creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

Efron's dice

Bradley Efron เป็นนักสถิติจากสแตนฟอร์ดคิดลูกเต๋าชุดหนึ่งซึ่งมี 4 ลูก หน้าตาแบบนี้ครับ



สมมติว่าคุณกับผมเล่นทอยเต๋ากัน กติกาง่าย ๆ คุณเลือกลูกเต๋าหนึ่งลูก ผมเลือกหนึ่งลูก จากนั้นทอยเต๋าใครเต๋ามัน ใครได้แต้มเยอะกว่าคนนั้นชนะ ถ้าคุณเป็นคนเลือกเต๋าก่อน คุณว่าแฟร์มั้ยครับ?

โอเค เราลองมาพิจารณากันทีละคู่ไล่เรียงจากซ้ายไปขวา ระหว่างลูกเต๋า 4-0 (A) กับลูกเต๋า 3 (B) คู่นี้ใครมีโอกาสชนะมากกว่ากันครับ? ไม่ยาก ถ้า P(A>B) แทนโอกาสที่เต๋าลูกแลกออกแต้มมากกว่าเต๋าลูกที่สอง P(A>B) = 4/6 = 2/3 เนื่องจากมันไม่มีโอกาสเท่ากัน ดังนั้น P(B>A) = 1/3 ฉะนั้นถ้ามีให้เลือกแค่สองอันนี้ ก็ต้องตบตีกันเพื่อแย่ง A ใช่มั้ยครับ

ดูคู่ต่อมา เปรียบเทียบ B กับเต๋า 2-6 (C) เราก็จะพบว่า P(B>C) = 2/3 ทีนี้สมมติว่าคุณช่างสังเกต บอกว่า เอ... P(A>B) มากกว่าครึ่ง และ P(B>C) ก็มากกว่าครึ่ง งั้นถ้ามีให้เลือกระหว่าง A กับ C เราก็ควรจะเลือก A รึเปล่า? ตรงนี้สรุปไม่ได้นะครับ คุณจะมาคิดเหมือนจำนวนจริงว่าถ้า x>y และ y>z แล้ว x>z นั้นไม่ได้ อันที่จริง P(A>C) = P(A=4)P(C=2) = (2/3)(2/3) = 4/9 น้อยกว่าครึ่งครับ ทำนองเดียวกัน เปรียบเทียบ C กับลูกเต๋า 1-5 (D) เราก็จะพบว่า P(C>D) = (1)(1/2) + (2/6)(1/2) = 2/3 และ P(D>A) = (1)(1/2) + (1/2)(2/6) = 2/3

สรุป P(A>B) = P(B>C) = P(C>D) = P(D>A) = 2/3 ลูกเต๋าแต่ละลูกจะมีคู่กำราบของมันซึ่งคุณจะใช้คุณสมบัติแบบ transitive ไม่ได้ กล่าวคือมีโอกาสสูงที่ A>B และ B>C และ C>D ดังนั้นมีโอกาสสูงที่ A>C และ A>D สรุปแบบนี้หายนะทันที กรณี P(A>C) = 4/9 แสดงให้ดูในย่อหน้าที่แล้ว แล้ว P(A>D) ล่ะ? ก็คิดง่าย ๆ จาก P(A=D) = 0 ก็ได้ครับ ทำให้เรารู้ว่า P(A>D) = 1 - P(D>A) = 1 - 2/3 = 1/3

สรุป เกมนี้ไม่แฟร์ ถ้าคุณเลือก A หรือ B หรือ C หรือ D ผมก็จะเลือก D หรือ A หรือ B หรือ C ตามลำดับเพื่อเอาโอกาสชนะที่มากกว่าคุณอีกเท่าตัว




 

Create Date : 26 ตุลาคม 2552    
Last Update : 26 ตุลาคม 2552 12:07:36 น.
Counter : 1357 Pageviews.  

Pepsi กับ Coke

เพื่อนของผมชอบดื่ม Coke เขาบอกว่า Coke หวานน้อยกว่า Pepsi จริงหรือเปล่าผมเองก็ไม่รู้นะ (แม้ต่อมาเจ้าเพื่อนคนนี้จะพลิกผันไปเป็นพรีเซ็นเตอร์ให้กับเป็ปซี่ก็ตาม) เวลาเราออกไปกินข้าวนอกบ้านด้วยกัน เขาจะสั่ง Coke ถ้าร้านบอกว่าไม่มี Coke เปลี่ยนเป็น Pepsi แทนได้มั้ย? เขาจะตอบว่าไม่ได้ รสมันไม่เหมือนกัน ผมก็ถามว่าถ้าพนักงานรินใส่แก้วมาเลย โดยไม่บอกว่าไอ้ที่อยู่ในแก้วนั่นคือ Pepsi มันจะรู้มั้ยว่าแก้วนี้เป็น Coke หรือ Pepsi เพื่อนของผมอ้างว่ารู้ครับ ลิ้นของเขาสามารถแยกแยะได้

ผมไม่เชื่อ!

แบบนี้ต้องมีการท้าพิสูจน์กันหน่อย ด้วยความร่วมมือจากคุณเจ้เจ้าของร้าน ผมขอให้เจ้แกช่วยซื้อโค้ก แล้วรินใส่แก้ว n ใบ และรินเป็ปซี่ใส่แก้ว n ใบ เรียงต่อกันไปเป็นแถวยาวจำนวน 2n ใบ ซึ่งแก้วแต่ละใบเหมือนกันทุกประการ ยกเว้นเครื่องดื่มที่อยู่ข้างใน ผมขอให้เจ้สลับลำดับและจดเอาไว้ว่าแก้วไหนเป็นโค้ก แก้วไหนเป็นเป็ปซี่ จากนั้นให้เพื่อนของผมไล่ชิมทีละแก้วตั้งแต่แก้วที่ 1 จนถึงแก้วที่ 2n จากนั้นให้เขาแยกแก้วที่เป็นโค้กออกมา n แก้ว (เพื่อนทราบว่ามีแก้วโค้กเท่ากับเป็ปซี่)

สมมติว่าเพื่อนคนนี้ -สมมติอีกทีว่าชื่อมาริโอ้- ของผมสามารถแยกได้ระหว่างโค้กกับเป็ปซี่ด้วยความน่าจะเป็น p (เมื่อ p อยู่ในช่วง [0,1]) หมายความว่ามันเดาด้วยโอกาส 1-p (ที่ผมบอกว่าผมไม่เชื่อ นั่นก็เท่ากับว่าผมบอกว่า p = 0) และถือว่าการตัดสินว่าแก้วไหนโค้ก/เป็ปซี่ แต่ละแก้วเป็นอิสระจากกัน

คำถามคือ โอกาสที่ n แก้วที่มาริโอ้แยกออกมาแล้วบอกว่าเป็นโค้ก จะเป็นโค้กจริง ๆ k แก้ว (เมื่อ k มีค่าอยู่ในช่วง [0,n]) เท่ากับเท่าไร?

ในกรณีที่คุณชอบตัวเลข สมมติว่าผมทดลองที่โค้กและเป็ปซี่อย่างละ 50 แก้ว คุณคิดว่า p อย่างน้อยต้องมีค่าเท่าไหร (ประมาณแบบคร่าว ๆ ก็ได้ครับ) เขาถึงพอที่จะสามารถพิสูจน์ได้ว่าเขามีความสามารถเช่นนั้นจริง มิใช่แยกได้ด้วยการเดาล้วน ๆ ถ้าจำเป็น จะใช้คอมพิวเตอร์ช่วย plot กราฟก็ไม่ว่ากันครับ



ถ้าเราบอกว่า X1 กับ X2 เป็นตัวแปรสุ่มจำนวนแก้วของโค้กและเป็ปซี่ที่มาริโอ้แยกได้ถูกต้องตามลำดับ อันนี้น่าจะเห็นชัดว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ X1=x1 และ X2=x2 หาได้จาก

P(X1=x1,X2=x2) = [Cn,x1px1(1-p)n-x1][Cn,x2px2(1-p)n-x2]

เมื่อ x1, x2 อยู่ในช่วง [0,k] ดังนั้นจะเหลือโค้ก n-x1 แก้ว และเป็ปซี่ n-x2 แก้วที่มาริโอ้ไม่สามารถแยกได้ พูดง่าย ๆ ว่ารวมแล้วมี 2n-x1-x2 แก้วที่มาริโอ้แยกไม่ออก จำนวนนี้คือจำนวนแก้วที่มาริโอ้ต้องเดาครับ เพื่อให้มาริโอ้สามารถเลือกโค้กจริง ๆ ได้ k แก้ว ดังนั้นในกลุ่ม 2n-x1-x2 แก้วที่มาริโอ้ต้องเลือกแบบสุ่มออกมา n-x1 แก้วแล้วบอกว่าเป็นโค้ก จะต้องเป็นโค้ก k-x1 แก้ว ที่เหลืออีก n-k แก้วเป็นเป็ปซี่

มันก็คือความน่าจะเป็นแบบไฮเปอร์จีโอเมทริก ที่เราเลือกของ n-x1 ชิ้นจากของ 2n-x1-x2 ชิ้น ที่สามารถแบ่งออกได้เป็นสองกลุ่ม กลุ่มแรกคือโค้ก มี n-x1 ชิ้น เราต้องเลือกออกมา k-x1 ชิ้น กลุ่มที่สองคือเป็ปซี่ มี n-x2 ชิ้น เราต้องเลือกออกมา n-k ชิ้น



ค่า x1 และ x2 เป็นไปได้ตั้งแต่ 0 ถึง k ดังนั้น Pn(k,p) ความน่าจะเป็นที่ n แก้วที่มาริโอ้แยกออกมาแล้วบอกว่าเป็นโค้ก จะเป็นโค้กจริง ๆ k แก้ว เมื่อมาริโอ้สามารถแยกโค้กกับเป็ปซี่ได้ด้วยความน่าจะเป็น p เท่ากับ



สังเกตความหมายของรูปประโยคคณิตศาสตร์อันนี้ดี ๆ นะครับ ถ้า p = 0 นั่นคือ x1 = x2 = 0 มาริโอ้เดาล้วน ๆ ทำให้ความน่าจะเป็นของมันแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมทริกธรรมดา ๆ นี่เอง พจน์ p0+0 = 12n = Cn,0 = 1

กราฟด้านล่างแสดง P50(k,p) ที่ k ตั้งแต่ 0 ถึง 50 และ p = 0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 รูปกราฟจากซ้ายไปขวาตามลำดับ ระฆังคว่ำรูปซ้ายมือสุด จะมียอดที่ k = 25 ดูแล้ว make sense ใช่มั้ยครับ เพราะ p = 0 มาริโอ้เดาล้วน ความน่าจะเป็นสูง ๆ ก็ต้องมากองที่บริเวณครึ่งหนึ่งของ 50 ถ้า k ของมาริโอ้เท่ากับ 35 นี่แปลว่าโอกาสเดาล้วนน้อยมาก ๆ แทบเป็นไปไม่ได้ และที่ 35 มันเป็นยอดของ p = 0.4 หากมาริโอ้ไม่อยากให้ใครกังขาในความสามารถแยกโค้กกับเป็ปซี่ เขาก็ต้องมีความสามารถนี้ที่ p > 0.4 ก็ฟังดู make sense อีกแล้วใช่มั้ยละครับ



คุณอยากรู้มั้ยครับว่าวันนั้นมาริโอ้แยกโค้กออกมาถูกต้องทั้งหมดกี่แก้ว?




 

Create Date : 20 ตุลาคม 2552    
Last Update : 21 ตุลาคม 2552 16:10:53 น.
Counter : 1980 Pageviews.  

เหลือที่ผิดอีกเท่าไร?

สมมติว่า SuperFreakonomics หนังสือเล่มใหม่ของ Levitt กับ Dubner มีคนตรวจอ่านต้นฉบับเพื่อพิสูจน์อักษร 2 คน คือ Renbud กับ Ttivel

Renbud พบที่ผิด 20 แห่ง ส่วน Ttivel พบที่ผิด 15 แห่ง ซึ่งทั้ง 2 คนนี้เจอที่ผิดที่เป็นจุดเดียวกัน 10 แห่ง

คุณคิดว่ายังเหลือที่ผิดในหนังสือเล่มดังกล่าวอีกกี่แห่งที่หลุดพ้นสายตาของผู้พิสูจน์อักษรทั้งสองครับ?

ป.ล. ใครที่เป็นแฟน Freakonomics ตอนนี้ Levitt กับ Dubner ออกหนังสือเล่ม 2, SuperFreakonomics แล้วนะครับ ชวนทึ่งอีกเช่นเคย เริ่มต้นด้วย "เมาไม่ขับ" คำนวณว่าระหว่างเมาแล้วขับกับเมาแล้วเดินกลับ อันไหนมีโอกาส "ตาย" มากกว่ากัน? (ขออนุญาตแอบโฆษณาให้หนังสือเขาหน่อย :P)

โจทย์ข้อนี้ต้องสารภาพว่าครั้งหนึ่งเคยคิดว่าไม่น่าจะมีคำตอบ เพราะหากเราเขียนแผนภาพเวน-ออยเลอร์ หน้าตามันจะออกมาประมาณนี้



ถามหา "?" ซึ่งดูเหมือนจะมีค่าเป็นเท่าไรก็ได้ มันก็เป็นเท่าไรก็ได้จริง ๆ นั่นแหละครับ (แต่เป็นเท่าไรก็ได้ด้วยโอกาสไม่เท่ากัน) แต่พอคิดไปคิดมาเราสามารถหา "?" ที่เป็นค่า estimate ได้

สมมติว่า โอกาสที่ R และ T ตรวจเจอที่ผิดเป็นอิสระจากกันคือ pR และ pT ตามลำดับ กำหนดให้จำนวนจุดผิดทั้งหมดเท่ากับ n ถ้าทั้ง R และ T ต่างหาเจอจุดผิดด้วยจำนวนที่เป็นค่าเฉลี่ยคือ nR และ nT ดังนั้นค่าประมาณของ pR และ pT จะเท่ากับ nR/n และ nT/n ตามลำดับ และ nRT = npRpT เมื่อ nRT คือค่าประมาณ (หรือค่าโดยเฉลี่ย) ของจำนวนจุดผิดที่ถูกพบโดยทั้ง R และ T

ฉะนั้น nRT = nRnT/n หรือ n = nRnT/nRT = (20)(15)/(10) = 30 จึงยังเหลือจุดผิดอีก 5 แห่ง




 

Create Date : 20 ตุลาคม 2552    
Last Update : 20 ตุลาคม 2552 10:35:17 น.
Counter : 1008 Pageviews.  

การ์ดสะสม

ตอนผมเป็นเด็ก มีขนมถุงยี่ห้อหนึ่งใช้กลยุทธ์สะสมการ์ด (ตอนนี้ยังมีอยู่หรือเปล่าไม่รู้นะครับ เลิกอุดหนุนขนมกรุบกรอบบรรจุถุงมานาน) ในถุงขนมแต่ละถุงจะมีการ์ดหนึ่งใบ บริษัทอาจจะผลิตการ์ดมาสัก n แบบ แล้วกระจายใส่ถุงขนม เราซึ่งเป็นเด็ก ๆ บางทีก็ไม่ได้อยากกินขนมอะไรมากนักหรอกครับ แค่อยากได้การ์ดครบทุกแบบ ก็ต้องไปหาซื้อขนมเพื่อสะสมการ์ดให้ครบ จุดประสงค์หลักก็หนีไม่พ้นเอาไปอวดเพื่อน ๆ ในห้องเรียน บางทีเราก็ได้การ์ดใบเดิมซ้ำ ๆ แต่เพื่อนคนนั้นคนโน้นอาจจะไม่ได้ ขณะที่เขาเองก็มีการ์ดใบที่เราไม่มี แบบนี้ตอนเช้าก่อนเคารพธงชาติ สภาพในห้องเรียนกลับกลายเป็นตลาดขนาดย่อมสำหรับแลกเปลี่ยนการ์ด รู้มั้ยครับว่ามันมีปัญหา combinatoric คลาสสิกข้อหนึ่งที่ใช้เหตุการณ์ดังกล่าวตั้งคำถามว่า คุณจะต้องซื้อขนมทั้งหมดกี่ถุงโดยเฉลี่ยจึงจะสะสมการ์ดได้ครบทั้ง n แบบ

ในการคิดปัญหาข้อนี้ก่อนอื่นเราอาจต้องสร้างโมเดลที่เข้าใจได้ง่ายกว่าการ์ดในถุงขนม ลองดูโมเดลนี้ครับ สมมติว่ามีลูกปิงปอง n ลูก n สี สีละลูกอยู่ในกล้องปิดทึบ คุณล้วงมือเข้าไปหยิบลูกปิงปองอย่างสุ่มขึ้นมาทีละลูก แล้วจดสีลูกปิงปองที่คุณหยิบได้ จากนั้นใส่ลูกปิงปองคืนกลับลงไปในกล่อง แล้วล้วงครั้งที่ 2 ทำแบบนี้ไปเรื่อย ๆ จนกว่าคุณจะจดได้ครบทั้ง n สี จำนวนครั้งที่คุณล้วงหยิบลูกปิงปองโดยเฉลี่ยจนกระทั่งได้ครบทุกสีเท่ากับกี่ครั้งจะเทียบได้กับปัญหาการ์ดในถุงขนมใช่มั้ยครับ?



อันที่จริงก็ไม่ใช่นะ ไม่ถูกเสียทีเดียว โมเดลที่ผมยกตัวอย่างมานี้ไม่อาจเทียบเท่ากับปัญหาการ์ดในถุงขนมได้เป๊ะ ๆ ครับ ทำไม? สมมติเราตัดประเด็นว่าบริษัทเล่นไม่แฟร์ผลิตการ์ดแบบหนึ่งน้อยกว่าปกติ การ์ดรูปอื่นผลิต 10,000 ใบ แต่การ์ดรูปหัวใจผลิต 10 ใบ ทำให้การ์ดรูปหัวใจมีค่ามากกว่าการ์ดรูปอื่นเพราะเป็นของหายาก โอกาสที่คุณจะสะสมได้ครบทีนี้ดันไปขึ้นอยู่กับโอกาสได้การ์ดรูปหัวใจ ยังมีประเด็นอื่นอีก เมื่อมีคนซื้อขนม จะทำให้ความน่าจะเป็นที่จะได้การ์ดแต่ละใบไม่คงที่ เปลี่ยนแปลงตามโอกาสของคนอื่น ๆ ที่ซื้อขนม เพื่อขจัดปัญหาดังกล่าวเราจะสมมติว่าบริษัทมี demon machine เครื่องผลิตและบรรจุการ์ดที่สามารถรักษาให้โอกาสการได้การ์ดรูปใด ๆ เท่ากันและเท่าเดิมตลอดเวลา ภายใต้เงื่อนไข demon machine ของเรา โมเดลลูกปิงปองในกล่องกับปัญหาการ์ดในถุงขนมก็จะเทียบเท่ากันพอดี

สมมติว่าคุณสะสมสีของลูกปิงปองได้แล้ว k สี ในการหยิบลูกปิงปองครั้งต่อไปโอกาสที่คุณจะได้สีใหม่เท่ากับ 1 - k/n ดังนั้นโอกาสที่คุณจะหยิบครั้งต่อไปได้ลูกปิงปองสีใหม่ในการหยิบครั้งที่ s เท่ากับ (k/n)s-1(1 - k/n) เราสามารถคำนวณค่าคาดหมายของจำนวนครั้งที่หยิบเพื่อให้ได้สีใหม่จาก



ดังนั้นจำนวนครั้งที่หยิบโดยเฉลี่ย (ค่าคาดหมาย) ที่เราจะหยิบลูกปิงปองได้ครบทั้ง n สี อย่างน้อยสีละหนึ่งครั้ง เท่ากับ



พจน์ในวงเล็บซ้ายมือสุดคือ Hn จำนวนฮาร์โมนิกอันดับที่ n ประมาณเท่ากับ ln(n) [คุณอาจประมาณมันโดยอินทิเกรต (1/x)dx ค่า x จาก 1 ถึง n] ดังนั้นค่าเฉลี่ยของจำนวนถุงขนมที่ต้องซื้อเพื่อให้ได้การ์ดครบทุกแบบเท่ากับ nHn




 

Create Date : 12 ตุลาคม 2552    
Last Update : 12 ตุลาคม 2552 14:13:36 น.
Counter : 1776 Pageviews.  

วิธีที่ Bekenstein ใช้คำนวณเอ็นโทรปี้ของหลุมดำ

ในหนังสือ The Black Hole War ของ Leonard Susskind เขียนเล่าแนวคิดการคำนวณเอ็นโทรปี้ของหลุมดำของ Bekenstein เอาไว้น่าสนใจครับ ผมว่ามันพอที่จะอ่านรู้เรื่องบ้าง งง ๆ บ้างตามประสา เดี๋ยวเขียนเล่าในตอนนี้นี่ถ้าใครเห็นว่าผมหลงทางก็สะกิดได้เลยครับ โปรเฟสเซอร์ Susskind บอกว่าตอนแรกที่ตั้งใจเขียนหนังสือเล่มนี้สำหรับคนทั่วไป มีคนแนะอย่าใส่สมการอื่นใดในหนังสือนอกจาก E = mc2 เพราะจะทำให้ยอดขายตกลง 1,000 เล่มต่อหนึ่งสมการ เป็นโจ๊กที่เว่อร์ซะไม่มี แต่แล้วแกก็ขัดขืน ถ้าไม่ใส่ (แนวคิด) สมการเรื่องการคำนวณเอ็นโทรปี้หลุมดำของ Bekenstein แกว่าแกคงเสียใจแย่



Bekenstein ไม่ได้ตั้งคำถามตรง ๆ ตอนที่อยากรู้เอ็นโทรปี้ของหลุมดำว่าหลุมดำอันนี้ซ่อน information ไว้เท่าไร แต่ถามว่าขนาดของหลุมดำจะเปลี่ยนไปเท่าไรถ้ามี information หนึ่งบิตตกลงไปในหลุมดำ เริ่มต้นแกจินตนาการแบบนี้ครับ: สมมติว่าคุณกำลังโคจรรอบปากหลุมดำพร้อมกระป๋องบรรจุแก๊สร้อน (มีเอ็นโทรปี้) อยู่ในมือ ถ้าคุณปาเจ้ากระป๋องใบนี้ลงไปในหลุมดำ เอ็นโทรปี้ก็จะหายเข้าไปภายในเส้นขอบฟ้าหลุมดำ ทำให้เอ็นโทรปี้ของเอกภพที่สังเกตได้ (observable universe) ลดลง ซึ่งมันจะไปแหกกฎข้อที่ 2 ของเทอร์โมไดนามิกส์ใช่มั้ยครับ นอกจากนี้คุณอาจารย์ของ Bekenstein เองยังบอกว่า "black holes have no hair" หรือ "หลุมดำไม่มีขน" อันนี้เป็นคำพูดกึ่งทะลึ่งกึ่งเจ๋งของ Wheeler แปลว่าเส้นขอบฟ้าหลุมดำโล้นเกลี้ยงเช้งวับ ดังนั้นมันไม่น่าจะซ่อน information อะไรเอาไว้ได้ แต่ Bekenstein เชื่อว่ากฎข้อที่ 2 เป็นรากที่หยั่งลึกในบรรดากฎทั้งหลายของฟิสิกส์เกินกว่าที่จะถูกทำลายได้ง่าย ๆ แบบนี้ นั่นทำให้เขาเสนอว่า 'หลุมดำเองก็ต้องมีเอ็นโทรปี้สิ' ดังนั้นตอนที่เรานับเอ็นโทรปี้ของทั้งเอกภพ เราก็ต้องนับรวมเอ็นโทรปี้ของหลุมดำด้วย ซึ่งต่อไปคุณจะพบว่ายิ่งหลุมดำมีขนาดใหญ่ เอ็นโทรปี้ก็ยิ่งมาก กฎข้อที่ 2 ของเทอร์โมไดนามิกส์ปลอดภัย

Bekenstein
Wheeler
Susskind

ประเด็นว่าหลุมดำไม่มีขน โล้นเกลี้ยง ตามตรรกะควรจะมีเอ็นโทรปี้เท่ากับศูนย์ แต่ Bekenstein เชื่อว่ามีเอ็นโทรปี้นั้น Susskind อธิบายเข้าใจได้ไม่ยากด้วยการยกตัวอย่างสมมติว่าคุณมีจุดสีดำกับจุดสีขาวอย่างละล้านจุด ถ้าคุณวางจุดลงบนกระดาษแบบผ่าครึ่งแนวตั้งแนวนอน แบ่งฝั่งขาว-ดำ รูปแบบการจัดเรียงมันจะมี 4 แบบ



ซึ่งเห็นและแยกแยะความแตกต่างได้ชัดเจน ก็หมายความว่ามีเอ็นโทรปี้น้อย (รูปแบบการจัดเรียงน้อย) แต่ถ้าคุณผสมจุดทั้งสองสีกระจายอย่างสุ่ม คุณจะได้สีเทาค่อนข้างสม่ำเสมอหรือถือว่าสม่ำเสมอได้ครับเพราะจุดแต่ละจุดมีขนาดเล็กมาก วิธีการจัดเรียงจุดดำ-ขาวเพื่อให้ได้เทาราบเรียบนี้มีมหาศาล ตัวอย่างนี้จึงบอกเราว่าเอ็นโทรปี้มากไม่ได้ขัดแย้งกับความโล้นเกลี้ยงครับ



คราวนี้ Bekenstein จะโยนอะไรลงไปในหลุมดำดี? เขาต้องการโยน information เข้าไปแค่ 1 บิต Bekenstein เลือกโยนโฟตอนครับ แต่โฟตอนเองหนึ่งตัวก็มี information มากกว่า 1 บิต เช่น ที่ที่มันอยู่หลังจากผ่านเส้นขอบฟ้าหลุมดำ ซึ่ง Bekenstein แก้ปัญหานี้โดยการใช้ไอเดียเรื่องความไม่นอนของไฮเซ่นแบร์ก เขาทำให้ตำแหน่งโฟตอนที่ผ่านเส้นขอบฟ้ามีความไม่แน่นอนมากที่สุดที่เป็นไปได้ นั่นทำให้โฟตอนที่ไม่แน่นอน (uncertain photon) มี information แค่บิตเดียว (คือ มันอยู่ในนั้น สักที่แหละภายในหลุมดำ) เนื่องด้วย Bekenstein ต้องการให้มัน fuzzy เท่าที่จะทำได้ เขาจึงเลือกโฟตอนที่ความยาวคลื่นเท่ากับรัศมีชวาร์ซชิลด์ (Schwarzschild radius, Rs) ของหลุมดำ ทำไมไม่เลือกยาวกว่านี้ล่ะ? เพราะเดี๋ยวโฟตอนมันจะเด้งออกมาจากหลุมดำนะสิ

ฉะนั้น Bekenstein เลือกโฟตอนที่มี λ = Rs ไอน์สไตน์บอกว่ามันจะมีพลังงานเท่ากับ

E = hf = hc/Rs

โฟตอนตัวนี้ไปเพิ่มพลังงานให้หลุมดำเท่ากับ hc/Rs ทำให้มวลของหลุมดำเปลี่ยนไป (เพิ่มขึ้น) เท่ากับ

ΔM = E/c2 = h/Rsc

ลองแทนค่าว่า information หนึ่งบิตจะเพิ่มมวลให้กับหลุมดำที่มีมวลเท่ากับดวงอาทิตย์สักเท่าไร โดยการแทน

ค่าคงที่ของ Planck, h6.6 x 10-34
รัศมีชวาร์ซชิลด์ของหลุมดำ, Rs= 2MG/c23,000 เมตร
อัตราเร็วแสง, c3 x 108
ค่าคงที่ของนิวตัน, G6.7 x 10-11

พบว่า ΔM = 10-45 กิโลกรัม น้อยมาก ๆ และนำไปคำนวณหารัศมีชวาร์ซชิลด์ที่เพิ่มขึ้นจาก

ΔRs = 2hG/Rsc3

สำหรับหลุมดำที่มีมวลเท่ากับมวลดวงอาทิตย์ของเราจะมี Rs = 3 กิโลเมตร เมื่อแทนค่าตัวเลขจะพบว่า ΔRs เท่ากับ 10-72 เมตร น้อยยิ่งกว่าน้อย แถมน้อยกว่าความยาวพลังค์เสียอีก (10-35) ขั้นตอนสุดท้าย เอา ΔRs ที่เพิ่มขึ้นไปคำนวณพื้นที่ผิวหลุมดำที่เพิ่มขึ้น ซึ่งพื้นที่ผิวทรงกลมเราหาได้จากสูตร 4πr2 ฉะนั้นพื้นที่ขอบฟ้าหลุมดำคือ

Ahorizon = 4πRs2

พบว่าพื้นที่ขอบฟ้าหลุมดำเพิ่มขึ้นประมาณ 10-70 ตารางเมตร ความอะเมซิ่งอยู่ตรงนี้ครับ เพราะเจ้าพื้นที่ที่เพิ่มขึ้นนี้เท่ากับพื้นที่พลังค์พอดี (one square Planck unit) บังเอิญรึเปล่า? หลังจากที่ลองแทนหลุมดำที่มีมวลขนาดอื่น ๆ เช่นมวลเท่ากับมวลของโลก (หลุมดำจะมีขนาดเท่ากับผลแครนเบอร์รี่) คุณก็จะพบว่า information หนึ่งบิต เพิ่มพื้นที่ขอบฟ้า 1 ตารางหน่วยพลังค์ และทำให้ได้กฎออกมาข้อหนึ่งว่า

การเพิ่ม information หนึ่งบิตให้กับหลุมดำ จะทำให้พื้นที่ขอบฟ้าของหลุมดำใด ๆ เพิ่มขึ้นหนึ่งตารางหน่วยพลังค์

จากกฎอันนี้เรามาลองนึกภาพการสร้างหลุมดำแบบบิตต่อบิต นึกภาพใส่ไป 1 บิต ได้พื้นที่ออกมา 1 ตารางพลังค์ยูนิต (เอาออก 1 บิต พื้นที่ก็หายไป 1 ตารางยูนิต) พอเราสร้างหลุมดำเสร็จ ก็เท่ากับว่า information หนึ่งบิตที่ซ่อนอยู่ในหลุมดำเท่ากับพื้นที่เส้นขอบฟ้านั่นเอง

ปิดท้ายด้วยสโลแกน The entropy of a black hole, measured in bits, is proportional to the area of its horizon, measured in Planck units. (เอ็นโทรปี้ของหลุมดำในหน่วยบิตแปรผันตามพื้นที่ขอบฟ้าของหลุมดำในพลังค์ยูนิต)




 

Create Date : 08 ตุลาคม 2552    
Last Update : 8 ตุลาคม 2552 15:27:11 น.
Counter : 1365 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.