creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

เกมงูกับบันได

ตอนเด็ก ๆ เวลาซื้อของเช่นเสื้อผ้า หรือสมุดสักเล่ม คนขายจะใส่ถุงกระดาษที่พิมพ์ด้านข้างถุงเป็นเกมงูกับบันได วิธีเล่นก็ง่ายครับ ยิ่งมากคนยิ่งสนุก ใช้อุปกรณ์เพียงถุงใบนั้น ลูกเต๋าหนึ่งลูก กับก้อนหิน หรือเหรียญ หรืออะไรก็ตามแต่ที่จะใช้เป็นตัวเดินแทนคนเล่น คนเล่นผลัดกันโยนเต๋า ได้แต้มเท่าไรก็เดินไปเท่านั้นช่อง ถ้าเจอช่องที่มีบันได ก็สามารถไต่บันไดไปยังช่องด้านบนได้ แต่ถ้าเจอช่องที่มีหัวงู ก็จะต้องตกกลับมายังช่องที่เป็นหางงู วันนี้เปิด ๆ ดู Journal of Recreational Mathematics, Vol. 30(2) เจอปัญหาข้อหนึ่งถามเกี่ยวกับเกมนี้ ดูรูป



ผู้เล่นเริ่มต้นที่นอกกระดาน (ช่องที่ 0) ใช้เหรียญโยนแทนลูกเต๋า โดยที่หากเหรียญออกหัว ก็ให้เดินไปหน้าได้ 1 ช่อง ถ้าเหรียญออกก้อย ก็ให้เดินไปหน้าได้ 2 ช่อง คำถามคือโดยเฉลี่ยแล้วต้องโยนเหรียญกี่ครั้งจึงจะถึงเส้นชัย (ช่องที่ 9)

ปัญหาข้อนี้ผมไม่มีเฉลย แต่ก็ดูแล้วไม่ยากเย็นเท่าไร ใช้เทคนิคของการเขียน state machine ธรรมดาครับ กำหนดให้ช่องแต่ละช่องแทน state แต่ละ state และกำหนดตัวแปรประกอบคือ wn จำนวนที่จะต้องโยนเหรียญเพื่อให้จบเกมอยู่ตอนนี้อยู่ state ที่ n แต่ละ state จะออกไปยัง state อื่นได้ 2 ทาง สมมติว่าตอนนี้คุณอยู่ที่ n คุณก็อาจจะไปที่ n+1 (ถ้าคุณโยนได้หัว) หรือไปที่ n+2 (ถ้าคุณโยนได้ก้อย) ด้วยโอกาสเท่า ๆ กันคือ 0.5 และผมยุบช่อง 2 กับ 8 รวมกัน และ 3 กับ 6 รวมกัน เพราะมันถือว่าเป็นช่องเดียวกันด้วยบันไดและงู หน้าตา state diagram เป็นดังรูป



ต่อมาก็ตั้งสมการ w0 = 0.5w1 + 0.5w2 + 1 จากข้อเท็จจริงที่ว่าทีแรกที่คุณโยนเหรียญ คุณต้องไปอยู่ที่ 1 หรือ 2 เมื่อคุณอยู่ที่ไหนคุณก็จะต้องโยนอีก wn ทีเพื่อให้จบเกม เราก็จะได้ระบบสมการที่มี 7 สมการ 7 ตัวแปร

w0 = 0.5w1 + 0.5w2 + 1
w1 = 0.5w2 + 0.5w6 + 1
w2 = 0.5w6 + 0.5w4 + 1
w6 = 0.5w2 + 0.5w7 + 1
w4 = 0.5w6 + 0.5w5 + 1
w5 = 0.5w6 + 0.5w7 + 1
w7 = 0.5w2 + 1

แก้สมการได้ w0 = 100/8 = 12.5 นั่นคือโดยเฉลี่ยแล้วเกมนี้คุณต้องโยนเหรียญ 12.5 ทีครับ




 

Create Date : 12 กรกฎาคม 2552    
Last Update : 12 กรกฎาคม 2552 1:30:55 น.
Counter : 2692 Pageviews.  

ลอนกับเคิล

มีกระทู้ในห้องหว้ากอ pantip.com กระทู้หนึ่งตั้งคำถามน่าสนใจครับ ถามว่าสัญลักษณ์ log ออกเสียงว่า 'ล็อก' แต่ทำไม ln ออกเสียงว่า 'ลอน' ที่น่าสนใจไม่แพ้คำถามคือคำตอบจากบรรดาผู้รู้ บ้างว่า อ.มหาวิทยาลัยสอนให้อ่าน log ว่าลอน (แล้วบอกว่า อ.มัธยมอ่านผิด) บ้างว่าอ่าน log ว่าล็อกนะถูกแล้ว และอ่าน ln ว่า natural logarithm ไม่ใช่ลอน (แถมแซวลอนนะใช้เรียกกระเบื้อง) บ้างว่า ln อ่านล็อกฐานอี บ้างก็อ่านล็อกทั้ง log และ ln คนที่อ่านว่า 'แอล-เอ็น' ก็มี

ความเห็นส่วนตัวของผมนะ จะอ่านว่าอะไรได้ทั้งนั้น ถ้าจะให้ดีเข้าเมืองตาหลิ่วก็หลิ่วตาตาม ไปเรียนที่มหาวิทยาลัยเอ เขาเรียกลอน เราก็เรียกลอน ไม่ต้องลุกขึ้นปฏิวัติการออกเสียงสัญลักษณ์ ln ให้วุ่นวาย เพราะผมเชื่อว่ามันไม่มีเสียงอ่านที่เป็นสากลทั่วโลกหรอกครับ เสียงแทนสัญลักษณ์ ln ที่เคยได้ยินมีทั้ง ลอน, ลิน, เลิน, เนท-ล็อก, ล็อก หรือพูดเต็มยศว่า natural logarithm ก็มี ซึ่งสัญลักษณ์ตัวนี้ ln ก็ไม่ใช่สัญลักษณ์ต้นฉบับ ก่อนที่ Stringham จะเอามาใช้ (และทำให้แพร่หลาย) มันก็เคยถูกเขียนแทนด้วย log.nat. ผมเคยอ่านเจอข้อถกเถียงทำนองเดียวกันนี้ในเว็บบอร์ดต่างประเทศ ถูกใจคำพูดของคุณครูท่านหนึ่งมาก "คุณครูคุณอ่านมันว่าอย่างไร ก็ถูกทั้งนั้น"

คราวนี้จะลองวิเคราะห์ว่าทำไมในไทยเราจึงอ่าน ln ว่า ลอน กัน ต้องทำความเข้าใจตรงกันก่อนนะครับว่าในหนังสือของ Stringham ซึ่งเป็นคนแรกที่เขียน ln ไม่ได้เขียนเสียงอ่านเอาไว้ด้วย และไม่ได้ระบุที่มาที่ไปด้วย แต่ก็มีคาดเดากันว่า l มาจาก logarithm และ n มาจาก natural เป็น ln (แต่เอ๊ะ ทำไมไม่เป็น nl กลับเอาคำคุณศัพท์ไปต่อท้ายคำนามเหมือนภาษาไทยเสียนี่) ถ้าเราไม่ออกเสียง ln แบบตรง ๆ ตัวว่า 'แอล-เอ็น' เราก็ต้องเติมสระให้กับมัน และน่าจะนิยมเติมสระคั่นกลางเป็น lan, len, lin, lon, lun ซึ่งทั้ง 5 พยางค์นี้เสียงมันกร่อนเข้าหากันเองได้ พอดูสไตล์คนไทย log-lon คู่นี้น่าจะลื่นลิ้นที่สุดแล้ว ทั้งหมดนี้เป็นข้อคาดเดานะครับ

ต่อมามีผู้ตั้งคำถามอีกว่าสัญลักษณ์ที่ใช้ตอนหาอนุพันธ์ย่อย ทำไมเรียกว่า 'เคอ' หรือ 'เคิล' กัน คำถามนี้ผมว่าไม่ยาก และเข้ากับรสนิยมคนไทยที่สุด สัญลักษณ์ดังกล่าวเป็นการดัดแปลงตัว d โดยเขียนแบบอาร์ต ๆ ม้วนหางมาข้างหน้า ปกติถ้ามีใครเอามาถามผม ผมก็จะเรียกมันว่า 'ดี' แต่ถ้าเด็กที่นำมาถามพูดว่า 'เคอ' ผมก็ 'เคอ' ด้วย การที่ผู้ประดิษฐ์สัญลักษณ์นี้ต้องม้วนหางตัว d มาข้างหน้าเพราะอยากให้มันแยกกับ d ปกติธรรมดาที่ไม่ใช่การหาอนุพันธ์ย่อย คงไม่มีใครหลงคิดว่าสัญลักษณ์ตัวนี้เป็นอักษรกรีกที่เรียกว่าเคิลหรอกนะ (ในเรื่องนี้ได้ใช้อักษรกรีกไปแล้วในตอนต้นอันเป็นที่มาคือตัวเดลต้าเล็กไงครับ) คราวนี้พอตัว d หวัดหางมาข้างหน้า ฝรั่งเขาก็เรียกว่า roundback d หรือ curly d จากคำว่า curly d นี่แหละ ที่เราคงเอามาหดลดเหลือ curl (ซึ่งไม่เกี่ยวข้องอะไรโดยตรงกับ curl operation นะครับ) ไหน ๆ ก็มีบางครั้งที่เราเรียก d ว่าดิฟแล้ว จะเรียก d ม้วนหางว่าเคิล ผมก็มองว่ามันยังมีที่มาที่ไปที่ไม่หลุดโลกจนรับไม่ได้นะ (อีกครั้ง ทั้งหมดนี้เป็นข้อคาดเดานะครับ)




 

Create Date : 05 กรกฎาคม 2552    
Last Update : 6 กรกฎาคม 2552 19:08:39 น.
Counter : 1346 Pageviews.  

คณิตศาสตร์ขำขัน (มันผิดตรงไหน?)

ดูขำ ๆ แก้เครียดนะครับ

1. หนึ่งเหรียญเท่ากับหนึ่งเซนต์ (1$ = 1c)

1$ = 100c = (10c)2 = (0.1$)2 = 0.01$ = 1c #

2. 1$ = 10c (อีกแบบ)

เรารู้ว่า: 1$ = 100c
ก็จับมันหารด้วย 100 ทั้งสองข้าง: 1/100 $ = 1c
ใส่เครื่องหมายรากที่สองทั้งสองข้าง : (1/100)0.5$ = 10.5c
ได้: 0.1$ = 1c
คูณ 10 ทั้งสองข้าง: 1$ = 10c #

3. 1 = -1

1/(-1) = (-1)/1
{1/(-1)}0.5 = {(-1)/1}0.5
10.5/(-1)0.5 = (-1)0.5/10.5

จากนั้นจับพวกมันคูณไขว้

10.5x10.5 = (-1)0.5x(-1)0.5
1 = i2 = -1 #

น่ารักดีมั้ยครับ

4. 1 = -1 (อีกแบบ คล้าย ๆ กัน)

1 = 10.5 = (-1 x -1)0.5 = -10.5 x -10.5 = i x i = -1 #

5. 1+2+4+8+16+... = -1

กำหนดให้: x = 1+2+4+8+16+...
เอา 2 คูณตลอดได้: 2x = 2+4+8+16+...

x-2x = 1
x = -1 #


6. 4 = 5

-20 = -20
16 - 36 = 25 - 45
42 - 9x4 = 52 - 9x5
42 - 9x4 + 81/4 = 52 - 9x5 + 81/4
(4 - 9/2)2 = (5 - 9/2)2
4 - 9/2 = 5 - 9/2
4 = 5 #

อันนี้น่ารักมาก

7. i มีค่าติดลบ

เรารู้ว่า: (0.5 + i(3/4)0.5)3 = -13 (ใครไม่เชื่อก็ลองคิดดูนะ)
จากนั้นยกกำลัง 1/3 ทั้งสองข้างได้

0.5 + i(3/4)0.5 = -1
i = -1/30.5 < 0 #


8. ทุกจำนวนมีค่าเท่ากัน (กรณีทั่วไปของข้อ 6.)

เลือกจำนวน a กับ b ใด ๆ และกำหนดให้ t = a + b

a + b = t
(a + b)(a - b) = t(a - b)
a2 - b2 = ta - tb
a2 - ta = b2 - tb
a2 - ta + t2/4 = b2 - tb + t2/4
(a - t/2)2 = (b - t/2)2
a - t/2 = b - t/2
a = b #

9. log(-1) = 0

log(-1)2 = 2log(-1) ... A
log(-1)2 = log(1) = 0 ... B

A = B
2log(-1) = 0
log(-1) = 0 #


10. 1 = 0 = -1/2

จากอนุกรม 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...

A: (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0
B: 1 - (1-1) + (1-1) + (1-1) + ... = 1 - 0 + 0 + 0 + ... = 1

C: กำหนดให้ S = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 ...
ดังนั้น -S = -1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ...
S - (-S) = 2S = -1
S = -1/2

A = B = C
0 = 1 = -1/2 #

11. e = 1

e = e1 = e2¶i/2¶i = (e2¶i)1/2¶i = 11/2¶i = 1 #

ทบทวน eix = cos(x) + isin(x)


12. e = 1 (คล้าย ๆ 11.)

ให้ 2e = f จากนั้นยกกำลัง 2¶i ทั้งสองข้าง
22¶ie2¶i = f2¶i

เรารู้ว่า e2¶i = 1 ดังนั้น
22¶i = f2¶i
2 = f ทำให้ e = 1 #

13. 3 = 0

ให้ x เป็นคำตอบของสมการ x2 + x + 1 = 0 ดังนั้น x ไม่เท่ากับ 0
หมายความว่าเราย่อมสามารถนำ x หารทั้งสองข้างของสมการได้

x + 1 + 1/x = 0

เรารู้ว่า x + 1 = -x2

ดังนั้น -x2 + 1/x = 0 หรือ x2 = 1/x หรือ x3 = 1 ได้ x = 1 และนำไปแทนค่าในสมการตั้งต้นพบว่า 1 + 1 + 1 = 0 หรือ 3 = 0 #


14. แมวมีเก้าหาง

Theorem: a cat has nine tails.
Proofs: No cat has eight tails. A cat has one tail more than no cat.
Therefore, a cat has nine tails. #

ทฤษฎีบท: แมวมีเก้าหาง
พิสูจน์: (1) ไม่มีแมวมีแปดหาง (2) แมวหนึ่งตัวมีหางมากกว่าไม่มีแมวหนึ่งหาง
ฉะนั้น แมวหนึ่งตัวมีหางเก้าหาง #

15. สาว ๆ คือความชั่วร้าย

หากเรานิยามว่า: สาว ๆ = เวลา x เงิน
เรารู้ว่าเวลาเป็นเงินเป็นทอง: เวลา = เงิน

สาว ๆ = เงิน2

เงินนั้นเล่าคือรากเหง้าของความชั่วร้าย (money is the root of all evil)
เงิน = ความชั่วร้าย0.5

สาว ๆ = (ความชั่วร้าย0.5)2 = ความชั่วร้าย #


16. ใครว่าสาว ๆ คือความชั่วร้าย (คิดผิดคิดใหม่ซะ)

จาก 15. สาว ๆ = (ความชั่วร้าย0.5)2

เรารู้ว่าความชั่วร้ายมีค่าเป็นลบ (evil is negative) ดังนั้น

สาว ๆ = (i|ความชั่วร้าย|0.5)2 = i2|ความชั่วร้าย| = -|ความชั่วร้าย| #

17. เรียนหนังสือ = สอบตก

เรียน = ไม่ตก
ไม่เรียน = ตก
เรียน + ไม่เรียน = ไม่ตก + ตก
เรียน (1+ไม่) = ตก (1+ไม่)
เรียน = ตก #





 

Create Date : 26 มิถุนายน 2552    
Last Update : 26 มิถุนายน 2552 14:54:47 น.
Counter : 1583 Pageviews.  

มดของแลงตอนสร้างไฮเวย์

คริสโตเฟอร์ แลงตอน (Christopher Langton) ปล่อยมดตัวนึงบนกระดานหมากรุกอนันต์ พร้อมมอบบัญญัติ 3 ประการให้แก่มัน

1. หากเจ้ายืนอยู่บนช่องสีขาวจงเลี้ยวขวา (90 องศา)
2. หากเจ้ายืนอยู่บนช่องสีดำจงเลี้ยวซ้าย
3. ช่องที่เจ้าเพิ่งจากมาจะเปลี่ยนเป็นสีตรงข้าม (จากขาวเป็นดำ, จากดำเป็นขาว)

สมมติว่าคุณปล่อยมดตัวนี้บนกระดานสีขาวล้วนตัวอย่างรูปแบบสีบนกระดานหมากรุกจะเป็นดังรูป (ผมขโมยรูปมาจาก mathworld.wolfram.com)



ตัวอย่างรูปแบบสมมาตรที่เกิดขึ้นหลังจาก 368 ก้าว (รูปซ้าย) กับรูปแบบหลังจาก 10,647 ก้าวที่มดตัวนี้เริ่มสร้างไฮเวย์ (รูปขวา แท่งที่ยื่นทางขวามือ) ซึ่งถ้ามดมันสร้างไฮเวย์เมื่อไรมันจะไม่เดินมั่ว ๆ อีกต่อไป มันจะสร้างไฮเวย์นี้ไปจนสุดกระดาน



สิ่งที่น่าสนใจคือกฎพื้นฐานแค่ 3 ข้อทำให้เกิดพฤติกรรมที่ซับซ้อนแก่ระบบ และเป็นพฤติกรรมที่ยุ่งเหยิงทำนายไม่ได้ แต่แล้วเมื่อผ่านพ้นช่วงยุ่งเหยิงไปมันกลับมีรูปแบบที่แน่นอน รูปแบบซ้ำเดิมทุก ๆ 104 ก้าว คือการสร้างไฮเวย์ออกไปขอบกระดาน ไม่ว่าตำแหน่งเริ่มต้นของมดจะเป็นยังไง ไม่ว่าตำแหน่งเริ่มต้นของกระดานขาว-ดำจะสุ่มสีอย่างไร จากการทดลองที่มีมาแสดงให้เราเห็นว่าพฤติกรรมของมันเป็นเช่นนั้น ยังไม่มีบทพิสูจน์ แต่มีคำถามว่าจะมีตำแหน่งตั้งต้นไหนบ้างมั้ยที่จะทำให้มดตัวนี้ไม่สร้างไฮเวย์?




 

Create Date : 20 มิถุนายน 2552    
Last Update : 20 มิถุนายน 2552 23:59:35 น.
Counter : 1088 Pageviews.  

วงล้อของอริสโตเติ้ล

วงล้อของอริสโตเติ้ล (Aristotle's wheel) เป็นพาราด็อกซ์หนึ่งที่กล่าวถึงใน Mechanica ตำรากรีกโบราณเชื่อกันว่าเป็นผลงานของอริสโตเติ้ล พูดถึงวงล้อที่มีวงกลมสองวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน ถ้าวงล้อเริ่มต้นที่จุด A (ดูรูป) แล้วกลิ้งไปทางขวามือโดยไม่ไถลครบหนึ่งรอบพอดีมันจะไปถึงจุด B เราพูดได้ว่าระยะ AB คือเส้นรอบวงวงกลมวงใหญ่ใช่มั้ยครับ? มันเหมือนกับทุกจุดที่อยู่บนเส้น AB สัมผัสกับทุกจุดที่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมวงใหญ่แบบหนึ่งต่อหนึ่ง เพราะว่า ณ เวลา t ใด ๆ จะมีจุดเพียงจุดเดียวเท่ากันบนวงกลมที่สัมผัสกับ AB ข้ออ้างอันนี้ฟังขึ้น แต่พอมองดูวงกลมวงเล็กบ้าง ทันทีที่วงใหญ่ครบรอบ วงเล็กก็ครบรอบเช่นกัน (ไม่ขาด ไม่เกิน) อย่างนั้นทุกจุดบนวงกลมวงเล็กก็ต้องสัมผัสกับทุกจุดบน CD แบบหนึ่งต่อหนึ่งเหมือนกันนะสิ? ใช่ครับ และไม่มีข้อโต้แย้งใด ๆ ซะด้วย แต่เราเห็นได้ชัดว่าระยะ CD ซึ่งเท่ากับ AB ไม่เท่ากับความยาวรอบวงวงกลมวงเล็กแน่นอน ไม่อย่างนั้นจะเกิดเหตุการณ์ที่ว่าไม่ว่าคุณจะกลิ้งวงกลมเล็กใหญ่แค่ไหนก็ตามครบหนึ่งรอบมันจะวิ่งไปได้ไกลเท่ากันเสมอ ซึ่งเรารู้ว่าไม่ใช่! แล้วเกิดอะไรขึ้นล่ะเนี่ย ทั้ง ๆ ที่เราพูดได้ว่าแต่ละจุดบนเส้น CD จะจับคู่จุดบนเส้นรอบวงวงเล็กที่มาสัมผัสมันแบบไม่ซ้ำกันได้ (เรียกว่าจับคู่กันแบบ 1 ต่อ 1) แล้วระยะ CD = AB เป็นไปได้อย่างไร?



ปัญหาข้อนี้มีการให้เหตุผลผิดที่บอกว่าการที่วงกลมปั้มรอยล้อแบบ 1 ต่อ 1 ลงบนพื้นนี่นะ เมื่อมันกลิ้งครบ 1 รอบจะทำให้ความยาวรอบวงวงกลมเท่ากับความยาวรอยล้อที่ปั้มอยู่บนพื้น ในกรณีวงใหญ่กับ AB นั้นความยาวมันเท่ากันจริงครับ แต่เห็นได้ชัดว่าวงเล็กกับ CD ไม่เท่ากัน มูลเหตุมันเกิดมาจากจำนวนจุดบนเส้นรอบวง ๆ กลมทั้งสอง และจำนวนจุดที่อยู่บนส่วนของเส้นตรง AB และ CD มีอยู่นับอนันต์ เส้น 2 เส้นไม่จำเป็นต้องมีความยาวเท่ากันแต่มันจะมีจำนวนจุด (สมาชิกของเส้น) เท่ากัน (พูดว่าคาร์ดินัลลิตี้ของจุดบนเส้นเท่ากันเสมอ) ยกตัวอย่างง่าย ๆ นะ คุณรู้ว่าเส้นที่แทนด้วยช่วง [0,1] ยาว 1 หน่วย และ [0,2] ยาว 2 หน่วย เส้นที่สองยาวกว่าเส้นแรก แต่คุณบอกได้มั้ยครับว่าจำนวนจุดหรือจำนวนสมาชิกของเซ็ตของเส้นที่สองมากกว่าเส้นแรก เหมือนกับถามว่าจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0,2] มีมากกว่าจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง [0,1] หรือไม่? คำตอบคือไม่ ทั้งคู่นั้นนับไม่ได้เพราะคุณไม่สามารถจับมันจับคู่มันแบบ 1 ต่อ 1 กับเซตจำนวนนับ {1, 2, 3, ...} ได้ แล้วเรามีวิธีไหนที่จะทำความเข้าใจได้บ้างว่าจำนวนจุดที่อยู่บน [0,1] เท่ากับจำนวนจุดที่อยู่บน [0,2] ขออธิบายแบบเด็ก ๆ แบบนี้ครับ พิจารณารูป



เรามีเส้นตรง 2 เส้น เส้นล่างยาวกว่าเส้นบน 2 เท่า ให้เส้นบนคือ [0,1] เส้นล่างคือ [0,2] แต่ละเส้นเรามีหมุดปักอยู่บนมันโดยหมุดนี่จะปักลงบนจุดพอดี พูดง่าย ๆ ก็คือหมุดจะชี้จุด x ใด ๆ ที่เป็นสมาชิกของเส้นนั้น สมมติว่าหมุดแดง-ดำเริ่มต้นที่จุดสตาร์ทที่ปลายด้านซ้ายมือ และทั้งคู่จะวิ่งไปทางขวามือ ถ้าหมุดทั้งสองวิ่งด้วยอัตราเร็วเท่ากัน หมุดแดงจะเข้าเส้นชัยก่อน แต่ถ้าเรากำหนดว่าหมุดทั้ง 2 จะต้องถึงเส้นชัยพร้อมกัน เราก็สามารถคำนวณอัตราเร็วของหมุดแต่ละตัวได้ด้วยสูตรฟิสิกส์ s = vt แปลว่าหมุดดำจะต้องวิ่งเร็วกว่าหมุดแดง 2 เท่า สมมติเราคำนวณมาแล้วล่ะ ได้อัตราเร็วหมุดดำเท่ากับ 10 ฉะนั้นอัตราเร็วหมุดแดงก็เท่ากับ 5 และได้ความสัมพันธ์ระหว่างระยะทาง (ตำแหน่ง) กับเวลา sหมุดแดง = 5t, sหมุดดำ = 10t ถ้าเราตั้งสมมติฐานว่าเวลามีความต่อเนื่องกัน ณ เวลา t ใด ๆ หมุดแต่ละอันจะอยู่บนจุด ๆ หนึ่งซึ่งเป็นสมาชิกของเส้นที่มันเหยียบ และหมุดจะไม่เหยียบจุดใด ๆ ซ้ำ 2 ครั้ง ถ้าเวลามากขึ้นแม้เศษเสี้ยว หมุดก็ต้องเคลื่อนไปเหยียบจุดถัดไปเสมอ แสดงว่าเราใช้ t เป็นตัวกลางในการจับคู่จุดบนเส้นสั้นกับจุดบนเส้นยาวได้แล้วล่ะครับ คือจับคู่จุดที่เวลา t ใด ๆ ที่อยู่บนเส้นสั้นกับจุดที่เวลา t เดียวกันนั้นบนเส้นยาว เห็นได้ชัดว่าเราจับคู่จุดต่อจุดบนเส้นทั้งสองแบบหนึ่งต่อหนึ่งได้โดยที่เส้นทั้งสองไม่ต้องมีความยาวเท่ากัน (หัวใจของมันคืออนันต์กับสมมติฐานความต่อเนื่อง) อันที่จริงยิ่งเป็นรูปวงกลมเรายิ่งแสดงให้เห็นว่ามีการจับคู่จุดวงนอกกับวงในครบทุกจุดแบบหนึ่งต่อหนึ่งง่ายมากครับ คุณนึกถึงนาฬิกาที่มีเข็มเดียว แล้วเข็มเป็นเส้นและลากเข็มออกมาให้ยาวพาดทับวงกลมทั้ง 2 วงที่ซ้อนกัน เข็มเครื่องที่ครบ 1 รอบ มันจะทับทุก ๆ จุดของวงนอกและวงในไม่ซ้ำกันเลยแบบหนึ่งต่อหนึ่ง




 

Create Date : 19 มิถุนายน 2552    
Last Update : 8 เมษายน 2553 12:30:13 น.
Counter : 1272 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.