creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

แอปเปิ้ลเขียวกับอีกาดำ (พาราด็อกซ์อีกา)

พาราด็อกซ์อีกานำเสนอโดย Carl Gustav Hempel (1905-1977) นักปรัชญาวิทยาศาสตร์และตรรกศาสตร์ชาวเยอรมัน พาราด็อกซ์ข้อนี้ค่อนไปทางปรัชญาและมีข้อคิดเห็นที่แตกต่างกันหลายประเด็นในหมู่นักคิด แก่นหลักของมันคือเฮมเพลตั้งคำถามเกี่ยวกับความเชื่อในสมมติฐานของเราที่บางครั้งก็ดูเหมือนจะไม่สอดคล้องกับสัญชาตญาณของเรา เฮมเพลยกตัวอย่างว่าหากเขามีสมมติฐาน “อีกาทุกตัวเป็นสีดำ” ทุกครั้งที่เขาพบหลักฐานคืออีกาสีดำเพิ่มมากขึ้น ความน่าเชื่อถือของสมมติฐานนี้จะเพิ่มขึ้น อยู่มาวันหนึ่งมีเด็กน้อยคนหนึ่งหยิบแอปเปิ้ลเขียวขึ้นมาบอกว่า “แอปเปิ้ลไม่เป็นสีดำและมันก็ไม่ใช่อีกา” หลักฐานชิ้นนี้ของเด็กน้อยคนนี้สนับสนุนสมมติฐานทำให้เราเกิดความเชื่อเพิ่มมากขึ้นในสมมติฐานหรือไม่? ดูเหมือนคนส่วนใหญ่จะโต้แย้งว่า “ไม่” พ่วงด้วยเหตุผล “คุณจะใช้แอปเปิ้ลเขียว แดง หรือชมพู มาสนับสนุนหรือหักล้างทฤษฎีอีกามีสีดำมันไม่ make sense” คุณเห็นด้วยมั้ยครับ? ผู้ที่เห็นด้วยว่าแอปเปิ้ลสีเขียวผลนี้ใช้เป็นหลักฐานและนำไปสู่ข้อสรุปของทฤษฎีได้ก็มี โดยใช้ข้ออ้างว่าถ้าหากพระเจ้านำของทุกอย่างในเอกภพที่ไม่ใช่สีดำมาให้คุณดู ถ้าคุณพิจารณาแล้วพบว่า ‘อีกาไม่อยู่ในนั้น’ มีเหตุผลอะไรบ้างมั้ยครับที่คุณจะสรุปทฤษฎีที่ว่าอีกาทุกตัวเป็นสีดำไม่ได้! คำตอบคือ ‘ไม่มี’

เฮมเพลแสดงขั้นตอนดังนี้ (1) ตั้งสมมติฐานว่าอีกาทุกตัวเป็นสีดำ ซึ่งสมมติฐานดังกล่าวจะสมมูลกับประโยค (2) อะไรก็ตามที่ไม่ใช่สีดำย่อมไม่ใช่อีกา ลองเขียนแผนภาพเวน-ออยเลอร์แสดงให้เห็นกันชัด ๆ ว่า (1) สมมูลกับ (2) ดังรูป



รูป ก. แสดงสมมติฐาน (1) ส่วนพื้นที่แรเงาตามรูป ข. คือสรรพสิ่งที่ไม่ใช่สีดำ ซึ่งเห็นได้ชัดเจนว่าเซตที่ระบายด้วยสีดำ (เซตอีกา) ไม่มีส่วนทับซ้อนกับพื้นที่แรเงา กล่าวคือ ถ้า (1) เป็นจริง (2) ก็ต้องเป็นจริงด้วย จากนั้น (3) เฮมเพลมีสัตว์เลี้ยงตัวหนึ่งคืออีกาและอีกาของเฮมเพลก็มีสีดำ ข้อ (3) นี่เป็นอะไรที่ชัดเจนว่าเป็นหลักฐานสนับสนุนสมมติฐาน (1) คุณอาจพูด “ดูสิ อีกาของฉันเป็นสีดำ” และเรายอมรับตามแนวคิดอุปนัยว่าเหตุการณ์ทำนองข้อ (3) นี้ช่วยเพิ่ม “ความน่าเชื่อถือ” (หรือเพิ่มโอกาสที่ (1) จะเป็นจริง) ให้กับ (1) ต่อมา (4) เด็กน้อยคนหนึ่งโชว์ผลแอปเปิ้ลสีเขียว ซึ่งแน่นอนว่ามันไม่ใช่อีกา ดังนั้น (4) เป็นหลักฐานสนับสนุน (2) อะไรก็ตามที่ไม่ใช่สีดำย่อมไม่ใช่อีกา แต่จะมีใครที่ไม่หงุดหงิดใจบ้างหากเด็กน้อยคนนี้ใช้ (4) สนับสนุน (1) โดยพูดว่า “ดูสิฮะ แอปเปิ้ลสีเขียวของผมไม่ใช่อีกา แอปเปิ้ลผลนี้เพิ่มความน่าเชื่อถือให้กับทฤษฎีอีกาทุกตัวมีสีดำของคุณเฮมเพล” คุณจะตอบโต้เด็กน้อยคนนี้ว่าอย่างไร? หรือเห็นด้วยโดยไม่มีข้อค้างคาใจ?

ข้อสรุปพาราด็อกซ์ (PC) ที่ว่าการสังเกตแอปเปิ้ลเขียวก็ต้องสามารถใช้เป็นหลักฐานยืนยันเพิ่มความน่าเชื่อถือให้กับสมมติฐานอีกามีสีดำได้สืบเนื่องมาจากแนวคิดสองประการ ประการที่หนึ่งเงื่อนไขของความสมมูล (EC) กล่าวคือ ถ้า X เป็นหลักฐานที่ใช่สนับสนุน Y แล้ว X ก็สามารถใช้เป็นหลักฐานสนับสนุน Z หรือตัวอื่น ๆ ที่สมมูลกับ Y ได้ และประการที่สอง แนวความคิดที่ว่าสมมติฐานในรูป “P ทั้งหมดคือ Q” สามารถสนับสนุนได้โดยการสังเกตแต่ละ P ที่เป็น Q เกณฑ์เช่นนี้เรามีชื่อเรียกว่า Nicod’s criterion (NC) ตามข้อเสนอของนักปรัชญาชาวฝรั่งเศส Jean Nicod (1893-1924) ดังนั้นสำหรับพาราด็อกซ์อีกา ถ้าคุณไม่ยอมรับ PC คุณก็ต้องปฏิเสธ EC หรือ NC หรือทั้ง EC และ NC คุณเฮมเพลผู้ประดิษฐ์พาราด็อกซ์เองมีความเห็นยอมรับ PC โดยเขาเปรียบเทียบกับตัวอย่างสมมติฐาน “เกลือโซเดียมเผาแล้วได้เปลวไฟสีเหลือง” ถ้าเราทดลองเผาน้ำแข็งบริสุทธ์แล้วเปลวไฟไม่ปรากฎสี ผลการทดลองนี้สนับสนุน “อะไรก็ตามที่เผาแล้วไม่ให้เปลวไฟสีเหลืองก็มิใช่เกลือโซเดียม” และสนับสนุนสมมติฐานที่สมมูลกัน ถ้าเราทดสอบกับสารที่ไม่รู้องค์ประกอบ โดยเผาสารนั้นแล้วไม่ได้เปลวไฟสีเหลืองและทำการวิเคราะห์ต่อเนื่องพบว่าสารดังกล่าวไม่มีโซเดียมเป็นองค์ประกอบ เฮมเพลเชื่อว่ากรณีนี้การเผาสารปริศนาก่อนวิเคราะห์แล้วไม่ได้เปลวไฟสีเหลืองมีนัยบ่งชี้สนับสนุนสมมติฐานต้นเช่นกัน ในแง่ของการใช้ทฤษฎีของเบส์เข้าไปช่วยทำความเข้าใจกับปัญหา (เป็นข้อเสนอคำตอบยอดนิยมแบบหนึ่ง) คำตอบนี้ยอมรับ PC เช่นเดียวกับเฮมเพล แต่ให้เหตุผลของพาราด็อกซ์ว่าเป็นเพราะขนาดเซตของอีกากับเซตของสรรพสิ่งที่ไม่มีสีดำแตกต่างกันมหาศาล ทำให้สัญชาตญาณของเราประเมินการสนับสนุนอีกาดำด้วยแอปเปิ้ลเขียวเป็นการประมาณค่าเท่ากับศูนย์ ทั้ง ๆ ที่หากคำนวณค่าที่แท้จริงออกมาแล้ว แม้น้อยนิด แต่ก็มิใช่ศูนย์ ถ้าเราให้ H แทนสมมติฐานที่กล่าวว่าอีกาทุกตัวเป็นสีดำ และ X แทนหลักฐานที่สังเกตที่ไม่ใช่สีดำ (เช่น แอปเปิ้ลเขียว) เบส์บอกว่า P(H|X) = P(H)P(X|H)/P(X) คราวนี้ถ้าคุณบอกนาย ก ให้เลือกแอปเปิ้ลอย่างสุ่มขึ้นมาหนึ่งลูก นาย ก เลือกได้แอปเปิ้ลเขียว ซึ่งการเลือกแอปเปิ้ลเขียวไม่เกี่ยวข้องอะไรกับสีของอีกาเลย ดังนั้น P(X|H) = P(X) ทำให้ P(H|X) = P(H) ดังนั้นแอปเปิ้ลเขียวผลนั้นไม่มีผลกระทบต่อความเชื่อสมมติฐาน (หรือความน่าจะเป็นที่สมมติฐานจะเป็นจริง) ของคุณ แต่ถ้าเปลี่ยนใหม่ คุณบอกนาย ก ให้เลือกอะไรก็ได้ที่ไม่ใช่สีดำขึ้นมา แล้วนาย ก หยิบแอปเปิ้ลเขียวมาให้คุณ แน่นอนว่า P(X|H) มากกว่า P(X) (เพราะแซมเปิ้ลสเปซตัวแรกเล็กกว่าตัวหลัง) แม้จะเพียงเล็กน้อยจนแทบไม่อาจรับรู้ได้ก็ตาม ดังนั้น P(H|X) ก็มากกว่า P(H) จนแทบไม่อาจรับรู้ได้เช่นกัน จึงสรุปได้ว่าหากเราอธิบายพาราด็อกซ์นี้ด้วยความสัมพันธ์ตามกฎของเบส์ การหยิบสิ่งที่ไม่ใช่สีดำขึ้นมาหนึ่งชิ้น แล้วพบว่ามันคือแอปเปิ้ลเขียว ก็สามารถช่วยเพิ่มความน่าเชื่อถือให้กับทฤษฎีอีกาสีดำได้




 

Create Date : 15 มิถุนายน 2552    
Last Update : 15 มิถุนายน 2552 15:26:31 น.
Counter : 1654 Pageviews.  

ปัญหาลูกของคุณสมิท

มาร์ติน การ์ดเนอร์ (นักเขียนสารคดีเชิงคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน) เป็นผู้ตั้งปัญหาลูกสองคนด้วยสองคำถามว่า (1) คุณโจนส์มีลูกสองคน คนโตเป็นผู้หญิง ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนจะเป็นผู้หญิงเท่ากับเท่าไร? (2) คุณสมิทมีลูกสองคนเหมือนกัน และอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นผู้ชาย ความน่าจะเป็นที่ลูกทั้งสองคนจะเป็นผู้ชายเท่ากับเท่าไร? ปัญหาข้อแรกง่าย เพราะเหมือนกับถามว่าโอกาสที่ลูกคนที่สองจะเป็นผู้หญิงเท่ากับเท่าไร มีสมมติฐานสองสามข้อที่เราต้องยอมรับร่วมกันก่อนคือ ลูกที่เกิดมาหากไม่ใช่เพศหญิงก็ต้องเป็นเพศชายเท่านั้นโดยโอกาสที่จะได้ลูกชายเท่ากับโอกาสที่จะได้ลูกสาว (ไม่อย่างนั้นก็เลิกคิดข้อนี้ได้เลย) และโอกาสที่จะเป็นเพศชายหรือเพศหญิงของลูกแต่ละคนเป็นอิสระจากกัน ฉะนั้นข้อแรกตอบได้โดยไม่ลังเลว่า 1/2 แต่ปัญหาข้อที่ (2) นี่แหละครับที่ชวนสับสน บางคนอาจสงสัยว่ามันต่างจากข้อแรกยังไง เรารู้ว่าสมิทมีลูกคนหนึ่งล่ะที่เป็นผู้ชาย ลูกอีกคนอาจจะเป็นชายหรือหญิงก็ได้เท่า ๆ กัน ดังนั้นโอกาสที่จะได้ลูกชายทั้งสองคนเท่ากับ 1/2 เหมือนโจทย์ข้อแรก แต่เมื่อเราแจกแจงว่ามีกรณีทั้งหมดที่เป็นไปได้ของเพศของลูกของคุณสมิทคือ {ชาย-ชาย, ชาย-หญิง, หญิง-ชาย, หญิง-หญิง} พิจารณาร่วมกับข้อเท็จจริงที่ว่าสมิทมีลูกเป็นชายอย่างน้อยหนึ่งคน ทำให้เราตัดกรณี ‘หญิง-หญิง’ ออกไป เหลือเพียง {ชาย-ชาย, ชาย-หญิง, หญิง-ชาย} ดังนั้นโอกาสที่จะได้ลูกชายทั้งสองคนจึงเท่ากับ 1/3 ตกลงแล้วโอกาสที่คุณสมิทจะมีลูกชายทั้งสองคนเท่ากับ 1/2 หรือ 1/3 กันแน่?



ปัญหาที่คล้ายคลึงกันนี้มีผู้อ่านนิตยสารพาเรดเขียนไปถาม Marilyn vos Savant คอลัมน์ Ask Marlilyn ในสองเวอร์ชัน (ราวปี 1991 กับ 1996 ตามลำดับ) เวอร์ชันแรก ‘เจ้าของร้านมีลูกสุนัขพันธุ์บีเกิ้ลสองตัว แต่เธอไม่รู้ว่าพวกมันมีเพศอะไรกันบ้าง คุณบอกเธอว่าคุณต้องการลูกสุนัขตัวผู้ ดังนั้นเธอจึงโทรศัพท์ไปถามคนดูแลสุนัขว่า “มีลูกบีเกิ้ลเป็นตัวผู้บ้างสักตัวมั้ย?” ผู้ดูแลตอบ “ค่ะ” เจ้าของร้านจึงหันมายิ้มกับคุณ ถามว่าโอกาสที่ลูกบีเกิ้ลอีกตัวหนึ่งจะเป็นตัวผู้เท่ากับเท่าไร?’ เวอร์ชันที่สอง ‘มีผู้หญิงกับผู้ชายที่ไม่เกี่ยวดองอะไรกัน แต่ละคนมีลูกสองคน เรารู้ว่าลูกอย่างน้อยหนึ่งคนของผู้หญิงเป็นผู้ชาย และลูกคนโตของผู้ชายเป็นผู้ชาย คุณ (หมายถึง Marilyn) ช่วยอธิบายหน่อยได้ไหมว่าเหตุใดโอกาสที่ผู้หญิงจะมีลูกชายสองคนไม่เท่ากับโอกาสที่ผู้ชายจะมีลูกชายสองคน? คุณครูพีชคณิตของฉัน (หมายถึงผู้เขียนจดหมายไปถาม Marilyn) บอกว่าโอกาสที่ผู้ชายจะมีลูกชายสองคนมีสูงกว่า แต่ฉันคิดว่าโอกาสน่าจะเท่ากัน คุณคิดว่าไง?’ แล้วคุณผู้อ่านล่ะครับ คิดว่า Marilyn จะตอบว่าอย่างไร? (มีใครไม่รู้จัก Marilyn บ้าง? กินเนสบุ๊คบันทึกชื่อของเธอไว้ในฐานะผู้ที่มี IQ สูงสุด)

ตัวอย่างการแก้ปัญหานี้ด้วยทฤษฎีของเบส์ กำหนดให้ A = เหตุการณ์ที่คุณสมิทมีลูกชายทั้งคู่ และ B = เหตุการณ์ที่ลูกของคุณสมิทเป็นเพศชายอย่างน้อยหนึ่งคน โจทย์ต้องการให้เราหา P(A|B) ถ้าเราไม่รู้ข้อมูลที่เกี่ยวข้องกับ B เพิ่มเติมเลย เราจะตอบว่า P(A) = 1/4 ค่า P(A) ที่เป็นความรู้หรือความน่าจะเป็นตั้งต้นนี่จึงเรียกว่า prior probability ส่วนความรู้ที่ได้รับการปรับใหม่แล้วจากข้อมูลที่เพิ่มขึ้น P(A|B) เรียกว่า posterior probability และเรารู้ว่า P(B) = 3/4 ส่วนค่า P(B|A) หมายถึงความน่าจะเป็นที่ลูกของคุณสมิทจะเป็นเพศชายอย่างน้อยหนึ่งคนเมื่อคุณสมิทมีลูกชายสองคน นั่นคือ P(B|A) = 1 เมื่อแทนใน P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = (1/4)(1)/(3/4) = 1/3 ได้โอกาสที่คุณสมิทจะมีลูกชายสองคนเมื่อเรารู้ว่ามีอย่างน้อยหนึ่งคนเป็นผู้ชายเท่ากับ 1/3 คำตอบนี้ถือว่าเป็นคำตอบมาตรฐาน แต่คุณผู้อ่านทราบมั้ยครับ มันยังมีหนทางที่คำตอบจะพลิกกลับไปเป็น 1/2 ได้ ขึ้นอยู่กับว่าเรารู้ได้อย่างไรว่าลูกชายของคุณสมิทมีอย่างน้อยหนึ่งคนที่เป็นชาย* (ตรงนี้แหละที่กำกวม) ถ้าคุณรู้ว่าคุณสมิทมีลูกสองคน แต่คุณไม่รู้ว่าเด็กทั้งสองคนนั้นมีเพศอะไรบ้าง เย็นวันหนึ่งระหว่างที่คุณกำลังเดินเล่นในสวนสาธารณะ คุณเดินสวนกับคุณสมิทที่กำลังจูงมือเด็กผู้ชายตัวน้อยคนหนึ่งพอดี คุณทัก “สวัสดีคุณสมิท” คุณสมิทตอบ “สวัสดี นี่ลูกชายของผม” คำถามคือโอกาสที่คุณสมิทจะมีลูกชายทั้งสองคนเท่ากับเท่าไร? คุณผู้อ่านคิดว่ายังเท่ากับ 1/3 มั้ยครับ? ถ้าคุณสมิทมีลูกสองคน ความเป็นไปได้ทั้งหมดคือ {ชาย-ชาย, ชาย-หญิง, หญิง-ชาย, หญิง-หญิง} ซึ่งเราตั้งสมมติฐานเอาไว้ว่าลูกที่เกิดมานั้นมีโอกาสเป็นเพศชายเท่ากับเพศหญิง ดังนั้นแต่ละกรณีมีโอกาสเท่ากับ 1/4 ในกรณี ชาย-ชาย โอกาสที่คุณสมิทจะพาลูกชายไปเดินสวนเท่ากับ 1 แน่นอน ส่วนในกรณีชาย-หญิง หรือ หญิง-ชาย โอกาสที่คุณสมิทจะพาลูกคนใดคนหนึ่งไปเดินสวนเราถือว่าเท่ากันเท่ากับ 1/2 ดังนั้นความน่าจะเป็นที่คุณสมิทซึ่งมีลูกสองคนโดยที่เรายังไม่ทราบว่าเพศอะไรบ้างจะพาลูกชายหนึ่งคนไปเดินสวนเท่ากับ (1/4)(1) + (1/4)(1/2) + (1/4)(1/2) หรือ 1/4 + 1/8 + 1/8 และทันทีที่คุณสมิทแนะนำ “นี่คือลูกชายของผม” จะทำให้พจน์ 1/4 + 1/8 + 1/8 ปรับเป็น 1/2 + 1/4 + 1/4 ดังนั้นโอกาสที่คุณสมิทมีลูกชายสองคนเมื่อเรารู้ว่าคุณสมิทมีลูกชายอย่างน้อยหนึ่งคนด้วยวิธีนี้เท่ากับ 1/2 คุณผู้อ่านอาจใช้ทฤษฎีของเบส์เข้ามาจัดการได้เช่นกันครับ โดยกำหนดให้ A = เหตุการณ์ที่คุณสมิทมีลูกชายสองคน และ B = เหตุการณ์ที่คุณสมิทพาลูกชายหนึ่งคนไปเดินสวน เราต้องการทราบ P(A|B) โดยรู้ว่า P(A) = 1/4, P(B) = 1/4 + 1/8 + 1/8 = 1/2 และ P(B|A) = 1 (ความน่าจะเป็นที่คุณสมิทพาลูกชายคนหนึ่งไปเดินสวนเมื่อคุณสมิทมีลูกชายสองคน) ฉะนั้น P(A|B) = P(A)P(B|A)/P(B) = (1/4)(1)/(1/2) = 1/2 ดูแผนภาพประกอบ



* สำหรับผู้อ่านที่สนใจศึกษาเพิ่มเติม ดูบทความ “Some teasers concerning conditional probabilities” โดย M. Bar-Hillel และ R. Falk ตีพิมพ์ใน Cognition, vol. 11 (1982) หน้า 109-122 หรือตำราเรียน Introduction to probability (Second Revised Edition) โดย Charles M. Grinstead และ J. Laurie Snell จัดพิมพ์โดย American Mathematical Society (1997) หน้า 175-177




 

Create Date : 14 มิถุนายน 2552    
Last Update : 14 มิถุนายน 2552 23:18:36 น.
Counter : 1594 Pageviews.  

Newcomb's Problem

ผู้วิเศษมีกล่องอยู่ 2 ใบ กล่องใบหนึ่งใสมองเห็นเงิน 10,000 บาทที่วางอยู่ในกล่อง อีกกล่องเป็นกล่องทึบซึ่งอาจจะมีเงิน 0 บาท หรือ 1,000,000 บาทก็ได้ขึ้นอยู่กับ "คำทำนาย" ของผู้วิเศษ ผู้วิเศษท่านนี้มีความสามารถในการทำนายได้อย่างเอกอุ หากผู้วิเศษทำนายว่าคุณจะหยิบกล่องทั้งสองกล่อง ผู้วิเศษจะไม่ใส่เงินลงในกล่องทึบ แต่ถ้าหากผู้วิเศษทำนายว่าคุณจะหยิบกล่องเพียงกล่องเดียว ก็จะใส่เงิน 1,000,000 บาทลงในกล่องทึบ คุณรู้ว่าผู้วิเศษใช้หลักเกณฑ์อะไรในการใส่เงินในกล่อง ตอนนี้กล่องทั้งสองอยู่เบื้องหน้าคุณแล้วครับ คุณจะหยิบหนึ่งกล่องหรือหยิบทั้งสองกล่อง?

ปัญหาข้อนี้ดูเหมือนไม่ยากอะไร บางคนตอบได้ทันทีว่า 1 กล่อง บางคนก็ตอบได้ทันทีว่า 2 กล่อง แน่นอนว่าทั้งสองคนมีเหตุผลที่สนับสนุนการตัดสินใจของตนเอง (ผนวกด้วยความมั่นใจเกินร้อยว่าเหตุผลของฉันถูกต้องหละ) ปัญหาข้อนี้สร้างโดย William Newcomb ศาสตราจารย์และนักฟิสิกส์ทฤษฎีที่ห้องปฏิบัติการ Lawrence Livermore มหาวิทยาลัยแห่งแคลิฟอร์เนียในปี 1960 แต่เป็นที่รู้จักและขบคิดแพร่หลายโดยนักปรัชญา (ศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยฮาร์วาร์ด) Robert Nozick จากบทความปี 1969 (Newcomb's Problem and Two principles of Choice) นักคิดหลายท่านจัดปัญหาข้อนี้เป็นพาราด็อกซ์ มันพาราด็อกซ์ตรงไหนทราบมั้ยครับ? ก็ตรงที่บางคนตอบได้ทันทีว่า 1 กล่อง และบางคนก็ตอบได้ทันทีว่า 2 กล่องพร้อมเหตุผลสนับสนุนที่มีน้ำหนักเท่า ๆ กันของทั้งสองฝ่ายนั่นแหละครับ

เริ่มจากกลุ่มที่เลือก 1 กล่อง เหตุผลง่าย ๆ ก็คือผู้วิเศษทำนายได้แม่นยำ ถ้าผู้วิเศษทำนายถูก การที่เราโง่ไปเลือก 2 กล่องก็จะได้เงิน 10,000 บาท แต่ถ้าเลือกกล่องเดียว ทำให้ได้เงินถึง 1,000,000 บาท ข้อโต้แย้งสำหรับผู้คัดค้านความคิดกลุ่มนี้คือ ก็แล้วถ้าผู้วิเศษทำนายผิดล่ะ? การที่เราเลือก 2 กล่องก็จะทำให้ได้เงินสูงถึง 1,010,000 บาท ในขณะที่เลือกกล่องเดียวจะได้เงิน 0 บาท ข้อโต้แย้งนี้ก็ถูกแย้งคืนได้จากกลุ่มที่เลือก 1 กล่องได้อีกว่า "เอ้า ก็โจทย์บอกอยู่ว่าผู้วิเศษมีความสามารถในการทำนายได้อย่างเอกอุ" หากถามว่าทฤษฎีอะไรที่กลุ่มนี้ใช้ในการตัดสินใจ เราตอบได้ว่าใช้หลักอรรถประโยชน์ที่คาดหมาย (expected utility) เพราะคิดความน่าจะเป็นของคำทำนายของผู้วิเศษ



มาดูกลุ่มที่เลือก 2 กล่องบ้าง ประเด็นคือ ผู้วิเศษนะใส่เงินไปในกล่องทึบเรียบร้อยแล้ว ไม่ว่าจะใส่ 0 บาท หรือใส่ 1,000,000 บาท ไม่ว่าคุณจะตัดสินใจยังไงก็ไปเปลี่ยนแปลงเหตุการณ์ที่ผู้วิเศษใส่เงินแล้วมิได้ดอก จึงสรุปออกมาง่าย ๆ ว่า "แล้วทำไมฉันจะต้องหยิบกล่องเดียวด้วยล่ะ ในเมื่อหยิบสองกล่องจะได้เงินมากกว่าหยิบหนึ่งกล่อง 10,000 บาทเสมอ" กลุ่มสองกล่องนี้กำลังใช้ทฤษฎีว่าด้วยหลักกลยุทธ์เด่น (dominace principle) ครับ กลุ่มแรกก็จะแย้ง "ตามสบาย ถ้างั้นเธอก็จะได้เงินแค่ 10,000 เพราะผู้วิเศษรู้ว่าเธอจะหยิบสองกล่อง" กลุ่มสองยิ้มมุมปาก "ดูนี่ (วาดตารางที่คุณเห็นด้านล่าง) มันมีเหตุการณ์เกิดขึ้นได้แค่ 2 แบบ ไม่ว่าเธอจะตัดสินใจยังไง คือ มีเงินอยู่ในกล่องทึบ และไม่มีเงินอยู่ในกล่องทึบ ถูกมั้ย? ลองดูตาราง pay-off ไม่ว่าจะมีเงินหรือไม่มีเงินในกล่องทึบ ผลตอบแทนที่เธอได้จากการหยิบสองกล่องก็สูงกว่าหยิบหนึ่งกล่อง ดังนั้นสิ่งที่เธอต้องทำก็แค่หยิบทั้งสองกล่อง"



พิจารณาปัญหานี้เชิงคณิตศาสตร์ โดยกำหนด P แทนโอกาสที่ผู้วิเศษทายถูก ดังนั้นถ้า P = 1 ผลตอบแทนของการหยิบหนึ่งกล่องเท่ากับ 1(1,000,000) + 0(0) = 1,000,000 ในขณะที่ผลตอบแทนของการหยิบทั้งสองกล่องเท่ากับ 1(10,000) + 0(1,010,000) = 10,000 บาท กรณี P = 0.5 ผลตอบแทนหยิบหนึ่งกล่องเท่ากับ 500,000 บาท หยิบสองกล่องเท่ากับ 505,000 บาท กรณี P = 0 ผลตอบแทนกรณีหยิบหนึ่งกล่องเท่ากับ 0 และหยิบสองกล่องเท่ากับ 1,010,000 เราสามารถสร้างสมการเส้นตรงของผลตอบแทนในการหยิบหนึ่งกล่อง R1 = f(P) และผลตอบแทนในการหยิบสองกล่อง R2 = g(P) ได้ไม่ยาก R1 = 1,000,000P ส่วน R2 = 1,010,000 - 1,000,000P เส้นตรงทั้งสองตัดกันที่ R1 = R2 หรือ P = 1,010,000/2,000,000 = 0.505 หมายความว่าถ้าผู้วิเศษทำนายได้แม่นยำกว่า 50.5% เราก็ควรที่จะเลือกกล่องเพียงกล่องเดียว ทำนองกลับกันถ้าผู้วิเศษทำนายได้แม่นยำน้อยกว่า 50.5% ก็ให้เลือกเอาทั้งสองกล่อง การคิดวิเคราะห์ดังกล่าวสนับสนุนความเห็นกลุ่มที่ 1 (เชื่อว่าไม่มีพาราด็อกซ์จริง ๆ แต่เป็นการให้เหตุผลที่ผิดพลาดของกลุ่มที่ 2 เพราะไม่คิดน้ำหนักของความน่าจะเป็น)

ในความเห็นส่วนตัว ปัญหา Newcomb มีฟังก์ชั่นการทำนายที่ไม่เคลียร์ในความคิดของผม มันเป็นฟังก์ชันที่เราไม่อาจพบได้บนโลกใบนี้ ผมจะสมมติเหตุการณ์ขึ้นมาใหม่โดยบอกว่า เอาล่ะ ผมจะเลือกกล่องล่ะนะ และประกาศออกมาดัง ๆ ว่า ผมจะเลือก 1 กล่องถ้าเหรียญออกหัว และเลือก 2 กล่องถ้าเหรียญออกก้อย คุณจะเห็นว่าผมโยนการตัดสินใจว่าจะเลือกกี่กล่องซึ่งควรจะเป็น free-will ของผมไปไว้ที่มือของความสุ่ม ถ้าฟังก์ชั่นการทำนายสามารถทำนายผมได้อย่างแม่นยำ (อันที่จริงเรามีอีกพาราด็อกซ์ที่บอกว่าไม่มีคำทำนายที่แม่นยำหากแจ้งคำทำนายนั้นแก่ผู้ถูกทำนาย เช่น ถ้าผู้ทำนายบอกผมว่าเย็นนี้ผมว่ายน้ำ ผมก็หักล้างคำทำนายได้ด้วยการไม่ไปว่ายน้ำ แต่ถ้าผู้ทำนายเขียนคำทำนายเอาใส่กระดาษแล้วยื่นให้ผมเปิดตอนเช้า เย็นนั้นผมยังอาจจะว่ายน้ำหรือไม่ว่ายน้ำก็ได้) ในกรณีนี้มันจะยังทำนายโอกาสออกหัว-ก้อย (ซึ่งเราถือว่าเป็นการสุ่มในอุดมคติ) ได้อย่างแม่นยำด้วยหรือไม่? มันจะเกิดพาราด็อกซ์ขึ้นมาทันทีครับ เพราะถ้ามีฟังก์ชันทำนายได้ มันก็จะไม่ใช่การสุ่มในอุดมคติ แต่มีหนทางใดหนทางหนึ่งที่ผลลัพธ์จากการสุ่มนั้นถูกรับรู้ได้อย่างแน่นอนก่อนเริ่มสุ่ม (ซึ่งนั่นก็คือฟังก์ชั่นคำทำนาย) แต่ไม่เป็นไร เราจะถือว่าผู้วิเศษสามารถทำนายได้อย่างแม่นยำในกรณีนี้ ถ้าอย่างนั้นเราลองมาดูโปรแกรมจำลองเกมนี้กันครับ

ผมเปลี่ยนใหม่ให้ผู้วิเศษคือคอมพิวเตอร์ (8 บิตยังได้) มีปุ่มให้คุณกด 2 ปุ่ม ปุ่ม A เท่ากับเลือก 1 กล่อง ปุ่ม B เท่ากับเลือก 2 กล่อง และมี LED แสดงผล 2 ดวง 2 สี สีแดง แปลว่าคุณได้ 10,000 บาท สีเขียว แปลว่า คุณได้ 1,000,000 บาท ถ้าขึ้นทั้ง 2 สีแปลว่าคุณได้ 1,010,000 บาท ถ้าไม่ขึ้นเลยสักสีแปลว่าคนอดได้สักบาท (ภายใต้เงื่อนไขว่า คนกดอยากได้เงินมากที่สุด, นั่นเท่ากับเป็นการตัดกรณีที่คนเลือกกล่องเดียว แต่เลือกกล่องใสนะครับ) ผมอันเชิญเทพโปรแกรมมิ่งมาจากดาวอังคารให้เขียนฟังก์ชั่นทำนาย เทพใช้เวลา 2 คืนในการเขียนโค้ด แล้วบอกว่าได้ตรงตามจุดประสงค์ของผมทุกประการ คือ คอมพิวเตอร์เครื่องนี้สามารถทำนายอนาคตได้แม่นยำ 100% (เทียบได้กับผู้วิเศษ) จะเตรียมเงินไว้ในกล่อง 1 ล้านบาทถ้าทำนายว่าคุณเลือก 1 กล่อง และจะไม่ใส่เงินในกล่องถ้าทำนายว่าคุณเลือก 2 กล่อง จากนั้นผมก็ลองนำไปทดสอบกับคน โอ...ไม่น่าเชื่อครับ โปรแกรมนี้เวิร์ก ได้ผล 100% จนพูดได้ว่าฟังก์ชันการทำนายแม่นยำอย่างเอกอุ จนกระทั่งวันหนึ่งผมแอบเห็นอัลกอริทึ่มที่เทพโปรแกรมมิ่งสเก็ตบนกระดาษ หน้าตามันเป็นแบบนี้

Begin
OFF ทุก LED;
if (กดปุ่ม A) then (LED สีเขียว ON) else (LED สีแดง ON);
// เพื่อความแม่นยำ ห้าม ON หรือ OFF พร้อมกัน 2 ดวง
End


ประเด็นของผมคือ แน่นอนว่าตามข้อกำหนดของปัญหา Newcomb ผู้วิเศษใส่เงินหรือไม่ใส่เงินก่อนที่จะให้เราตัดสินใจเลือก แต่ด้วยการสร้างตรรกะภายใต้บริบทของโจทย์ที่ยินยอมให้ผู้วิเศษทำนายถูกต้องเสมอ (หรือทำนายถูกต้องสูงมาก) ดังนั้นถ้าเราอยากได้เงินเยอะ เราไม่มีสิทธิจริง ๆ จัง ๆ ใด ๆ เลยในการตัดสินใจครับ เพราะฟังก์ชั่นของผู้วิเศษจะให้ผลสมมูลกันกับโค้ดโปรแกรมของเทพโปรแกรมมิ่ง (กรณีที่ทำนายไม่ถูกต้อง 100% แต่สูงมาก เทพอาจเขียนโค้ดว่า if [Random จำนวนเต็มบวกที่ไม่เกิน 100 ตรวจสอบไม่เท่ากับ 1] then [if (กดปุ่ม A) then (LED สีเขียว ON) else (LED สีแดง ON)] else [if (กดปุ่ม A) then (LED OFF ทั้งคู่) else (LED ON ทั้งคู่)]; ซะก็จะทำให้ฟังก์ชันพยากรณ์แม่นยำถึง 99%) ปัญหาจึงอยู่ที่เราไม่เข้าใจฟังก์ชั่นคำทำนาย และถ้าหากเราอยากจะเข้าใจมันโดยหาฟังก์ชั่นที่สมมูลกัน เราจะพบว่ามัน "ไม่ใช่คำทำนาย" แต่มันเป็น "เงื่อนไข" ที่จะกำหนดผลลัพธ์ แบบนี้แล้วยังจะถามว่าจะให้เราเลือกกล่องไหนอยู่ทำไมล่ะครับ?




 

Create Date : 09 มิถุนายน 2552    
Last Update : 7 มิถุนายน 2556 14:55:55 น.
Counter : 1180 Pageviews.  

Retrograde Analysis

สำหรับคนที่เล่นหมากรุกสากลไม่เป็นศึกษากติกาได้ที่ Chess สำหรับผู้เริ่มต้น

Proof Games (PG's) นั้นว่ากันว่ายุคแรก ๆ มาจากการสร้างโจทย์ของ Sam Loyd (1890) จุดประสงค์ของเกมคือให้หาเกมในระยะความยาวที่กำหนด เพื่อให้เกมเป็นอย่างที่มันเป็น เกมพวกนี้โจทย์จะบอกเรา 2 อย่าง 1. ความยาว n เช่น 4 ที, 4.5 ที (กรณีมี .5 แสดงว่าสนับรวมทั้ง 2 ฝ่าย) 2. หน้าตาของเกมเมื่อผ่านการเดินไปแล้ว n ที สิ่งที่เราต้องตอบคือในจำนวน n ที เริ่มตั้งแต่ทีที่ 1 นั้น เกมมีความเป็นมาอย่างไร? (หมากรุกสากล สีขาวเดินก่อน) โจทย์ไม่ยากมากครับ คิดแล้วสนุกดี ลองมาเล่นด้วยกันนะครับ โจทย์ผมนำมาจากเลคเชอร์ Chess and Mathematics ที่ Stanford กับ MIT ของ ศ. Noam. D. Elkies กับ ศ. Richard P. Standley

1. รูปแสดงตำแหน่งหลังจากสีดำเดินทีที่ 4 (Position after the 4th move of Black. How did the game go?)



2. รูปแสดงตำแหน่งหลังจากสีขาวเดินทีที่ 7 (Position after the 7th move of White. How did the game go?)



3. ข้อนี้ถ้าบอกว่าเป็นรูปของเกมที่เดินมาแล้ว 3.5 ที คือ ขาวเดิน 4 ที ดำเดิน 3 ที จะค่อนข้างง่ายครับ โจทย์จึงทำให้ยากขึ้นโดยบอกว่ามันคือรูปที่เดินมาแล้ว 4.0 ที (ขาวเดิน 4 ดำเดิน 4 - Proof game in exactly 4.0 moves)



4. แถมโจทย์ขำ ๆ ข้อหนึ่งครับ






 

Create Date : 08 มิถุนายน 2552    
Last Update : 8 มิถุนายน 2552 20:37:57 น.
Counter : 1002 Pageviews.  

การพิสูจน์แบบสร้างหรือแสดงให้เห็น

จากบทความสั้น ๆ ที่กี้เขียนยกตัวอย่างการพิสูจน์โดยไม่ต้องสร้าง แล้วถ้าต้องสร้างล่ะ มีมั้ย? มีสิครับ เรียกว่า constructive proof ย้อนกลับไปที่โจทย์เดิม จะพิสูจน์ว่ามีจำนวนอตรรกยะ x, y บางตัวที่ xy เป็นจำนวนตรรกยะ ซึ่งในตอนที่แล้วกี้ใช้ มาช่วย ไม่ว่ามันจะเป็นจำนวนตรรกยะหรืออตรรกยะมันก็ช่วยเหลือได้อย่างดีเยี่ยมในการพิสูจน์ คราวนี้ถ้าเราหา x และ y ที่เป็นจำนวนอตรรกยะ และยกกำลังกันแล้วเป็นจำนวนอตรรกยะได้ ก็จบ (เพราะเขาบอกว่ามีบางตัว) ตัวอย่างยอดนิยมคือ x = และ y = log2r2 หรือ 2log2r เมื่อ r เป็นจำนวนตรรกยะ ก็จะทำให้ xy = r จบการพิสูจน์




 

Create Date : 07 มิถุนายน 2552    
Last Update : 7 มิถุนายน 2552 16:23:21 น.
Counter : 984 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.