creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

a prime minister of a hill

เขียนโดย ศล



เรื่องมีอยู่ว่า จิ้งจอก อีกา กับเต่าเป็นเพื่อนกัน สัตว์น้อยทั้ง 3 ตัว ชอบเล่นสนุกสนาน วันหนึ่งๆ ไม่ทำอะไรนอกจากเล่นเกมนายกแห่งขุนเขา ถ้าเรารู้ตัวนายกตัวปัจจุบันวันนี้ (n) ว่าเป็นใคร โอกาสสำหรับการเป็นนายกตัวถัดไปในวันรุ่งขึ้น (n+1) แสดงดังตาราง



สมมติว่าจิ้งจอกเป็นนายกวันที่ 1 มกราคม คุณคิดว่าเต่าจะได้เป็นนายกเมื่อไร?

ผมดัดแปลงโจทย์ข้อนี้จากปัญหาแข่งขันคณิตศาสตร์ระดับมัธยมศึกษารายการหนึ่งของประเทศสหรัฐอเมริกา เคยนำไปตั้งเป็นกระทู้ถามในเว็บบอร์ดหว้ากอของพันทิพดอทคอม ต้องขออภัยคุณผู้อ่านด้วยครับ ผมย้อนกลับไปหาต้นฉบับคำถามเดิมเพื่ออ้างอิงไม่ได้เจอ จึงไม่สามารถระบุเจาะจงได้ว่าเป็นรายการแข่งขันรายการใด ปีอะไร แต่คิดว่าคงไม่ใช่เรื่องสำคัญมากนัก เชื่อว่าโจทย์ข้อนี้คงทำหน้าที่ของมันสมบูรณ์ในฐานะท้าทายสมองคุณผู้อ่านให้ได้ขบคิดเพื่อความบันเทิง

จากตารางเมื่อกำหนดตัวแปร An Bn และ Cn คือโอกาสที่จิ้งจอก อีกา และเต่าเป็นนายกวันที่ n ตามลำดับ เราเขียนความสัมพันธ์ได้ดังสมการ



มีจุดที่น่าสังเกตจากความสัมพันธ์



โอกาสที่เต่าเป็นนายกวันนี้เท่ากับ 1 ใน 3 ของโอกาสที่จิ้งจอกเป็นนายกเมื่อวันวานรวมกับ 1 ใน 4 ของโอกาสที่อีกาได้เป็นนายกวันเมื่อวาน และรวมกับโอกาสที่เต่าเป็นนายกเมื่อวาน หมายความว่า ถ้าเมื่อวานเต่าเป็นนายก วันนี้เต่าจะยังคงเป็นนายก แต่ถ้าเมื่อวานเต่าไม่ได้เป็นนายก โอกาสเป็นนายกครั้งแรกของเต่าวันนี้เท่ากับ



หลังจากนั้นเต่าจะเป็นนายกตลอดกาล

ดังนั้นเพื่อความง่ายในการคิดเราอาจลดรูปความสัมพันธ์ของ Cn โดยตัดพจน์ Cn-1 ทิ้ง แล้วหมายเอาว่า Cn คือโอกาสที่เต่าได้เป็นนายกวันที่ n และเป็นวันแรกที่เต่าได้เป็นนายก โจทย์ถามว่าเต่าจะได้เป็นนายกวันใด ในทฤษฎีความน่าจะเป็น นั่นคือโจทย์ถามค่าคาดหมาย (Expected value หรือ mathematical expectation) ซึ่งหาได้จากผลรวมของผลคูณของโอกาสที่เต่าจะได้เป็นนายก ณ วันใดๆ กับค่าลำดับวันที่นั้นๆ หรือ ค่าคาดหมายเท่ากับ



ถึงตรงนี้ มีคุณผู้อ่านท่านใดเกิดความรู้สึกเหมือนกับผมบ้าง ถ้ายังคิดต่อตามแนวทางเดิมน่าจะหนักมือสำหรับเด็กนักเรียนมัธยมพอสมควร และผมเชื่อว่าคณะกรรมการผู้ออกโจทย์ทดสอบก็คงไม่คาดหวังให้นักเรียนใช้วิธีตรงไปตรงมาแบบนี้ น่าจะวัดกึ๋นว่าใครใช้วิธีแปลกใหม่ หรือตีความโจทย์ได้ดีกว่ากันเสียมากกว่า

ผมขอลองเสนอวิธีหาคำตอบ 2 วิธี โดยวิธีแรกคิดแบบตรงไปตรงมา ส่วนวิธีที่ 2 เปลี่ยนมุมมองที่มีต่อโจทย์ใหม่ สำหรับวิธีที่ 1 ผมเลียนแบบการจัดรูปสมการมาจากเพื่อนคนหนึ่งคือ คุณ Duke! ซึ่งเคยเข้าไปตอบไว้ในกระทู้ คุณ Duke! จัดรูปสมการได้น่าทึ่งและสวยงามมากครับ สำหรับคุณผู้อ่านที่ยังไม่เคยศึกษาวิธีแก้สมการ recurrence หรือไม่สนใจการหาคำตอบด้วยวิธีแก้สมการ recurrence สามารถข้ามไปอ่านวิธีที่ 2 ได้ทันที

ค่าคาดหมาย (Expected Value, Mathematical Expectation)

เราอาจทำความเข้าใจค่าคาดหมายอย่างง่ายๆ ได้ว่าคือค่าเฉลี่ยของข้อมูลที่อาจจะเกิดขึ้นในอนาคต หาได้จากผลรวมของผลคูณของความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์นั้นกับค่าของเหตุการณ์นั้น เช่นถ้าเราโยนเหรียญ 1 เหรียญ 3 ครั้ง จำนวนครั้งที่เหรียญออกหัวที่เป็นไปได้คือ 0, 1, 2 และ 3 ความน่าจะเป็นที่ไม่มีเหรียญออกหัวเลยเท่ากับ 1/8 ความน่าจะเป็นที่มีเหรียญออกหัว 1 ครั้ง 2 ครั้ง และ 3 ครั้งเท่ากับ 3/8, 3/8 และ 1/8 ตามลำดับ ดังนั้นในการโยนเหรียญ 3 ครั้งค่าคาดหมายของจำนวนครั้งที่ออกหัวเท่ากับ


หรือ 1.5 ครั้ง


วิธีที่ 1 จัดรูปความสัมพันธ์ของ Cn ใหม่



การแก้ปัญหาด้วยวิธีนี้ การจัดค่า Cn = An-1-An+Bn-1-Bn ถือเป็นกุญแจสำคัญที่ช่วยให้หาค่าคาดหมาย (E) ได้ง่าย



เราต้องรู้ค่า An กับ Bn เสียก่อน โดยการแก้สมการความสัมพันธ์เวียนบังเกิด (Recurrence relation)

เริ่มต้นด้วยจัดรูป



ได้



สังเกตว่าหน้าตาของความสัมพันธ์ 2 ตัวนี้เหมือนกัน ดังนั้นเราหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเพียงตัวเดียว ก็สามารถใช้หาผลเฉลยเจาะจงของความสัมพันธ์ได้

Recurrence relations

เราอาจพูดถึงความสัมพันธ์แบบ recurrence อย่างง่ายๆ ว่าคือความสัมพันธ์ของลำดับ ที่มีพจน์ที่ n ใดๆ สามารถเขียนให้อยู่ในรูปของพจน์ที่ผ่านมาได้ ตัวอย่างที่คุ้นเคยกันดีคือลำดับ Fibonacci 0,1,1,2,3,5,8,13,… พจน์ที่ n เกิดจากผลรวมของ 2 พจน์ก่อนหน้านั้น (n-1 กับ n-2) หรือเขียนว่า Fn = Fn-1+Fn-2 วิธีแก้สมการ recurrence สามารถทำได้โดยการหาค่ารากของสมการ characteristic แล้วนำไปแทนในรูปแบบคำตอบทั่วไป จากนั้นจึงหาคำตอบเจาะจง

ขออนุญาตใช้พื้นที่เล็กๆ ตรงนี้ทบทวนการหาผลเฉลยของความสัมพันธ์ recurrence สำหรับผู้อ่านบางท่านที่อาจเหินห่างวิชาคณิตศาสตร์ไปนาน

ถ้าเราต้องการหาผลเฉลยของ Fn = Fn-1+Fn-2 หรือ Fn - Fn-1 - Fn-2 = 0

[1] เขียนสมการ characteristic


[2] หาค่ารากของสมการ characteristic


น่าทึ่งไหมครับ มีค่า r ค่าหนึ่งเป็น Golden ratio

[3] รูปแบบผลเฉลยทั่วไป


[4] เงื่อนไขตั้งต้นที่ n = 0 และ 1, Fn มีค่าเท่ากับ 0 และ 1 ตามลำดับ


ดังนั้น



จากสมการ มี เป็นสมการ characteristic หาค่ารากของสมการได้เท่ากับ



ดังนั้นผลเฉลยทั่วไปคือ



แทนเงื่อนไขเริ่มต้น เรารู้ว่าวันที่ 1 จิ้งจอกเป็นนายก A1 = 1 ส่วนวันที่ 2 โอกาสที่จิ้งจอกเป็นนายกเท่ากับ 1/3 หรือ A2 = 1/3 เพื่อให้ง่ายแก่การแก้สมการ เราอาจจับรูปสมการใหม่ได้ (ซึ่งค่า alpha จะค่าคงที่ที่แตกต่างจากเดิม)



หลังจากแก้ระบบสมการเชิงเส้น



เห็นว่า An คือผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมน้อยกว่า 1 เราสามารถหาผลรวมของอนุกรมอนันต์ได้

ผลรวมถึงพจน์อนันต์ของอนุกรมเรขาคณิต

อนุกรมเรขาคณิตที่มี r < 1 เราสามารถหาผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตถึงพจน์ที่อนันต์ได้จากสูตร





ผลเฉลยทั่วไปของ An สามารถนำมาใช้กับ Bn ได้ด้วย



แทนเงื่อนไขเริ่มต้น เรารู้ว่าวันที่ 1 อีกาไม่ได้เป็นนายก B1 = 0 และวันที่ 2 โอกาสที่อีกาเป็นนายกเท่ากับ 1/3 หรือ B2 = 1/3



แก้ระบบสมการ





ดังนั้นค่าคาดหมาย (E) วันที่เต่าได้เป็นนายกวันแรกเท่ากับ



เต่าได้เป็นนายกวันที่ 4.25



วิธีที่ 2 เราอาจสร้างแผนภาพจากตารางที่โจทย์กำหนด


ทิศทางเส้นลูกศรทึบและตัวเลขกำกับหมายถึงโอกาสของนายกในวันต่อไป ส่วนเส้นประหมายถึงสถานะเดียวกัน อย่างเช่นสมมติว่าวันแรกอีกาเป็นนายก ถ้าวันที่ 2 จิ้งจอกเป็นนายก มีเส้นประออกจากจิ้งจอกไปยังจิ้งจอก หมายถึงในวันที่ 3 ทั้งจิ้งจอก อีกา และเต่ามีโอกาสเป็นนายก 1/3 เท่ากัน แต่ถ้าวันที่ 2 อีกาเป็นนายก มีเส้นประออกจากอีกาไปยังอีกา หมายความว่าวันที่ 3 จิ้งจอก อีกา และเต่ามีโอกาสเป็นนายกเท่ากับ 1/2, 1/4 และ 1/4 ตามลำดับ สรุปว่า ถ้ามีเส้นทึบเชื่อมหมายถึงเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นข้ามวัน และตัวเลขบนเส้นทึบแสดงค่าความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นในวันถัดไป ถ้ามีเส้นประเชื่อมหมายถึงสถานะเดียวกันหรือวันเดียวกัน

เราลองลืมโจทย์ไปชั่วคราว แล้วดูเฉพาะตารางและแผนภาพ จะพบข้อสรุปที่ชัดเจนน่าสนใจ 3 ข้อ คือ (1) ไม่ว่าเกมจะเริ่มที่ตัวใด สุดท้ายเกมจะต้องจบที่เต่าเป็นนายกตลอดกาล (2) เกมสามารถเริ่มได้ 3 แบบ คือ เริ่มที่จิ้งจอก เริ่มที่อีกา หรือเริ่มที่เต่า (3) จำนวนวันที่เต่าต้องรอจนกว่าจะได้เป็นนายกเท่ากับจำนวนลูกศรเส้นทึบที่เป็นเส้นทางผ่าน เช่น เส้นทางการเป็นนายกคือ จิ้งจอก-อีกา-อีกา-จิ้งจอก-เต่า ผ่านลูกศรทึบ 4 ครั้ง เต่าจึงได้เป็นนายกในวันที่ 1+4 = 5 (บวก 1 คือการนับวันแรกที่จิ้งจอกเป็นนายก เลข 5 คือวันที่ที่เต่าได้เป็นนายก เมื่อจิ้งจอกเป็นนายกวันที่ 1)

ถ้าเรากำหนด x คือจำนวนลูกศรเส้นทึบเมื่อเริ่มต้นเกมจากจิ้งจอกจนกระทั่งถึงวันที่เต่าเป็นนายก และ y คือจำนวนลูกศรเส้นทึบเมื่อเริ่มเกมจากอีกาจนกระทั่งถึงวันที่เต่าเป็นนายก

เริ่มต้นเกมที่ จิ้งจอก -  -  -  - ... -  -  - เต่า (มีจำนวนขีด “–” เท่ากับ x) เริ่มต้นเกมที่ อีกา -  -  -  - ... -  -  - เต่า (มีจำนวนขีด “–” เท่ากับ y)

เราสามารถเขียนความสัมพันธ์ของค่า x กับค่า y



อธิบายสมการนี้ว่า จำนวนวันที่เต่าต้องรอจนกว่าจะได้เป็นนายกเมื่อวันแรกจิ้งจอกเป็นนายก (x) เท่ากับ วันถัดไป (1) คือวันที่ 2 ซึ่งวันนี้อาจจะเป็นจิ้งจอก อีกา หรือเต่าที่ได้เป็นนายกก็ได้ รวมกับ (+) ผลคูณของโอกาสที่จิ้งจอกจะได้เป็นนายกในวันที่สอง (1/3) กับวันที่เต่าต้องรอจนกว่าจะได้เป็นนายกเมื่อจิ้งจอกได้เริ่มต้นเป็นนายก (x) รวมกับ (+) ผลคูณของโอกาสที่อีกาได้เป็นนายกในวันที่สอง (1/3) กับวันที่เต่าต้องรอจนกว่าจะได้เป็นนายกเมื่ออีกาเป็นตัวเริ่มต้นเป็นนายก (y)

ส่วนอีกสมการก็สามารถอธิบายได้ในทำนองเดียวกัน



แก้ระบบสมการได้ x = 13/4 ดังนั้นเต่าได้เป็นนายกในวันที่ 1+(13/4) = 4.25 เปรียบเทียบ 2 วิธีแล้วคุณผู้อ่านมีความคิดเห็นอย่างไรบ้างครับ




บทความนี้ตีพิมพ์ใน MY MATHS, OCTOBER 2007, VOL. 3 NO. 9 ISSUE 33




 

Create Date : 08 สิงหาคม 2550    
Last Update : 8 ตุลาคม 2550 19:19:04 น.
Counter : 2799 Pageviews.  

non-orientable chess

เขียนโดย ศล

หลายคนเข้าใจว่าหมากรุกเป็นเกมที่ต้องมีผู้เล่น 2 คนเท่านั้น หนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีเกม หรือตำราเศรษฐศาสตร์เบื้องต้นส่วนใหญ่ เมื่อต้องการกล่าวถึงเกมที่มีผลรวมของผลลัพธ์เป็นศูนย์ หรือ zero sum game มักจะยกตัวอย่างเกมหมากรุก มีผู้แพ้ และผู้ชนะ คนชนะได้ชัยชนะมาจากคนพ่ายแพ้ ข้อเท็จจริงประการหนึ่ง สำหรับหนทางสู่ความเชี่ยวชาญเกมหมากรุกนั้น ผู้เล่นต้องใช้ความสามารถในการจดจำรูปแบบเป็นสำคัญ ปีที่แล้ว (พ.ศ. 2549) นิตยสาร Scientific American ฉบับเดือนสิงหาคม มีคำโปรยพาดปกที่สวยงามว่า “Secrets of the EXPERT MIND” บทความโดย Philip E Ross อ้างอิงทฤษฎี Chunking จากการศึกษาของ Herbert A Simon กับ William Chase แห่งมหาวิทยาลัยคาเนกี้ เมลลอน สรุปใจความว่าเซียนหมากรุก (Grandmaster) มีรูปแบบ หรือข้อมูลข่าวสาร chunk ขนาดใหญ่ ไม่ต่ำกว่าครึ่งแสน chunks อยู่ในใจ (สมอง) การวิเคราะห์เพื่อหาหนทางที่ดีที่สุดในการเดินของเซียนหมากรุก จึงเป็นการวิเคราะห์จากรูปแบบที่เคยจดจำไว้ ร่วมกับการวิเคราะห์รายละเอียดปลีกย่อย ดังนั้นในการฝึกฝน ซักซ้อม และจดจำรูปแบบ จึงเกิดเกมหมากรุกลักษณะเป็นเกมที่เล่นได้เพียงคนเดียว! (ไม่นับรวมกรณีเล่นคนเดียวกับเครื่องจักรสมองกลนะครับ) เมื่อเป็นเกมหมากรุกที่เหลือผู้เล่นเพียงคนเดียว จึงไม่ใช่ zero sum game อย่างกรณีผู้เล่น 2 คนอีกต่อไป (เกมคนเดียวอาจมองว่าไม่เป็นเกม หรือเป็นเกมเมื่อเราเพิ่ม dummy player เข้าไปด้วยก็ได้)

Herbert Alexander Simon (พ.ศ. 2459-2544) เป็นนักวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ เศรษฐศาสตร์ที่ยิ่งใหญ่ และมีความสนใจหลากหลายอีกคนหนึ่งของโลก ประวัติของนักคิดท่านนี้ คุณผู้อ่านที่สนใจดูเพิ่มเติมที่ nobelprize.org

รางวัลเกียรติยศที่เขาได้รับมีมากมาย อาทิ Turing Award (ชื่อรางวัล Turing ตั้งตามชื่อของ Alan Mathison Turing นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ บิดาแห่งวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ซึ่งรางวัลนี้เทียบเท่ากับรางวัลโนเบลสาขาการคำนวณ - Computing เลยล่ะครับ) จากสมาพันธ์เครื่องจักรกลคอมพิวเตอร์ (Association of Computing Machinery) รางวัลโนเบลสาขาเศรษฐศาสตร์ ปีพ.ศ. 2521 รางวัลเหรียญทองสำหรับวิทยาศาสตร์แห่งจิตวิทยาจากสถาบันจิตวิทยาอเมริกา (American Psychological Foundation) พ.ศ. 2531 คุณ Fernand Gobet สำนักวิชาจิตวิทยา มหาวิทยาลัยนอตติงแฮม เขียนประกาศมรณกรรมของ Simon ลงนิตยสาร International Computer Game Association ซึ่งสรุปผลงานตลอดทั้งชีวิต ดูเพิ่มเติมได้ที่ brunel.ac.uk


เพื่อให้ง่ายต่อการเข้าใจเรื่อง chunk เราลองเปรียบเทียบกับตัวอย่าง "Mary had a little lamb." การจำประโยคนี้ หรือจำนวน chunk ขึ้นอยู่กับความรู้ด้านกวีนิพนธ์และภาษาอังกฤษ สำหรับคนที่พูดภาษาอังกฤษเป็นภาษาแม่ จะรู้ว่าประโยคนี้เป็นเพียงส่วนหนึ่งของบทกวี (หรือเพลง) ซึ่งเป็น chunk ใหญ่ 1 chunk ส่วนคนที่รู้ภาษาอังกฤษแต่ไม่รู้จักบทกวี ประโยคนี้ 1 ประโยค ก็คือ 1 chunk ส่วนคนที่จำเป็นคำๆ โดยไม่รู้ความหมายของคำ ประโยคนี้ก็คือ 5 chunks ส่วนคนที่ไม่รู้จักคำ รู้จักแค่ตัวอักษร ประโยคนี้จะเท่ากับ 18 chunks


การเล่นคนเดียวมี 2 แบบ คือเล่นคนเดียวฝ่ายเดียว กับเล่นคนเดียวทั้ง 2 ฝ่าย (สมมติตัวเองเป็นผู้เล่นทั้งขาวและดำขับเคี่ยวกัน) การเล่นคนเดียวฝ่ายเดียวที่นิยมแพร่หลายคือการแก้ปัญหาหมากรุกกล (Chess problem) รูปที่ 1 เป็นตัวอย่างปริศนากลของ W. Atkinson (พ.ศ. 2378-2430) เจ้าของรางวัลประดิษฐ์ปริศนาชนะเลิศจากรายการ Canadian Spector ปีพ.ศ. 2423


รูปที่ 1

โจทย์คือ ฝ่ายขาวเดินก่อน และต้องทำให้ฝ่ายดำจน (แพ้) ภายใน 2 ที การแก้โจทย์ปัญหาลักษณะนี้ สำหรับผู้ที่ไม่มีทักษะหมากรุกก็สามารถทำได้ ขอเพียงรู้ข้อบังคับการเดินของตัวหมากแต่ละตัวเท่านั้น ส่วนกระบวนการคิดที่เหลือเป็นเรื่องของตรรกะล้วนๆ ลองคิดดูนะครับ

เนื้อหาบทความตอนนี้ ผมนำเสนอปริศนาหมากรุกกลข้อหนึ่ง ซึ่งทักษะที่ยอดเยี่ยมด้านหมากรุกแทบไม่มีส่วนช่วยในการแก้ปัญหา ถ้าคุณเล่นหมากรุกไม่เป็น ทำใจให้สบายแล้วอ่านต่อไปครับ ตัวหมากรุกที่เราใช้มีเพียง 3 ตัว คือ พระราชา พระราชินี และพระสังฆราช อันที่จริง ถ้าคุณเล่นหมากรุกพอเป็น หลังจากเห็นโจทย์ข้อนี้ คุณอาจจะตอบทันทีว่า “เป็นไปไม่ได้!” หรือ “ฝ่ายที่มีเพียงพระราชากับพระสังฆราช จะชนะฝ่ายที่มีพระราชากับพระราชินีได้อย่างไร?” (มันควรจะตรงกันข้ามเสียมากกว่า) สำหรับกระดานหมากรุกระนาบ 2 มิติขนาด 8x8 ช่อง ผมเห็นด้วย 100% ว่าเป็นไปไม่ได้ แต่ผู้แต่งคำถามเขาไม่ให้เราใช้กระดาน 2 มิติ กำหนดกระดาน 4 มิติแทน นี่แหละครับ ความท้าทายของโจทย์

ปริศนาหมากรุกกลข้อนี้เป็นปัญหาประจำสัปดาห์ที่ 1058 ของวิทยาลัย Macalester มี Stan Wagon เป็นผู้ดูแลคัดสรร ตั้งกระทู้ปัญหา Nonorientable Chess นำมาจากนิตยสาร The Mathematical Intelligencer Vol.28 No.2 ปีพ.ศ. 2549 ของ Timothy Chow ดังรูป


รูปที่ 2 ฝ่ายขาวเดินก่อนและรุกให้จนภายใน 1 ที

จากรูปที่ 2 ฝ่ายขาวมีตัวหมากรุก 2 ตัว คือ พระราชา (ญ8) กับพระสังฆราช (ข6) ฝ่ายดำก็มีตัวหมากรุก 2 ตัว คือ พระราชา (ฉ1) และพระราชินี (จ2) ตำราหมากรุกสากลทั่วไปให้ค่า ของตัวหมากแต่ละตัวแตกต่างกัน กล่าวคือ พระราชา มีค่าสูงสุด สูญเสียพระราชาเมื่อไรหมายถึงความพ่ายแพ้ พระราชินีมีค่า 9 แต้ม เรือ-ปราสาทมีค่า 5 แต้ม ม้า-อัศวินมีค่าเท่ากับพระสังฆราชคือ 3 แต้ม เบี้ย-ชาวนามีค่า 1 แต้ม ดังนั้นตามรูปที่ 2 ฝ่ายขาวมีแต้มน้อยกว่าฝ่ายดำถึง 6 แต้ม หากเป็นการเล่นปกติ ขาวแพ้แน่นอน! แต่โจทย์ถามว่า ถ้าเราเปลี่ยนโครงสร้างของกระดานหมากรุกจากระนาบ 2 มิติ เป็นรูปทรง Klein bottle โดยม้วนกระดานตามทิศลูกศร ฝ่ายขาว สามารถเดินเพื่อให้ชนะได้อย่างไร?

Klein Bottle ดูได้จากบทความตอนที่แล้ว //www.bloggang.com/viewdiary.php?id=zol&group=10


คำว่าค่าของตัวหมากรุกนี้ผมเข้าใจว่าเป็นอย่างเดียวกับกำลัง 2 ชนิดของตัวหมากรุกที่หม่อมเจ้าอนันตรไชย เทวกุล นิพนธ์ในตำราหมากรุกกลของท่าน คือ 1. กำลังอำนาจของตัวหมากรุก (Power of chessmen) ได้แก่ อำนาจในการเดิน ทำลาย ไล่ คุ้มกัน กับ 2. กำลังงานซ่อนเร้นภายในตัวหมากรุก (Potency of chessmen) ได้แก่ กำลังต่อต้าน-ตรึง (Opposition) กักกัน แก้ที และแปรรูปการเดิน


จากบทความตอนที่แล้ว สรุปเป็นที่แน่ชัดว่า เราไม่สามารถสร้างกระดานหมากรุกไคลน์ แล้วเรียงตัวหมากเพื่อเล่นกันจริงได้ แต่นั่นไม่ได้หมายความว่าเราไม่สามารถแก้โจทย์ปัญหาข้อนี้เพียงเพราะขาดอวกาศให้ใช้ไป 1 มิติ อาศัยจินตนาการ โจทย์ข้อนี้แก้ได้ด้วยความสัมพันธ์ของขอบที่ต่อกันเป็นพื้นผิวไคลน์ และตรรกะ

จากรูปที่ 2 เมื่อเราประกบขอบบนกับขอบล่าง เกิดรอยต่อลักษณะดังนี้


รูปที่ 13 รอบต่อขอบบน-ล่าง จากรูปที่ 2

และรอยประกบขอบด้านซ้าย-ขวา เป็นดังรูปที่ 14


รูปที่ 14 รอยต่อขอบซ้าย-ขวา จากรูปที่ 2

กระดานหมากรุกไคลน์ช่องดำ-ขาวไม่จำเป็นต้องสลับกันนะครับ รูปที่ 14 ช่องดำ ญ8 ติดกับช่องดำ ก1 ช่องขาว ญ7 ติดกับช่องขาว ก2 เป็นต้น พระราชาขาวที่ตำแหน่ง ญ8 สามารถเดินได้ 8 ช่องรอบตัว (โดยยังไม่สนใจว่าเดินไปช่องนั้นแล้วจะตายหรือไม่) คือ ญ1 ญ7 ช1 ช7 ช8 ก1 ก2 ก8 ตัวอย่างช่องเดินของพระสังฆราชขาว ข6 แสดงดังรูปที่ 15 เส้นทางเดินทิศ ก5 มีดังนี้ เริ่มต้นที่ ข6 แล้วเดินตรงไปทาง ก5 จะโผล่ที่ ญ5 ตรงไปอีก ผ่าน ช6 ฉ7 จ8 โผล่อีกทีที่ ง1 ค2 ข3 ก4 ทะลุไปที่ ญ4 ช3 ฉ2 จ1 ต่อด้วย ง8 ค7 แล้วกลับไปยังจุดพิกัดเดิม ข6 และวนต่อไปเรื่อยๆ หมายความว่า พระสังฆราช ข6 มองไปตรงๆ ในทิศ ก5 จะสามารถเห็นหลังของตัวเองได้ ถ้าพระสังฆราชคิดปลงประชนพระสังฆราชที่อยู่ข้างหน้า ทันทีที่เดินไปฆ่า จะพบว่าพระสังฆราชองค์หน้าเคลื่อนที่หนีไป เห็นหลังไวๆ ทำไม่รู้ไม่ชี้ ทิ้งห่างตัวเองอยู่ 16 ช่องเสมอ


รูปที่ 15 ช่องและทิศทางเดินของพระสังฆราชขาว ข6

จากตัวอย่างการเดินพระสังฆราช ข6 มีจุดน่าสนใจที่ผมอยากพูดถึงสักเล็กน้อย ตอนนี้เราคงตั้งข้อสังเกตได้ว่า เมื่อพระสังฆราชเริ่มต้นเดินไปข้างหน้า ยิ่งไกลจากจุดเริ่มต้นเท่าไร ก็ยิ่งใกล้จุดเริ่มต้นเท่านั้น บางคนอาจสงสัย ระยะห่างวนครบรอบเท่ากับ 16 ช่องจริงหรือ? ผมจะใช้ตรรกะล่อลวงคุณให้สับสนโดยเริ่มจากภาพพิมพ์แกะไม้ Möbius Strip II ของ M.C. Escher (อย่าหลงกลนะครับ)


รูปที่ 16 Möbius Strip II (2506)


Maurits Cornelis Escher (พ.ศ. 2441-2515) ศิลปินภาพเขียนที่ชื่นชอบการสรรสร้างภาพวาดโครงร่างที่เป็นไปไม่ได้ โดยอาศัยรูปแบบ Isometric projection และใช้ขีดจำกัดของมันสร้างความฉงนแก่ผู้เสพผลงาน ตัวอย่างภาพที่ผู้คนมักกล่าวถึงบ่อยๆ คือภาพน้ำตก (2504) – ดูรูปที่ 31 ซึ่งตกลงมาจากพื้นระดับเดียวกัน ประวัติและผลงานของ Escher คุณผู้อ่านที่สนใจค้นคว้าข้อมูลเพิ่มเติมได้ที่ //www.mcescher.com/

ภาพพิมพ์แกะไม้ (Woodcut) ภาพนี้ (รูปที่ 16) Escher ใช้แท่นพิมพ์ (Block) 3 สี คือ แดง ดำ และเทาแกมเขียว เป็นผลงานในยุครุ่งโรจน์ ปีพ.ศ. 2506

รูปที่ 31 น้ำตก


มดแดง 9 ตัวไต่ตามหลังกันไปบนผิวเมอบีอุสทั้ง 2 ด้าน ซึ่งผิวทั้ง 2 ด้านต่อเนื่องกันโดยไม่มีขอบกั้น (เกิดจากการบิดครึ่งรอบก่อนประกบกันตามรูปที่ 4) ถ้ากำหนดให้ระยะทางก่อนประกบเป็นเมอบีอุสเท่ากับ L และหากมีมดแดงหนึ่งตัวถอดวิญญาณเดินบนแถบนี้โดยทิ้งร่างไว้ ณ จุดเริ่มต้นจุดหนึ่ง เมื่อมันเดินได้ระยะทาง L มันจะพบว่าตัวเองอยู่ ณ ตำแหน่งเดิมแต่คนละฝั่งกับจุดเริ่มต้น กล่าวคือ ถ้าแถบเมอบีอุสเป็นกระจกใส มันจะเห็นร่างต้นประดุจภาพสะท้อนที่ปรากฏบนกระจกเงา และมันต้องเดินตรงต่อไปอีกเป็นระยะทาง L วิญญาณจึงกลับซ้อนทับร่างเดิม คุณลองย้อนเปรียบเทียบกับเส้นทางเดินของพระสังฆราชสิครับ มีอะไรกวนใจบ้างไหม?

จากรูปที่ 15 พระสังฆราชขาวเดินผ่าน ก5 ไป ญ5 ถ้าสมมติว่า ตอนเริ่มต้น ณ ตำแหน่ง ญ5 มีพระราชาดำครอบครองอยู่ กรณีนี้พระสังฆราชขาวสามารถปลงพระชนพระราชาดำได้หรือไม่? ในเมื่อพระสังฆราชขาวที่ผ่าน ญ5 เป็นช่องคนละด้านกับพระราชาดำ!

เอาล่ะ เราอาจคิดว่า “ไม่เห็นมีปัญหาอะไรนี่” เกมทุกเกมมนุษย์เป็นผู้กำหนดกติกาการเล่น ถ้าเรากำหนดให้ ช่อง ญ5 เดียวกัน ไม่มีความแตกต่างระหว่างด้านหน้า-ด้านหลัง หมายความว่าเรามีกระดานหมากรุก 64 ช่องเท่าเดิม และพระสังฆราชขาวสังหารพระราชาดำ ญ5 ได้ แต่ถ้าเรากำหนดให้มีความแตกต่างระหว่างด้าน กรณีที่ 1 ช่องมี 2 ด้าน เราจะได้กระดานหมากรุก 128 ช่อง พระราชาดำปลอดภัย ต่อมา ถ้าเรานำตรรกะกระดานหมากรุก 128 ช่องไปเปรียบเทียบกับภาพมดแดง 9 ตัวของ Escher โดยอ้างว่าวิญญาณมดแดงต้องเดินถึง 2 รอบเพื่อกลับไปยืนจุดเดิม แล้วพระสังฆราชขาวล่ะ จำเป็นต้องเดิน 2 รอบด้วยรึเปล่า เพื่อให้กลับไปอยู่ที่เดิม?


รูปที่ 17 เส้นทางเดินของพระสังฆราช แจกแจงจากรูปที่ 15

รูปที่ 17 แสดงเส้นทางเดินของพระสังฆราช ข6 บนกระดานที่ 1 ช่องมี 2 ด้าน หรือกระดาน 128 ช่องในทิศ ก5 คือ ก5, ญ5ล , ช6ล, ฉ7ล, จ8ล, ง1ล, ค2ล, ข3ล, ก4ล, ญ4, ช3, ฉ2, จ1, ง8, ค7 และ ข6! สุดท้ายพระสังฆราชกลับมายืน ณ จุดเดิมภายใน 16 ที หรือรอบเดียว ไม่ว่า ญ5ล (ญ5ล คือ ด้านหลังของช่อง ญ5 กรณีที่นับว่ากระดานมีพื้นผิวให้เดิน 128 ช่อง) จะเป็นช่องเดียวกันหรือคนละช่องกับ ญ5 แต่ความต่างระหว่าง ญ5 กับ ญ5ล มีผลต่อการสิ้นพระชนของพระราชาดำ ญ5 ดังนั้นเราควรแบ่งคำตอบเป็น 2 กรณี คือ ญ5ล ไม่เท่ากับ ญ5 กับ ญ5ล = ญ5 ดีมั้ยครับ?

ถ้าคุณไม่พบจุดผิดสังเกตในตรรกะที่ผมอธิบายมาตั้งแต่เรื่องมดแดง 9 ตัว จนกระทั่งถึงเดี๋ยวนี้ ผมเชื่อว่าคุณหลงกลแล้วล่ะ


รูปที่ 18 ระนาบ z = 0

ระนาบ z = 0 (พื้นที่แรเงา 2 มิติ) ดังรูปที่ 18 มี “ด้าน” หรือไม่? ถ้าคุณตอบว่า “มีสิ ด้านบนกับด้านล่างไง” นั่นหมายความว่า คุณได้อธิบายลักษณะของระนาบ z = 0 โดยใช้การมีอยู่ของอวกาศมิติที่ 3 คือ แกน z ด้านบนจึงหมายถึงอวกาศส่วนที่ z > 0 และด้านล่างหมายถึงอวกาศส่วนที่ z < 0 คุณอาจขยายความด้วยการยกตัวอย่างการยืนของวัตถุบนผิวทั้งสองด้านที่ต่างกัน ว่ามีลักษณะแตกต่างกัน เช่นถ้าคุณยืนที่จุด x = 0 และ y = 0 ด้านบน หัวจะชี้ไปทาง +z ในขณะที่ยืนจุดเดียวกันด้านล่าง หัวจะชี้ไปทาง –z ไม่ว่ายกอีกกี่ตัวอย่าง เราก็ต้องใช้มิติที่ 3 เพื่ออธิบายสิ่งที่เรียกว่าด้านของพื้นผิว เราไม่สามารถใช้ลำพังสมาชิกของพื้นผิว (x กับ y) อธิบายด้านของระนาบ z = 0 ได้ ถ้าสมมติว่าคุณเป็นสมาชิกคนหนึ่งที่อาศัยบน z = 0 โลก 2 มิติ ซึ่งไม่สามารถรับรู้ใดๆ (ด้วยประสาทสัมผัสทั้ง 5) เกี่ยวกับการมีอยู่ของมิติที่ 3 คุณก็จะไม่รู้จักคำว่า “ปริมาตร” และคุณมองเห็นเส้นตรง 1 เส้นมี 2 ด้าน คุณอาจใช้ความรู้ความสามารถประกอบเส้นตรง 4 เส้นเป็นสี่เหลี่ยม แล้วคำนวณหาพื้นที่ของสี่เหลี่ยมนั้นได้ โดยที่คุณไม่จำเป็นต้องมองทะลุด้านของเส้นตรงเพื่อเห็นพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ถึงแม้คุณจะมีเส้นโปร่งแสงมองทะลุเส้นตรงเข้าไปในสี่เหลี่ยม แต่สิ่งหนึ่งที่คุณไม่มีทางมองเห็นได้เลยคือรูปสี่เหลี่ยมที่คุณสร้างขึ้นมานั่นเอง เพราะคุณไม่สามารถมองเห็นสี่เหลี่ยมจากด้านนอกโดยที่เส้นไม่ทับกัน ในโลก 3 มิติ เราก็ไม่เคยมองเห็นวัตถุ 3 มิติทั้งหมดโดยที่พื้นผิวของวัตถุไม่ทับกัน การที่เราจะมองเห็นวัตถุ หรือรูปปริมาตรของวัตถุจริงๆ โดยที่พื้นผิวของวัตถุไม่ทับกันนั้น เราต้องมองในทิศแกนที่ 4 ซึ่งตั้งฉากกับทั้ง 3 แกนมิติที่วัตถุอาศัยอยู่เท่านั้น ในโลก 2 มิติ คุณจึงไม่รับรู้การมีด้านของระนาบ ดังนั้นคำถามว่า “ระนาบ z = 0 มีด้านหรือไม่?” จึงขึ้นอยู่กับมิติของผู้สังเกตการณ์ เช่นเดียวกับคำถาม “เส้นตรงมีด้านหรือไม่?” ในโลก 3 มิติ เราก็ตอบว่า “มีรอบด้าน หรือมีด้านเป็นอนันต์ เพราะมีระนาบจำนวนอนันต์ตัดกันเป็นเส้นตรงได้” หรืออาจจะตอบ “ไม่มีด้าน” ก็ไม่ผิดนัก คำถามเดียวกันนี้ โลก 2 มิติ ตอบว่า “มี 2 ด้าน”

เราสามารถเขียนเวกเตอร์ที่พุ่งตั้งฉากออกจากเส้นตรงได้กี่เวกเตอร์? โลก 2 มิติตอบว่า “2 เวกเตอร์ ทิศทางตรงข้ามกัน” โลก 3 มิติขึ้นไปตอบว่า “อนันต์” แล้วเราสามารถเขียนเวกเตอร์ที่พุ่งตั้งฉากออกจากพื้นผิวบนระนาบใดๆ ได้กี่เวกเตอร์? โลก 2 มิติตอบว่า “ไม่ได้ งง ไม่เข้าใจ มีแกนที่ 3 ที่ตั้งฉากกับ x y ด้วยหรือ?” โลก 3 มิติตอบว่า “2 เวกเตอร์ ทิศทางตรงข้ามกัน” โลก 4 มิติขึ้นไปตอบว่า “อนันต์” แล้วเราสามารถเขียนเวกเตอร์ให้พุ่งออกและตั้งฉากกับแกนมิติทั้ง 3 ของลูกบาศก์ใดๆ ได้กี่เวกเตอร์? โลก 2 มิติไม่ตอบ แถมย้อนถามกลับมาว่า “ลูกบาศก์คืออะไร?” โลก 3 มิติตอบว่า “ไม่ได้ งง ไม่เข้าใจ มีแกนที่ 4 ที่ตั้งฉากกับ x y z ด้วยหรือ?” โลก 4 มิติตอบว่า “2 เวกเตอร์ ทิศทางตรงข้ามกัน” โลก 5 มิติขึ้นไปตอบว่า “อนันต์”

ย้อนกลับมาที่กระดานหมากรุกไคลน์มีด้านหรือไม่? อาจถามใหม่ว่า เราสามารถเขียนเวกเตอร์ที่พุ่งตั้งฉากออกจากช่องหมากรุกช่องใดๆ บนกระดานหมากรุกไคลน์ได้กี่เวกเตอร์? เราจะตอบด้วยความเคยชินว่าพื้นผิวใดๆ ณ จุดหนึ่งๆ มีเวกเตอร์พุ่งตั้งฉากออกมาจากพื้นผิวนั้น 2 เวกเตอร์ไม่ได้ เพราะพื้นผิวที่กำลังพูดถึงอยู่นี้ไม่ใช่พื้นผิวที่อยู่ในอวกาศ 3 มิติ แต่อยู่ในอวกาศ 4 มิติ ดังนั้นมีเวกเตอร์จำนวนอนันต์ที่พุ่งตั้งฉากออกมาจากมัน ถ้าเราดูรูปที่ 17 พระสังฆราชเดินจาก ก5 ไป ญ5 ในอวกาศ 4 มิติ มันไม่ได้มีเพียง ญ5ล เท่านั้น แต่มี ญ5 อื่นๆ อีกอนันต์ด้าน เนื่องจากเราไม่สามารถเล่นหมากรุกบนกระดานอนันต์ช่องได้ ดังนั้นกระดานหมากรุกไคลน์ที่สามารถเล่นได้จึงมีเพียง 64 ช่องเท่าเดิม กล่าวคือ เราไม่ให้ความสำคัญของด้านจำนวนอนันต์ด้าน ณ ช่องหนึ่งๆ ว่าเป็นตำแหน่งที่แตกต่างกัน และปฐมเหตุของความเข้าใจเรื่องระนาบแบ่งด้านออกเป็น 2 ด้าน เพราะมีเวกเตอร์ 2 ตัวที่พุ่งตั้งฉากออกไปจากมัน เกิดจากตัวเราซึ่งคุ้นเคยและอาศัยใช้สอยอยู่ในอวกาศ 3 มิติ

สรุป กระดานหมากรุกไคลน์ที่เราเล่นได้มี 64 ช่อง การแก้โจทย์ปัญหาข้อนี้ทำได้ง่ายๆ โดยพิจารณาเขตอิทธิพลของตัวหมากรุกแต่ละตัว


รูปที่ 20 เขตอิทธิพลของพระราชินีดำ จ2

พื้นที่แรเงาในรูปที่ 20 แสดงเขตอิทธิพลของพระราชินีดำ จ2 คงเห็นความอำมหิตนะครับ ดังนั้นพื้นที่ที่เหลือให้พระราชาขาว ญ8 เดินได้จึงมีเพียง 3 ช่องดังรูปที่ 21


รูปที่ 21 ช่องที่พระราชาขาว ญ8 สามารถเดินได้

การรุกพระราชาดำ ฉ1 เพื่อทำให้จน คือการรุกแล้วไม่ว่าพระราชาดำ ฉ1 จะหนีไปที่ใดก็ไม่อาจรอดพ้นความตาย หนทางหนีของพระราชาดำ ฉ1 แสดงดังรูปที่ 22


รูปที่ 22 ช่องทางหนีของพระราชาดำ ฉ1

ตำแหน่ง ช1 และ ช8 พระราชาดำไม่สามารถเดินไปได้เพราะเป็นเขตอิทธิพลของพระราชาขาว และตัวหมากรุกเพียงตัวเดียวที่สามารถเดินเพื่อรุกพระราชาดำได้คือพระสังฆราชขาว รูปที่ 23 แสดงช่องที่พระสังฆราชขาวสามารถเดินได้ แต่พระสังฆราชต้องไม่เผลอตกในช่องที่เป็นเขตอิทธิพลของพระราชินีดำ ดังนั้นเหลือที่ว่างให้พระสังฆราชลอบสังหารพระราชาเพียง 8 ช่อง ดังรูปที่ 24


รูปที่ 23 ช่องเดินของพระสังฆราชขาว


รูปที่ 24 8 ช่องที่พระสังฆราชสามารถลอบสังหารพระราชา

เริ่มต้นทดลองเลื่อนพระสังฆราชไปที่ ก5


รูปที่ 25 เดินพระสังฆราช ข6 ไป ก5

เดินพระสังฆราชจาก ข6 ไป ก5 สามารถปลงพระชนพระราชาได้ดังรูปที่ 25 ครับ ถ้าเราสังเกตรูปนี้ เราจะพบว่าเมื่อนำพระสังฆราชวางช่องที่เส้นทางเดินตัดกัน จะให้เส้นทางเดินเดียวกันเสมอ พระสังฆราช ก4 ก5 จ1 และ จ8 จึงมีเส้นทางเดินร่วมกัน ดังนั้น ถ้า ก5 ฆ่าพระราชาได้ ก4 ก็ต้องฆ่าได้เช่นกัน ส่วน จ1 และ จ8 เกือบฆ่าได้ครับ ถ้าไม่ถูกพระราชินีฆ่าตายเสียก่อน

ถ้าเดินพระสังฆราช ข6 ไป ช3


รูปที่ 26 เดินพระสังฆราช ข6 ไป ช3

จากรูปที่ 26 เดินพระสังฆราชไป ช3 หรือ ช6 ให้เส้นทางเดินเดียวกัน และไม่สามารถสังหารพระราชาดำได้ ลองเดินจาก ข6 ไป ง4 เส้นทางแสดงดังรูปที่ 27


รูปที่ 27 เดินพระสังฆราช ข6 ไป ง4

จุดตัดเส้นทางในรูปที่ 27 บอกเราว่า เดินพระสังฆราชไป ง4 ง5 หรือ ญ1 ให้ค่าเท่ากัน คือพระราชาดำ ฉ1 อยู่รอดปลอดภัย ตอนนี้เราได้ทดลองเดินพระสังฆราช 7 ตำแหน่งแล้วนะครับ ก4, ก5, ช3, ช6, ง4, ง5 และ ญ7 พบว่ามี ก4 กับ ก5 เท่านั้นที่สามารถรุกจน เรายังเหลืออีก 1 ตำแหน่งจากรูปที่ 24 คือ ข3 ยกให้เป็นการบ้านคุณผู้อ่านสักข้อก็แล้วกัน

คิดกันเล่นๆ ถ้าโลกกระดานหมากรุกนี้ ตัวละครไม่เคยเดินข้ามขอบ 1 8 ก ญ เลย ก็ไม่ผิดอะไรจากหมากรุกทั่วไป ตัวละครคงใช้ชีวิตตามปกติด้วยความเข้าใจว่าก้าวข้ามขอบไม่ได้ และเข้าใจว่าโลกของเขามี 2 มิติ อยู่มาวันหนึ่ง ชาวนาไม่ยอมโปรโมตที่ ก8 แต่เดินทะลุต่อไป ก1 เขาอาจจะเอะใจ เกิดความสงสัย คุณคิดว่าความสงสัยของชาวนาสามารถทำให้เขาค้นพบข้อเท็จจริงว่าโลก 2 มิติ ที่คุ้นเคยนั้นลอยอยู่ในอวกาศ 4 มิติได้ไหมครับ?







บทความนี้ตีพิมพ์ใน MY MATH




 

Create Date : 01 สิงหาคม 2550    
Last Update : 11 พฤศจิกายน 2550 22:30:41 น.
Counter : 2380 Pageviews.  

klein bottle

เขียนโดย ศล
(ตัดตอนจากปริศนาหมากรุกกลบนกระดาน 4 มิติ)

klein bottle คำว่า klein เป็นชื่อสกุลของนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Felix Klein ซึ่งเป็นคนแรกที่อธิบายพื้นผิวรูปทรงชนิดนี้ ส่วนคำว่า bottle (ขวด) เกิดจากการแปลศัพท์ภาษาเยอรมันผิดเพี้ยนจากคำว่า die Fläche = พื้นผิว, พื้นที่ เป็น die Flasche = ขวด (Umlaut บนตัว a กลายเป็นตัว s)



Felix Klein (1849-1925)


เริ่มต้น สมมติว่าเรามีกระดาษ 4 เหลี่ยมมุมฉาก 1 แผ่น กระดาษแผ่นนั้นย่อมมี 2 ด้าน 4 ขอบ กระดาษ 2 ด้าน 4 ขอบอาศัยอยู่ในอวกาศ 2 มิติ และถ้าเราม้วนกระดาษให้ขอบที่ตรงข้ามกันประกบติดกัน เราจะได้รูปทรงกระบอกมี 2 ด้าน 2 ขอบ ทรงกระบอกนี้ต้องการอวกาศ 3 มิติ ดังรูป



แต่ถ้าเราบิดกระดาษครึ่งรอบก่อนประกบกับด้านตรงข้าม รูปทรงจะเปลี่ยนจากทรงกระบอกเป็น Möbius strip หรือแถบเมอบีอุส ซึ่งเป็นรูปทรงที่มี 1 ด้าน 1 ขอบ อาศัยอยู่ในอวกาศ 3 มิติ



จากรูปทรงกระบอก ถ้าเราม้วน 2 ขอบที่เหลือให้มาประกบกันอีก จะเกิดเป็นรูปทรงโดนัท (Torus) รูปทรงนี้เป็นพื้นผิวปิด ไม่มีขอบ แต่ยังคงมี 2 ด้านเหมือนทรงกระบอก และอาศัยอยู่ในอวกาศ 3 มิติ แสดงขั้นตอนตามลำดับเริ่มจากกระดาษ 2 มิติ ดังรูป



ม้วนขอบ a ประกบกันตามทิศลูกศรเป็นทรงกระบอก



ม้วนขอบ b ประกบกันตามทิศลูกศรเป็นโดนัท



ถ้าเราเลียนแบบวิธีการสร้างโดนัท แต่เปลี่ยนจากทรงกระบอกเป็นแถบเมอบีอุส รูปทรงใหม่ที่ได้ก็คือ พื้นผิวไคลน์ (Klein bottle) หรือพูดอีกมุมหนึ่งว่า เราสามารถสร้างพื้นผิวไคลน์จากทรงกระบอกที่บิดให้ทิศทางของขอบทั้ง 2 สวนทางกันก่อนนำมาประกบกัน พื้นผิวที่ได้นี้เป็นพื้นผิวปิด ไม่มีขอบเช่นเดียวกับพื้นผิวโดนัท ข้อต่างคือพื้นผิวไคลน์มีด้านเดียว ยิ่งไปกว่านั้น เราไม่สามารถสร้างรูปทรงชนิดนี้ขึ้นมาได้จริงบนโลกที่มีอวกาศให้ใช้เพียง 3 มิติ เพราะมันอาศัยอยู่ได้ในอวกาศตั้งแต่ 4 มิติขึ้นไป รูปต่อไปนี้แสดงลำดับการสร้าง klein bottle กระดาษ 2 มิติ มีทิศทางของลูกศร b ทั้ง 2 ขอบสวนทางกัน



ม้วนขอบ a ประกบกันตามทิศลูกศรเป็นทรงกระบอก



ม้วนขอบ b ให้ประกันโดยลูกศรชี้ในทิศเดียวกัน



นี่คือหน้าตาของ Klein bottle หลังจากที่พยายามวาดลงบนหน้ากระดาษ 2 มิติ



ลองดูภาพจำลอง 3 มิติ บนระนาบ 2 มิติของ Klein bottle 4 มิติสวยๆ จาก Universität für angewandte Kunst Wien มหาวิทยาลัยศิลปกรรมศาสตร์ประยุกต์แห่งกรุงเวียนนา










 

Create Date : 11 มิถุนายน 2550    
Last Update : 11 มิถุนายน 2550 17:25:41 น.
Counter : 1812 Pageviews.  

the 4 interactions

ตอนนี้เราคงพอมีไอเดียแล้วว่าโลกสร้างมาจากอะไรบ้าง แน่ละ... พวกคว๊าก และเล็พตรอน คำถามต่อมาที่น่าสนใจคือ "อะไรเป็นตัวยึดเหนี่ยวพวกมันไว้ด้วยกัน?" จักรวาลที่เรารู้จักนี้คงอยู่ไม่ได้ถ้าไม่มีปฏิกิริยาระหว่างกัน (interaction) ของอนุภาคมูลฐาน คำว่าปฏิกิริยาระหว่างกันและกันนี้ได้ทั้ง แรงดูด (attractive force) แรงผลัก (repulsive force) การสลาย (decay) และการรวมตัว/ทำลาย (annihilation) เมื่อกล่าวโดยสรุปแล้วปฏิกิริยาระหว่างกันและกันระหว่างอนุภาค (ต่อไปขอทับศัพท์ว่า interaction) สามารถแบ่งออกได้ 4 ชนิด นั่นหมายความว่าแรงต่างๆในโลกนี้ทุกแรงล้วนจัดลงอยู่ใน interaction ทั้ง 4 นี้ ไม่ว่าจะเป็นแรงเสียดทาน แรงดึงดูดของแม่เหล็ก สนามโน้มถ่วง การสลายตัวของนิวเคลียร์ และอื่นๆ ที่คุณจะนึกได้ จะต้องเป็นตัวใดตัวหนึ่งใน 4 interactions นี้เท่านั้น



แรง (force) กับ interaction เหมือนหรือต่างกันอย่างไร? จะว่าไปมันก็ยากที่จะแยกความแตกต่างระหว่างคำ 2 คำนี้ แต่ถ้าพูดให้ถูกต้องแล้ว แรง เป็นสิ่งที่เกิดขึ้นกับอนุภาคเมื่อมีอนุภาคอื่นอยู่ด้วย ส่วน interaction นั้น นอกจากหมายถึงแรงแล้วยังรวมกรณีการสลายตัว (decays) และการรวมตัวทำลายร้าง (annihilations) ของอนุภาคอีกด้วย คนส่วนใหญ่ บางครั้งก็รวมนักฟิสิกส์เองที่มักจะใช้คำว่า แรง และ interaction สลับแทนที่กัน ทั้งๆ ที่คำว่า interaction เป็นคำที่ถูกต้องมากกว่า แต่ก็ไม่เป็นไร ถ้าคุณจะใช้คำ 2 คำนี้สลับกัน ที่สำคัญคือคุณก็ควรจะรู้ความแตกต่างของมันไว้ด้วย เราเรียกอนุภาคที่เป็นตัวพา interactions ว่า อนุภาคนำพาแรง (force carrier particles)

มีคำถามหนึ่งซึ่งเคยกวนใจนักฟิสิกส์มาหลายปี "อนุภาคสสารมีปฏิกิริยาระหว่างกันได้อย่างไร?" ปัญหาก็คือการที่มันมีปฏิกิริยาระหว่างกันได้โดยไม่ต้องสัมผัสกัน แม่เหล็ก 2 อันสามารถรู้สึกถึงการมีอยู่ของอีกอันได้อย่างไร โดยที่มันอาจจะดูดหรือผลักกัน ดวงอาทิตย์สามารถดึงดูดโลกไว้ได้อย่างไร?



เรารู้ว่าคำตอบของทั้ง 2 ข้อนี้คือ "อำนาจแม่เหล็ก" (magnetism) และ "สนามโน้มถ่วง" (gravity) แต่แรงพวกนี้มันคืออะไรกันแน่ล่ะ? ในเบื้องต้น ควรรู้ก่อนว่าแรงไม่ใช่สิ่งที่จู่ๆ ก็เกิดขึ้นกับอนุภาค แต่แรงเป็นสิ่งที่เคลื่อนที่ระหว่างอนุภาค เพื่อความเข้าใจเรื่องแรง ลองนึกภาพตามนี้ คน 2 คนยืนบนลานน้ำแข็ง คนแรกขยับแขนทำท่าผลักไปข้างหน้า แล้วอีกคนก็ทำท่ารับของสิ่งหนึ่งจากคนแรกเอาไว้พร้อมกับไถลไปข้างหลัง จากเหตุการณ์ดังกล่าว คุณสามารถจินตนาการได้ว่าระหว่าง 2 คนนั้นต้องส่งอะไรสักอย่างให้กัน อาจจะเป็นลูกบอลที่คุณมองไม่เห็น คุณสามารถตั้งสมมติฐานได้ว่าคนแรกส่งลูกบอลให้กับอีกคนหนึ่งเพราะคุณเห็นกิริยาและสิ่งที่เกิดขึ้นกับ 2 คนนั้น ถ้าเปรียบเทียบให้คนที่รับโยนลูกบาสฯ เป็นอนุภาคสสาร ลูกบาสฯ ก็จะเป็นอนุภาคนำพาแรง (force carrier particle) โดยปกติแล้วเมื่อเรานึกถึงแรง มันก็คือผลกระทบของอนุภาคนำพาแรงต่ออนุภาคสสารนั่นเอง ตัวอย่างบาสเกตบอลนี้เป็นตัวอย่างหยาบๆ เบื้องต้นที่อธิบายเพียงแรงผลัก และดูจะไม่ช่วยอะไรมากนักในกรณีแรงดูดว่าอนุภาคนำพาแรงจะมีการแลกเปลี่ยนกันอย่างไร? เราพบเห็นตัวอย่างแรงดึงดูดได้บ่อยในชีวิตประจำวัน ไม่ว่าจะเป็นจากแม่เหล็กหรือแรงโน้มถ่วง และส่วนใหญ่ก็ยอมรับกันว่าเมื่อมีวัตถุหนึ่งเกิดขึ้น วัตถุนั้นจะส่งผลกระทบต่อวัตถุอื่น แต่เมื่อเราตั้งคำถามที่ลึกลงไปอีกว่า "วัตถุหนึ่งจะส่งผลกระทบต่ออีกวัตถุหนึ่งได้อย่างไรในเมื่อมันไม่ได้แตะต้องกัน" เราจึงมีคำตอบที่น่าสนใจว่าแรงดังกล่าวนั้นเกิดจากการแลกเปลี่ยนอนุภาคนำพาแรงระหว่างวัตถุทั้งสอง นักฟิสิกส์อนุภาคสามารถอธิบายแรงระหว่างอนุภาคด้วยหลักการแลกเปลี่ยนอนุภาคนำพาแรงได้อย่างแม่นยำอย่างไม่น่าเชื่อทีเดียว

ข้อสำคัญประการหนึ่งเกี่ยวกับการนำพาแรงคือ อนุภาคนำพาแรงสามารถถูกดูดกลืนหรือสร้างได้เฉพาะกับอนุภาคสสารที่มีผลกระทบต่อแรงชนิดนั้น เช่น อิเล็กตรอนและโปรตอนมีประจุไฟฟ้า ดังนั้นพวกมันสามารถสร้างและดูดรับตัวพาแรงแม่เหล็กไฟฟ้า (ซึ่งก็คือโฟตอน) ได้ ในขณะที่นิวตริโนไม่มีประจุไฟฟ้า ก็ไม่สามารถสร้างหรือดูดรับโฟตอนได้




แรงแม่เหล็กไฟฟ้าเป็นแรงที่ทำให้ประจุชนิดเดียวกันผลักกัน และประจุที่ต่างชนิดกันดูดกัน ตัวอย่างที่พบเห็นในชีวิตประจำวันอย่างเช่นแรงเสียดทานหรืออำนาจแม่เหล็กก็เกิดจากแรงชนิดนี้ (บางครั้งเราเรียกย่อๆ ว่าแรง E-M) และแรงที่ทำให้คุณสามารถยืนบนพื้นได้โดยที่ไม่ร่วงทะลุพื้นก็เป็นแรงแม่เหล็กไฟฟ้าเช่นเดียวกัน เพราะแรงแม่เหล็กไฟฟ้าทำให้อะตอมที่ประกอบกันเป็นเท้าของคุณและอะตอมที่ประกอบเป็นพื้นต่อต้านซึ่งกันและกัน ไม่รวมกัน




อนุภาคที่นำพาแรงแม่เหล็กไฟฟ้าเราเรียกว่า "โฟตอน" (photon) โฟตอนที่มีพลังงานต่างกันก็คือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าในย่านความถี่ต่างกัน ไม่ว่าจะเป็นสเปกตรัมของ X-ray, ช่วงแสงที่มองเห็น, คลื่นวิทยุ ฯลฯ ตามที่เรารู้มานั้น โฟตอนไม่มีมวล (มวล = ศูนย์) และเคลื่อนที่ด้วยความเร็วแสง ความเร็วแสงนิยมแทนด้วยสัญลักษณ์ c ซึ่งมีค่าโดยประมาณ 300,000,000 เมตรต่อวินาที หรือ 186,000 ไมลส์ต่อวินาที ในสุญญากาศ

โดยปกติแล้วภายในอะตอมจะมีจำนวนโปรตอนเท่ากับจำนวนอิเล็กตรอน จึงมีคุณสมบัติเป็นกลางทางไฟฟ้า ประจุบวกของโปรตอนถูกหักล้างโดยประจุลบของอิเล็กตรอน ในเมื่อมันเป็นกลางทางไฟฟ้า แล้วอะไรเป็นสาเหตุทำให้อะตอมหลายอะตอมจับตัวกันเป็นโมเลกุลได้ล่ะ? คำตอบคือ เราพบว่าประจุบางส่วนของอะตอมหนึ่งสามารถมีผลกระทบต่อบางประจุของอีกอะตอมหนึ่งได้ นี่แหละที่ทำให้อะตอมต่างๆจับพันธะกันเป็นโมเลกุล เราเรียกผลจากแรงแม่เหล็กไฟฟ้าอันนี้ว่า "แรงแม่เหล็กไฟฟ้าตกค้าง" หรือ residual electromagnetic force ดังนั้นแรงแม่เหล็กไฟฟ้า ก็คือแรงที่ทำให้อะตอมจับกันเป็นโมเลกุล ทำให้โลกยังเป็นโลกอย่างทุกวันนี้ไม่แตกออกเป็นเสี่ยงๆ ทำให้เกิดสสารที่คุณเข้าไปสัมผัสจับต้องได้ น่าอัศจรรย์ไหมล่ะ โครงสร้างทุกอย่างในโลกมีตัวตนเพราะโปรตอนและอิเล็กตรอนมีประจุตรงกันข้าม


เรายังมีอีกหนึ่งคำถามเกี่ยวกับอะตอม คือ "อะไรยึดนิวเคลียสไว้ด้วยกัน?"

นิวเคลียสของอะตอมประกอบด้วยกลุ่มโปรตอนและนิวตรอนที่อัดอยู่แน่น ในเมื่อนิวตรอนเป็นกลางทางไฟฟ้า ส่วนโปรตอนนั้นมีประจุบวกซึ่งแต่ละตัวก็ต่างผลักพวกพ้องให้อยู่ห่างๆกัน แล้วทำไมนิวเคลียสยังจับกันเป็นกลุ่มก้อนได้ล่ะ? ทำไมมันไม่ผลักจนแยกตัวออกมา?


จังหวะนี้เราไม่สามารถพูดได้แล้วว่านิวเคลียสจับตัวกันเพราะแรงแม่เหล็กไฟฟ้า มีแรงใดยึดพวกมันไว้ด้วยกันอย่างนั้นหรือ? ใช่แรงดึงดูดระหว่างมวลรึเปล่า? ไม่น่าจะใช่ เพราะแรงดึงดูดระหว่างมวลน้อยเกินไปเมื่อเทียบกับแรงผลักของแรงแม่เหล็กไฟฟ้า

แล้วมันคืออะไร?

ถ้าอยากเข้าใจสิ่งที่เกิดขึ้นภายในนิวเคลียส เราต้องเริ่มต้นจากทำความรู้จักพวกคว๊ากที่ประกอบกันเป็นโปรตอนและนิวตรอนก่อน เรารู้ว่าคว๊ากมีประจุไฟฟ้า นอกจากประจุไฟฟ้าแล้วคว๊ากยังมีประจุอีกชนิดหนึ่งที่เรียกว่า "ประจุสี" (color charge) เจ้าแรงระหว่างประจุสีนี่เองเป็นแรงที่เข้มมาก ดังนั้นด้วยความคิดสร้างสรรค์บรรเจิดเราจึงตั้งชื่อเรียกมันว่า "แรงชนิดเข้ม" (strong)



แรงชนิดเข้มเป็นแรงที่ยึดคว๊ากให้อยู่รวมกันเป็นแฮ็ดรอน (hadrons) และเราเรียกอนุภาคที่นำพาแรงชนิดนี้ว่าอนุภาคกาวหรือ "กลูออน" (gluons) เพราะมันเสมือนเป็นกาวที่ทาคว๊ากไว้ด้วยกัน

ประจุสีมีพฤติกรรมที่แตกต่างจากประจุไฟฟ้า

กลูออนมีประจุสี มันเป็นเรื่องที่ค่อนข้างแปลกประหลาด เมื่อเทียบกับโฟตอนซึ่งไม่มีประจุไฟฟ้า คว๊ากก็มีประจุสี แต่อนุภาคที่เกิดจากคว๊ากรวมตัวกันไม่มีประจุสี (เพราะเป็นกลางทางสี - color neutral) ด้วยเหตุนี้เจ้าแรงเข้มจึงเป็นแรงที่มีพิสัยแคบๆเฉพาะในระดับปฏิกิริยาระหว่างพวกคว๊ากด้วยกัน และนี่เป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเราไม่รับรู้การมีอยู่ของแรงชนิดเข้มในชีวิตประจำวัน

คว๊ากและกลูออนต่างเป็นอนุภาคที่มีประจุสี

ก็เหมือนกับอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้าซึ่งมีการแลกเปลี่ยนโฟตอนใน E-M interaction พวกอนุภาคที่มีประจุสีก็จะแลกเปลี่ยนกลูออนใน strong interaction คว๊าก 2 ตัวที่อยู่ใกล้กัน พวกมันจะแลกเปลี่ยนกลูออนและสร้างสนามแรงสีชนิดเข้ม (strong color force field) เพื่อยึดพวกมันเข้าด้วยกัน สนามแรงดังกล่าวจะมีค่าเพิ่มมากขึ้นถ้าใครสักคนพยายามแยกคว๊ากให้ออกห่างจากกันมากขึ้น


ประจุสีมีการทำงานอย่างไร?



ประจุสีมีทั้งหมด 3 ชนิด (3 สี) และมีประจุสีตรงข้าม (anticolor charge) อีก 3 ชนิด คว๊ากแต่ละตัวจะมีประจุสี 1 สี ทำนองเดียวกัน ปฏิคว๊าก (antiquark) ก็จะมีประจุสีตรงข้ามสีใดสีหนึ่ง ถ้าเราผสมแสงสีแดง แสงสีเขียว และแสงน้ำเงิน เราก็จะได้แสงขาวฉันใด ในแบรีออน (baryon) ก็เกิดจากการรวมกันของประจุสีแดง เขียว น้ำเงิน เกิดเป็นกลางทางสีฉันนั้น กรณีของ antibaryon ก็เช่นเดียวกัน ประจุสีตรงข้ามแดง (antired) ตรงข้ามเขียว ตรงข้ามน้ำเงิน รวมกันเป็นกลางทางสี สำหรับเมซอน (meson) ก็เป็นกลางเพราะประจุสีรวมตัวกับประจุตรงข้ามสีนั้น เช่น แดง กับ ตรงข้ามแดง

การดูดกลืนหรือปล่อยกลูออนจะทำให้เกิดการเปลี่ยนสี และเป็นไปตามหลักอนุรักษ์สี ดังนั้นกลูออนจึงต้องขนทั้งสีและสีตรงข้าม เนื่องจากมี 3 สี และ 3 สีตรงข้าม ความเป็นไปได้ของกลูออนก็ควรจะมี 9 แบบ (เช่น แดง-ตรงข้ามแดง, แดง-ตรงข้ามเขียว, แดง-ตรงข้ามน้ำเงิน,...) แต่จากผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ เราพบว่ามีกลูออนเพียง 8 แบบเท่านั้น ยังไม่มีคำอธิบายที่น่าพอใจในเรื่องนี้



อนึ่งคำว่า "ประจุสี" เป็นเพียงคำสมมติที่ใช้เรียกและอธิบาย ไม่มีความเกี่ยวข้องกับสีจริงๆที่เรามองเห็นแต่อย่างไร

เราไม่มีทางพบอนุภาคประจุสีตัวเดียวโดดๆ ด้วยเหตุนี้ คว๊ากซึ่งมีประจุสีจึงถูกมัดรวมกันเป็นกลุ่ม (แฮ็ดรอน) ร่วมกับคว๊ากตัวอื่น โดยที่ผลรวมของสีสุดท้ายแล้วต้องเป็นกลาง (color neutral) จากความก้าวหน้าของทฤษฎี Standard Model สำหรับแรงชนิดเข้ม แสดงให้เห็นว่าคว๊ากสามารถรวมตัวกันเป็นได้เฉพาะแบรีออน (คว๊าก 3 ตัว) และ เมซอน (คว๊ากกับปฏิคว๊าก)เท่านั้น ไม่สามารถรวม 4 คว๊ากได้ เพราะแบรีออนกับเมซอนมีสีเป็นกลาง ดังนั้นอนุภาคพวก ud หรือ uddd ที่ไม่สามารถรวมสีให้เป็นกลางเราจึงไม่เคยพบมัน

สนามแรงสี (Color-Force Field)

พวกคว๊ากที่รวมกันเป็นแฮ็ดรอนต่างแลกเปลี่ยนกลูออนกันอย่างบ้าคลั่ง

สนามแรงสีก็คือพวกกลูออนที่มัดรวมคว๊ากไว้ด้วยกัน

ถ้าหากมีคว๊ากตัวใดตัวหนึ่งในแฮ็ดรอนถูกดึงให้ออกห่างจากกลุ่ม สนามแรงสีจะเพิ่มขึ้นระหว่างคว๊ากตัวนั้นและตัวที่เหลือ พูดง่ายๆคือพลังงานจะเพิ่มสูงขึ้นในสนามแรงสีเมื่อคว๊ากถูกดึงให้ห่างไป แต่เมื่อถึงจุดหนึ่ง (ถ้าคุณยังพยายามพรากคว๊ากออกจากกัน) พลังงานของสนามแรงสีก็จะลดลงและแตกตัวเองออกเป็นคู่คว๊ากกับปฏิคว๊ากคู่หนึ่ง พูดตามหลักอนุรักษ์พลังงานก็คือพลังงานของสนามแรงสีเปลี่ยนไปเป็นมวลของคู่คว๊ากตัวใหม่เพื่อลดระดับพลังงานสนามแรงสีที่กำลังเข้มข้นเกินไปให้ต่ำลง



สรุปแล้วไม่ว่าอย่างไรก็ตาม คว๊ากจะไม่อยู่อย่างโดดเดี่ยว


การอนุรักษ์ประจุสี

เมื่อคว๊ากปล่อยหรือดูดกลืนกลูออน สีของคว๊ากจะต้องเปลี่ยนไปตามหลักอนุรักษ์สี ตัวอย่างเช่น คว๊ากแดงเปลี่ยนเป็นคว๊ากน้ำเงินเมื่อปล่อยกลูออนแดง + ตรงข้ามน้ำเงิน (red/antiblue) ออกมา เพื่ออนุรักษ์สีแดง ที่เป็นเช่นนี้เพราะหลังจากคว๊ากปล่อยกลูออน สีน้ำเงินของคว๊ากจะหักล้างกับสีตรงข้ามน้ำเงินของกลูออน และยังเหลือสีแดงที่กลูออนขนไป

ภาพตัวอย่างลำดับการปล่อยกลูออนแดง+ตรงข้ามน้ำเงินของคว๊ากแดง

1. คว๊ากแดง



2-4. ขณะปล่อยกลูออนแดง+ตรงข้ามน้ำเงิน และตัวเองก็ค่อยๆกลายเป็นคว๊ากน้ำเงิน (แทนสีเหลืองด้วยตรงข้ามน้ำเงิน)






5. คว๊ากน้ำเงิน กับ กลูออนแดง+ตรงข้ามน้ำเงิน



ภายในแฮ็ดรอน คว๊ากปล่อยและรับกลูออนบ่อยมาก ดังนั้นจึงเป็นไปไม่ได้ที่จะสังเกตสีของคว๊ากตัวใดตัวหนึ่งโดยเฉพาะ แต่ไม่ว่าอย่างไรก็ตาม ภายในแฮ็ดรอน สีของคว๊ากที่เปลี่ยนเมื่อมีการแลกเปลี่ยนกลูออนจะต้องเปลี่ยนไปเพื่อรักษาสีให้เป็นกลาง (color-neutral state)

ตอนนี้เรารู้แล้วว่า "แรงชนิดเข้ม" สามารถยึดคว๊ากไว้ด้วยกันได้เนื่องจากคว๊ากเป็นอนุภาคที่มีประจุสี แต่ก็ยังไม่ได้ตอบคำถามว่าอะไรที่เป็นตัวยึดนิวเคลียสไว้ด้วยกัน ในเมื่อโปรตอนซึ่งมีประจุไฟฟ้าบวกต่างผลักกันเองด้วยแรงแม่เหล็กไฟฟ้า และทั้งโปรตอนกับนิวตรอนก็มีสีเป็นกลาง งั้นอะไรเป็นตัวยึดนิวเคลียสไว้ด้วยกันล่ะ?

คำตอบก็ยังเป็น "แรงชนิดเข้ม" มันคงไม่ถูกตั้งชื่อว่าแรงชนิดเข้มหรอกถ้ามันไม่เข้มจริง หมายความว่าแรงชนิดเข้มระหว่างคว๊ากในโปรตอนตัวหนึ่งที่ยึดกับคว๊ากของโปรตอนอีกตัว มีค่า "เข้ม" กว่าแรงผลักจากประจุไฟฟ้า



เราเรียกแรงที่ยึดระหว่างคว๊ากของโปรตอนคนละตัวนี้ว่า "แรงเข้มตกค้าง" หรือ residual strong interaction และเจ้าแรงเข้มตกค้างนี่แหละทำหน้าที่เป็นกาวยึดนิวเคลียสให้อยู่ด้วยกัน





เรารู้ว่ามีคว๊ากและเล็พตรอนอยู่อย่างละ 6 ชนิด แต่สสารทั้งหลายที่เสถียรในจักรวาลดูเหมือนจะสร้างจากคว๊ากที่เบาที่สุด 2 ชนิด (คืออั๊พและดาวน์) เล็พตรอนชนิดมีประจุที่มีมวลน้อยที่สุด (คืออิเล็กตรอน) และนิวตริโน

แรงชนิดอ่อน (Weak interactions) เป็นแรงที่เกี่ยวข้องกับการสลายตัวของคว๊ากหรือเล็พตรอนตัวโตให้กลายเป็นคว๊ากหรือเล็พตรอนตัวที่เล็กลง เมื่อเกิดการสลายตัวของอนุภาคมูลฐาน เราสังเกตพบว่าอนุภาคนั้นจะหายไป และมีอนุภาคชนิดใหม่อย่างน้อย 2 ชนิดเกิดขึ้นแทนที่ โดยผลรวมมวลและพลังงานยังเป็นไปตามกฏการอนุรักษ์ ไม่สูญหายไปไหน บางส่วนของมวลอนุภาคเดิมเปลี่ยนไปเป็นพลังงานจลน์ ทำให้เกิดอนุภาคที่เล็กลงกว่าเดิมเมื่อมีการสลายตัว



สสารส่วนใหญ่รอบตัวเรานั้นสร้างจากคว๊ากและเล็พตรอนที่เล็กที่สุดอยู่แล้ว ดังนั้นมันจึงเสถียรไม่สามารถสลายตัวต่อไปได้อีก เมื่อคว๊ากหรือเล็พตรอนเปลี่ยนชนิด (เช่นมิวออนเปลี่ยนไปเป็นอิเล็กตรอน) เราจะเรียกว่ามันเปลี่ยน "รส" (flavor) การเปลี่ยนรสนี่แหละที่สัมพันธ์กับแรงชนิดอ่อน (weak interaction)

อนุภาคนำพาแรงชนิดอ่อนได้แก่อนุภาค W+, W- และ Z โดยอนุภาคกลุ่ม W เป็นอนุภาคที่มีประจุไฟฟ้า ส่วนอนุภาค Z เป็นกลางทางไฟฟ้า คว๊ากแต่ละชนิดจะมีรสแตกต่างกัน คำว่า "รส" หรือ flavor นี้เป็นคำที่นักฟิสิกส์ใช้เรียกความแตกต่างระหว่างคว๊าก 6 ชนิด



แรงชนิดอ่อนแบบมีประจุสามารถเปลี่ยนรสของอนุภาคได้ ส่วนแรงชนิดอ่อนเนื่องจากอนุภาค Z ไม่สามารถเปลี่ยนรสของอนุภาคได้

เล็พตรอนก็มีรสเช่นเดียวกัน นอกจากรสแล้วเล็พตรอนยังมีหมายเลขอิเล็กตรอน หมายเลขมิวออน และหมายเลขเทา ซึ่งเป็นหมายเลขประจำตระกูล (ตามที่ได้อธิบายมาแล้วในบท What is the world made of?) ดังนั้นขณะที่รสของเล็พตรอนเปลี่ยนเนื่องจากแรงชนิดอ่อนแบบมีประจุ กระบวนการนี้ก็ต้องอนุรักษ์หมายเลขประจำตระกูลของเล็พตรอนด้วย

ทฤษฎีแบบจำลองมาตรฐาน (The Standard Model) ได้รวมเอาแรงแม่เหล็กไฟฟ้าและแรงชนิดอ่อนไว้ด้วยกัน เรียกว่า "electroweak"

นักฟิสิกส์มีความเชื่อมายาวนานแล้วว่าแรงชนิดอ่อนและแรงแม่เหล็กไฟฟ้ามีความสัมพันธ์ใกล้ชิดกัน และในแบบจำลองมาตรฐานก็ได้รวมแรงทั้ง 2 ไว้ด้วยกันเกิดเป็นทฤษฎี electroweak

นักฟิสิกส์พบว่าที่ระยะทางสั้นๆ (ประมาณ 10-19 เมตร) ความเข้มของแรงชนิดอ่อนมีค่าใกล้เคียงกับแรงแม่เหล็กไฟฟ้า เมื่อไกลไปอีก 30 เท่า (ประมาณ 3 x 10-17 เมตร) ความเข้มของแรงชนิดอ่อนน้อยกว่าแรงแม่เหล็กไฟฟ้า 10,000 เท่า และที่ระยะห่างเท่ากับรัสมีโปรตอน (ประมาณ 10-15 เมตร) แรงชนิดอ่อนก็มีค่ายิ่งน้อยลงไปอีก นักฟิสิกส์สรุปว่าที่จริงแล้วความเข้มของแรงทั้ง 2 ชนิดนี้เท่ากัน ความเข้มของแรง (the strength of the interactions) นั้นขึ้นอยู่กับมวลของอนุภาคนำพาแรงและระยะที่อนุภาคนำพาแรงต้องเคลื่อนที่ไปเพื่อทำปฏิกิริยาระหว่างกัน ข้อที่แตกต่างระหว่างผลการสังเกตแรงทั้ง 2 ชนิดนี้เนื่องมาจากอนุภาค W และ Z นั้นเป็นอนุภาคที่มีมวลมาก ในขณะที่โฟตอนเป็นอนุภาคที่ไม่มีมวล





สนามโน้มถ่วงหรือแรงดึงดูดระหว่างมวลเป็นแรงที่ค่อนข้างแปลกประหลาด แน่นอนว่ามันเป็นแรงพื้นฐานตัวหนึ่งในเอกภพ แต่ทฤษฎีแบบจำลองมาตรฐานก็ไม่พบคำตอบที่น่าพอใจสำหรับอธิบายแรงชนิดนี้ และนี่ก็เป็นปัญหาหลักข้อหนึ่งที่ยังไม่มีคำตอบในวิชาฟิสิกส์ปัจจุบัน

อนุภาคนำพาแรงโน้มถ่วงก็ยังไม่ถูกค้นพบ แต่มีการทำนายว่ามันต้องมีตัวตนอยู่แน่ๆ รอการค้นพบโดยใครสักคนในสักวันข้างหน้า เราเรียกมันว่า "กราวิตอน" (graviton) แต่ก็มีความโชคดีอย่างหนึ่ง ผลกระทบจากแรงชนิดนี้มีค่าน้อยมากๆสำหรับฟิสิกส์อนุภาคเมื่อเปรียบเทียบกับ 3 แรงที่เหลือ ดังนั้นทางทฤษฎีและในการคำนวณแล้วเราสามารถตัดแรงชนิดนี้ทิ้งได้ นี่หมายความว่าทฤษฎีแบบจำลองมาตรฐานใช้งานได้โดยที่ไม่ต้องอธิบายเกี่ยวกับแรงโน้มถ่วงนั่นเอง






 

Create Date : 09 มิถุนายน 2550    
Last Update : 12 กรกฎาคม 2551 19:23:58 น.
Counter : 1760 Pageviews.  

what is the world made of?

โลกสร้างจากอะไร? เหตุใดหลายสิ่งหลายอย่างในโลกช่างมีอะไรคล้ายๆ กัน ผู้คนเริ่มค้นพบว่าสสารในโลกล้วนถูกสร้างมาจากองค์ประกอบพื้นฐานเพียงไม่กี่ชนิดในธรรมชาติ

คำว่า "พื้นฐาน" (fundamental) นี่แหละที่เป็นกุญแจดอกสำคัญ ดังนั้นคำว่าองค์ประกอบพื้นฐานจึงหมายถึงสิ่งที่เรียบง่ายที่สุดและไร้โครงสร้าง นั่นคือสิ่งที่เป็นองค์ประกอบพื้นฐานต้องไม่ถูกสร้างมาจากสิ่งอื่นใดอีก



จะใช่ ดิน น้ำ ลม ไฟ หรือไม่? เดโมคริตุสรู้ว่ามีบางสิ่งที่พื้นฐานยิ่งกว่า ดิน น้ำ ลม ไฟ นั่นก็คือ อะตอม (atom)

By convention there is color,
By convention sweetness,
By convention bitterness,
But in reality there are atoms and space.
- Democritus (c. 400 BCE)


ผู้คนคิดว่าอะตอมเป็นเหมือนลูกบอลที่มีประจุไฟฟ้าปริมาณเล็กน้อยฝังอยู่รอบๆ



อะตอมเป็นอนุภาคพื้นฐานจริงหรือ? ต่อมาไม่นาน ก็มีคนค้นพบว่าสามารถจัดเรียงอะตอมเหล่านี้เป็นหมวดหมู่ได้ โดยอาศัยคุณสมบัติทางเคมีที่คล้ายคลึงกัน (เช่นตารางธาตุ) สิ่งนี้เท่ากับบอกเป็นนัยว่าอะตอมยังต้องประกอบจากสิ่งอื่นที่พื้นฐานยิ่งกว่า และสิ่งพื้นฐานยิ่งกว่าที่มาประกอบกันเป็นอะตอมนี่เองที่เป็นตัวทำให้คุณสมบัติทางเคมีของอะตอมแตกต่างกันและสามารถจัดเป็นกลุ่มได้



หลังจากนั้นเมื่อมีการทดลองเพื่อจะมองเข้าไปภายในอะตอม นักวิทยาศาสตร์ได้ค้นพบว่าอะตอมมีลักษณะที่ประกอบด้วยนิวเคลียส (nucleus) ซึ่งเป็นประจุบวกอยู่ตรงกลาง และกลุ่มหมอกของอิเล็กตรอน (electron) ซึ่งมีประจุลบปกคลุมอยู่รอบนอก



นักวิทยาศาสตร์คิดว่านิวเคลียสนี่แหละที่เป็นอนุภาคพื้นฐาน เนื่องจากมันมีลักษณะเล็ก แข็ง และความหนาแน่นสูง แต่ต่อมาก็ได้ค้นพบว่านิวเคลียสยังประกอบไปด้วย โปรตอน (proton) ซึ่งมีประจุบวก และนิวตรอน (neutron) ซึ่งเป็นกลางทางไฟฟ้า



โปรตรอนกับนิวตรอนจะใช่อนุภาคพื้นฐานหรือไม่? นักฟิสิกส์ค้นพบต่อไปอีกว่าโปรตรอนและนิวตรอน ยังประกอบด้วยอนุภาคที่เล็กกว่า เรียกว่า คว๊าก (quark) เท่าที่ความรู้ในปัจจุบันไปถึง คว๊ากก็เหมือนกับจุดในเรื่องของเรขาคณิต นั่นคือมันไม่ได้ประกอบจากสิ่งอื่นอีก



หลักจากผ่านการทดสอบทุกวิถีทาง (เท่าที่ทำได้) นักวิทยาศาสตร์เชื่อว่า คว๊าก และ อิเล็กตรอน คืออนุภาคพื้นฐาน



อิเล็กตรอนเคลื่อนที่เป็นวงรอบนิวเคลียส โดยมีโปรตอนและนิวตรอนสั่นอยู่ภายในนิวเคลียส ส่วนคว๊ากก็สั่นอยู่ภายในโปรตอนและนิวตรอน รูปที่แสดงอยู่นี่ค่อนข้างผิดจากความเป็นจริง เพราะว่าถ้าเราวาดภาพอะตอมที่รักษาสัดส่วนของมัน โดยให้โปรตอนและนิวตรอนมีขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 ซม. ขนาดของอิเล็กตรอนและคว๊ากก็จะมีขนาดเล็กกว่าเส้นผ่านศูนย์กลางของเส้นผม และเส้นผ่านศูนย์กลางของทั้งอะตอมก็จะมีความยาวมากกว่าความยาวของสนามฟุตบอล 30 สนามที่เรียงต่อกัน หมายความว่า 99.999999999999% ของปริมาตรอะตอมคือพื้นที่ว่าง

นิวเคลียสมีขนาดเล็กกว่าอะตอมประมาณ 10,000 เท่า ส่วนอิเล็กตรอนและคว๊ากก็มีขนาดเล็กกว่านิวเคลียสประมาณ 10,000 เท่า ขนาดที่แน่นอนของอิเล็กตรอนหรือคว๊ากนั้นเราไม่สามารถรู้ได้ พวกมันถูกนิยามให้มีขนาดเล็กว่า 10 -38 บางทีพวกมันอาจจะเป็นจุดก็ได้ ยังไม่มีใครรู้



ดังนั้นจึงมีความเป็นไปได้เช่นกันที่อิเล็กตรอนและคว๊ากจะไม่ใช่อนุภาคพื้นฐาน ถ้ามันประกอบจากสิ่งอื่นๆ อีก บรรดานักฟิสิกส์ต่างจับตามองหาอนุภาคใหม่ๆอย่างไม่ลดละ เมื่อพบ เขาจะจำแนกประเภทของมันและพยายามที่จะหารูปแบบเพื่อทำความเข้าใจว่าอนุภาคพื้นฐานในเอกภพเหล่านี้มีปฏิสัมพันธ์กันอย่างไร?



ทุกวันนี้เราค้นพบอนุภาคมากกว่า 200 ชนิด (ส่วนใหญ่ยังไม่ใช่อนุภาคพื้นฐาน) อนุภาคที่ค้นพบเหล่านี้จะถูกตั้งชื่อเพื่อใช้เรียกขานด้วยอักษรกรีกและโรมัน ดังนั้นอย่ากังวลใจกับชื่อเรียกของมันมากนัก ไม่ใช่เรื่องใหญ่โตหรือเรื่องแปลกเลยที่ใครสักคนจะมีปัญหาในการจำชื่อเหล่านี้ เพราะลำพังแค่ชื่อเป็นเพียงเศษเสี้ยวเล็กๆเท่านั้นในทฤษฎีทางฟิสิกส์ ครั้งหนึ่งนักฟิสิกส์ผู้ยิ่งใหญ่ Enrico Fermi ได้บอกกับลูกศิษย์ของเขา Leon Lederman (ซึ่งต่อมาได้รับรางวัลโนเบล) ว่า "นี่เธอ ถ้าชั้นจำชื่อของอนุภาคได้หมดละก้อ ชั้นไปเป็นนักพฤกษศาสตร์ดีกว่า"

ทฤษฎี The Standard Model เป็นทฤษฎีที่พยายามอธิบายว่าโลกคืออะไร และอะไรที่ยึดมันไว้ด้วยกัน มันเป็นทฤษฎีที่เรียบง่ายและสรุปอนุภาคนับร้อยรวมถึงแรงปฏิกิริยาระหว่างกัน
สรุปแล้วทุกอย่างไม่มีอะไรเกินไปกว่านี้อีกแล้ว

1. คว๊าก 6 ชนิด (6 quarks)
2. เล็พตอน 6 ชนิด (6 leptons) ชนิดที่รู้จักกันดีที่สุดก็คืออิเล็กตรอน
3. อนุภาคที่นำพาแรง (force carrier particles) อย่างเช่นโฟตอน (photon อนุภาคแสง)

ดังนั้นสสารก็คือการประกอบกันของคว๊าก และเล็พตอน โดยที่มีอนุภาคขนส่งแรงเป็นตัวทำให้เกิดปฏิกิริยาระหว่างกัน ทฤษฎี The Standard Model เป็นทฤษฎีที่ดีทฤษฎีหนึ่ง และผ่านการพิสูจน์การทำนายที่ให้ผลลัพธ์แม่นยำอย่างไม่น่าเชื่อ ตัวอย่างเช่นการค้นพบอนุภาคใหม่ที่ถูกทำนายไว้ก่อนโดยทฤษฎีนี้ แต่ทฤษฎีนี้ก็ไม่ได้อธิบายได้หมดทุกสิ่ง อย่างเช่นแรงดึงดูดเนื่องจากมวลก็ไม่ได้ถูกนำเข้าไปพิจารณาร่วมในทฤษฎี สำหรับอนุภาคสสารทุกชนิดที่มีการค้นพบ เรายังได้ค้นพบสิ่งที่เรียกว่าปฏิสสาร (antimatter) หรือปฏิอนุภาค (antiparticle) ที่เป็นคู่ของมันอีกด้วย ปฏิอนุภาคมีลักษณะและพฤติกรรมส่วนใหญ่เหมือนกับอนุภาค ยกเว้นเพียงมีประจุตรงข้ามกันเท่านั้น ตัวอย่างเช่นโปรตอนมีประจุบวก ปฏิโปรตอนก็จะเหมือนโปรตอนทุกประการเว้นแต่มันมีประจุลบ สนามโน้มถ่วง (หรือแรงดึงดูดเนื่องจากมวล) จะส่งผลกระทบต่อสสารหรือปฏิสสารไม่แตกต่างกัน เพราะสนามโน้มถ่วงขึ้นอยู่กับมวลเท่านั้น (มวลของสสารกับปฏิสสารเท่ากัน) ไม่ขึ้นอยู่กับประจุ



เมื่อสสาร และปฏิสสารมาพบและรวมตัวกันจะได้เป็นพลังงานบริสุทธิ์ (pure energy) คว๊ากเป็นอนุภาคสสารชนิดหนึ่ง สสารส่วนใหญ่รอบตัวเรานั้นส่วนใหญ่ประกอบด้วยโปรตอนและนิวตรอน ซึ่งทั้งคู่ก็ประกอบขึ้นมาจากคว๊าก มีคว๊ากอยู่ 6 ชนิด หรือ 3 คู่ up/down, charm/strange และ top/bottom แต่ละชนิดก็จะมีปฏิอนุภาคของมัน หรือ antiquark



สิ่งที่น่าสนใจประการหนึ่งคือพวกคว๊ากมีค่าประจุเป็นเศษส่วน ไม่เหมือนกับโปรตอนที่มีประจุ +1 และอิเล็กตรอนมีประจุ -1 คว๊ากตัวแรกที่จับตัวได้คือ top quark ในปี 1995 โดยที่ก่อนหน้านั้นได้มีการทำนายการมีอยู่ของมันด้วยทฤษฎีไว้ล่วงหน้าถึง 20 ปี

ย้อนกลับไปในปี 1964 Murray Gell-Mann และ George Zweig สังเกตพบว่าบรรดาอนุภาคต่างๆ นับร้อยชนิดที่เป็นที่รู้จักกันในขณะนั้น สามารถนำมาเขียนใหม่ได้ในรูปการรวมกันของอนุภาคพื้นฐานยิ่งกว่า 3 ชนิด Gell-Mann เรียกชื่ออนุภาคพื้นฐานพวกนี้ว่า "quarks" โดยเอาคำนี้มาจากคำในวรรณกรรมของ James Joyce เรื่อง Finnegan's Wake: "Three quarks for Muster Mask!"

ในการคำนวณทางคณิตศาสตร์ เพื่อให้สอดคล้องกับผลการสังเกต คว๊ากจำเป็นต้องกำหนดให้มีค่าประจุเป็นเศษส่วน นั่นคือ 2/3 และ -1/3 ซึ่งค่าประจุประหลาดๆแบบนี้ไม่เคยมีการค้นพบมาก่อน ส่วนหนึ่งเป็นเพราะคว๊ากไม่เคยอยู่ลำพังตัวเดียว และอีกเหตุผลหนึ่งก็คือคว๊ากในสมัยนั้นยังเป็นได้แค่นิยายคณิตศาสตร์เท่านั้นเอง แต่จากการทดลองและค้นพบในเวลาต่อมา ก็พบหลักฐานการมีอยู่ของคว๊าก ไม่ใช่แค่พบว่ามันมีอยู่เท่านั้น ยังพบด้วยว่ามันมีถึง 6 ชนิด ไม่ใช่เพียงแค่ 3



คว๊ากที่มีเบาที่สุด 2 ตัวคือ up และ down



คว๊ากตัวที่ชื่อ strange ได้ชื่อนี้มาจากการมีอายุยืนผิดปกติ (strangely long lifetime) ของอนุภาค K (K-particle) ซึ่งเป็นอนุภาคตัวแรกที่พบว่ามีเจ้าคว๊าก strange เป็นองค์ประกอบ



ส่วนคว๊าก charm (ตั้งชื่อไปงั้นแหละ) ถูกค้นพบในปี 1974 โดย Standford Linear Accelerator Center (SLAC) กับ Brookhaven National Laboratory พร้อมๆ กัน อีก 2 ตัวที่เหลือ เมื่อก่อนเราเรียกกันว่า "สัจจะ" (truth) และ "ความงาม" (beauty) นักฟิสิกส์คงคิดได้ว่าชื่อมันออกจะน่ารักเกินไปเลยเปลี่ยนเสียใหม่



คว๊าก bottom (bottom quark) ถูกค้นพบครั้งแรกโดย Fermi National Lab (Fermilab) ในปี 1977 ซึ่งพบว่ามันซ่อนตัวอยู่ในอนุภาคอั๊พสิลอน (upsilon)



ตัวสุดท้าย คว๊าก top เป็นตัวที่สุดท้ายที่เจอโดย Fermilab เช่นกันในปี 1995 และเป็นคว๊ากที่มีมวลมากที่สุด และถูกทำนายก่อนล่วงหน้าถึงการมีคว๊ากชนิดนี้เมื่อนานมาแล้ว

คว๊ากก็เหมือนกับคนขี้เหงาที่ไม่ชอบอยู่ตามลำพัง ต้องอยู่กับคว๊ากตัวอื่นเสมอ เราเรียกอนุภาคที่เกิดจากคว๊ากรวมกลุ่มกันว่า "แฮ๊ดดรอนส์" (hadrons) ดังนั้นพวกคว๊ากที่มีประจุเป็นเศษส่วนทั้งหลายเมื่อรวมกันเป็นแฮ๊ดรอนแล้วจะได้ผลรวมเป็นประจุที่มีค่าเป็นจำนวนเต็ม แฮ๊ดดรอน แบ่งได้เป็น 2 กลุ่มคือ

1. แบรีออน (Baryons)
2. เมซอน (Mesons)



Baryons คือ hadron ที่เกิดจากการรวมกันของคว๊าก 3 ตัว (qqq) โปรตอน ก็เป็น แบรีออน เพราะมันประกอบด้วย up quark 2 ตัว และ down quark 1 ตัว (uud) นิวตรอน ก็เป็น แบรีออน (udd)



Mesons คือ hadron ที่มีคว๊าก 1 ตัว และ ปฎิคว๊าก (antiquark) 1 ตัว ตัวอย่างอนุภาคเมซอน เช่น ไพออน (pion) ซึ่งเกิดจาก up quark 1 ตัว และ down antiquark 1 ตัว ข้อสังเกตประการหนึ่งเกี่ยวกับ ปฏิอนุภาคของอนุภาคเมซอนก็คือ อนุภาคซึ่ง คว๊าก และ ปฏิคว๊ากสลับกันนั่นเอง ดังนั้น ปฏิไพออน (antipion) จึงประกอบด้วย down quark 1 ตัว และ up antiquark 1 ตัว ด้วยเหตุผลที่ว่า เมซอน ประกอบด้วย อนุภาค และปฏิอนุภาค ดังนั้นมันจึงเป็นอนุภาคที่ไม่ค่อยมีความเสถียร แต่คงต้องยกเว้น เคออน เมซอน (K - kaon meson) ที่มีอายุยืนยาวอย่างแปลกประหลาดเมื่อเทียบกับอนุภาคเมซอนอื่น นี่จึงเป็นที่มาของชื่อคว๊าก strange ซึ่งเป็นคว๊ากตัวหนึ่งใน เคออน เมซอน

สิ่งที่น่าสนใจอีกประการหนึ่ง (และค่อนข้างแปลกพอควร) สำหรับแฮ๊ดดรอนก็คือ มวลของแฮ๊ดดรอน แทบไม่ได้ขึ้นอยู่กับมวลของคว๊ากที่ประกอบกันเป็นแฮ๊ดดรอนเลย ยกตัวอย่างเช่นโปรตอนประกอบด้วย uud ดังนี้



จะเห็นว่าผลรวมมวลของคว๊าก ไม่เท่ากับมวลโปรตอน ทั้งนี้ก็เพราะว่ามวลที่เราสังเกต (วัด) ได้ของแฮ๊ดดรอนนั้นมาจากพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของมัน ซึ่งพลังงานเหล่านี้มีการเปลี่ยนรูปไปเป็นมวลให้กับแฮ๊ดดรอนตามสมการความสัมพันธ์ระหว่างมวลและพลังงานของ Einstein, E=mc2

อีกกลุ่มอนุภาคพื้นฐานนอกจากคว๊ากก็คือเล็พตอน (leptons) เล็พตอนมี 6 ชนิด 3 ชนิดเป็นแบบมีประจุไฟฟ้า ส่วนอีก 3 ชนิดไม่มีประจุไฟฟ้า เล็พตอนที่เรารู้จักกันดีก็ได้แค่อิเล็กตรอน ส่วนอีก 2 ชนิดที่มีประจุได้แก่ มิวออน (muon) กับ เทา (tau) ทั้ง 3 นี้มีค่าประจุเท่ากัน (คือ -1) เพียงแต่มิวออนกับเทามีมวลมากกว่า ส่วนเล็พตอนที่เหลืออีก 3 ซึ่งเป็นชนิดไม่มีประจุ มีมวลน้อยมาก และจับตัวยาก ได้แก่ นิวตริโน (neutrios) นิวตริโนมี 3 ชนิด ข้อแตกต่างระหว่างเล็พตอนกับคว๊ากประการหนึ่งคือ เล็พตรอนชอบอยู่อย่างสันโดษ ไม่ชอบเข้าสังคมอย่างคว๊าก เราอาจจะนึกภาพจำลองเล่นๆ ว่า เล็พตอนที่มีประจุก็เป็นเหมือนกับแมวตัวหนึ่ง อยู่ร่วมกับนิวตริโนซึ่งเป็นเหมือนตัวหมัดที่ไม่ค่อยโผล่ออกมาให้เราเห็น



เล็พตอนก็เช่นเดียวกับอนุภาคอื่นๆ คือจะต้องมีปฏิเล็พตอนเป็นของคู่กัน ในกรณีของอิเล็กตรอน เรามีชื่อเรียกเฉพาะให้กับ antielectron ว่า โพสิตรอน (positron) สำหรับสสารธรรมดานั้นเราไม่ค่อยพบ มิวออน และเทา (ซึ่งเป็นเล็พตอนที่หนัก) เนื่องจากเล็พตอนที่หนักเมื่อถูกสร้างขึ้นมาแล้วจะสลายตัวอย่างรวดเร็ว หรือไม่ก็เปลี่ยนรูปไปเป็นเล็พตรอนที่เบากว่า บางครั้งเทาก็สลายตัวไปเป็นคว๊าก ปฏิคว๊าก และเทานิวตริโน สำหรับอิเล็กตรอนและนิวตริโนนั่นค่อนข้างเสถียรภาพ ดังนั้นเราจึงพบเห็นมันได้บ่อย เมื่อเล็พตอนหนักมีการย่อยสลาย อนุภาคชนิดหนึ่งที่ต้องเกินขึ้นด้วยเสมอก็คือนิวตริโนของเล็พตอนตัวนั้น ส่วนอีกตัวอาจจะเป็นคว๊ากและปฏิคว๊าก หรือไม่ก็เล็พตอนตัวที่เบากว่ากับปฏิอนุภาคของมัน

นักฟิสิกส์สังเกตพบว่าเล็พตอนบางชนิดสามารถสลายตัวได้ แต่บางชนิดก็ไม่สามารถ เพื่อที่จะอธิบายปรากฏการณ์ดังกล่าว นักฟิสิกส์แบ่งเล็พตอนออกเป็น 3 ตระกูล

1. อิเล็กตรอน และ อิเล็กตรอน นิวตริโน
2. มิวออน และ มิวออน นิวตริโน
3. เทา และ เทา นิวตริโน

ต่อไปเราจะใช้ หมายเลขอิเล็กตรอน (electron number) หมายเลขมิวออน (muon number) และหมายเลขเทา (tau number) ในการอ้างถึงเล็พตอนแต่ละตระกูล อิเล็กตรอน และ อิเล็กตรอน นิวตริโน มีหมายเลขอิเล็กตรอนเท่ากับ +1 โพสิตรอน และ โพสิตรอน นิวตริโน มีหมายเลขอิเล็กตรอนเท่ากับ -1 อนุภาคอื่นที่ไม่ได้อยู่ในตระกูลนี้ มีหมายเลขอิเล็กตรอนเท่ากับ 0

กรณีของหมายเลขมิวออน และหมายเลขเทา ก็มีการจัดสรรแบบเดียวกัน โปรดจำไว้ว่า แม้เล็พตรอนจะรักอิสระ (ไม่เหมือนคว๊าก) แต่มันก็ภักดีต่อตระกูล หมายความว่า หมายเลขอิเล็กตรอน หมายเลขมิวออน หมายเลขเทา ต้องเป็นค่าคงที่เสมอในการสลายตัวของอนุภาคเล็พตอน (หมายเลขประจำตระกูลก่อนสลายตัว = หมายเลขตระกูลหลังสลายตัว) ตัวอย่างการสลายตัวของมิวออนเป็นมิวออนนิวตริโน อิเล็กตรอน และ อิเล็กตรอนปฏินิวตริโน



จากการกำหนดการอนุรักษ์หมายเลขตระกูลนี่เองที่ทำให้เราเชื่อว่า นี่น่าจะเป็นเหตุผลอธิบายการสลายตัวของเล็พตอน

นิวตริโนเป็นเล็พตอนชนิดหนึ่งที่ไม่มีประจุ และแทบไม่ทำปฏิกิริยากับอนุภาคอื่นเลย นิวตริโนส่วนใหญ่ก็เดินทางสู่โลกโดยมันไม่สุงสิงกับใครแม้แต่อะตอมเดียว นิวตริโนสามารถเกิดขึ้นได้จากหลายปฏิกิริยาด้วยกัน อย่างหนึ่งซึ่งเพิ่งกล่าวถึงไปก็คือการสลายตัวของอนุภาค หรือแม้แต่จากการแผ่กัมมันตรังสี ตัวอย่างเช่น



1. ในการแผ่รังสีของนิวเคลียส นิวตรอนที่อยู่นิ่ง (โมเมนตัมเป็นศูนย์) จะสลายตัวปล่อยโปรตอนและอิเล็กตรอน



2. จากกฎการอนุรักษ์โมเมนตัม อนุภาคที่ถูกปล่อยออกมาต้องมีโมเมนตัมรวมเท่าเดิม (คือศูนย์) แต่จากการสังเกตพบว่าโมเมนตัมของโปรตอนและอิเล็กตรอนไม่สามารถหักล้างกันเป็นศูนย์ได้



3. ดังนั้นมันน่าจะมีอนุภาคอีกชนิดหนึ่งหลุดรอดออกมาด้วย เพื่อให้ผลรวมของโมเมนตัมเป็นศูนย์



4. นักวิทยาศาสตร์ตั้งสมมติฐานว่าสิ่งที่ปล่อยออกมาด้วยก็คือนิวตริโน และผลจากการทดลองก็สนับสนุนสมมติฐานดังกล่าว



ในเอกภพมีนิวตริโนอยู่มากมาย พวกมันไม่เคยทำปฏิกิริยาใคร แม้มันจะมีมวลน้อยๆ แต่ด้วยปริมาณที่มหาศาล บางที่มันนี่แหละที่เป็นตัวคุมอำนาจของมวลทั้งหมดในเอกภพอยู่ก็ได้ และอาจจะเป็นนิวตริโนนี่แหละที่ส่งผลต่อการขยายตัวของเอกภพ



จากภาพ Generations of Matter สสารที่เราเห็นได้ในเอกภพทั้งหมด ถูกสร้างจากอนุภาคใน Generation แรกเท่านั้น (up quark, down quark และ อิเล็กตรอน) เพราะว่า Generation ที่ 2 และ 3 อนุภาคไม่เสถียร จะสลายตัวไปโดยเร็ว


แปลโดย ศล จาก particleadventure.org




 

Create Date : 08 มิถุนายน 2550    
Last Update : 11 มิถุนายน 2550 17:50:41 น.
Counter : 2163 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.