่สามารถพิมพ์ได้ ตัวอย่างคู่ข้อความดังกล่าวคือ X เท่ากับ P*NPR*P*NPR* และ Y เท่ากับ NPR*P*NPR* เห็นว่า X บอก P*Y ส่วน Y บอกไม่สามารถพิมพ์ P*NPR* ที่ซ้ำกันสองที (ซึ่งก็คือ X) ได้

*

คนต่างถิ่นมาถึงหมู่บ้านแห่งหนึ่ง และต้องพูดหนึ่งประโยค ถ้าประโยคนั้นเป็นจริง เขาจะถูกจับฆ่าบูชายัญที่แท่นบูชาความจริง แต่ถ้าประโยคนั้นเป็นเท็จ เขาจะถูกจับฆ่าบูชายัญที่แท่นบูชาความเท็จ เขาจะต้องพูดว่าอะไร (ข้อกำหนด ถ้าเขาพูดประโยคที่ไม่มีค่าความจริงหรือเท็จเช่น เธอกินข้าวแล้วหรือยัง จะถูกฆ่าทันที)

*

เมื่อสองสามวันก่อน เราแปลจดหมายที่ Smullyan เขียนถึง Carnap ส่งให้กับ David Edmonds

มีเกร็ดที่ Smullyan เล่าต่อใน Reflections ถึงจอห์น เคเมนี หัวหน้าภาควิชาคณิตศาสตร์ที่โทรศัพท์ชวนไปสอนหนังสือที่ดาร์ตมัธ เคเมนีคนนี้เคยเป็นผู้ช่วยของไอน์สไตน์ และเคยเล่าให้ปู่ฟังว่า ที่ IAS นั้น ออฟฟิศของไอน์สไตน์กับเกอเดลอยู่ตรงข้ามกัน ตอนที่เคเมนีเป็นผู้ช่วย เกอเดลกำลังศึกษาทฤษฎีทางกายภาพที่แปลกพิลึกเกี่ยวกับเอกภพที่ไม่มีอยู่จริง แต่มีความเป็นไปได้เชิงตรรกะ วันหนึ่ง เคเมนีถามเกอเดลว่าไอน์สไตน์คิดยังไงเกี่ยวกับทฤษฎีนี้ เกอเดลตอบ ไม่รู้สิ เขายังไม่เคยเจอไอน์สไตน์เลย เคเมนีช็อค เป็นไปได้ยังไง อยู่ออฟฟิศอยู่ตรงข้ามกันมาเป็นปีแท้ ๆ กลับไม่เคยคุยกัน เคเมนีก็เลยพาเกอเดลไปแนะนำให้ไอน์สไตน์รู้จัก และทั้งสองกลายเป็นเพื่อนสนิทดังที่ทุกคนทราบกันดี โดยเฉพาะคำกล่าวที่ว่า ช่วงปีท้าย ๆ ของชีวิต ไอน์สไตน์บอก ที่ตัวเองยังไปทำงานอยู่ก็เพราะอยากเดินคุยกับเกอเดล

โน้ต: เราลองเช็คในหนังสือใกล้มือ 2 เล่ม Einstein ของ Isaacson ไม่เคยพูดถึงชื่อ Kemeny, หนังสือ A World Without Time ของ Yourgrau ที่พูดถึงคนคู่นี้โดยเฉพาะ ก็ไม่เอ่ยถึง Kemeny

John Kemeny เป็นลูกศิษย์ของ Church (Church ใน Church-Turing thesis กับ Frege-Church ontology นั่นแหละ, ภายหลังปู่ก็เข้าสำนัก Church เหมือนกัน) และเป็นเคยเป็นผู้ช่วยด้านเลขให้กับไอน์สไตน์ที่ IAS และเป็นคนที่เคยบอกคณบดีให้รับปู่เรย์เข้ามาเป็นอาจารย์ที่ดาร์ตมัธ ถึงแม้ว่าปู่จะไม่มีทั้งวุฒิ ม.ปลาย และ ป.ตรี

*

ใน Reflections ปู่เรย์อธิบายทฤษฎีบทของ Tarski ไม่ยาวนัก และสามารถทำความเข้าใจตามได้ไม่ยากนัก

ระบบเชิงคณิตศาสตร์ที่เรากำลังสนใจมีลักษณะดังนี้

ในการบรรยายลักษณะของมัน เราจะใช้คำว่าจำนวนแทนจำนวนเต็มที่ไม่ติดลบ เช่น 0, 1, 2, 3, ..., n, ...

ในเซ็ตของข้อความ (expressions) ในระบบดังกล่าวจะมีเซ็ตที่ well-defined (ราชบัณฑิตฯ เรียก เซ็ตแจ่มชัด) เซ็ตหนึ่งของข้อความ ซึ่งเราเรียกข้อความของเซ็ต well-defined นั้นว่าประโยค (sentences) และเรียกข้อความของเซ็ตที่ well-defined เซ็ตอื่นว่า predicate (ราชบัณฑิตฯ เรียก ภาคแสดง)

predicate แต่ละตัวคือชื่อ (name) ของเซ็ตใดเซ็ตหนึ่งของจำนวน สำหรับแต่ละเพรดิเคต H และแต่ละจำนวนน n จะมีประโยคที่เขียนด้วย H(n) ซึ่งจะถูกตีความว่าหมายถึง n เป็นสมาชิกของเซ็ตที่มีชื่อว่า H

ประโยคทุกประโยคของระบบนี้อยู่ในรูป H(n) สำหรับบางเพรดิเคต H และจำนวน n

ทุกข้อความของระบบนี้จะมีการกำหนดหมายเลขกำกับ เราเรียกหมายเลขกำกับนั้นว่าจำนวนเกอเดลของข้อความ

ถ้าจำนวน n เป็นจำนวนเกอเดลของประโยค เราจะเรียก n ว่าจำนวนประโยค (sentence number) และกำหนดให้ S_n แทนประโยคที่จำนวนเกอเดลเท่ากับ n, ถ้า n เป็นจำนวนเกอเดลของเพรดิเคต เราจะเรียก n ว่าจำนวนเพรดิเคต (predicate number) แล้วกำหนดให้ H_n แทนเพรดิเคตที่จำนวนเกอเดลเท่ากับ n

คำว่า diagonalization ของ H หมายถึงประโยค H(h) สำหรับเพรดิเคต H ใด ๆ ก็ตามที่จำนวนเกอเดลเท่ากับ h ฉะนั้นสำหรับจำนวนเพรดิเคต n ใด ๆ diagonalization ของ H_n คือประโยค H_n(n)

สำหรับแต่ละจำนวน n เราจะจับคู่มันกับจำนวนที่เขียนแทนด้วย n* ในแบบที่ ถ้า n เป็นจำนวนเพรดิเคต แล้ว n* เป็นจำนวนเกอเดลของประโยค H_n(n) (ประโยคนี้ก็คือ diagonalization ของ H_n นะครับ)

เพื่อความสะดวก เราจะกำหนด notation ดังนี้ สำหรับเพรดิเคต H และข้อความ X ใด ๆ ว่า H[X] หมายถึง H(x) เมื่อ x คือจำนวนเกอเดลของ X ฉะนั้นสำหรับเพรดิเคต H ใด ๆ ข้อความ H[H] แทน diagonalization ของ H

กำหนดเซ็ต Σ เป็นเซ็ตของข้อความของระบบ เราจะพูดว่าเพรดิเคต H นิยาม Σ ในความหมายว่า H เป็นชื่อของเซ็ตของจำนวนเกอเดลของสมาชิกของ Σ ฉะนั้น H นิยาม Σ คือการพูดว่า สำหรับทุกข้อความ X แล้วประโยค H[X] เป็นจริงก็ต่อเมื่อ X เป็นสมาชิกของ Σ

ประโยคสองประโยคจะสมมูลกัน (equivalent) ถ้าพวกมันเป็นจริงทั้งคู่หรือไม่ก็เป็นเท็จทั้งคู่

ทีนี้ ระบบที่เรากำลังสนใจจะต้องผ่านเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้

C1: สำหรับเพรดิเคต H ใด ๆ จะมีเพรดิเคต H# ซึ่งจะถูกเรียกว่า diagonalizer ของเพรดิเคต H ในแบบที่ ประโยค H#(n) สมมูลกับ H(n*) สำหรับทุก ๆ จำนวนพริดิเคต n

C2: สำหรับเพรดิเคต H ใด ๆ จะมีเพรดิเคต H-bar ซึ่งจะถูกเรียกว่านิเสธ (negation) ของเพรดิเคต H ในแบบที่ ประโยค H-bar(n) เป็นจริงก็ต่อเมื่อ H(n) เป็นเท็จ สำหรับทุกจำนวน n

เงื่อนไข C1 บอกว่า สำหรับเพรดิเคต H และ K ใด ๆ ประโยค H#[K] สมมูลกับ H[K[K]] เพราะ K ถูกจับคู่อยู่กับจำนวนเกอเดล k และ H#(k) สมมูลกับ H(k*) ซึ่ง H#(k) ก็คือประโยค H#[K] และเนื่องจาก k* เป็นจำนวนเกอเดลของ K[K] (ซึ่งก็คือ K(k)) ฉะนั้น H(k*) คือประโยค H[K[K]]

อาศัยแค่ C1 กับ C2 ทฤษฎีบทของ Tarski บอกว่า "เซ็ตของประโยคที่เป็นจริงของระบบดังกล่าวไม่สามารถนิยามได้ในระบบ"

แปลว่า เซ็ตของจำนวนเกอเดลของประโยคที่เป็นจริงของระบบไม่สามารถเรียกชื่อได้ด้วยเพรดิเคตอะไรก็ตามในระบบ

หลักการสำคัญที่อยู่เบื้องหลังการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นแบบนี้ครับ

เราเรียกประโยค S ว่าเป็น fixed point ของเพรดิเคต H ถ้าประโยค S สมมูลกับ H[S] (โน้ต fixed point นี่สัมพันธ์กับ self-reference สมมติว่า S เป็น fixed point ของ H และให้ n เป็นจำนวนเกอเดลของ S ฉะนั้น S_n ซึ่งสมมูลกับ H(n) สามารถมองว่าเป็นการอ้างว่าจำนวนเกอเดลของมันเองอยู่ในเซ็ตที่ถูกระบุชื่อโดย H)

อาศัยแค่ C1 เราจะได้ทฤษฎีบทที่ว่า "เพรดิเคต H ทุกตัว มี fixed point" (อันนี้พิสูจน์ได้ไม่ยาก จากเงื่อนไขว่า H#[K] สมมูลกับ H[K[K]] เราก็ให้ K แทนเพรดิเคต H# ก็จะได้ H#[H#] สมมูลกับ H[H#[H#]] ซึ่งหมายความว่า H#[H#] เป็น fixed point ของ H)

กลับมาที่พิสูจน์ทฤษฎีบทของ Tarski

เราจะเรียกเพรดิเคต H ว่าเป็น truth predicate ถ้า H นิยามเซ็ตของประโยคที่เป็นจริง (นั่นคือ ถ้า H เป็นชื่อของเซ็ตของจำนวนเกอเดลของประโยคที่เป็นจริง) ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้ เราจะต้องแสดงให้เห็นว่า truth predicate ไม่สามารถมีอยู่ได้ในระบบเชิงคณิตศาสตร์ใดก็ตามที่เป็นไปตามสมมติฐานของเรา

เอาล่ะ ถ้า H เป็น truth predicate แล้วละก็ สำหรับข้อความ X ใด ๆ ประโยค H[X] จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ X เป็นประโยคที่เป็นจริง นั่นคือ สำหรับประโยค S ทุกประโยค ประโยค H[S] เป็นจริงก็ต่อเมื่อ S เป็นจริง เท่ากับพูดว่า S เป็น fixed point ของ H ดังนั้น ถ้า H เป็น truth predicate แล้วประโยคทุกประโยคเป็น fixed point ของ H ฉะนั้น ถ้าเราสามารถแสดงได้ว่ามีอย่างน้อย 1 ประโยคที่ไม่เป็น fixed point ของ H ก็เป็นอันจบพิธี

จากทฤษฎีบท fixed point เรารู้ว่า H-bar มี fixed point สมมติว่ามันคือ S ฉะนั้น S สมมูลกับ H-bar(S) ทำให้ S ไม่สามารถสมมูลกับ H[S] (เพราะเป็นไปไม่ได้ที่ H-bar[S] จะสมมูลกับ H[S]) พูดอีกอย่างว่า การมีอยู่ของ fixed point ของ H-bar ก็คือเครื่องยืนยันว่า H ไม่เป็น truth predicate และ fixed point ตัวหนึ่งของ H-bar ก็คือ H-bar#[H-bar#] (จากตัวอย่างที่ใช้พิสูจน์ fixed point theorem) QED

จากจุดนี้ เราต่อไปที่ผลลัพธ์ของเกอเดลได้

ถ้ามีเซ็ตของประโยคที่เรียกว่า provable sentences (ประโยคที่สามารถพิสูจน์ได้) ในแบบที่เงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง

C3: เซ็ตของประโยคที่สามารถพิสูจน์ได้ นิยามได้

เราจะเรียกระบบว่าเป็นระบบที่ถูกต้องถ้ามีเฉพาะประโยคที่เป็นจริงเท่านั้นที่สามารถพิสูจน์ได้ และเราจะถือว่าระบบที่เรากำลังสนใจอยู่นี้เป็นระบบที่ถูกต้อง (แปลว่า provable sentences ทุก ๆ ประโยค เป็นจริง)

เนื่องจากเซ็ตของประโยคที่สามารถพิสูจน์ได้นิยามได้ และจากทฤษฎีบทของ Tarski เซ็ตของประโยคที่เป็นจริง ไม่สามารถนิยามได้ ฉะนั้นทั้งสองเซ็ตไม่ทับกันสนิท หมายความว่ามีความเป็นไปได้ 2 แบบ แบบแรก มีบางประโยคที่เป็นจริงที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ หรือแบบที่สอง มีบางประโยคที่สามารถพิสูจน์ได้ที่ไม่เป็นจริง แต่เราตั้งสมมติฐานว่าเป็นระบบที่ถูกต้อง ทำให้แบบที่สองตกไป ฉะนั้น เราได้ผลลัพธ์ของเกอเดลที่ว่ามีบางประโยคที่เป็นจริงที่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ เราจะเรียกประโยคดังกล่าวว่าประโยคเกอเดล

เราสามารถแสดงตัวอย่างประโยคเกอเดลได้ดังนี้ เซ็ตของประโยคที่สามารถพิสูจน์ได้ถูกนิยามด้วยเพรดิเคต P บางตัว ฉะนั้น fixed point S ใด ๆ ของ P-bar ก็คือประโยคเกอเดล (เพราะ P[S] เป็นจริงก็ต่อเมื่อ S สามารถพิสูจน์ได้ ทำให้ P-bar[S] เป็นจริงก็ต่อเมื่อ S ไม่สามารถพิสูจน์ได้ และถ้า S สมมูลกับ P-bar[S] แล้ว S เป็นจริงก็ต่อเมื่อ S ไม่สามารถพิสูจน์ได้) และ fixed point ตัวหนึ่งของ P-bar ก็คือ P-bar#[P-bar#]

ฉะนั้น P-bar#[P-bar#] เป็นประโยคเกอเดล มันเป็นประโยคที่เป็นจริงแต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระบบ ภายใต้เงื่อนไขว่าระบบนั้นเป็นระบบที่ถูกต้อง

*

ใน Reflections ปูเรย์ยกตัวอย่างเรื่อง sound กับ valid ใน syllogism (คำแปลเก๋ ๆ ของมันคือ ปรัตถานุมาน, ส่วนในตำราเลขภาษาไทยใช้ ตรรกบท) ลองดูอันนี้น่ารักดี ค้างคาวทุกตัวบินได้ โสกราตีสเป็นค้างคาว ฉะนั้น โสกราดีสบินได้ นี่เป็นรูปแบบที่ valid แต่ไม่ sound คือถ้าโสกราตีสเป็นค้างคาวจริง มันก็บินได้จริง ๆ นั่นแหละ valid แต่มันเป็นค้างคาวจริงเหรอ นี่ไม่ sound

อีกตัวอย่าง น่ารักเหมือนกัน และเจอบ่อย สำหรับคนที่ยังไม่เคยเจอ ลองวัดความรู้ตรรกศาสตร์ 101 นะฮะ

1. ทุก ๆ คนรักลูกของฉัน ลูกของฉันรักฉันแค่คนเดียว ฉะนั้น ฉันคือลูกของฉัน

อีกอัน

2. ทุก ๆ คนรักคนที่กำลังมีความรัก โรเมโอรักจูเลียต ฉะนั้น ปุณณ์รักโน่

(หมายเหตุ เราไม่รู้จริง ๆ ว่าใครคือปุณณ์กับโน่)

ครั้งหนึ่ง มีคนถาม Russell ว่าอะไรคือความรู้ใหม่จากข้อสรุปของ syllogism ความรู้มันก็อยู่อยู่ใน premises อยู่แล้วไม่ใช่เหรอ Russell ตอบว่า ใช่ครับ คำตอบไม่ได้ให้อะไรใหม่ในเชิงตรรกะ แต่มันให้อะไรใหม่ ๆ ในเชิงจิตวิทยา

เฉลยสำหรับทั้ง 2 ข้อ valid นะครับ 1. ทุก ๆ คนรักลูกของฉัน ลูกของฉันก็เป็นคน ทำให้ลูกของฉันรักลูกของฉัน และลูกของฉันรักฉันแค่คนเดียว ฉะนั้น ฉันคือลูกของฉัน เพราะถ้าฉันไม่ใช่ลูกของฉัน ลูกของฉันจะต้องรักคนอื่นด้วยนอกจากฉัน นั่นคือ รักลูกของฉันอีกคน ส่วนข้อ 2. โรเมโอรักจูเลียต ฉะนั้น โรเมโอกำลังมีความรัก ทำให้ทุก ๆ คนรักโรเมโอ ทำให้ทุก ๆ คนมีความรัก ทำให้ทุก ๆ คนรักทุก ๆ คน ทำให้ปุณณ์รักโน่

*

Raymond Smullyan เป็นอาจารย์ที่แจกเกรด เคยมีปัญหาเรื่องชอบแจกเกรดกับอาจารย์คนอื่น ๆ ตอนที่สอน CUNY Graduate Center แกเล่าว่าเวลาจะตัดเกรด จะให้เด็กประเมินตัวเองว่าได้เกรดเท่าไร ถ้าเกรดที่เด็กประเมินไม่สูงกว่าเกรดที่แกคิดไว้ในใจ ก็จะให้เกรดที่คิดไว้ในใจ แต่ถ้าเด็กประเมินสูงกว่า ก็จะยอมให้ต่อรอง คล้าย ๆ อัลเฟรด นอร์ธ ไวท์เฮด ที่มักจะแจก A (หรือแย่สุดคือ B)

ตอนที่เป็นอาจารย์มหาวิทยาลัยอินเดียนา ได้สอนวิชาลอจิกให้เด็กศิลปศาสตร์ และเพื่อช่วยให้เด็กได้เกรดดี ๆ แกออกข้อสอบปลายภาคว่า "เขียนอะไรก็ได้ที่อยากเขียน" และมีอยู่เรื่องหนึ่งที่เด็กนักเรียนเขียนแล้ว Smullyan ชอบมาก ถึงขั้นต่อให้เป็นเด็กที่ควรได้ F ในลอจิกแกก็จะให้ A (แต่แน่นอนว่า เด็กที่จะเขียนเรื่องแบบนี้ได้ ย่อมไม่ใช่เด็กที่จะได้ลอจิก F!)

เรื่องเป็นแบบนี้ครับ

กาลครั้งหนึ่งนานมาแล้ว มีชนเผ่าสองเผ่า เผ่าเสียสละกับเผ่าเห็นแก่ตัว ชนเผ่าเสียสละไม่อยากทำอะไรเพื่อตัวเองเลยสักอย่างเดียว เขาจะทำเฉพาะเพื่อสังคมเท่านั้น ส่วนชนเผ่าเห็นแก่ตัวไม่ใช่แค่ไม่อยากเท่าอะไรเพื่อสังคม แต่ถึงขั้นรังเกียจการทำอะไรก็ตามเพื่อสังคมอย่างรุนแรง อยู่มาวันหนึ่ง สองเผ่าทำสงครามกัน คนถูกฆ่าตายเกือบหมด เหลืออยู่สองคน คนละเผ่า ทั้งคู่เล็งปืนไปที่อีกคน คนเผ่าเสียสละคิด "ถ้าเรายิงมัน ก็จะเหลือเราคนเดียวในสังคม และอะไรก็ตามที่เราทำเพื่อสังคมก็เท่ากับทำเพื่อตัวเอง ไม่นะ เราไม่อยากเห็นแก่ตัว!" ส่วนคนเผ่าเห็นแก่ตัวก็คิด "ถ้าเรายิงมัน ก็จะเหลือเราคนเดียวในสังคม และอะไรก็ตามที่เราทำเพื่อตัวเองก็เท่ากับทำเพื่อสังคม ไม่นะ เราไม่อยากทำอะไรก็ตามเพื่อสังคม!" ดังนั้นทั้งคู่เก็บปืน ไม่ยิงกัน

Smullyan บอกว่าจำไม่ได้ล่ะว่านักเรียนคนไหนเขียน และบอกผ่านหนังสือ Reflections ถ้านักเรียนคนนั้นได้อ่าน ติดต่อแกด้วยจ้า

*

ภรรยาของ Smullyan คนที่อยู่กินกันนานที่สุดคือ Blanche นานถึง 48 ปี Blanche เสียชีวิตปี 2005 ตอนอายุ 100 ปี! ปีที่หนังสือ Reflections พิมพ์คือปีนี้นะฮะ 2015 Smullyan อายุ 96 แปลว่า Blanche แก่กว่า Smullyan 14 ปี Smullyan เล่าเหตุการณ์ระหว่างมื้อเช้าวันหนึ่ง ขณะอยู่ในอารมณ์อยากแกล้งเมียสุดที่รัก

Raymond: คำตอบที่ถูกต้องของคำถามนี้คือ "ไม่" ใช่มั้ย
Blanche: คำถามไหน
Raymond: ก็คำถามที่เพิ่งถามไปไงจ๊ะ "ไม่" คือคำตอบที่ถูกต้องของคำถามนั้นใช่มั้ย
Blanche: แน่นอน ไม่
Raymond: อา! เธอตอบว่า "ไม่" ใช่มั้ย
Blanche: ใช่
Raymond: แล้วคำตอบของเธอถูกรึเปล่า
Blanche: ถูกสิ ทำไม
Raymond: งั้นก็แปลว่า "ไม่" คือคำตอบที่ถูกต้องของคำถามสินะ
Blanche: ใช่
Raymond: งั้นตอนเราถามเธอว่าใช่มั้ย เธอควรจะตอบว่าใช่ สิ ไม่ใช่ ไม่!
Blanche: (คิดครู่หนึ่ง) ก็คงงั้น ฉันควรตอบว่าใช่
Raymond: ผิด เธอไม่ควรตอบว่าใช่
Blanche: อ้าว!
Raymond: ถ้าเธอตอบว่าใช่ เท่ากับเธอยืนยันว่า "ไม่" คือคำตอบที่ถูกต้อง ในกรณีนี้เธอก็ควรตอบคำตอบที่ถูกต้องคือไม่สิ ไม่ใช่ ใช่!
Blanche: ไม่คุยด้วยแล้ว

ผมให้




 

Create Date : 31 กรกฎาคม 2558    
Last Update : 31 กรกฎาคม 2558 0:26:21 น.
Counter : 951 Pageviews.  

Parade



หลังจากนั่งคิดอยู่หลายนาทีว่าจะเริ่มต้นอย่างไรดี พิมพ์ ๆ ลบ ๆ สี่ห้าครั้ง เราควรจะลบประโยคนี้ด้วยดีไหมนะ ตัดใจ ช่างมัน เอาเป็นว่าชอบก็แล้วกัน ตัวละครที่มาอยู่ร่วมกันในอพาร์ทเม้นต์ของ Yoshida ใกล้เคียงกับคำว่าเพื่อนที่สุดในระดับความเป็นจริง ขณะเดียวกัน ก็ห่างจากคำว่าเพื่อนมากที่สุดในระดับอุดมคติ เทคนิคที่แบ่งเนื้อหาออกเป็น 5 บท แต่ละบทบรรยายผ่านบุรุษที่หนึ่งของตัวเอก 5 ตัว ดูจะเสริมกับแก่นเรื่องที่ตัวละครแต่ละตัวพูดถึงด้านที่เปิดเผยตัวตนต่อคนอื่น ด้านที่ซ่อนเร้นตัวตนจากคนอื่น และด้านที่อยากให้คนอื่นรู้ แต่ไม่อยากเปิดเผย เสริมแข็งแกร่ง จนเป็นเรื่องที่ สำหรับเราแล้ว ถือว่าพูดถึงมิตรภาพกับความแปลกแยกได้อย่างเจ็บปวดที่สุด เห็นจริงสมคำโปรยบนปกจากการ์เดียน "A Sharply observed slice of urban alienation"

ฝีมือแปลของ Philip Gabriel คงไม่ต้องพูดถึง แฟน ๆ มุระกะมิ ฉบับแปลภาษาอังกฤษ คุ้ยเคยดี

ร่องรอยระหว่างอ่านที่ฟุ้งอยู่บน fb 1, 2, 3, 4, 5

ผมให้




 

Create Date : 01 กรกฎาคม 2558    
Last Update : 1 กรกฎาคม 2558 22:30:05 น.
Counter : 850 Pageviews.  

Quantum Chance (L'impensable Hasard)



อลิสกับบ๊อบเล่นเกมของเบล มีกติกาดังนี้ แต่ละคนมีกล่องที่ดูเหมือนกันคนละ 1 กล่อง (ดังรูป) แต่ละกล่องมีคันโยก ซึ่งคันโยกจะเริ่มต้นที่ตำแหน่งกึ่งกลาง อลิสกับบ๊อบสามารถโยกคันโยกนี้ไปทางซ้ายหรือขวา ในกรณีของอลิส ถ้าโยกไปทางซ้าย เราจะเรียกว่า x = 0 หรือถ้าโยกไปทางขวา x = 1 สำหรับกรณีของบ๊อบ การโยกไปทางซ้ายหรือขวา เขียนแทนด้วย y = 0 หรือ y = 1 ตามลำดับ บนกล่องยังมีหน้าจอแสดงผล ซึ่งจะแสดงตัวเลข 0 หรือ 1 หลังจากที่มีการโยกคันโยก เมื่อมองผ่านสายตาของอลิสหรือบ๊อบ การแสดงเลข 0 หรือ 1 นี้เป็นแบบสุ่ม ถ้าตัวเลขบนหน้าจอของอลิสกับบ๊อบคือ a และ b ตามลำดับ ดูเหมือนพวกมันจะไม่มีความสัมพันธ์กับค่า x หรือ y

ทุก ๆ 1 นาที อลิสกับบ๊อบจะต้องโยกคันโยกและจดตัวเลขที่ปรากฎบนจอ พร้อมทั้งค่า x หรือ y (ดูรูป) สมมติว่าเล่นแบบนี้นาน 600 นาที หรือจดลำดับตัวเลขได้ยาว 600 ตัว โดยถือว่า เรามีวิธีที่ระบุเวลาได้อย่างแม่นยำว่าทั้งคู่เริ่มต้นโยกพร้อมกัน และหลังจากนั้น การโยกแต่ละครั้งก็เกิดขึ้นพร้อมกัน เราจับให้ทั้งคู่อยู่ห่างกันมาก จนถือว่าอิทธิพลจากกล่องหนึ่งไม่ส่งผลกระทบต่ออีกกล่องหนึ่งผ่านการสื่อสารที่เดินทางผ่านอวกาศ เช่น ทั้งคู่อยู่ห่างกันเกินกว่า 1 นาทีแสง และเรายังถือว่า ทั้งบ๊อบและอลิสมี free will การตัดสินใจโยกแต่ละนาทีขึ้นอยู่กับ free will ของทั้งคู่เท่านั้น



หลังจากได้ข้อมูลครบ 600 ตัวแล้ว ทั้งสองคนนัดเจอและเปรียบเทียบผลกัน โดยมีวิธีคิดคะแนนดังนี้ แบ่งลำดับออกเป็น 4 กลุ่มตามค่า (x,y) ที่แตกต่างกัน นั่นคือ (0,0) (หรือทั้งคู่โยกไปทางซ้าย) (0,1) (1,0) และ (1,1) สำหรับ 3 กลุ่มแรก คือกลุ่มที่มี x = 0 หรือ y = 0 เราจะนับว่าได้ 1 แต้ม ถ้า a = b (หรือตัวเลขที่แสดงออกมาเป็นตัวเลขเดียวกัน) จากนั้นคิดแต้มเฉลี่ยของแต่ละกลุ่ม สำหรับกลุ่มสุดท้าย (1,1) เราจะนับว่าได้ 1 แต้มถ้า a ไม่เท่ากับ b แล้วคิดค่าเฉลี่ยของกลุ่มนี้ ฉะนั้น ผลรวมของค่าเฉลี่ยที่เป็นไปได้สูงสุดคือ 4 แต้ม (กฎการนับแต้มดังกล่าวสามารถเขียนในรูปสมการง่าย ๆ ว่า พวกเขาจะได้แต้มถ้าผ่านเงื่อนไข a+b = xy เมื่อ a, b, x, y เป็นไบนารี)

จากกติกา เราเห็นได้ไม่ยากว่า ถ้าอลิสกับบ๊อบไม่จดผลจริง ๆ แต่มานั่งเทียนสุ่มตัวเลขเอาก่อนนัดเจอกัน ค่าคาดหมายของแต้มเฉลี่ยจะเท่ากับ 2 ฉะน้้น ถ้าอยากได้แต้มเฉลี่ยมากกว่า 2 ทั้งคู่จะเป็นการสุ่มที่อิสระจากกันอย่างแท้จริงไม่ได้ และเราก็สามารถสร้างกล่องที่ทำให้ทั้งคู่ได้แต้มเฉลี่ยเท่ากับ 3 ได้ง่าย ๆ เช่นกล่องที่ไม่ว่าจะโยกไปทางซ้ายหรือทางขวาแสดงผล 0 เสมอ แต่กล่องนี้ก็จะไม่ผ่านเงื่อนไขที่ทั้งอลิสและบ๊อบเห็นว่าค่า a, b ไม่ขึ้นอยู่กับ x, y และถึงมีเราจะใช้วิธีสร้างหลาย ๆ โปรแกรมทำนองนี้ แล้วสุ่มเลือกโปรแกรม ผลลัพธ์ที่ออกมาดูเหมือนสุ่ม แต่ยังไงก็ได้ไม่เกิน 3 แต้ม

จุดประสงค์ของเกมนี้คือ ให้เราสร้างกล่องที่ทำให้ผู้เล่นได้แต้มเฉลี่ยมากกว่า 3

อันที่จริงแล้วมันดูเหมือนเป็นไปไม่ได้เลย ถ้าเราสร้างกล่องที่มีความสัมพันธ์กันแบบ local (หรือความสัมพันธ์ระหว่างการเลือกกับการแสดงผล หรือความสัมพันธ์ระหว่างผล a กับ b สามารถแสดงได้ด้วย local variables) เนื่องจากรูปแบบของเกมได้ขีดฆ่าความสัมพันธ์ที่จะส่งผลกระทบโดยตรง เช่นการสื่อสารระหว่างกันออกไปจากการวางให้ผู้เล่นอยู่ห่างกัน ความสัมพันธ์โดยอ้อมที่เกิดจาก common cause บางอย่างที่สามารถกำหนดคำตอบล่วงหน้าก็ถูกขีดฆ่าออกไปด้วยผ่าน Bell's inequality (เราสามารถเขียน Bell's inequallity ได้ง่าย ๆ โดยการแจกแจงกรณีทั้งหมดที่เป็นไปได้ของผลลัพธ์ ทางเลือก และโปรแกรมที่อยู่ในกล่องของอลิสกับบ๊อบ) ถ้าเราเขียน P(a=b|x,y) แทนโอกาสที่ a เท่ากับ b เมื่ออลิสโยก x และบ๊อบโยก y

P(a=b|0,0) + P(a=b|0,1) + P(a=b|1,0) + P(a≠b|1,1) ≤ 3

แต่ถ้า นักฟิสิกส์สามารถสร้างกล่องให้อลิสกับบ๊อบเล่นแล้วชนะด้วยคะแนนมากกว่า 3 ได้ เราจะอธิบายธรรมชาติที่ขัดขืน Bell's inequallity ได้ยังไง คำอธิบายนี่แหละฮะคือหัวใจของหนังสือเล่มเล็ก ๆ แต่อัดแน่นด้วยเนื้อหาหนักหน่วงของหนังสือเล่มนี้

คำอธิบายดังกล่าวคือ nonlocality อันเป็นปรากฎการณ์ที่น่าตื่นตาตื่นใจที่สุดอันหนึ่งในโลกควอนตัม ในหนังสือ Gisin พูดถึงประเด็นนี้แค่ประเด็นเดียว รวมรายละเอียดการทดลองเกมเบลของแกเองระหว่าง Bernex กับ Bellevue ที่อยู่ห่างกัน 10 กิโลเมตรกว่า ๆ (ในกล่องของอลิสกับบ๊อบจะมีโฟตอนที่ถูก entangle กันอย่างละตัว และการโยกคันโยกก็เป็นการวัดสถานะทางควอนตัมของโฟตอนตัวหนึ่ง สถานะทางควอนตัมของโฟตอนอีกตัวในอีกกล่องก็จะแสดงออกมาด้วยค่าเดียวกันหรือค่าที่สัมพันธ์กัน ที่เหลือก็เป็นแค่เรื่องของการตีความข้อมูลสถานะควอนตัมให้เป็นไบนารีในแบบที่จะทำให้ชนะเกมของเบล) Gisin เขียนเคลียร์และอ่านเพลินมาก ในบทที่ 7 พูดถึง application สองอย่างจากความรู้เรื่องนี้ดังกล่าว เครื่องสร้างจำนวนสุ่มแบบแท้จริง เพราะ nonlocal chance คือ true chance กับ quantum cryptography บทเรียนที่เราได้จากเกมระหว่างอลิสกับบ๊อบบทหนึ่งคือ no-cloning theorem และอันนี้เล่นบทสำคัญในเรื่องของความปลอดภัย บทที่ 8 พูดถึงว่าที่ application ที่น่าตื่นเต้นอย่าง quantum teleportation หรือการส่งสถานะทางควอนตัมจากจุดหนึ่งไปยังอีกจุดหนึ่งโดยไม่ผ่านอวกาศ และปรากฎการณ์ที่น่าสนใจอย่าง joint measurement

บทที่ 9 เป็นบทที่ Gisin แนะนำว่าผู้อ่านสามารถข้ามได้ ถ้ายอมรับว่าธรรมชาติ nonlocal หรือมีลักษณะ indeterminacy อย่างแท้จริง แต่เราขอแนะนำสวนกันว่า ถึงแม้จะไม่ลำบากใจกับธรรมชาติที่เป็น indeterminacy ก็ควรอ่าน และเป็นบทที่มีสีสันที่สุด เพราะมี story มีเรื่องราว เป็นบทที่พูดถึงความเป็นไปได้ที่การทดลองอลิสกับบ๊อบจะถุกโจมตีจากแง่มุมต่าง ๆ อาทิ detection loophole นั่นคือ สมมติว่าความแม่นยำของการตรวจจับโฟตอนไม่ 100% กล่าวคือ มีโฟตอนบางตัวหายไปขณะที่อลิสกับบ๊อบโยกคันโยก นั่นเท่ากับ มีบางกรณีที่กล่องไม่แสดงผลลัพธ์ 0 หรือ 1 และถ้าเราอนุญาตให้เกิดกรณีดังกล่าว ก็เป็นไปได้ที่ธรรมชาติจะโกงในแบบที่ไม่แสดงผลลัพธ์ในบางกรณีที่ทำให้คะแนนเฉลี่ยต่ำกว่า 3 หรือแม้กระทั่งการตีความเป็น multiverse ก็เป็นวิธีหนึ่งที่จะลบ nonlocality บทนี้พูดถึงกระทั่งข้อโต้แย้งที่โจมตีว่าอลิสกับบ๊อบไม่มี free will

หนังสือเหมาะสำหรับใครก็ตามที่อยากหาอะไรสนุก ๆ อ่านกระตุ้นสมอง

ผมให้




 

Create Date : 28 มิถุนายน 2558    
Last Update : 29 มิถุนายน 2558 10:39:14 น.
Counter : 1041 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  51  52  53  54  55  56  57  58  59  60  61  62  63  64  65  66  67  68  69  70  71  72  73  74  75  76  77  78  79  80  81  82  83  84  85  86  87  88  89  90  91  92  93  94  95  96  97  98  99  100  101  102  103  104  105  106  107  108  109  110  111  112  113  114  115  116  117  118  119  120  121  122  123  124  125  126  127  128  129  130  131  132  133  134  135  136  137  138  139  140  141  142  143  144  145  146  147  148  149  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.