creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

มิติที่ไม่เต็มหน่วย

พูดถึงมิติเรานึกถึงอะไรครับ อวกาศ (Space) เวลา (Time) บางคนว่าเอกภพมี 4 มิติ เป็นอวกาศ 3 มิติ เวลา 1 มิติ บางทฤษฎีว่าอวกาศมี 10-11 มิติ รวมกับเวลาอีก 1 มิติ เป็นเอกภพ 11-12 มิติ คำว่ามิติในเรื่องนี้คืออวกาศ อย่างที่เรารู้กันว่า จุด (Point) มี 0 มิติ เส้นตรงเส้นโค้ง (Line, Curve) จะหยักจะหักมุมอย่างไรก็แล้วแต่ มี 1 มิติ พื้นผิว (Plane) จะเป็นระนาบ จะโค้ง จะม้วน หรือจะอยู่ในรูปทรงกลม (กลวง) มี 2 มิติ แต่ถ้ามีเนื้อตันเช่นลูกเต๋า ลูกเปตอง มี 3 มิติ ดูรูปตัวอย่าง 1 มิติ กับ 2 มิติ



จากรูปแถวบนเป็นรูปทรง 1 มิติ ส่วนแถวล่างเป็นรูปทรง 2 มิติ ข้อควรระวังคือรูปทรงมีกี่มิติกับรูปทรงนั้นอาศัยอยู่ในอวกาศกี่มิติมีความหมายไม่เหมือนกัน รูปทรงมีกี่มิติ ให้เราดูว่าเราจะบ่งบอกสมาชิกของรูปทรงนั้นด้วยตัวแปรที่เป็นอิสระต่อกันกี่ตัว เช่น เส้นทรงใด ๆ ถ้าเราอยากบ่งบอกจุดใดจุดหนึ่งที่อยู่บนเส้นนั้น เราก็ต้องซูมเข้าไปดูที่จุดนั้น พอถึงจุดนั้นจริง ๆ (สมมติว่าเราสามารถซูมจนเจอจุดได้จริง ๆ นะครับ) เราจะพบว่ามันมีจุดเพื่อนบ้านข้างเคียงแค่ 2 จุด อาจจะเป็นซ้าย-ขวา หรือหน้า-หลังไม่สำคัญ ที่สำคัญคือมันมีเพื่อนบ้านแค่ 2 จุด ฉะนั้นมันจึงมี 1 มิติ คุณผู้อ่านลองนึกภาพซูมพื้นผิวหรือซูมรูปทรงตันที่มีปริมาตรสิ กรณีพื้นผิว จุดใด ๆ จะมีเพื่อนบ้านอยู่รอบตัวมันใน 2 มิติ ส่วนทรงตัน จุดใด ๆ จะมีเพื่อนบ้านอยู่รอบตัวมัน 3 มิติ ดังนั้นปริมาณตัวแปรที่พอเพียงสำหรับบอกตำแหน่งจุดใด ๆ ก็ขึ้นอยู่กับรูปลักษณ์ของจุดนั้น ๆ กับเพื่อนบ้านว่าเป็นแบบใด มิติของรูปทรงดังที่กล่าวมานี้เรียกว่า Topological dimension

สำหรับรูปทรง n มิติ (Topological dimension = n) บางครั้งก็ไม่สามารถอาศัยอยู่ในอวกาศ n มิติได้ เช่น พื้นผิวทรงกลม (กลวง) มันไม่สามารถอาศัยอยู่ในอวกาศ 2 มิติได้ มันต้องการอวกาศ 3 มิติ ในขณะที่ตัวของมันเองเป็นรูปทรง 2 มิติ เราเรียกมิติของอวกาศที่มันอาศัยอยู่ว่า Embedding dimension แผ่นระนาบมี Embedding dimension = 2, ทรงกลมกลวงมี Embedding dimension = 3, รูปทรง Klein Bottle มี Embedding dimension = 4 (เราจึงไม่สามารถสร้างมันบนโลกนี้ ในเอกภพนี้ได้) แต่ Klein Bottle ตัวของมันเองมีมิติเท่ากับ 2

จะเกิดอะไรขึ้นหากเรานำเซ็ตของเส้นตรงสั้น ๆ จำนวนหนึ่งมารวมกับเซ็ตของระนาบหนึ่งแผ่น เส้นมี 1 มิติ ระนาบมี 2 มิติ เมื่อรวมกันแล้วเป็นรูปเส้นตรงสั้น ๆ ปักอยู่บนระนาบ รูปทรงนี้ก็ยังคงมี 2 มิติ (ใช้วิธีซูมเข้าไปดูจุดที่จะบอกตำแหน่งกับเพื่อนบ้านของมันแบบเดิมครับ ไม่มีจุดไหนที่ต้องใช้ตัวแปรอิสระถึง 3 ตัวเพื่ออธิบายตำแหน่งของมัน) นั่นคือผลรวมของรูปทรงเซ็ตจำกัด 2 รูป ให้กำเนิดเป็นรูปทรงใหม่ที่มีมิติเท่ากับมิติสูงสุดของรูปทรงที่นำมารวมกัน นี่หมายความว่าผลรวมของเซ็ตไม่ขยายมิติอย่างนั้นรึเปล่า ขอตอบว่าไม่เสมอไปครับ อย่างเช่น เซ็ตของจุด แต่ละจุดมีมิติเท่ากับ 0 ถ้าเรานำจุดมาเรียงต่อกันอนันต์จุดเป็นเส้นตรงที่มีมิติเท่ากับ 1 ตรงนี้น่าจะพอหยิบมาเป็นข้อสังเกตให้กับเกล็ดหิมะค็อคได้บ้าง Topological dimension ของเกล็ดหิมะค็อคเท่ากับ 1 เพราะมันเป็นเส้น แต่ถ้าเราเลือก 2 จุดใด ๆ บนเส้นเกล็ดหิมะค็อค เราจะพบว่าความยาวของเส้นระหว่างจุดคู่นั้นเป็นอนันต์ คุณสมบัตินี้ดูไม่เหมือนเส้นปกติธรรมดาสักเท่าไร และแน่นอนว่ามันไม่ใช่ระนาบ บางทีสัญชาตญาณอาจกระซิบบอกคุณผู้อ่านก็ได้ว่าเส้นเกล็ดหิมะค็อคน่าจะมีมิติมากกว่า 1 แต่ไม่ถึง 2 เป็นความคิดที่นำไปสู่มิติที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม เมื่อมันอาจเป็นมิติที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม วิธีนิยามมิติแบบ Topological ก็ตกไป เราจึงต้องมองหานิยามวิธีวัดมิติแบบใหม่ และที่เป็นที่นิยมของ Fractal มีหลายมิติ อาทิ Hausdorff dimension, Box-counting dimension, Information dimension, Correlation dimension ผมคงเล่าไอเดียแบบกว้าง ๆ พอให้เห็นภาพ ไม่เจาะลึกอะไรมากนัก ขอใช้การนิยามมิติ Box-counting เป็นตัวอย่างก็แล้วกันครับ

สมมติเรามีเส้นยาว L กับส่วนของเส้นเล็ก ๆ ยาว e คำถามคือเราต้องใช้ชิ้น e น้อยที่สุดกี่ชิ้นเพื่อปิดทับเส้น L ให้มิด คำตอบ L/e ถ้าเรามีพื้นผิวพื้นที่ A = LxL กับพื้นผิวเล็ก ๆ พื้นที่ exe เราต้องใช้พื้นที่เล็ก ๆ จำนวน A/e2 ชิ้นเพื่อปิด LxL ให้มิด ทำนองเดียวกันถ้าเรามีลูกบาศก์ปริมาตร V = LxLxL กับลูกบาศก์ตัวน้อย exexe เราต้องใช้ตัวน้อย V/e3 กล่องเพื่อปิด V ให้มิด สังเกตว่าเลขชี้กำลังของ e มันเท่ากับ Topological dimension เป๊ะ และยิ่ง e มีค่าน้อย จำนวนชิ้นตัวน้อยที่เอามาปิดยิ่งมีค่ามาก แทนที่เราจะให้ชิ้นตัวน้อยเป็นเส้นเล็ก ๆ บ้าง เป็นพื้นผิวเล็ก ๆ บ้าง หรือเป็นปริมาตรเล็ก ๆ บ้าง เรากำหนดให้มันเป็นกล่องลูกบาศก์เล็ก ๆ ที่มีความกว้าง ยาว สูง เท่ากับ e ก็ได้ครับ เพราะการที่เราสร้างกล่องเล็ก ๆ ขนาด e มาปิดรูปทรง (ขอเรียกชื่อรูปทรงว่าเซ็ต S) แล้วนับจำนวนกล่องเพื่อใช้หามิตินี่แหละ มิติจากการนิยามเช่นนี้จึงได้ชื่อว่า Box-counting dimension (หรือ Minkowski-Bouligand dimension)

ถ้าให้ Ne(S) แทนจำนวนกล่องเล็ก ๆ ขนาด e เมื่อ e>0

สังเกตค่า e เข้าสู่ 0 ทำให้ Ne(S) มีค่ามาก และถ้าหากมีจำนวน d ใด ๆ ที่ทำให้ Ne(S) แปรตาม 1/ed เราจะเรียก d ว่าเป็นมิติ Box-counting ของรูปทรง S





ปัญหาประการหนึ่งที่ชัดเจนที่เห็นได้จากสมการนี้เกิดขึ้นเมื่อ limit ไม่ลู่เข้า แล้วทำให้เราหาค่า d ไม่ได้ แต่คงไม่ซีเรียส ผมคิดว่าในเบื้องต้นเราทิ้งไว้แค่สมการนี้ก็น่าจะโอเคแล้ว อย่างน้อยคงเห็นว่า d ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม เรามาดูกันครับว่าเกล็ดหิมะค็อคมีมิติเป็นเท่าไร ?









 

Create Date : 08 กรกฎาคม 2551    
Last Update : 8 กรกฎาคม 2551 11:27:36 น.
Counter : 2899 Pageviews.  

googol & googolplex

googol = 10100
googolplex = 10googol

ชื่อ googol ตั้งโดยหลานชายวัย 9 ขวบ Milton Sirotta ของนักคณิตศาสตร์ Edward Kasner ซึ่งเป็นผู้ขยายจำนวน googolplex





 

Create Date : 05 กรกฎาคม 2551    
Last Update : 5 กรกฎาคม 2551 22:56:06 น.
Counter : 935 Pageviews.  

6174

โดย ศล

เลือกตัวเลข 4 หลักใด ๆ ที่ทั้ง 4 หลักไม่เป็นเลขซ้ำกัน (เช่น 0000, 1111, 2222, ...) ตัวอย่าง 2131 จากนั้นสลับหลักของเลขชุดนี้ให้กลายเป็นเลขที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุด ได้ 3211 กับ 1123 ตามลำดับ นำค่าสูงสุดลบค่าต่ำสุด 3211-1123 = 2088 สลับหลักของเลขผลลัพธ์นี้ให้กลายเป็นเลขที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดอีกครั้ง ได้ 8820 กับ 0288 นำมาลบกันอีก ได้ 8820-288 = 8532 แล้วนำไปสลับและลบเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ เราจะพบสิ่งที่น่าสนใจประการหนึ่ง



นั่นคือเมื่อถึง 6174 จะเกิดการวนซ้ำ 6174 ตลอดกาล ตัวเลขมหัศจรรย์ 6174 นี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986) เรียก 6174 ว่าค่าคงที่ของ Kaprekar (Kaprekar’s constant) และเรียกกระบวนสลับหลักแล้วนำมาหักลบว่าการดำเนินการของ Kaprekar (Kaprekar’s operation) บางครั้งเราจึงเรียก 6174 ว่าเป็นแก่น (Kernel) ของการดำเนินการ Kaprekar ลองดูอีกสักตัวอย่างนะครับ 7551

7551 – 1557 = 5994
9954 – 4599 = 5355
5553 – 3555 = 1998
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532

8532 กลับไปซ้ำกับตัวอย่างแรกของเรา 8532 – 2358 = 6174 ทำไมเมื่อถึง 6174 แล้วมันจึงซ้ำ 6174 อีก คงตอบได้ไม่ยากว่าเพราะ 6174 = 7641 – 1467 แต่คำถามที่น่าสนใจคือ กระบวนการของ Kaprekar นำมาสู่ 6174 เพียงค่าเดียวจริงหรือเปล่า ? สามารถพิสูจน์ได้หรือไม่ ? เมื่อเรานำกระบวนการนี้ไปใช้กับเลข 2 หลัก 3 หลัก ฯลฯ แล้วจะทำให้พบแก่น (Kernel) เหมือนกรณี 4 หลักหรือไม่ ? ลองมาสำรวจกันครับ

สมมติว่าเลข 4 หลักคือ wxyz ซึ่งไม่เป็นเลขที่ซ้ำกันทั้ง 4 หลัก และ 9 w x y z 0 ดังนั้นเมื่อผ่านการลบกัน เราจะได้ค่า

(1000w + 100x + 10y + z) – (1000z + 100y + 10x + w)
= 999w – 999z + 90x – 90y
= 999(w-z) + 90(x-y)

w กับ z ไม่มีสิทธิเท่ากัน w-z จึงมีค่าอยู่ในช่วง 1-9 ส่วน x กับ y อาจเท่ากันได้ x-y จึงมีค่าอยู่ในช่วง 0-9 จากผลลัพธ์ข้างต้น หมายความว่ามีเลขที่เป็นไปได้จากการลบเพียง 90 ตัว





จากเงื่อนไข 9 w x y z 0 เมื่อทั้ง 4 หลักไม่เป็นจำนวนเดียวกัน ดังนั้น w-z x-y เราสามารถลดสมาชิกเซตคำตอบลงได้ 36 ตัวเหลือ 54 ตัว โดยส่วนแรงเงาคือส่วนที่ w-z < x-y เป็นส่วนที่ตัดทิ้งได้



คุณผู้อ่านคงสังเกตพบว่าใน 54 คำตอบที่เหลือ เช่น 4995 กับ 5994 ตัวเลขคู่นี้ใช้เลข 4 หลักชุดเดียวกัน เมื่อนำไปผ่านกระบวนการ Kaprekar จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน นั่นคือเราสามารถลด 54 คำตอบนี้ลงได้อีกโดยลดเลขที่ประกอบจากเลข 4 หลักที่ซ้ำกันลง



จึงเหลือตัวเลขที่เป็นคำตอบเพียง 30 คำตอบ ถ้าเราตรวจสอบทั้ง 30 ตัวเลขนี้แล้วพบว่าทั้ง 30 ค่ามีแก่นของการดำเนินการ Kaprekar เท่ากับ 6174 ก็เป็นอันสรุปได้ ผลจากการทำ Kaprekar’s operation ทั้ง 30 ตัวนี้ ผมนำมาจากบทความ Mysterious number 6174 ของศาสตราจารย์ Yutaka Nishiyama แห่ง Osaka University of Economics ประเทศญี่ปุ่น แสดงเส้นทางสู่ 6174 ดังแผนภาพ



เห็นชัดเจนว่า 6174 เป็นแก่นสำหรับการดำเนินการ Kaprekar จริง และเป็นเพียงค่าเดียว นอกจากนี้เรายังสังเกตได้ว่าจำนวนครั้งสูงสุดที่ต้องวนทำซ้ำคือ 7 ครั้ง ศจ. Yutaka Nishiyama ได้เขียนโปรแกรมตรวจสอบ 8991 จำนวน (ตั้งแต่ 0000 – 9999 มี 10,000 จำนวน ลบด้วย 000 – 999 มี 1,000 จำนวน ลบด้วย 1111 – 9999 มี 9 จำนวน ดังนั้นเหลือ 8991 จำนวน) เพื่อนับความถี่ในการวนทำซ้ำของจำนวนเหล่านั้น แสดงข้อมูลดังตาราง



นอกจากนี้ Yutaka Nishiyama ยังได้แสดงวิธีพิสูจน์ตัวเลข 6174 ไว้ด้วยครับ สมมติว่าตัวเลขตั้งต้นคือ wxyz มีเงื่อนไขเหมือนเดิม และ



ได้

D = 10 + z – w (เพราะ z < w เสมอ)
C = 10 + (y – 1) – x (y-1 เพราะให้ z ยืมไป 1 และ x y แต่ y ถูกยืมไปแล้ว 1 ทำให้ x > y)
B = (x-1) - y (x-1 เพราะให้ y ยืมไป 1 และ x y ถึงแม้ x จะถูกยืมไป 1 แต่ x-1-y 0 อยู่ดี)
A = w - z (เพราะ w > z เสมอ)

คำตอบของ wxyz – zyxw จะทำให้เกิดการซ้ำค่าเดิม ก็ต่อเมื่อ ABCD เกิดจากการสลับ w, x, y และ z ซึ่ง 4 ตัวนี้สามารถสับเปลี่ยนกันได้ 4! = 24 แบบ เช่น wxyz, wxzy, wyzx, … ดังนั้นเราจึงได้ระบบสมการ 4 ตัวแปร 4 สมการ 24 ระบบสมการ เช่นระบบสมการที่ ABCD = wxyz

z = 10 + z – w
y = 9 + y – x
x = x – y – 1
w = w – z

แก้ระบบสมการนี้ได้ z = 0, w = 10, y = -1, x = 9 ซึ่งเป็นคำตอบไม่สมเหตุสมผล ขัดแย้งกับเงื่อนไข 9 w x y z 0 จึงสรุป ABCD ไม่เท่ากับ wxyz ทำเช่นนี้ทั้ง 24 ระบบสมการ คุณผู้อ่านจะพบว่าคำตอบที่สมเหตุสมผลเกิดขึ้นกรณีเดียวเท่านั้นคือกรณีที่ ABCD = xzwy หรือ

y = 10 + z – w
w = 9 + y – x
z = x – y – 1
x = w – z

คำตอบ w = 7, x = 6, y = 4 และ z = 1 สวยงามดีใช่ไหมครับที่กรณีตัวเลข 4 หลัก ผลจาก Kaprekar’s operation ให้แก่นเท่ากับ 6174 เสมอ คำถามถัดมาคือ กรณี 2 หลัก 3 หลัก n หลักล่ะ จะมีแก่นที่สวยงามเช่นนี้หรือไม่

กรณี 2 หลัก xy ที่ 9 x > y 0 ผลลัพธ์ xy – yx หาได้จาก 10x+y – (10y + x) = 9x – 9y หรือ 9(x-y) และค่า x-y มีค่าได้ตั้งแต่ 1 ถึง 9 คำตอบจึงมีอยู่เพียง 9 ค่า



ใน 9 ค่านี้ลดค่าที่ใช้ตัวเลขซ้ำกันลงได้ 4 ค่า (ส่วนที่แรเงา) แล้วลองตรวจสอบค่าที่เหลือ

90 – 9 = 81
81 – 18 = 63
63 – 36 = 27
72 – 27 = 45
54 – 45 = 9 (วนกลับไป 90 – 9)

เราพบว่ากรณี 2 หลักไม่มีแก่นสำหรับการดำเนินการ Kaprekar ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จะวนเป็นวง 9 81 63 27 45 9 ส่วนกรณี 3 หลัก มีแก่นคือ 495 พิสูจน์ได้ทำนองเดียวกัน โดยกำหนดให้ตัวตั้งต้นคือ xyz เมื่อ 9 x y z 0 และเป็นตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันทั้ง 3 หลัก



ได้

C = 10 + z – x
B = 10 + (y-1) – y = 9
A = x – 1 – z = -1-(z-x) = 9 - C

B = 9 ดังนั้นต้องเท่ากับ x ด้วย เพราะ x เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด และ A + C = 9 มีเพียง 4 คู่คือ 1+8, 2+7, 3+6 และ 4+5 ดังนั้นค่า ABC ที่เรียงจากมากไปน้อยที่เป็นไปได้คือ 981, 972, 963 และ 954 ลองตรวจสอบคำตอบทั้ง 4 ตัวเลข

981 – 189 = 792
972 – 279 = 693
963 – 369 = 594
954 – 459 = 495

คำตอบคือ x = 9, y = 5 และ z = 4 เท่านั้นที่ทำให้เกิดการวนซ้ำ

จาก Mathews: the Archive of Recreational Mathematics โดย Walter Schneider แสดงแก่นของการดำเนินการ Kaprekar ตั้งแต่ 2 หลัก ถึง 15 หลัก ผลที่ได้พบว่ามีเพียง 3 กับ 4 หลักเท่านั้นมีแก่นเป็นค่าคงที่ค่าเดียว ที่เหลือจะมีแก่นหลายค่า และบางกรณีมีรูปแบบผลลัพธ์วนเป็นวง รายละเอียดผู้อ่านดูได้จากภาคผนวก และหากคุณผู้อ่านสังเกตดี ๆ จะพบข้อสังเกตที่น่าสนใจอีกประการ นั่นคือแก่นแต่ละค่า หรือค่าตัวเลขที่อยู่ในวงแต่ละวง เมื่อนำตัวเลขแต่ละหลักมารวมกัน มันจะเป็น 9 เสมอ เช่น 6174 → 6 + 1 + 7 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9 หรือ 864333197666532 ซึ่งเป็นแก่นค่าหนึ่งกรณี 15 หลัก

864333197666532 → 8 + 6x4 + 4 + 3x4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 2 = 72
72 → 7 + 2 = 9

คำอธิบายที่อยู่เบื้องหลังความสวยงามนี้คือแก่นหรือจำนวนที่อยู่ในวงล้วนหารด้วย 9 ลงตัว เช่นกรณี 4 หลัก wxyz – zyxw = 999(w-z) + 90(x-y) = 9(111(w-z) + 10(x-y)) และจำนวนใดก็ตามที่หารด้วย 9 ลงตัวผลรวมของเลขแต่ละหลักของจำนวนนั้นก็ต้องหารด้วย 9 ลงตัวด้วย

ตัวอย่างกรณี 4 หลัก wxyz ที่หาร 9 ลงตัว ค่าของมันคือ

1000w + 100x + 10y + z = 999w + 99x + 9y + (w + x + y + z)

ค่าในวงเล็บเท่ากับผลบวกของเลขแต่ละหลัก ดังนั้น w + x+ y + z หารด้วย 9 ลงตัว ผู้เขียนคิดว่ามันสวยงามดีแท้ทั้ง 6174 และ 9 คุณผู้อ่านเห็นด้วยรึเปล่าครับ

ภาคผนวก







 

Create Date : 05 กรกฎาคม 2551    
Last Update : 8 กรกฎาคม 2551 11:31:29 น.
Counter : 2857 Pageviews.  

farey Sequence

มันเป็นลำดับเศษส่วนชนิดหนึ่งที่มีความงามความน่าสนใจทีเดียว ถ้า m1/n1 กับ m2/n2 เป็น 2 พจน์ที่อยู่ติดกันในลำดับ fareay แล้ว m2n1 - m1n2 = 1 โดยพจน์แรกของลำดับนี้คือ 0/1 และตัวสุดท้ายคือ 1/1

0/1, m/n, ...

(1)(m) - (0)(n) = 1

เห็นว่า m = 1 ส่วน n เป็นจำนวนนับใด ๆ เรานิยมเขียนแทนลำดับ farey ที่ n = N ด้วย FN

เช่น

F1 = {0/1, 1/1}
F2 = {0/1, 1/2, 1/1}

มีคุณสมบัติที่น่าสนใจอันหนึ่ง ถ้า m1/n1, m2/n2, m3/n3 เป็น 3 พจน์ที่เรียงต่อกันของลำดับแล้ว พจน์กลางจะเป็น mediant ของสองพจน์หน้าหลัง


mediant ของเศษส่วนคือผลรวมของเศษหารผลรวมของส่วนนะครับ เช่น a/c กับ b/d คือ (a+b)/(c+d)



พิสูจน์ได้ไม่ยาก จากคุณลักษณะของ 2 พจน์ที่อยู่ติดกันของ farey เราได้

m2n1 - m1n2 = 1
m3n2 - m2n3 = 1

ดังนั้น

m2n1 - m1n2 = m3n2 - m2n3

หรือ (m3 + m1)n2 = m2(n3 + n1)

m2/n2 = (m3+m1)/(n3+n1)

ทั่วไป เรากำหนดให้ลำดับ FN มีพจน์สุดท้ายคือ 1/1 จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่หยุดลำดับที่ 1/1 ลองมาดูกรณี F5 กันครับ 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 ถ้าตัวต่อไปคือ m/n นั่นคือ (4+m)/(5+n) = 1/1 ดังนั้นพจน์ต่อไปคือ 5/4 และถัดจาก 5/4 คือ m/n ที่ทำให้ (1+m)/(1+n) = 5/4 ซึ่งก็คือ 4/3 ทำไปเรื่อย ๆ ครับ จะได้

0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 2/1, 5/2, 3/1, 4/1, 5/1, 1/0

ถ้าพูดว่า 1/0 คือ ค่าอนันต์ เราสามารถหาตัวถัดไปหลังจากค่าอนันต์นี้ได้มั้ยครับ ? คำตอบคือ ไม่ได้ เพราะ หากตัวหลังจาก 1/0 คือ m/n ดังนั้นเราต้องหาค่า m/n ที่ทำให้ (5+m)/(1+n) = 1/0 ค่าที่ได้คือ n = -1 ส่วน m เป็นอะไรก็ได้

ถ้าเปรียบเทียบ 1/1 เป็นกระจก พจน์ด้านหน้าและด้านหลังของ farey เป็นเสมือนเงาสะท้อนกันและกัน ดูสวยดีใช่มั้ยครับ





 

Create Date : 22 พฤษภาคม 2551    
Last Update : 22 พฤษภาคม 2551 17:41:19 น.
Counter : 1068 Pageviews.  

ทฤษฎีของ Pick

เกออร์ก อเล็ซอันเดอร์ พิ๊ค (Georg Alexander Pick) นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย คนนี้เป็นเพื่อนกับไอน์สไตน์นะครับ แต่โชคร้ายถูกส่งไปค่ายมรณะของนาซีที่เธเรเซี่ยนชตัดท์ (1942) ตายใน 2 สัปดาห์ด้วยอายุ 82 ปี ก่อนหน้านั้น 42 ปี ตอนเค้าอายุ 40 พิ๊คได้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทที่สวยงามบทหนึ่งคือ Pick's Theorem

พิ๊คบอกว่าถ้า P เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดมุมอยู่บนแลททิส (lattice ก็นึกถึงจุดตาข่ายนะครับ) รูปทรงแบบนี้เค้าเรียกว่า lattice polygon (ดูรูป)



และถ้า B คือ จำนวนจุดที่อยู่บนเส้นขอบ และ I คือจำนวนจุดที่อยู่ใน P เราจะหาพื้นที่ของ P ได้จาก I + B/2 - 1

อาจพิสูจน์โดยกำหนดฟังก์ชั่นพิ๊ค f(P) = A(P) - (I + B/2 - 1) เมื่อ A(P) คือ พื้นที่ของ P สิ่งที่ต้องพิสูจน์คือเราต้องแสดงให้เห็นว่าที่ P เป็น lattice polygon ใด ๆ f(P) = 0

(1) ถ้าเรามี P1 กับ P2 มีด้านหนึ่งด้านร่วมกัน และ P คือ P1 U P2 คงไม่ปฏิเสธนะครับว่า A(P) = A(P1) + A(P2) ถ้าให้ I, I1, I2 คือ จุดที่อยู่ใน P, P1, P2 ตามลำดับ และ B, B1, B2 คือจุดที่อยู่บนเส้นขอบของ P, P1, P2 ตามลำดับ เราจะพบว่า I = I1 + I2 + X - 2 เมื่อ X คือจำนวนจุดที่อยู่บนด้านร่วม (เราลบ 2 เพราะจุดปลาย 2 จุดของด้านนั้นจะไม่เป็นส่วนหนึ่งของ I) และ B = B1 + B2 - 2X + 2



คำนวณ f(P) = A(P) - (I + B/2 - 1) = A(P1) + A(P2) - (I1 + I2 + X - 2) - (B1 + B2 - 2X + 2)/2 + 1 = A(P1) - (I1 + B1/2 - 1) + A(P2) - (I2 + B2/2 - 1) = f(P1) + f(P2)

ถ้ามันไม่ได้มีแค่ P1 กับ P2 แต่มีไปจนถึง Pn เราก็พิสูจน์แบบเดียวกันได้ว่า f(P1 + P2 + ... + Pn) = f(P1) + f(P2) + ... + f(Pn) ดังนั้น f เป็นฟังก์ชั่นที่เราเรียกว่า additive #

(2) ใช้ทฤษฎีทดสอบกับรูปทรงมาตรฐาน เช่น สี่เหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉาก ดูรูป case 1 นะครับ สมมติว่าจุดมุมมันเป็นจุด (0,0), (a,0), (a,b), (0,b) เรารู้ว่า A(P) = ab, I = (a-1)(b-1) และ B = 2(a+b)



f(P) = A(P) - (I + B/2 - 1) = ab - (a-1)(b-1) - (a+b) +1 = 0

เห็นว่าทฤษฎีนี้เป็นจริงกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ต่อมา ดู case 2 สามเหลี่ยมมุมฉาก (0,0), (a,0), (a,b) ซึ่งมีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของ case แรก มี A(P) = ab/2, B = a + b + x - 2 เมื่อ x คือ จำนวนจุดที่อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก และ I = ((a-1)(b-1) - x + 2)/2

f(P) = A(P) - (I + B/2 - 1) = ab/2 - (a-1)(b-1)/2 + x/2 - 1 - (a + b + x - 2)/2 + 1 = 0

เห็นว่าทฤษฎีนี้เป็นจริงกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปดัง case 3a หรือ 3b เราสามารถสร้างกรอบสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เล็กที่สุดที่ครอบมันได้เสมอ ในกรณี 3a กรอบที่ครอบมันคือเส้นสีน้ำเงินนะครับ เราได้พิสูจน์มาแล้วว่า f(P) เป็น additive และทฤษฎีเป็นจริงสำหรับสี่เหลี่ยมุมฉาก และสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมโดยสีชมพูก็ต้องเป็นจริงตามทฤษฎีด้วย พิจารณาได้ดังนี้



f(T + T_1 + T_2 + T_3) = f(T) + f(T_1) + f(T_2) + f(T_3)

กรณีสี่เหลี่ยมมุมฉาก: f(T + T_1 + T_2 + T_3) = 0

กรณีสามเหลี่ยมมุมฉาก: f(T_1) = f(T_2) = f(T_3) = 0

ดังนั้น f(T) = 0


(3) ไม่ว่ารูปทรงใด ๆ เราสร้างจากองค์ประกอบสามเหลี่ยมุมฉากเล็ก ๆ และสี่เหลี่ยมมุมฉากได้เสมอ (ดูตัวอย่างกรณี 3b) ดังนั้น f(P) = 0

ตัวอย่างเช่น



I = 2, B = 14 ดังนั้น A(P) = 2 + 14/2 - 1 = 8

จะเกิดอะไรขึ้นหากเราจับโพลิกอนสีเขียวหมุนนิดหน่อยดังรูป



รูปแบบนี้ทฤษฎีไม่อาจรองรับแน่นอนครับ เพราะมันไม่ใช่ lattice polygon ถ้าเราคำนวณโดยใช้ I = 6, B = 2 จะได้พื้นที่เพียง 6 + 2/2 - 1 = 6 ซึ่งผิด แต่เราก็มีวิธีประมาณมันโดยสร้าง lattice polygon รูปที่ใหญ่กว่ามันมาครอบมันไว้ดังรูป



แล้วหาค่าเฉลี่ยของพื้นที่ระหว่าง lattice polygon ข้างในมันกับที่เป็นกรอบของมัน ก็จะได้ค่าประมาณที่ใกล้เคียง จากตัวอย่างนี้ พ.ท. แลททิสโพลีกอนขนาดใหญ่ที่สุดที่อยู่ในมันคือ 1 + 6/2 - 1 = 3 และ พ.ท. แลททิสโพลีกอนที่เป็นกรอบ (ขนาดเล็กที่สุดที่ครอบตัวมันได้) เท่ากับ 8 + 10/2 - 1 = 12 ได้ค่าเฉลี่ยของทั้งสองรูป (3+12)/2 = 7.5 ใกล้เคียง 8 ขึ้นมาหน่อยใช่มั้ยครับ





 

Create Date : 22 พฤษภาคม 2551    
Last Update : 23 พฤษภาคม 2551 13:10:36 น.
Counter : 4679 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.