creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

ความรักกับสมการอนุพันธ์



คนที่ถือว่าจุดประกายเรื่องนี้น่าจะเป็นโปรเฟสเซอร์ Steven H. Strogatz ผู้เขียนหมายเหตุสั้น ๆ แค่เพียงหน้าเดียวในนิตยสาร Mathematics Vol. 61, No. 1, กุมภาพันธ์, 1988 เรื่อง Love Affairs and Differential Equations แกแนะนำว่าเอคุณครู ไม่ลองสอนระบบสมการอนุพันธ์เรื่องความรักบ้างเหรอ เด็กส่วนใหญ่เค้าน่าจะสนใจกันนะ ซึ่งผมว่าแกคงเอาไปลองแล้วเด็ก ๆ ในชั้นเรียนตื่นเต้นขบคิดกันสนุกสนาน (ภายหลังก็มีนักคณิตศาสตร์กลุ่มอิตาเลียน-ออสเตรียเล่นเรื่องโมเดลความสัมพันธ์ความรักนี้กันจริง ๆ จัง) ตัวอย่างที่ Strogatz ยกเป็นเรื่องของโรเมโอกับจูเลียต สมมติว่าโรเมโอนี่เป็นนักรักที่มีอารมณ์ผันผวน ยิ่งจูเลียตรักมาก ตัวเองก็ยิ่งเกลียดมากหลบลี้หนีหน้า แต่ครั้นพอจูเลียตเลิกสนใจ ตัวเองกลับเกิดอารมณ์รักใคร่สิเนหาขึ้นมา ฝ่ายจูเลียตบ้าง ความรักของเธอขึ้นอยู่กับความรักของโรเมโอ ถ้าโรเมโอรักเธอมาก เธอก็รักโรเมโอมากตามไปด้วย โมเดลความรักคู่นี้อาจแสดงอย่างง่ายโดย

dr/dt = -aj
dj/dt = br

เมื่อ r(t) คือความรักของโรเมโอต่อจูเลียตที่เวลา t และ j(t) คือความรักของจูเลียตที่มีต่อโรเมโอ ณ เวลา t เรารู้ว่าความรักกับความเกลียดเป็นคู่ตรงข้ามกัน (ถ้าคุณจะค้านก็เลือกความอะไรสักความที่ตรงข้ามกับความรักมาใส่แทนความเกลียดนะครับ Strogatz คงแค่ตั้งคำว่าความเกลียดเป็นแค่เพียงแบบ) ดังนั้นหาก r หรือ j มีเครื่องหมาย + มันจึงแทนความรัก แต่ถ้าเป็นเครื่องหมาย - มันก็จะใช้แทนความเกลียด ส่วนพารามิเตอร์ a, b เป็น + เพื่อให้สอดคล้องกับเรื่องราว

โศกนาฏกรรมความรักครั้งนี้มิใช่ยาพิษ แต่เป็นวัฏจักรรัก-เกลียดที่มิมีวันจบสิ้น คุณที่มีพื้นแคลคูลัสนิดหน่อย (ผมก็นิดหน่อย) จะเดาได้ว่า r เป็นฟังก์ชั่นของ cos และ j เป็นฟังก์ชั่นของ sin (ดิฟ cos ได้ -sin, ดิฟ sin ได้ cos) และถ้าเราพล็อตกราฟ cosine กับ sine มันจะเป็นบวกทั้งคู่ 1/4 ของคาบ ใช้โมเดลนี้ทำนายได้แล้วล่ะว่าคุณโรเมโอกับจูเลียตในเวอร์ชั่นนี้ปีหนึ่ง ๆ จะครองรักกัน 3 เดือน ตบตีกัน 3 เดือน และผลัดกันทรมานใจเพราะรักเขาข้างเดียวอีกคนละ 3 เดือน สนุกดีมั้ยครับ



นอกจากนี้ Strogatz ยังแนะนำต่อว่า คุณครูอาจจะใช้โมเดล

dr/dt = a11r + a12j
dj/dt = a21r + a22j

โดยที่ aik เมื่อ i, k = 1 หรือ 2 อาจจะเป็น + หรือ - ก็ได้ ซึ่งรูปแบบ +/- ของมันนี่แหละจะเป็นตัวกำหนดชะตา (หรือวิถี) แห่งรัก นักเรียนคนหนึ่งของโปรเฟสเซอร์ Strogatz ตั้งชื่อให้กับโรเมโอที่มี a11 และ a12 เป็น + ทั้งคู่ว่า "eager beaver" (แปลว่า กระตือรือร้น, ทำงานหนัก) คนแบบนี้คือคนที่ยิ่งรักเขามากก็ยิ่งรักเขามากและยิ่งเขารักมากก็รักเขามาก (ว้าว) จะเป็นไงหนอถ้ามาจับคู่กับ "นักรักจอมระแวง" (Strogatz ใช้คำว่า cautious lover) a21 เป็น - และ a22 เป็น + คนแบบไหนทราบมั้ยครับ ความรักที่ฉันมีต่อเธอจะเพิ่มขึ้นถ้าเธอยิ่งรักฉันมากขณะเดียวกันก็ลดลงด้วยหากว่าฉันรักเธอมาก (กลัวว่ารักเธอมากไปแล้วช้ำใจมากมาย) แล้วคู่รักแบบอื่น ๆ ล่ะ? คุณเริ่มรู้สึกสนุกบ้างรึยังครับ




 

Create Date : 18 มิถุนายน 2552    
Last Update : 18 มิถุนายน 2552 13:29:28 น.
Counter : 1291 Pageviews.  

แม่มดแห่งอันเยซี (The Witch of Agnesi)

มารีอา เกอีทานา อันเยซี (Agnesi, Maria Gaetan) ถ้าผมอ่านชื่อผิดก็สะกิดบอกกันด้วยนะครับ วันนี้ขี้เกียจเปิดดิคเช็คล่ะ - ดึกแล้ว:P เป็นนักคณิตศาสตร์และปราชญ์ชาวอิตาเลียนมีชีวิตอยู่ในช่วง 1718-1799 ชื่อของเธอนี่ดันไปเป็นชื่อในกราฟที่รู้จักกันดีกราฟหนึ่ง คือเส้นแม่มดแห่งอันเยซี (The Witch of Agnesi) ทั้ง ๆ ที่เป็นคนศึกษาค้นคว้ารึก็ไม่ กราฟอันนี้ปิแอร์ เดอ แฟร์มา (1703) กับ กุยโด กรันดี (1671-1742) ได้ศึกษามาก่อนแล้ว แต่คุณมารีอาเขียนถึงเจ้ากราฟตัวนี้ในคู่มือสอนของเธอแล้วเรียกมันว่า averiera แปลว่า เปลี่ยน (to turn) แต่ตอนแปลตำราของเธอมาเป็นภาษาอังกฤษ โปรเฟซคณิตศาสตร์เซอร์ลูเคเชี่ยนจอห์น โคลสัน (1680-1760) แห่งแคมบริดจ์คงตาลายมอง aversiera เป็น avversiera เติม v ให้อีกตัวหนึ่งจึงกลายเป็นภริยาของปิศาจไป ชื่อแม่มดแห่งอันเยซีจึงถือกำเนิดมานับแต่นั้น มารีอาเธอเป็นหนึ่งในลูกจำนวน 24 คนของโปรเฟสเซอร์คณิตศาสตร์ที่มหาวิทยาลัยแห่งโบโลนย่า เกิดที่มิลาน ตอนอายุ 11 ขวบพูดได้ถึง 7 ภาษา ใน 7 ภาษานี่มีละติน กรีก และฮิบบรู



วิธีวาดกราฟแม่มดแห่งอันเยซี เริ่มจากวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง a มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0,a/2) บนแกน y แล้วเลือกจุด A บนเส้นตรง y = a และลากส่วนของเส้นตรงเชื่อมจุดนั้นกับจุดกำเนิด ส่วนของเส้นตรงนี้จะตัดวงกลมที่จุด B ให้ P เป็นจุดตัดเส้นตรงแนวดิ่งที่ลากผ่าน A กับเส้นแนวนอนที่ผ่าน B ถ้าเลื่อนจุด A ไปตลอดบนเส้น y = a เส้นทางเดินของจุด P นั่นแหละครับคือแม่มดแห่งอันเยซี ซึ่งสมการของมันคือ y = a3/(x2+a2) ดู ๆ ไปมันก็คล้ายหมวกแม่มด ว่ามั้ยครับ?




 

Create Date : 18 มิถุนายน 2552    
Last Update : 18 มิถุนายน 2552 1:23:06 น.
Counter : 1367 Pageviews.  

หรือว่าโป๊ปเป็นเอเลี่ยน?

ไม่ได้แค่จั่วหัวเรียกร้องความสนใจจากพวกคลั่งโป๊ปหรือแอนตี้โป๊ปนะครับ ถ้าผมบอกว่าบทความชื่อเดียวกันนี้แหละตีพิมพ์ในนิตยสารระดับโลกอย่างเนเจ้อร์ คุณเชื่อมั้ย? (Beck-Bornholdt, H.-P. and Dubben, H.-H. (1996). Is the Pope an alien? Nature 381 730) บอกกันก่อนว่าผมเองก็ไม่ได้อ่านเนเจ้อร์ครับ บังเอิ๊ญบังเอิญพลิก ๆ ดูบทความ (ดูเล่น ๆ สนุก ๆ ไม่จริงจัง) ของโปรเฟซเซอร์วอลเทอร์ เครเมอร์ กับแกร์ด กีเกอเรนเซอร์ เรื่อง How to Confuse with Statistics or: The Use and Misuse of Conditional Probabilities เห็นว่าน่าสนใจดีก็นำมาเล่าสู่กันฟัง (แค่ติ่งเล็ก ๆ ของบทความเติมแต่งด้วยความเห็นส่วนตัวของผม) ประเดิมด้วยตัวอย่างจากหนังสือของ Darrel Huff ที่พูดถึงคนตายจากอุบัติเหตุบนไฮเวย์บอกว่า "คนตายจากอุบัติเหตุบนไฮเวย์ตอนหนึ่งทุ่มสูงกว่าเจ็ดโมงเช้าถึงสี่เท่า" ตรงนี้ Huff ชี้ให้เห็นว่ามันไม่ได้บอกเราว่าการขับรถตอนค่ำ ๆ อันตรายกว่าการขับรถตอนเช้า แต่คนส่วนใหญ่มักจะสรุปแบบนั้น สิ่งที่ข้อความดังกล่าวบอกคือ P(เกิดอุบัติเหตุเวลาหนึ่งทุ่ม|เกิดอุบัติเหตุ) ซึ่งไม่ใช่ P(เกิดอุบัติเหตุ|เกิดอุบัติเหตุเวลาหนึ่งทุ่ม) สองตัวนี้นะคนละเรื่องคนละความหมายกันนะครับ อย่าไปสับสน สัญลักษณ์ P(X|Y) แทนความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ X เมื่อเกิดเหตุการณ์ Y ตัวอย่างที่เห็นได้ง่ายกว่านั้นให้นึกภาพแวดวงบันเทิงบ้านเรา พูดได้ว่า P(เป็นเกย์|ช่างแต่งหน้า) สูง แต่มันเป็นคนละเรื่องกับ P(ช่างแต่งหน้า|เป็นเกย์) ซึ่งผมไม่เชื่อว่าจะสูง แน่นอนว่าบางเรื่องมันดูออกได้ง่ายว่าแตกต่างกัน แต่บางเรื่องถ้ามั่ว ๆ มึน ๆ มาก็แยกไม่ออกเหมือนกัน อาการเหล่านี้พบได้บ่อยตามโทรทัศน์ที่เห็นคุณลุง ๆ ป้า ๆ ออกมาวิจารณ์วัยรุ่นไทย อย่างโน้นไม่ดี อย่างนี้ผิด เสื่อมเสียศีลธรรม ผมล่ะเกลียดจริง ๆ คุณ ๆ พวกนี้ แต่พอเห็นมันออกมาก็อดฟังไปด่าไปไม่ได้สักที (อยากได้ตัวอย่างมั้ยครับ ลอง P(เด็กมั่วเซ็กส์|เด็กดูหนังโป๊หรือสื่อที่ถูกเรียกว่าลามกอนาจาร) กับ P(เด็กดูหนังโป๊หรือสื่อที่ถูกเรียกว่าลามกอนาจาร|เด็กมั่วเซ็กส์) เป็นไง ต้องบอกว่าป้าบางคนแบ๊วคอนฟิ้วซ์)

แล้วตรงนี้มันสำคัญยังไง? ศาสตราจารย์เครเมอร์กับกีเกอเรนเซอร์ยกตัวอย่างเหตุการณ์ฆาตกรรมในฤดูใบไม้ร่วงปี 1973 เมืองวูพเพอร์ทาลเมื่อคนงานถูกกล่าวหาว่าฆ่าเมียของคนงานท้องถิ่นอีกคน ผู้เชี่ยวชาญด้านหลักฐานที่เกิดเหตุคำนวณออกมาอย่างแม่นยำว่ามีโอกาสเพียง 0.027 เท่านั้นที่เลือดบนเสื้อผ้าของจำเลยกับในสถานที่เกิดเหตุจะพ้องกันอย่างบังเอิญ จากจุดนี้ทำให้ผู้เชี่ยวชาญพิสูจน์ว่าจำเลยมีโอกาสกระทำผิดสูงถึง 97.3% และเมื่อรวมกับพยานหลักฐานอื่น ๆ แล้วพิสูจน์ได้ว่าจำเลยมีโอกาสก่อเหตุฆาตกรรมสูงถึงเกือบ 100% เราจะตัดประเด็นว่าจำเลยผิดจริงหรือไม่ผิดจริงไปก่อนนะครับ แต่จุดที่ผิดอย่างชัดเจนคือขั้นตอนที่ทำให้โอกาส 2.7% ที่จะบังเอิญเลือดพ้องกันไปเป็น 97.3% ที่ผิดจริง ตรงนี้คือผู้เชี่ยวชาญมีความสับสนระหว่าง 2.7% ซึ่งเป็น P(มีเลือดบนเสื้อ|คนธรรมดาทั่วไป) กับ P(คนธรรมดาทั่วไป|มีเลือดบนเสื้อ) อันแรกคือพูดว่า "อ๋อ โอกาศที่คนธรรมดา ๆ สักคนจะมีเลือดแบบนี้บนเสื้อนะเหรอ 2.7% ไง" ส่วนอันหลังพูดว่า "โอกาสที่คน ๆ นี้จะเป็นคนธรรมดาไม่ใช่ฆาตกรในเมื่อมีเลือดอยู่บนเสื้อคือ 2.7%" ต่างกันมั้ยครับ? และอันหลังนี่แหละที่พอทำให้สรุปว่าคนนี้เป็นฆาตกร 97.3% ได้ แต่อันแรกทำไม่ได้ และอันแรกไม่เท่ากับอันหลัง

ลองมาดูว่าถ้าเราสับสนให้ P(A|B) = P(B|A) ดะ จะเกิดอะไรขึ้นได้บ้าง เริ่มด้วยตัวอย่างกฎการให้เหตุผลเบสิกพวก modus penens กับ modus tollens จำพวก 'ถ้า P แล้ว Q' และเรารู้ว่า P อย่างนั้นก็ต้อง Q หรือถ้าเราเจอรูป 'ถ้า P แล้ว Q' และพบว่า ~Q ดังนั้นมันก็ต้อง ~P เช่น (1) มนุษย์ทุกคนต้องตาย (2) โซกราติสเป็นมนุษย์ ดังนั้น (3) โซกราติสต้องตาย ซึ่งการให้เหตุผลเหล่านี้เราจะถือว่าเหตุ เช่น (1) และ (2) เป็นจริงจึงทำให้ผล (3) เป็นจริงแต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้า (1) มันแค่เกือบจะจริง พูดง่าย ๆ ว่าความน่าจะเป็นที่ (1) เป็นจริงไม่เท่ากับ 1 แต่เกือบ ๆ เท่ากับ 1 คำถามคือตัวที่สมมูลกันกับ (1) จะลอกความน่าจะเป็นของ (1) มาด้วยมั้ย? ลองดูตัวอย่างนี้ครับ เราเลือกคนขึ้นมาหนึ่งคนอย่างสุ่ม แล้วพิจารณาคุณสมบัติความเป็นมนุษย์โลก จากนั้นพบตัวร่วมประการหนึ่งและประกาศออกมาว่า (1) มนุษย์โลกไม่ใช่โป๊ป ถ้าเราประมาณว่ามีประชากร 6 พันล้านคน จับใส่กระบอกแล้วเขย่า ๆ ให้หลุดออกมาเหมือนเซียมซี โอกาสที่จะเป็นเซียมซีโป๊ปเท่ากับ 0.000 000 000 17 ฉะนั้น (1) ถึงแม้ว่าจะไม่จริง 100% เพราะมีโอกาสเป็นโป๊ป แต่เราก็พูดได้เต็มปากว่าเกือบจริง โอกาสที่ (1) เป็นจริงเกือบเท่ากับ 1 เห็นด้วยมั้ยครับ? (2) เบเนดิกที่ 16 เป็นโป๊ป ฉะนั้น (3) เบเนดิกที่ 16 ไม่เป็นมนุษย์โลก ข้อ (3) นี้สรุปมาจาก (1) สมมูลกับ "โป๊ปไม่ใช่มนุษย์โลก" ข้อสรุปเช่นนี้เกิดขึ้นเมื่อเราจับให้ P(ไม่ใช่โป๊ป|เป็นมนุษย์โลก) = P(ไม่เป็นมนุษย์โลก|เป็นโป๊ป) ซึ่ง P(~A|B) = P(~B|A) ก็ต่อเมื่อ P(A|B) = P(B|A) ซึ่งกรณีนี้ P(เป็นโป๊ป|เป็นมนุษย์) มันคนละเรื่องกับ P(เป็นมนุษย์|เป็นโป๊ป) อย่างเห็นได้ชัด เห็นมั้ยครับว่าการเอะอะอะไรก็ P(A|B) = P(B|A) -ซึ่งมันอาจจะเท่ากันหรือไม่เท่ากันก็ได้- ก็อาจจะทำให้โป๊ปกลายเป็นเอเลี่ยนไปด้วยประการฉะนี้



ทีนี้ถ้าเราอยากจะรู้จริง ๆ แล้วล่ะว่าโป๊ปมีโอกาสเป็นเอเลี่ยนมากน้อยแค่ไหน จะทำไง? ขอกำหนดตัวแปรหน่อยนะครับจะได้ไม่ดูวุ่นวาย H = เป็นมนุษย์โลก, B = เบเนดิกที่ 16 นั่นคือเราอยากหา P(H|B) ซึ่งมีค่าเท่ากับ P(H)P(B|H)/P(J) และ P(B) = P(H&B) + P(~H&B) = P(H)P(B|H) + P(~H)P(B|~H) สมมติว่าเอกภพคือบนโลกนี้มีแค่สองกลุ่ม มนุษย์กับเอเลี่ยน ฉะนั้น P(~H) = 1-P(H) ถ้ามีเอเลี่ยนไม่มาก P(H) มาก และ P(B|~H) น้อยนิด ทำให้ P(H|B) เกือบเท่ากับ 1 อันนี้เรียกว่าเบส์ช่วยไว้มิให้โป๊ปกลายเป็นเอเลี่ยน :P



หมายเหตุ หลังจากน้องชายบังเกิดเกล้าสุดที่รักเข้ามาอ่านแล้ววีนใส่ว่าให้ลบชื่อจอห์น ปอลที่ 2 ออกเดี๋ยวนี้นะ ไม่งั้นไม่ต้องมาคุยกันเลย ผมก็จำต้องบิดเบือนเป็นเบเนดิกที่ 16 ผมเข้าใจว่าเจตนาของผู้เขียนบทความไม่ได้จะโจมตงโจมตีอะไรโป๊ปนะครับ คุณลองนึกการเขียนหัว "หรือว่าสมศรีเป็นเอเลี่ยน?" กับ "หรือว่าโป๊ปเป็นเอเลี่ยน?" สิ อันไหนทำให้คนเบรกแล้วหันมาดูได้มากกว่ากัน และมีประเด็นที่ชัดพอควรว่าถ้าการให้เหตุผล P(A|B) = P(B|A) จริงเสมอแล้วละก็...หึหึ




 

Create Date : 16 มิถุนายน 2552    
Last Update : 7 เมษายน 2553 15:47:09 น.
Counter : 1179 Pageviews.  

จุดสัมผัส log กับ expo

ให้ a เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 1 และกำหนด f(x) = ax อินเวอร์สของ f(x) คือ g(x) = logax มีโอกาสหรือไม่ที่สองฟังก์ชั่นนี้จะสัมผัสกัน? ถ้ามี a ควรเป็นเท่าไร และจุดสัมผัสคือจุดอะไร?

คำถามนี้คุณ packham แห่งหว้ากอ pantip.com นำมาฝากเพื่อน ๆ ในกลุ่มคณิตศาสตร์ บอกว่า 'เคยคิดเล่น ๆ สมัยเรียน undergrad โจทย์ไม่ยากมาก แต่คำตอบสวยงามครับ รับรอง' ในเมื่อผู้ตั้งกระทู้บอกแบบนี้ ผมก็ต้องคิดในทำนองว่ามีจุดสัมผัสไว้ก่อน ก็เขาบอกว่าสวยงามนี่ครับ จะให้คิดว่าไม่มีแล้วมันจะสวยงามยังไง บังเอิญว่าเห็นโจทย์ข้อนี้ก่อนไปกินข้าวเที่ยงพอดี ตอนตอบกระทู้จึงไม่ได้ทิ้งรายละเอียดเอาไว้ เพียงสเก็ตคร่าว ๆ ว่าถ้ามันมี มันควรจะมีที่ตรงไหน? โชคดีที่โจทย์เตือนความจำว่า log กับ expo เป็นอินเวอร์สกันและกัน ทำให้นึกถึงทริกตอนเรียนเลข ม. 4 คุณจำโจทย์ประเภทให้กราฟมาแล้วให้กากบาทว่า ก ข ค ง ข้อใดเป็นอินเวอร์สของกราฟโจทย์ได้มั้ยครับ ตอนนั้นด้วยความขี้เกียจ ถ้าเจอโจทย์แบบนี้ผมจะพับกราฟโจทย์ตามแนวเส้นตรงที่ทำมุม 45 องศากับแกน x แล้วดูรูปรอยกราฟที่ด้านหลังกระดาษ (ถ้ากระดาษหนา ใช้ปากกาขีดย้ำกราฟให้นูนด้านหลังก็จบ) รูปนั้นจะเป็นหน้าตาของกราฟอินเวอร์ส พูดง่าย ๆ ว่าถ้าคุณมีกระจกเงา แล้วเอาไปวางบนเส้น x = y อินเวอร์สของมันก็คือเส้นที่อยู่ในกระจก เหตุที่เป็นเช่นนี้เพราะอินเวอร์สคือการเปลี่ยนบทกันเล่นของ x กับ y ถ้าเดิมคือจุด (a,b) อินเวอร์สก็จะเป็นจุด (b,a) เส้นตรงที่เชื่อม 2 จุดนี้มีความชันเท่ากับ (a-b)/(b-a) = -1 เสมอ (ตั้งฉากกับเส้น x = y) และระยะห่างจากจุด (a,b) ถึงเส้นตรง x = y ที่ลากมาตั้งฉากเท่ากับระยะห่างจากจุด (b,a) มาถึงเส้นตรงเดียวกัน (เท่ากับ |a-b|/21/2 ใช้สูตรระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดธรรมดา ๆ) ที่พูดลักษณะ 2 ประการนี้ขึ้นมาเพื่อที่จะยืนยันกับคุณว่า ถ้า (a,b) เป็นจุดหน้ากระจกที่วางบนแนว x = y เราจะได้ (b,a) เป็นจุดในกระจกโดยปริยาย 2 จุดนี้เป็นอินเวอร์สกันและกัน ฉะนั้นคำถามของคุณ packham จึงลดรูปเหลือเพียงถามคุณว่า คุณจะสัมผัสกับตัวคุณที่เป็นเงาสะท้อนในกระจกได้ยังไง คำตอบก็คือ สัมผัสที่กระจกสิ!

สเก็ตก่อนกินข้าวของผมจึงเป็น ถ้า log กับ expo สัมผัสกัน มันจะต้องสัมผัสกันที่เส้น x = y นั่นคือ f'(x) = g'(x) = 1 แก้สมการหา a ได้ก็จบ (กลับจากกินข้าว อิ่มแล้ว) จึงนั่งคิดส่วนที่เหลือต่อ และพบว่าสวยงามสมราคาโฆษณาจริง ๆ ครับ (จนรู้สึกว่าน่าจะนำมาประดับบล็อกไร้สาระแห่งนี้ด้วย)

จาก f(x) = ax ได้ f'(x) = axln(a) (เปิดดูสูตร) และจาก g(x) = logax ได้ g'(x) = (xln(a))-1 นำไปใส่สมการที่ตั้งไว้ f'(x) = g'(x) = 1 ได้ axln(a) = 1 หรือ ax = 1/ln(a) ใส่ ln ทั้งสองข้างได้ xln(a) = 0 - ln(ln(a)) ฉะนั้น x = -ln(ln(a))/ln(a) และ (xln(a))-1 = 1 หรือ x = 1/ln(a) ดังนั้น -ln(ln(a))/ln(a) = 1/ln(a) หรือ ln(ln(a)) = -1 เรารู้ว่า ln(e) = 1 จึงได้ค่า a ออกมาเท่ากับ e1/e ได้ f(x) = ex/e และ g(x) = elogex หาจุดตัดโดยจับ f(x) = g(x) ได้ x = e และ f(x) = g(x) = e นั่นคือกราฟสองเส้นนี้สัมผัสกันที่ (e,e) เมื่อ a = e1/e




 

Create Date : 15 มิถุนายน 2552    
Last Update : 15 มิถุนายน 2552 22:13:01 น.
Counter : 1450 Pageviews.  

ซอง 2 ซอง

มาดูปัญหาคลาสสิกอีกสักข้อ มีซอง 2 ซอง ให้คุณเลือก 1 ซอง แล้วผมบอกว่าในซองมีเงิน ซึ่งเงินที่อยู่ในซองหนึ่งเป็น 2 เท่าของเงินที่อยู่ในอีกซองหนึ่ง โดยที่คุณยังไม่เปิดซอง ถามว่าคุณจะเปลี่ยนใจสลับซองที่คุณเลือกไปกับอีกซองหนึ่งที่คุณไม่ได้เลือกมั้ยครับ?



ปัญหาข้อนี้ถ้าคุณไม่คิดมากให้เปลืองสมอง คุณก็ให้เหตุผลง่าย ๆ ว่า (I) "จะสลับให้เมื่อยทำไม มันก็มีอยู่แค่ 2 ซอง เลือกแบบสุ่ม โอกาส 50-50" แต่ถ้าคุณเพิ่งเรียนทฤษฎีความน่าจะเป็นมาหมาด ๆ และคุณครูเพิ่งสอนเรื่องค่าคาดหมาย ด้วยความร้อนวิชา เอาล่ะ คุณหยิบกระดาษกับปากกา ส่งสายตากำชัยให้ผมแล้วพูดว่า "ดูนี่" จากนั้นอธิบาย

(II) "สมมติว่าซองนี้ (หมายถึงซองที่คุณเลือกเป็นซองแรก) มีเงินอยู่ x บาท ซึ่งมันอาจจะเป็นซองที่มีเงินมากกว่าหรือน้อยกว่าอีกซองหนึ่งก็ได้เท่า ๆ กัน นั่นคือ มีโอกาส 0.5 ที่อีกซองหนึ่งจะมีเงิน 2x บาท และมีโอกาส 0.5 ที่อีกซองหนึ่งจะมี x/2 บาท ถ้าเราสลับไปเลือกอีกซองหนึ่ง ค่าคาดหมายของเงินที่เราจะได้รับเท่ากับ (0.5)(2x) + (0.5)(x/2) = 1.25x เห็นชัดว่า 1.25x > x ฉะนั้น 'สลับซอง' ซะ"

ชิโร่เพื่อนคุณซึ่งนั่งอยู่ข้าง ๆ ค้านขึ้นมาทันที (III) "เนื่องจากเราไม่รู้ค่า x และหลังจากสลับซองเรียบร้อยแล้วสมมติว่าค่าของมันคือ y และคิดแบบเดียวกันเพื่อให้ได้ 1.25y งี้ก็ต้องสลับซองอีกรอบ แล้วก็จะได้ซองเดิม แล้วก็ต้องสลับอีกรอบ อีกรอบ อีกรอบ น่าจะมีอะไรไม่ชอบมาพากลนะ"

สมมติว่าคุณรั้นนิด ๆ (IV.I) "ลองคิดดูสิว่ามันผิดตรงไหน สมมติว่าศลยอมให้ผมเปิดซองแรกที่เลือกได้ ผมเปิดออกมาเจอเช็ค 20,000 บาท แปลว่า อีกซองหนึ่งถ้าไม่เป็น 10,000 บาท ก็ต้องเป็น 40,000 บาท ถูกมั้ยชิโร่?"

ถูก (ผมตอบให้ก็ได้)

คุณต่อ (IV.II) "เนื่องจากว่าโอกาสมันเท่า ๆ กันที่อีกซองหนึ่งจะเป็น 1 หมื่น หรือ 4 หมื่น ดังนั้นค่าคาดหมายหากเราเปลี่ยนซองเป็น (0.5)(10,000) + (0.5)(40,000) = 5,000 + 20,000 = 25,000 มากกว่าเดิมตั้ง 5,000 บาท แล้วทำไมจะไม่เปลี่ยนล่ะ?"

ผมเชื่อว่าชิโร่แอบอึ้ง เอ่อ...ผมได้บอกคุณรึยังครับว่าเรามีตัวละครที่คุณก็รู้ว่าใครนั่งร่วมวงด้วย นี่เป็นเสียงของเขาตอนที่ยังไม่คืนร่าง (V) "นายคิดค่าคาดหมายผิดรึเปล่า? สมมติว่าเงินที่ใส่ในซอง 2 ซองคือ x กับ 2x มันมีโอกาส 50% ที่นายจะได้ x และ 50% ที่นายจะได้ 2x ถ้านายได้ x และเปลี่ยนซอง นายก็จะได้ 2x ถูกมั้ย? แต่ถ้านายได้ 2x และเปลี่ยนซอง นายก็จะได้ x แบบนี้ค่าคาดหมายก็ต้องเท่ากับ (0.5)(2x) + (0.5)(x) = 1.5x มากกว่า 1.25x ซะอีก"

เจอแบบนี้ใครที่ตั้งสติไม่ดีอาจจะหลุดวงโคจรได้เลย ไอ้คนสุดท้ายนะดันมามึนตอนจบจับ 1.5x ไปเปรียบเทียบกับ 1.25x เฉยเลย เห็นมัน x ๆ เหมือนกันอย่าหลงคิดว่าเป็น x เดียวกันนะครับ เพราะ x ใน (II) หมายถึงตัวแปรที่แทนเงินที่อยู่ในซองของคุณซองแรก ส่วน x ใน (V) หมายถึงค่าของเงินที่น้อยที่สุดที่อยู่ในซอง 2 ซองนั้น จะเป็นซองไหนเป็นอีกเรื่องหนึ่ง ก่อนอื่นมาดูกันว่าเหตุผลของใครฟังเข้าท่าบ้าง เริ่มจาก (I) อันนี้เข้าที่สุด ปัญหาแบบนี้ไม่ต้องวิตกจริตคิดให้ปวดสมอง แม้ว่า (I) จะเป็นอะไรที่ไม่ซับซ้อนเลย แต่มันก็ไม่มีอะไรที่จะบอกว่ามันผิดไม่ได้เลยเหมือนกัน ต่อมา (III) ก็เป็นการให้เหตุผลที่ดีครับ สุดท้าย (V) ถ้าเราไม่นับตอนจบ 1.5x > 1.25x ก่อนหน้านั้นที่พูดมาถือว่าถูกต้องทุกประการ, x ในความหมายของ (V) ทำให้เราได้ค่าคาดหมายที่จะได้เงินเมื่อเปลี่ยนซองเท่ากับ 1.5x คำถามที่น่าถามคือถ้าไม่เปลี่ยนซองล่ะ? คุณก็ยังได้ค่าคาดหมายเท่ากับ 1.5x เท่าเดิม แปลว่า ไม่ว่าคุณจะเปลี่ยนหรือไม่เปลี่ยนซอง มันก็ไม่มีผลอะไรกับค่าคาดหมายของคุณ แล้ว 1.5x ใน (V) นี้แปลว่าอะไร? มันแปลว่า ถ้าค่าต่ำสุดของเงินในซองคือ x และสูงสุดคือ 2x ถ้าคุณเล่นเกมนี้สัก N รอบ (N ยิ่งเยอะยิ่งดี) ค่าเฉลี่ยของเงินที่คุณจะได้จากเกมเท่ากับ 1.5x

คราวนี้มาดูลอจิกที่ดูเหมือนสมเหตุสมผล แต่ผิดอย่างจัง เริ่มจาก (II) ถ้าซองของคุณตอนนี้มีเงินอยู่ x และทำการเปลี่ยนซอง คุณจะได้ค่าคาดหมายของเงินเท่ากับ 1.25x แปลว่าได้เงินเพิ่มขึ้นจากเดิม 25% ซึ่ง (III) ได้ตั้งข้อสงสัยไว้แล้วว่าต่างฝ่ายจะต่างได้เงินเพิ่มทั้งคู่ได้อย่างไร ลองดู (IV.I) ซึ่งผมตอบว่า "ถูก" แต่คำว่าถูกนี้ไม่ได้ครอบคลุมไปถึง (IV.II) เพราะว่าถ้าเปิดซองขึ้นมาแล้วคุณพบ 20,000 บาท แปลว่าอีกซองถ้าไม่เป็น 10,000 ก็ต้องเป็น 40,000 แน่ ตรงนี้ถูกครับ แต่ไม่มีอะไรไม่มีใครไม่มีพระเจ้าองค์ใดที่บอกว่าโอกาสที่อีกซองหนึ่งจะเป็น 10,000 บาทเท่ากับโอกาสที่อีกซองหนึ่งจะเป็น 40,000 บาท ความผิดพลาดขั้นร้ายแรงของการให้เหตุผลของ (II) และ (IV.II) มาจากการประเมิน posterior probabilities ผิด กล่าวคือ คุณ (ตัวละครในเรื่องนี้) ประเมินให้ P(อีกซองมีเงินเท่ากับ x/2|ซองนี้มีเงินเท่ากับ x) = P(อีกซองมีเงินเท่ากับ 2x|ซองนี้มีเงินเท่ากับ x) = 1/2 โดยมิได้สนใจการกระจายความน่าจะเป็นของเงินในซอง ตัวอย่างที่จะช่วยให้เราเข้าใจปัญหานี้ได้ง่ายขึ้น สมมติว่าผมใส่เงินในซอง 5 บาท กับ 10 บาท ถ้าเงินในซองของคุณคือ 5 บาท การประเมินว่าอีกซองหนึ่งมีโอกาสมีเงิน 2.5 บาทเท่ากับโอกาสมีเงิน 10 บาทก็ผิดจากความจริงแล้วใช่มั้ยครับ? (เพราะผมไม่ได้เตรียมเงิน 2.5 บาทไว้เลย) หรือถ้าในซองของคุณมีเงิน 10 บาท การประเมินความน่าจะเป็นของ 15 บาท ก็ไม่ควรจะเท่ากับ 5 บาท (เพราะผมไม่ได้เตรียมเงิน 15 บาทไว้เช่นกัน) ข้อมูลสำคัญจริง ๆ ที่พอจะช่วยคุณในการตัดสินใจได้ว่าควรจะเปลี่ยนซองดี หรือไม่เปลี่ยนซองดี นอกจากเงินในซองของคุณแล้วยังต้องรู้การกระจายโอกาสของเงินต่ำสุดที่ใส่ซอง เช่น ถ้าคุณรู้ว่าโอกาสของมูลค่าเงินต่ำสุดกระจายแบบสม่ำเสมอในช่วง 0 ถึง 30,000 บาท และซองของคุณมีเงินอยู่ 40,000 บาท ก็อย่าทะลึ่งไปเปลี่ยนมัน แต่ถ้าโอกาสกระจายสม่ำเสมอในช่วง 30,000 ถึง 100,000 บาท ก็ไม่มีเหตุผลที่คุณจะเก็บซองนั้นเอาไว้




 

Create Date : 15 มิถุนายน 2552    
Last Update : 15 มิถุนายน 2552 19:35:28 น.
Counter : 1213 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.