creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

กรณีที่เหลือดวลกันสองคน

ต่อจาก ดวลกันเถิดสามเรา ในการดวลกันสองคน เพื่อแสดงให้เห็นว่าผู้เปิดฉากยิงก่อนคือผู้ได้เปรียบ ลองมาดูกันสักหน่อยครับ สมมติว่า X ดวลกับ Y โดย X เป็นฝ่ายยิงก่อน (สาเหตุที่ไม่ใช้ A, B เหมือนตอนที่แล้ว เพราะ เราจะวิเคราะห์กรณีทั่วไป ที่ X อาจจะเป็น A หรือ B ก็ได้ ใครก็ได้ที่เป็นผู้ยิงก่อน) และ X มีโอกาสยิงโดนเท่ากับ p ในขณะที่ Y มีโอกาสยิงโดนเท่ากับ q



เราเขียนแผนผังได้ดังรูป



จากแผนผัง

          โอกาสตายของ Y = p + p[(1-q)(1-p)] + p[(1-q)(1-p)]2 + p[(1-q)(1-p)]3 + ...
          โอกาสตายของ X = q(1-p) + q(1-p)[(1-q)(1-p)] + q(1-p)[(1-q)(1-p)]2 + q(1-p)[(1-q)(1-p)]3 + ...

เป็นอนุกรมเรขาคณิตทั้งคู่ที่ r = [(1-q)(1-p)] ซึ่งเรารู้ว่า p และ q เป็นค่าบวกที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ 1 (จากดวลกันเถิดสามเรา เรายังบอกด้วยว่าไม่มีทางที่ p และ q จะเท่ากับ 0 ทั้งคู่) ฉะนั้น r < 1 หาโอกาสตายของ X และ Y ได้

          โอกาสตายของ X = q(1-p)/(1-(1-q)(1-p))
          โอกาสตายของ Y = p/(1-(1-q)(1-p))

ทีนี้ จากเหตุการณ์ดวลกันเถิดสามเรา สมมติว่าภายหลังเหลือเพียงสองคนคือ A และ B โดยที่ A ยึดกลยุทธ์ทำเสมือนไร้ตัวตนมาโดยตลอด และมันรอดมาได้ ฉะนั้น A จะเป็นฝ่ายยิงก่อน หรือ X คือ A และ p = 1/4, Y คือ B และ q = 1/2 เราคำนวณโอกาสตายของ A ได้เท่ากับ (3/8)/(1-3/8) = 3/5 และโอกาสตายของ B เท่ากับ (1/4)/(1-3/8) = 2/5 ไม่เลวร้ายใช่มั้ยครับ ฝีมือห่วยกว่าครึ่งหนึ่งแต่มีโอกาสตายเพียง 60% ลองเปรียบเทียบกับกรณีที่ A เป็นคนยิงทีหลังสิ ให้ X คือ B และ p = 1/2, Y คือ A และ q = 1/4 โอกาสตายของ A เท่ากับ (1/2)/(1-3/8) = 4/5 โอกาสตายของ B เท่ากับ (1/8)/(1-3/8) = 1/5 เห็นชัดว่าถ้า A ยิงทีหลังโอกาสตายจะสูงขึ้นอีก 20%

สมมติว่า A กับ B มีฝีมือเท่ากัน ความแม่นเท่ากัน แม้จะห่วยเหลือคณาคือเข้าเป้า 5% (ยิง 100 ครั้ง โดยเฉลี่ยแล้วเข้าเป้า 5 ครั้ง) p = q = 1/20 โอกาสตายของ X เท่ากับ (1-p)/(2-p) โอกาสตายของ Y เท่ากับ 1/(2-p) นี่ก็เห็นชัดอีกเช่นกันว่า 1-p < 1 (เมื่อ p เป็นจำนวนบวก) โอกาสตายของ X เท่ากับ 19/39 โอกาสตายของ Y เท่ากับ 20/39 อยากอ่อนทั้งคู่ก็ต้องสูสีกันแบบนี้แหละครับ แต่ไม่ว่าอย่างไร คนยิงก่อนก็ยังได้เปรียบอยู่ดี




 

Create Date : 24 เมษายน 2553    
Last Update : 24 เมษายน 2553 12:08:06 น.
Counter : 898 Pageviews.  

ดวลกันเถิดสามเรา

เห็นข่าวช่วงนี้แล้วห่อเหี่ยวใจเป็นพิเศษ ยิงกันเอย ปาระเบิดเอย ขว้างของใส่กันเอย ด่าทอกัน อะไรก็ไม่เด็ดเท่าห้ามฉายหนังในบ้านช้าน กลัวลูก ๆ ดูแล้วความรุนแรงจะติดหูติดตา อนาถ วันนี้อยากเล่านิทานคณิตศาสตร์สั้น ๆ ง่าย ๆ ครับ เปิดฉากด้วยอะไรดี เช้าวันหนึ่งอากาศแจ่มใส เกย์สามคนเบื่อจ้ำจี้แบบ threesome หันมาจับปืนเล่น truel (เหมือน duel แต่มี 3 คน) ทั้งสามคนมีทุนหนามหาศาลครับ ลูกปืนไม่จำกัด เพื่อความสะดวกเราจะสมมติชื่อเกย์ A, B และ C

ลองมาทำความรู้จักกับทั้งสามคนนี้กันสักนิด A นั้นทำตัวลึกลับเป็นบุคคลปริศนา ผูกผ้าพันคอสีดำ (นาน ๆ ทีก็เอามาพันหน้าเป็นไอ้โม่ง) ไม่แน่ว่าอาจมีรูปอลิสเตอร์ โครว์ลีย์ พี้ยาอยู่บนหิ้งบูชาในบ้าน ส่วน B ชอบประดับอาภรณ์ด้วยสีแดงแรงฤทธิ์ เพราะบูชาไฟ ด้วยโคตรเหง้าสืบเชื้อสายมาจากชฏิลสามพี่น้อง แห่งตำบลอุรุเวลาเสนานิคม ดังที่ปรากฎในอาทิตตปริยายสูตรนั่นแหละครับ คนสุดท้าย C มีอากงอาม่าเป็นชาวจีน นับถือเทพธิดาฉางเอ๋อ เดิมทีเฉพาะ 15 ค่ำเดือน 8 วันแซยิดจึงแต่งชุดเหลือง (สีสัญลักษณ์แห่งดวงจันทร์) หลังจากมีหลายคนชมว่าหล่อนแต่งสีนี้ขึ้น จากนั้นมาไม่มีใครเห็น C นุ่งห่มสีอื่นอีกเลย

เกย์ทั้งสามมีความสามารถในการยิงปืนไม่เท่าเทียมกัน C ยิงแม่นไม่พลาดเป้าราวจับวาง (ผมเคยแอบได้ยินมาว่า ปู่ของปู่ทวดเขาชื่อลี้คิมฮวง) ความสามารถของ B น้อยกว่า C กึ่งหนึ่ง และความสามารถของ A ก็เป็นเพียงแค่ครึ่งของ B เมื่อเป็นเช่นนี้ ในการ truel (ดวลกันสามเรา) จึงตกลงกันให้ A มีสิทธิ์ยิงก่อน (เพราะมันห่วยสุด) จะเลือกยิงใครก็ได้ 1 นัด หลังจาก A ยิงแล้วจึงเป็นคิวของ B 1 นัด และหลังจาก B ก็เป็น C 1 นัด แล้ววนกลับไปเป็น A ใหม่อีกครั้งตามลำดับดังนี้หากว่ายังไม่มีใครตาย ทั้งสามยืน ณ ตำแหน่งจุดมุมของสามเหลี่ยมด้านเท่า ดังรูป



กลยุทธ์ที่ดีที่สุดของ A คือการเลือกยิงใครครับ? แดงหรือเหลือง? B หรือ C? (คิดสักนิดก่อนอ่านย่อหน้าถัดไป)

เพื่อให้ A มีโอกาสรอดสูงสุด กลยุทธ์อันยอดเยี่ยมคือ "ยิงปืนขึ้นฟ้า" หรือ "อย่ายิงใครสักคน" นั่นคือคำตอบครับ การพิสูจน์ทางคณิตศาสตร์ไม่มีอะไรยากเย็น (ไม่เกินฝีมือคุณ) เราลองมองแบบง่าย ๆ ถ้า A เลือกยิง B ทำให้ผลลัพธ์เกิดขึ้นได้ 2 กรณี ได้แก่ B ตาย (โอกาส 1/4) และ B รอด (โอกาส 3/4) กรณีที่ B รอด สิ่งที่ตามมาไม่แตกต่างจาก A ยิงขึ้นฟ้า แต่ถ้า B ตาย สิ่งที่ตามมาคือ A ตาย เพราะลี้น้อยไม่พลาดเป้า แล้วถ้า A เลือกยิง C ล่ะ ก็เหมือนกันครับ ถ้า C รอด สิ่งที่ตามมาไม่แตกต่างจาก A ยิงขึ้นฟ้า แต่ถ้า C ตาย B ก็จะยิง A และสลับกับ A ยิง B ซึ่ง B ได้เริ่มก่อน แถมเก่งกว่า A ตั้งเท่าตัว โอกาสรอดก็น้อยกว่า เมื่อเทียบกับเหตุการณ์ที่ A ได้เปิดฉากยิงก่อนหลังจากที่ B กับ C ฆ่ากันตายไปข้างหนึ่งแล้ว (ถ้ามันทั้งคู่เลือกที่จะฆ่ากันเองนะ) ฉะนั้นกลยุทธ์อันเลิศของ A คืออย่ายิงใคร และทำเสมือนไร้ตัวตน

นิทานเรื่องนี้ B กับ C ต้องคิดให้หนักนะครับ พวกคุณอาจคิดว่าไม่มี A และถึงมี A A ก็ไม่ยิง และถ้า A ยิง A ก็ยิงไม่โดน (หารู้ไม่ว่ามันแกล้ง) หากหมกมุ่นยิงกันเอง ย่อมเท่ากับเพิ่มโอกาสชนะให้เกย์ฝีมือกระจอกสาวกพ่อมดแห่งเกาะอังกฤษอย่าง A แถมอีกนิด สำหรับคุณ C หากตอนนี้ผ่านพ้นคิวของ A มาแล้ว อย่าคิดว่า B จะใช้โอกาสของตัวเองในการยิง A นะครับ B ไม่โง่ขนาดที่ไม่รู้ว่าหากตัวเองยิง A แล้วมันเสือกตาย นาย C จะยิงมัน B อาจตัดสินใจยิงหรือไม่ยิงไม่สำคัญ ที่สำคัญคือถ้าหาก A ยังมีชีวิตอยู่ และ B ตัดสินใจยิง แล้วละก็ B จะตัดสินใจยิงคุณ! ไม่เชื่อลองไปถามนักคณิตศาสตร์คนไหนก็ได้เอ๊า




 

Create Date : 24 เมษายน 2553    
Last Update : 24 เมษายน 2553 1:50:51 น.
Counter : 1034 Pageviews.  

การใช้ Feynman diagram แสดงภาพอันตรกิริยาระหว่างอนุภาคในแบบจำลองมาตรฐาน

สวัสดีครับ
          เมื่อไม่กี่วันก่อน ผมคลิกมั่วไปมั่วมาเจอเว็บสอนวิธีวาดและอ่าน Feynman diagram อย่างง่าย เห็นว่าอ่านแล้วพอเข้าใจตามได้ไม่ยาก ก็ลองเรียบเรียงบางส่วนออกมาเป็นภาษาไทยให้คนที่คลิกมั่วไปมั่วมาแล้วเจอเว็บนี้เข้าพอดีอ่าน ขอให้สนุกครับ สำหรับคนที่อยากเรียนรู้ฉบับเต็ม ดู

Using Feynman diagrams to illustrate particle interactions in the Standard Model

ในระดับเริ่มต้น แบบจำลองมาตรฐาน (The Standard Model) ของฟิสิกส์อนุภาคสามารถเข้าใจได้ในรูปขององค์ประกอบพื้นฐาน องค์ประกอบเหล่านี้ได้แก่ ควาร์ก เล็ปตอน และอันตรกิริยา ซึ่งลักษณะขององค์ประกอบทั้งสามได้แก่

     ควาร์ก:
          ● รวมกันเพื่อสร้างอนุภาคอื่น
          ● มี 6 ชนิด

     เล็ปตอน:
          ● ไม่มีการรวมกัน
          ● มี 6 ชนิดเหมือนกัน

     อนุภาคอันตรกิริยา:
          ● เป็นตัวพาข่าวสารระหว่างควาร์กและเล็ปตอน
          ● มี 3 ชนิด

ควาร์กและเล็ปตอนแต่ละตัวมีปฏิอนุภาคที่เป็นคู่ของมัน ปฏิอนุภาคของควาร์กและเล็ปตอนมีมวลเท่ากับคู่อนุภาคของมันแต่ประจุไฟฟ้าตรงกันข้าม แต่ประจุไฟฟ้าไม่ใช่ปัจจัยเดียวที่ใช้ระบุความมีตัวตนของปฏิอนุภาค อนุภาคที่ไม่มีประจุก็มีปฏิอนุภาคเช่นกัน

ตระกูลของควาร์ก

ควาร์กเป็นหนึ่งในสองตระกูลของอนุภาคสสาร เราถือว่าพวกมันเป็นอนุภาคที่เหมือนจุดและไม่มีโครงสร้างภายใน ควาร์กมี 6 ชนิด มีชื่อเรียก up, down, charm, strange, top และ bottom ซึ่งเราจับกลุ่มมันเป็นคู่ตามประจุและมวล แต่ละคู่เราเรียกว่า 'รุ่น' (generation)

หมายเหตุ: มวลที่แสดงในตารางเป็นค่าโดยประมาณ

ประจุในหน่วยของประจุอิเล็กตรอน
รุ่นที่หนึ่ง
รุ่นที่สอง
รุ่นที่สาม

+2/3

up
u
3 MeV
charm
c
1.3 GeV
top
t
175 GeV

-1/3

down
d
6 MeV
strange
s
125 MeV
bottom
b
4.1 GeV

ควาร์กเป็นเฟอร์มิออน (fermion) และตอบสนองต่ออันตรกิริยาแม่เหล็กไฟฟ้า อันตรกิริยาอ่อน และอันตรกิริยาเข้ม เหมือนกับเฟอร์มิออนอื่น ๆ ควาร์กมีสปินครึ่งจำนวนเต็ม ในกลศาสตร์ควอนตัมนั้นสปินเป็นตัวบัญญัติสมบัติโมเมนตัมเชิงมุมประจำตัว (intrinsic angular momentum) ควาร์กเชื่อฟังหลักการกีดกันของเพาลี (Pauli exclusive principle) ซึ่งห้ามมิให้เฟอร์มิออนที่เหมือนกันสองตัวใด ๆ ในประชากรที่กำหนดครอบครองสถานะควอนตัมเดียวกัน

ควาร์กมีประจุไฟฟ้าเป็นเศษส่วน ควาร์กแต่ละตัวมีคู่ปฏิอนุภาคของมัน มวลของสมาชิกตระกูลแอนติควาร์กเท่ากับมวลของสมาชิกคู่ตระกูลควาร์กของมัน แต่สมบัติอื่น ๆ ทั้งหมดตรงกันข้าม

ประจุในหน่วยของประจุอิเล็กตรอน
รุ่นที่หนึ่ง
รุ่นที่สอง
รุ่นที่สาม

-2/3

antiup
u
3 MeV
anticharm
c
1.3 GeV
antitop
t
175 GeV

+1/3

antidown
d
6 MeV
antistrange
s
125 MeV
antibottom
b
4.1 GeV


ตระกูลของเล็ปตอน

เล็ปตอนคือสมาชิกตัวใดก็ตามของคลาสเฟอร์มิออนที่ตอบสนองต่อแรงแม่เหล็กไฟฟ้า แรงชนิดอ่อน และแรงโน้มถ่วงเท่านั้น และไม่มีส่วนในอันตรกิริยาชนิดเข้ม เช่นเดียวกับเฟอร์มิออนทั้งหลาย เล็ปตอนมีสปินครึ่งจำนวนเต็ม เล็ปตอนเชื่อฟังหลักการกีดกันของเพาลี มันเป็นอนุภาคมูลฐาน กล่าวได้ว่าเราไม่พบว่าเล็ปตอนสร้างจากหน่วยสสารที่เล็กกว่าใด ๆ เลย

เล็ปตอนมีทั้งที่มีประจุไฟฟ้าหนึ่งหน่วยและเป็นกลางทางไฟฟ้า เล็ปตอนที่มีประจุได้แก่ อิเล็กตรอน, มิวออน และเทา ทั้งสามตัวนี้มีประจุเป็นลบและมวลแตกต่างกัน อิเล็กตรอนเป็นเล็ปตอนที่เบาที่สุด มีมวลแค่เพียง 0.0005 เท่าของมวลโปรตอน มิวออนหนักขึ้นมาหน่อย มีมวลมากกว่าอิเล็กตรอนมากกว่า 200 เท่า สุดท้ายเทามีมวลมากกว่าอิเล็กตรอน 3700 เท่า เล็ปตอนที่มีประจุแต่ละตัวมีคู่สร้างคู่สมที่เป็นกลางเรียกว่านิวตริโน (ได้แก่ อิเล็กตรอนนิวตริโน, มิวออนนิวตริโน และเทานิวตริโน) ซึ่งนิวตริโนไม่มีประจุ นอกจากนี้เล็ปตอนทั้งหมด (รวมนิวตริโนด้วยนะครับ) มีปฏิอนุภาคเรียกว่าแอนติเล็ปตอน มวลของแอนติเล็ปตอนเท่ากับมวลของเล็ปตอน แต่สมบัติอื่น ๆ ตรงกันข้าม

ตระกูลของเล็ปตอนมีสมาชิกดังตาราง

รุ่นที่หนึ่ง
รุ่นที่สอง
รุ่นที่สาม
อิเล็กตรอนนิวตริโน
νe
มิวออนนิวตริโน
νμ
เทานิวตริโน
ντ
อิเล็กตรอน
e-
มิวออน
μ-
เทา
τ-

เล็ปตอนแต่ละตัวมีคู่แอนติเล็ปตอน

รุ่นที่หนึ่ง
รุ่นที่สอง
รุ่นที่สาม
อิเล็กตรอน-แอนตินิวตริโน
ve
มิวออน-แอนตินิวตริโน
vμ
เทา-แอนตินิวตริโน
vτ
อิเล็กตรอน
e+
มิวออน
μ+
เทา
τ+


อันตรกิริยา

เราสนใจอันตรกิริยามูลฐานสามตัว ได้แก่

แม่เหล็กไฟฟ้า (เกี่ยวกับการแลกเปลี่ยนโฟตอนระหว่างอนุภาคมีประจุไฟฟ้า)
อันตรกิริยาอ่อน (เกี่ยวกับการแลกเปลี่ยนข่าวสารระหว่าควาร์กกับเล็ปตอน นักฟิสิกส์อธิบายการแลกเปลี่ยนในรูปแพ็คเกตของข้อมูล เรียกว่า อนุภาค W และ Z)
อันตรกิริยาเข้ม (เกี่ยวกับการแลกเปลี่ยนชนิดของประจุอย่างหนึ่งที่เราเรียกว่า 'ประจุสี' ระหว่างควาร์ก นักฟิสิกส์อนุภาคอธิบายการแลกเปลี่ยนโดยพูดว่ามีอนุภาคแลกเปลี่ยนสีที่เรียกว่า 'กลูออน' ส่งผ่านระหว่างควาร์ก)

โดยทั่วไปอันตรกิริยาเชื่อมโยงกับแรงมูลฐาน เช่น อันตรกิริยาแม่เหล็กไฟฟ้าเชื่อมกับแรงดึงดูดและแรงผลักเนื่องจากประจุไฟฟ้าที่เราคุ้นเคย อันตรกิริยาอ่อนและเข้มมักอธิบายในฐานะที่เกี่ยวข้องกับแรงนิวเคลียร์ชนิดอ่อนและเข้ม แต่มันไม่ได้ทำให้เกิดผลผลักหรือดึงดังที่เราพบเห็นในระดับมหภาค ดังนั้นจึงควรคิดในรูปของอันตรกิริยาจะดีกว่าคิดในรูปของแรง

แม้ว่าเราเขียนแรงแม่เหล็กไฟฟ้าแยกจากแรงชนิดอ่อน แต่ทั้งคู่เป็นสองด้านของแรงอิเล็กโตรวีค (electroweak) เดียวกัน ทั้งนี้เพราะการเขียนอันตรกิริยาแยกกันนั้นก็มีประโยชน์เหมือนกัน นักฟิสิกส์อนุภาคใช้ Feynman vertex เป็นเครื่องมือสร้างสัญลักษณ์อันตรกิริยาทั้งสามระหว่างควาร์กและเล็ปตอน

เผยโฉมสวนสัตว์อนุภาค (particle zoo)

ครึ่งหลังของศตวรรษที่ยี่สิบ นักฟิสิกส์อนุภาคลงแรงกายแรงปัญญามหาศาลในการสืบหาว่าอะไรจะเกิดขึ้นมาหากว่าอนุภาคชนกัน พวกเขาพบชนิดและสมบัติของอนุภาคมากมาย นอกเหนือจากโปรตอน นิวตรอน และอิเล็กตรอนที่เราคุ้นเคย พวกเขาพบอนุภาคประหลาดและตั้งชื่อให้กับพวกมันว่าแลมด้า เดลต้า โอเมก้า ฯลฯ การทดลองส่วนใหญ่ใช้บับเบิ้ลแชมเบอร์ (bubble chamber - ห้องฟอง) บับเบิ้ลแชมเบอร์ทั่วไปบรรจุของเหลวภายใต้ความดัน และความดันลดลงเล็กน้อยเมื่อถูกกระตุ้นด้วยการเดินทางผ่านของอนุภาค คล้าย ๆ กับการเปิดฝาขวดน้ำอัดลม อนุภาคที่มีประจุจะทิ้งร่องรอยไว้เบื้องหลังหลังจากที่มันเดินทางผ่านบับเบิ้ลแชมเบอร์ เราดูว่าร่องรอยของอนุภาคโค้งแบบไหนในสนามแม่เหล็ก และใช้กฎอนุรักษ์พลังงานและกฎอนุรักษ์โมเมนตัมแสดงให้เห็นอนุภาคของประจุและมวลต่าง ๆ กัน ตัวอย่างภาพถ่ายจากบับเบิ้ลแชมเบอร์และร่องรอยอนุภาค (particle tracks) แสดงดังรูป


เมื่อสวนสัตว์อนุภาคโตขึ้น ท้ายที่สุดนักฟิสิกส์อนุภาคพบว่าผลสังเกตการณ์ทั้งหมดสามารถอธิบายได้ด้วยควาร์ก แอนติควาร์ก และเล็ปตอน

การสร้างอนุภาคจากควาร์ก

อนุภาคที่สังเกตถ้าไม่ใช่เล็ปตอน ก็เป็นกลุ่มของควาร์กสามตัวหรือคู่ควาร์ก-แอนติควาร์ก กลุ่มของควาร์กสามตัวหรือคู่ควาร์ก-แอนติควาร์กเราเรียกว่าเฮดรอน เฮดรอนที่ประกอบด้วยควาร์กสามตัว (หรือแอนติควาร์กสามตัว) เรียกว่า แบริออน (baryon แปลว่า 'หนัก') เฮดรอนที่ประกอบด้วยคู่ควาร์ก-แอนติควาร์กเรียกว่า มีซอน (คำว่า meson นั้นเดิมทีหมายถึงมวลปานกลาง แต่จริง ๆ แล้ว มีมีซอนหลายตัวที่มวลมากกว่าแบริออนบางตัว) องค์ประกอบควาร์กของแบริออนและมีซอนแสดงด้านล่าง ซึ่งเห็นได้ว่าอนุภาคทุกชนิดสามารถสร้างจากควาร์กและแอนติควาร์กพื้นฐานของตระกูลควาร์ก ในบางกรณีเห็นว่าอนุภาคถูกมองว่าเป็นการรวมกันของคู่ควาร์ก วิธีการนำเสนอการรวมกันนี้สะท้อนการอธิบายเชิงคณิตศาสตร์ของอนุภาค

แบริออน (สปิน 1/2):

p = uud, n = udd, Λ = uds, Σ+ = uus, Σ+ = uus, Σ- = dds, Ξ0 = uss, Ξ- = dss, Λ+c = udc

แบริออน (สปิน 3/2):

Δ++ = uuu, Δ+ = uud, Δ0 = udd, Δ- = ddd, Σ*+ = uus, Σ*0 = uds, Σ*- = dds, Ξ*0 = uss, Ξ*- = dss, Ω- = sss

ซูโดสเกล่าร์มีซอน (สปิน 0):

π+ = ud, π- = du, π0 = (uu-dd)/√2
K+ = us, K- = su, K0 = ds, K0 = sd
η = (uu+dd-2ss)/6½, η' = (uu+dd+ss)/3½
D+ = cd, D- = ds, D+s = cs, D-s = sc, D0 = cu, D0 = uc
B+ = ub, B- = bu, K0 = db, B0 = bd
ηc = cc

เวกเตอร์มีซอน (สปิน 1):

ρ+ = ud, ρ- = du, ρ0 = (uu-dd)/√2
K*+ = us, K*- = su, K*0 = ds, K*0 = sd
ω = (uu+dd)/√2
ψ = ss, J/ψ = cc, T = bb

Feynman Vertices

อันตรกิริยาแต่ละตัวในสามตัวที่กล่าวมาสามารถอธิบายได้โดยใช้สัญลักษณ์ที่เรียกว่า Feynman vertex ในสายตาของนักฟิสิกส์อนุภาค แต่ละ Feynman vertex เป็นตัวแทนขององค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อนบางอย่างที่ใช้ในการคำนวณลักษณะอันหลากหลายของอันตรกิริยาอนุภาค อย่างไรก็ตามเราสามารถใช้ vertex ในแบบที่ไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์ได้เช่นด้วย ใช้มันแสดงวิธีที่ควาร์กกับเล็ปตอนมีปฏิสัมพันธ์กันและกัน มี vertex พื้นฐานสามแบบ แต่ละแบบสัมพันธ์กับอันตรกิริยามูลฐานแต่ละตัว กล่าวคือ มี vertex อันตรกิริยาแม่เหล็กไฟฟ้า, vertex อันตรกิริยาอ่อน และ vertex อันตรกิริยาเข้ม โครงสร้างพื้นฐานของ vertex แสดงดังรูป


ใน vertex พื้นฐานที่แสดงข้างบนนั้น สัญลักษณ์ตัวแพร่ของอันตรกิริยาวาดในแนวดิ่ง แต่ตอนวาดอันตรกิริยาโดยทั่วไปนิยมเอียงสัญลักษณ์ตัวแพร่เพื่อบ่งบอกว่ามันกำลังเคลื่อนที่เข้าหาหรือออกจากจุดที่เกิดอันตรกิริยา

Feynman vertices ทั่วไปเป็นแบบนี้


ประเด็นสำคัญที่ควรรู้เกี่ยวกับ Feynman vertex:

1. vertex เป็นแค่เพียงสัญลักษณ์เท่านั้น มันไม่ได้เป็นตัวแทนของร่องรอยอนุภาคในอวกาศ และไม่ใช่ space-time diagram
2. อ่านสัญลักษณ์จากซ้ายไปขวา ฝั่งซ้ายของสัญลักษณ์แสดงธรรมชาติของอนุภาคก่อนอันตรกิริยา และฝั่งขวาแสดงธรรมชาติของอนุภาคหลังอันตรกิริยา (คุณอาจเจอ Feynman diagram ที่แสดงเวลาไหลจากล่างขึ้นบนก็ได้นะครับ ทั้งนี้ทั้งนั้นอยู่ที่รสนิยม แต่โดยมากเรามันจะพบเห็นซ้าย-ขวามากกว่า)
3. เราใช้ลูกศรที่หันหัวไปข้างหน้าแทนอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปข้างหน้าในเวลา และใช้ลูกศรที่หันหัวกลับแทนปฏิอนุภาคที่เคลื่อนที่ไปข้างหน้าในเวลาเหมือนกัน บางคนพบว่าแบบนี้ใช้ยากสักหน่อยในตอนแรก แต่หลังจากทำความคุ้นเคยเล็กน้อย ก็จะเป็นไปโดยอัตโนมัติ คุณจะพบว่าสัญลักษณ์ดังกล่าวมีประโยชน์มากครับตอนที่คุณสร้าง Feynman diagram เพื่อแสดงอันตรกิริยา

แขนของแต่ละ vertex สามารถหมุนรอบจุด vertex เพื่อสร้างกลุ่มอันตรกิริยาที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ vertex สามารถแสดง ฉะนั้นจะมีสาม vertex ที่อนุภาคตัวหนึ่งเข้าและอนุภาคสองตัวออก และสาม vertex ที่มีอนุภาคสองตัวเข้าและอนุภาคตัวหนึ่งออก

ส่วนต่อไปนี้สำคัญครับ...และมันเป็นหัวใจที่ช่วยให้เข้าใจและช่วยในการตีความ diagram:

เมื่อหมุนแขนของ vertex ทิศของลูกศรยังคงเดิมเทียบกับจุดที่เกิดอันตรกิริยา สำหรับอนุภาคที่เข้า vertex ทิศของลูกศรจะชี้เข้าหาจุดที่เกิดอันตรกิริยา ถ้าแขนของ vertex ที่เป็นตัวแทนของอนุภาคนี้หมุน ทำให้มันเป็นตัวแทนของอนุภาคที่ออกจาก vertex ทิศของลูกศรก็ยังคงชี้เข้าหาจุดที่เกิดอันตรกิริยานะครับ เป็นการชี้ในทิศทางย้อนกลับ เท่ากับมันบอกเราว่าอนุภาคที่ออกจากปฏิกริยาดังกล่าวจะต้องเป็นปฏิอนุภาค ผลกระทบจากการหมุนแขนจะพูดถึงอีกทีในตอน vertex ของเล็ปตอนและควาร์ก

วิธีสร้าง Feynman diagram ของอันตรกิริยาอ่อนเล็ปตอนล้วน

vertex พื้นฐานของอันตรกิริยาอ่อนเล็ปตอนล้วนแสดงดังรูป


vertex นี้ใช้สำหรับอันตรกิริยาที่ยินยอมได้ทั้งหมดระหว่างเล็ปตอน ต้นแบบดังกล่าวเราแทนนิวตริโนและเล็ปตอน l ด้วยคู่นิวตริโน-เล็ปตอนที่ยินยอมได้ที่สอดคล้องกันดังนี้


ลองดูตัวอย่างอันตรกิริยาอ่อนระหว่างอิเล็กตรอนนิวตริโนกับอิเล็กตรอน เราเอาอิเล็กตรอนนิวตริโนแทนที่นิวตริโนในรูปแรกและแทนที่เล็ปตอน l ด้วยอิเล็กตรอน ได้ vertex ดังรูป


ดังที่เราเห็นในรูปบน W-โบซอนถูกเขียนให้ไม่มีประจุ เราต้องตัดสินใจว่าเป็นประจุชนิดใดหลังจากที่เราหมุนแขนของ vertex ทั้งนี้ทั้งนั้นขึ้นอยู่กับอันตรกิริยาที่เราต้องการ

สมมติว่าเราต้องการ vertex สำหรับอันตรกิริยาของอิเล็กตรอนนิวตริโนที่สร้างอิเล็กตรอนและ W-โบซอนเสมือน ให้หมุนแขนของลูกศรเล็กน้อย เนื่องจากประจุขาเข้าเท่ากับศูนย์ ฉะนั้น W-โบซอนจะต้องมีประจุบวกเพื่อชดเชยกับประจุของอิเล็กตรอน แสดงดังรูป


ต่อไปลองพิจารณาอันตรกิริยาของโพสิตรอนที่สร้างคู่แอนติอิเล็กตรอนนิวตริโนกับ W+ โบซอนเสมือน รูปด้านล่างแสดงกระบวนการหมุนแขนที่สอดคล้องกับอันตรกิริยา


เห็นว่าแขนหมุนผ่านเส้นประสีแดง ถ้าแขนหมุนผ่านเส้นประนี้ อนุภาคที่อยู่กับแขนนี้จะเปลี่ยนไปเป็นปฏิอนุภาค สังเกตแขนของแอนติอิเล็กตรอนนิวตริโนชี้เข้าหาศูนย์กลาง นี่เป็นวิธีที่ใช้เขียนปฏิอนุภาควิ่งออกจาก vertex

สำหรับคู่อันตรกิริยาแอนติเล็ปตอนที่ยินยอมได้แสดงดังรูป


เราสามารถเปลี่ยนรูป vertex พื้นฐานตอนต้นในหัวข้อนี้ได้ด้วยคู่อันตรกิริยาแอนติเล็ปตอน ตัวอย่างการสลายของ W+โบซอนที่ปลดปล่อยเบต้า+และอิเล็กตรอนนิวตริโนจากการหมุนแขนแสดงดังรูป (ผมว่ารูปนี้ผิดนิดนึงตรงลูกศรสีแดงที่ชี้ e+ สีดำไปยังสีเทา น่าจะกลับทิศกันมากกว่านะครับ) ซึ่งคุณจะเห็นว่าการหมุนแขนผ่านเส้นประสีแดง ทำให้อนุภาคกลายเป็นปฏิอนุภาคหรือปฏิอนุภาคกลายเป็นอนุภาค


Vertex ของอันตรกิริยาแม่เหล็กไฟฟ้า

vertex ทั้งหมดอ่านจากซ้ายไปขวา ซ้ายคือเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นก่อนขวา

vertex พื้นฐานของอันตรกิริยาแม่เหล็กไฟฟ้ามี 2 แบบ


ถ้าหมุนแขนของ vertex เราจะได้อันตรกิริยาต่าง ๆ ที่เป็นไปได้ อย่าลืมนะครับ เวลาไหลจากซ้ายไปขวา และลูกศรที่ย้อนทิศก็ยังหมายถึงอนุภาคเคลื่อนที่ไปข้างหน้าในเวลา


Vertex ของอันตรกิริยาอ่อน

มี vertex พื้นฐานที่เกี่ยวข้องกับอันตรกิริยาอ่อนจำนวนมาก ทั้งนี้เพราะทั้งเล็ปตอนและควาร์กต่างก็เป็นผู้มีส่วนร่วมในกระบวนการ ดังที่ได้พูดถึงในวิธีสร้าง Feynman diagram ของอันตรกิริยาอ่อนเล็ปตอนล้วน คือมีทั้ง vertex ของอนุภาคและปฏิอนุภาคสำหรับเล็ปตอนแต่ละรุ่น ดังนั้นก็จะมี vertex สำหรับควาร์กแต่ละรุ่น และสำหรับการเปลี่ยนควาร์กที่เกิดขึ้นในแนวทแยงระหว่างรุ่น โดย vertex พื้นฐานสรุปดังแผนผังด้านล่าง แต่ละ vertex มีการหมุนได้ 6 แบบทำนองเดียวกับ vertex ของแม่เหล็กไฟฟ้าในหัวข้อที่แล้ว




Vertex ของอันตรกิริยาเข้ม

ตอนที่เราเกี่ยวข้องกับประจุไฟฟ้า เราจำแนกว่ามีสองชนิด คือ ประจุบวก (+) และประจุลบ (-) และเราเรียนรู้ว่าประจุต่างกันดูดกัน ประจุเหมือนกันผลักกัน

นอกจากประจุไฟฟ้า ควาร์กยังมีประจุที่ไม่ใช่ประจุไฟฟ้า เรียกว่าประจุสี ประจุสีมีสามชนิด คือ สีแดง (r) สีเขียว (g) และสีฟ้า (b) กลุ่มของ r+g+b เป็นกลุ่มที่ดึงดูดกัน แต่คู่สีจะผลักกัน ไม่เท่านั้น แต่ละสียังมีปฏิสี (ปฏิควาร์กมีปฏิสี) มีปฏิแดง ปฏิเขียว ปฏิฟ้า คู่สีและปฏิสีดึงดูดกันในแบบเดียวกับ r+g+b ที่อยู่ด้วยกันและเป็นกลางทางสี ดังนั้น แดงและปฏิแดงดูดกันและกัน เขียวและปฏิเขียนดูดกัน ฟ้าและปฏิฟ้าดูดกัน แต่แดงกับปฏิฟ้า หรือ ฟ้ากับปฏิแดง ผลักกัน ฯลฯ

กฎการจัดกลุ่มสีเหล่านี้เองที่ทำให้ควาร์กอยู่เป็นกลุ่มสามตัว และกลุ่มคู่ควาร์ก-แอนติควาร์ก ในกลุ่มสามควาร์ก (เรียกว่าอนุภาคแบริออน) จะมีประจุแดง เขียว ฟ้า จับกลุ่มกัน ในคู่ควาร์ก-แอนติควาร์ก (เรียกว่าอนุภาคมีซอน) จะมีคู่ประจุสีและปฏิสีที่คู่กันจับกลุ่มกัน

เราสามารถพิจารณาว่ากลูออน (เป็นตัวพาสีและปฏิสี) ก็คือทางที่ประจุสีแลกเปลี่ยนกันระหว่างบรรดาควาร์กและบรรดาแอนติควาร์ก ทำนองเดียวกับ vertex ของแม่เหล็กไฟฟ้าและ vertex ของอันตรกิริยาอ่อน vertex ของอันตรกิริยาเข้มจะมีจำนวนแบบการหมุนแขนทั้งสามที่ตายตัว แต่ vertex ของควาร์กกลูออนนี้ยังสามารถแสดงทิศการไหลของสีเมื่อควาร์กมีปฏิสัมพันธ์กันได้ด้วย

Vertex ของควาร์กกลูออน:


หมุนแขนของ vertex แรกได้กลุ่มดังนี้



ตัวอย่างที่ 1

นิวตรอนสลายเป็นโปรตอน อิเล็กตรอน และแอนติอิเล็กตรอนนิวตริโน

n → p + e- + ve

นิวตรอนสลายเป็นโปรตอน อิเล็กตรอน และแอนตินิวตริโนโดยอันตรกิริยาอ่อน ซึ่งควาร์ก d ใน n กลายเป็น u (ทำให้ n กลายเป็น p) และสร้างอิเล็กตรอนกับแอนตินิวตริโนดังแผนผัง



ตัวอย่างที่ 2

มิวออนบวกสลายเป็นมิวออนแอนตินิวตริโน โพสิตรอน และอิเล็กตรอนนิวตริโน

μ+ → e+ + ve + vμ

μ+ ปล่อย W+ และกลายเป็น vμ ส่วน W+ สร้างคู่โพสิตรอนกับอิเล็กตรอนนิวตริโน



ตัวอย่างที่ 3

K0 สลายเป็นไพลบและไพบวกด้วยอันตรกิริยาอ่อน

K0 → π+ + π-

K0 ประกอบด้วย d กับ s ซึ่ง s สลายเป็น u (ทแยงข้ามรุ่นที่ติดกัน) ปล่อย W+ ที่สร้างคู่ u กับ d



ตัวอย่างที่ 4

แอนติโปรตอนมีปฏิสัมพันธ์กับโปรตอนได้นิวตรอนกับแอนตินิวตรอน

p + p → n + n

กรณีนี้มีการชนกันระหว่างโปรตอนกับแอนติโปรตอนแล้วสร้างนิวตรอนกับแอนตินิวตรอน ซึ่งเราพบว่าแอนติอั๊พควาร์กของแอนติโปรตอนหลอมรวมกับอั๊พควาร์กของโปรตอนปลดปล่อยกลูออน แอนติอั๊พควาร์กของแอนติโปรตอนปล่อยกลูออนซึ่งสร้างคู่ดาวควาร์กกับแอนติดาวควาร์ก




 

Create Date : 31 มีนาคม 2553    
Last Update : 10 เมษายน 2553 22:55:43 น.
Counter : 3037 Pageviews.  

ใครขโมยเงินค่าน้ำชา

เจอโจทย์เลขข้อหนึ่งน่าสนใจ และดูเหมือนยาก แต่ก็สามารถใช้ trick นิดหน่อยก็ปัญหาได้ โจทย์ผูกเป็นเรื่องแบบนี้ครับ คณะคณิตศาสตร์มีครู 6 คน Anaximenes, Bayes, Carnot, Dirac, Euler และ Fermat มีห้องพักดื่มชา 1 ห้อง (ทางเข้า/ออก ประตูเดียว) ครูคนไหนอยากดื่มชาก็จะแวะมาห้องนี้ บริการตัวเอง พร้อมหยอดเงินใส่กระปุก ครูทั้ง 6 คนชอบดื่มชามากครับ ทุกวันต้องแวะพักดื่มชา 1 ครั้ง (และแค่ 1 ครั้งเท่านั้น) โดยเข้าไปชงชา จ่ายตังค์ และนั่งพักผ่อน อย่างที่รู้กันว่าครูคณิตศาสตร์ไม่ชอบสุงสิงกับใคร ครูทั้ง 6 คนนี้ก็เช่นกัน แต่ครูสองคนใด ๆ ในห้องดื่มชา จะมีอย่างน้อย 1 คนที่เห็นอีกคนหนึ่งเสมอ เย็นวันศุกร์ที่ผ่านมาตอนคุณเลขาไปเก็บตังค์ในกระปุก พบว่าไม่เหลือเงินเลยสักบาทเดียว วันจันทร์จึงเค้นถามครูทั้ง 6 คน ได้ความดังนี้

Anaximenes บอกว่าเห็น Bayes กับ Euler อยู่ในห้องดื่มชา
Bayes บอกว่าเห็น Anaximenes กับ Fermat อยู่ในห้องดื่มชา
Carnot บอกว่าเห็น Dirac กับ Fermat อยู่ในห้องดื่มชา
Dirac บอกว่าเห็น Anaximenes กับ Fermat อยู่ในห้องดื่มชา
Euler บอกว่าเห็น Bayes กับ Carnot อยู่ในห้องดื่มชา
Fermat บอกว่าเห็น Carnot กับ Euler อยู่ในห้องดื่มชา

มีครูคนหนึ่งที่พูดโกหก คุณคิดว่าใครครับ?

ผมลองนำโจทย์ไปถามในห้องหว้ากอ พบว่าโจทย์ไม่เคลียร์ ตรงนี้เราจะมาเคลียร์กันก่อนครับ (1) ครูแต่ละคนเข้าห้องแค่ครั้งเดียว (2) มีคนโกหกแค่คนเดียว (3) คำว่า "เห็น" หมายถึงทั้งผู้เห็นและผู้ถูกเห็นต่างก็อยู่ในห้อง (ไม่ต้องคิดกรณีเห็นจากนอกห้องครับ) (4) พูดโกหก หมายถึง สิ่งที่พูดเป็นเท็จ และถือว่าสิ่งที่ไม่พูดเป็นจริงเสมอสำหรับทุก ๆ คน เช่น A พูดว่าเห็น B กับ E เท่ากับ A ไม่เห็น C, F และ D จริง ๆ ไม่ว่า A จะพูดจริงหรือเท็จ เพราะ A ไม่ได้พูดถึง C, F, D แต่เราจะสรุปว่า A พูดเท็จเมื่อ A ไม่เห็น B หรือ A ไม่เห็น E ครับ (5) ถ้าเราเลือกครู 2 คนที่อยู่ในห้องเวลาเดียวกัน จะมีอย่างน้อย 1 คนที่เห็นอีกคนหนึ่ง ตรงนี้พูดยากครับ คุณลองสมมติตัวเองเป็นพระเจ้าที่คอยสอดส่องห้องน้ำชา ณ เวลาใด ๆ ก็ตามที่คุณเห็นว่ามีครูในห้องตั้งแต่ 2 คนขึ้นไป คุณเลือกครูในห้องนั้นขึ้นมา 2 คน (2 คนไหนก็ได้ = สองคนใด ๆ) สมมติว่าครูสองคนที่คุณเลือกมาคือ P กับ Q เงื่อนไขที่โจทย์กำหนดคือ ถ้า P ไม่เห็น Q แล้ว Q ต้องเห็น P หรือไม่ทั้ง P และ Q ต่างก็เห็นกันและกัน ถ้าเคลียร์ 5 ข้อนี้แล้วก็ลุยได้เลยครับ หลังจากย่อหน้านี้เป็นเฉลย

Anaximenes of Miletus
(ประมาณ 500 ปีก่อนคริสตกาล)
Thomas Bayes
(1702-1761)
Lazare Carnot
(1753-1823)
Paul Dirac
(1902-1984)
Leonhard Euler
(1707-1783)
Pierre de Fermat
(1601-1665)


เริ่มต้นมากำหนดสัญลักษณ์กันก่อน ให้แต่ละวงกลมแทนคน ถ้า A มองเห็น B ผมจะเขียนลูกศรชี้จาก A ไปยัง B และถ้า A กับ B อยู่ด้วยกัน มันจะเกิดเหตุการณ์ได้ 3 แบบ คือ A มองเห็น B หรือ B มองเห็น A หรือ A-B มองเห็นกันและกัน แต่ไม่ว่า 3 แบบนั้นจะเป็นยังไง ผมจะทำให้มันง่ายด้วยการลบทิศของลูกศรทิ้งเหลือเฉพาะเส้นเชื่อมระหว่างวงกลม A กับวงกลม B นั่นคือถ้ามีเส้นเชื่อม 2 คนนี้จะต้องอยู่ในห้องดื่มชาด้วยกัน ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง


จากนั้นเขียนแผนผังตามคำให้การของคุณครูทั้ง 6 สิ่งที่โจทย์ถามหมายความว่าในเส้นที่เห็น จะมีอย่างน้อย 1 เส้น (หรืออาจจะ 2 เส้นก็ได้) ที่ไม่ควรมีอยู่จริง เราก็แค่หาว่าเส้นไหนที่ไม่ควรมีอยู่จริง เท่านี้จะสามารถบอกได้ทันทีว่าใครโกหก


ก่อนอื่นเราลองมาพัฒนา concept ที่อาจจะเป็นประโยชน์ได้สัก 2-3 ข้อ สมมติว่ามี 3 คนอยู่ในห้องพร้อมกัน ไม่ว่าใครจะเห็นใครก็ตาม กราฟสุดท้ายต้องออกมาเป็นสามเหลี่ยม (รูปล่างซ้าย) แต่ถ้ามี 4 คนอยู่ในห้องพร้อม ๆ กันกราฟจะต้องเป็นพิระมิดฐานสามเหลี่ยม (รูปล่างกลาง, ขวา) พูดง่าย ๆ ว่าถ้ามี n คนอยู่ในห้อง แต่ละวงกลมหรือแต่ละ node จะต้องมีเส้นเชื่อม n-1 เส้นไปยังอีก n-1 node ที่เหลือเสมอ เพราะมันถูกบังคับด้วยเงื่อนไขว่าสองคนใด ๆ ก็ตามต้องมีอย่างน้อยหนึ่งคนที่เห็นอีกคน

          

ถ้าย้อนกลับไปดูในรูปที่เราวาดจากโจทย์ และถ้าทุกคนที่พูดพูดความจริง เราจะพบว่า A-B-E อยู่พร้อมหน้ากัน 3 คน, B-E-F อยู่พร้อมหน้ากัน 3 คน, E-F-C อยู่พร้อมหน้ากัน 3 คน และ D-F-C อยู่พร้อมหน้ากัน 3 คน เหตุผลที่เรามั่นใจได้เช่นนั้นเพราะแต่ละกลุ่มจับกันเป็นสามเหลี่ยม กรณีคนสามคนที่มีสองคนมองเห็นคนเดียวกันแต่ไม่อยู่พร้อมหน้ากันทั้ง 3 คน กราฟจะไม่เป็นสามเหลี่ยม เราจะได้กราฟเส้นตรง เช่น X เห็น Y และ Z เห็น Y แต่ X ไม่เห็น Z ดังรูป รูปซ้ายมือผมเขียนให้แกนนอนคือเวลา (time) นะครับ ก้อนสีชมพูทั้งสองก้อนไม่มีเวลาซ้อนทับกัน เห็นว่าถ้ามัน form เป็นสามเหลี่ยม ก้อนสีชมพูต้องมีช่วงซ้อนทับกัน


มองย้อนกลับที่รูปโจทย์อีกที เราเห็นสี่เหลี่ยม ABFD แต่ไม่มีเส้น AF กับ BD ใช่มั้ยครับ หมายความว่ามันไม่ใช่กรณีที่มี 4 คนอยู่พร้อมหน้ากัน (เพราะถ้าพร้อมหน้ากันต้องเป็นพีระมิดฐานสามเหลี่ยมตามที่ได้พูดไปแล้ว) คุณคิดว่าเป็นไปได้มั้ยที่จะเกิดรูปกราฟสี่เหลี่ยมที่มุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมไม่ได้เชื่อมกัน พิจารณารูปด้านล่างครับ สมมติมองเส้นตรง ABF ที่ A กับ F ไม่อยู่ด้วยกัน เราจะได้ timing เหมือน XYZ ทีนี้พอเพิ่ม D ซึ่งอ้างว่าเห็นทั้ง A และ F แต่ไม่เห็น B แปลว่า timing ของ D ต้องเป็นบริเวณสีฟ้าทั้งสองช่วง (ไม่ใช่ช่วงใดช่วงหนึ่งนะครับ) นั่นทำให้ D ต้องเข้าแล้วออกจากห้องดื่มชามากกว่าหนึ่งครั้ง กรณีนี้เราเริ่มจากเส้นตรง ABF ทำให้เห็นว่า D เกิดปัญหา ถ้าเริ่มจากเส้นอื่น เช่น BFD เราก็จะเห็นว่า A มีปัญหา ฯลฯ นั่นคือจากเงื่อนไขของโจทย์เป็นไปไม่ได้ที่เราจะเห็นวงปิดสี่เหลี่ยมที่มุมตรงข้ามไม่เชื่อมกัน


ทำนองเดียวกัน รูป 5 เหลี่ยมธรรมดา ๆ ที่มุมไม่เชื่อมกันเลย (ยกเว้นมุมที่อยู่ติดกัน) ก็เกิดขึ้นไม่ได้ครับ


ทีนี้คำตอบก็หลุดออกมาง่าย ๆ ล่ะ จากรูปโจทย์ ในกลุ่ม ABDF ต้องมีใครคนใดคนหนึ่งโกหก เพราะมันสร้างสี่เหลี่ยม ซึ่งเป็นไปไม่ได้ แปลว่าเราต้องลบออก 1 (หรือ 2) เส้น เพื่อสร้างรูปที่เป็นไปได้จาก 4 เส้นนี้ โดยที่เส้น AB ลบไม่ได้ เห็นด้วยมั้ยครับ ถ้าลบเส้นนี้ออกแปลว่ามีคนพูดโกหก 2 คน ก็เหลือเส้น BF, DF และ AD ถ้าเราลองลบเส้น DF มันจะกลายเป็นวงห้าเหลี่ยม ABFCD ซึ่งก็เป็นไปไม่ได้อีก ถ้าลบ BF กลายเป็นวง ABEFD ถึงแม้ AE จะเชื่อมกัน แต่ก็ไม่พอที่จะจัด timing ไม่ให้มีใครคนใดคนหนึ่งต้องเข้าห้องมากกว่า 1 ครั้ง ฉะนั้นเส้นที่ลบได้และทำให้กราฟที่เหลือเป็นจริงมีเพียงเส้น AD เส้นเดียวครับ การที่ D อ้างว่าเห็น A จึงเป็นเรื่องโกหก เพราะ timing ต้องบังคับให้ A กลับออกไปสอนหนังสือก่อนที่ D จะเดินเข้าห้องพักดื่มชา




 

Create Date : 25 มีนาคม 2553    
Last Update : 4 พฤษภาคม 2553 11:02:34 น.
Counter : 1333 Pageviews.  

The Geometry of Perfect Parking

ได้ย้อนฟัง NPR บันทึกของวันที่ 23 มกราคม 2010 Jacki Lyden เปิดประเด็นนักคณิตศาสตร์เผยสูตรจอดรถข้างถนนอย่างสมบูรณ์แบบ ขาประจำที่มาให้ความรู้ร่วมพูดคุยด้วยไม่ใช่ใครที่ไหน ด็อกเตอร์ Keith Devlin นักคณิตศาสตร์จาก Stanford U. เปเปอร์ที่พูดถึงนั้นเป็นของโปรเฟสเซอร์ Simon R. Blackburn แห่ง U. of London ชื่อเปเปอร์เดียวกับชื่อหัว blog ตอนนี้นี่แหละครับ (เรขาคณิตของการจอดรถสมบูรณ์แบบ) Blackburn ตั้งคำถามง่าย ๆ ว่าถ้าคุณจะจอดรถข้างถนนแบบ perfect (ไม่ใช่แบบเข้า ๆ ออก ๆ มีญาติสนิทมิตรสหายคอยกวักไกวมือให้ซิกแนลประจำจตุรทิศอีก 4 คน) ที่ต้องแทรกเข้าไปอยู่ระหว่างรถคันหน้ากับรถคันหลัง พื้นที่ว่างที่คุณต้องการคือเท่าไร?

โมเดลและเทคนิคที่ Blackburn ใช้ Devlin บอกว่าเรียบง่าย สวยงาม และเป็น 'good old friend' นั่นคือทฤษฎีไพทากอรัส คุณ Lyden เธอก็ท่องต่อสูตรให้แบบที่เราคุ้นเคยกันดี "เอยกกำลังสองบวกบียกกำลังสองเท่ากับซียกกำลังสองใช่มั้ยคะ?" สำหรับตัวแปรที่ใช้คำนวณในโมเดลนี้มีแค่ 4 ตัวครับ (ดูรูป) w หมายถึง ความกว้างของหน้ารถ, k เท่ากับระยะจากหน้ารถจนถึงศูนย์กลางของล้อหน้า, l เท่ากับระยะทางจากศูนย์กลางของล้อหน้าถึงศูนย์กลางของล้อหลัง และ r คือ รัศมีหักเลี้ยวของรถ หน้าตาสูตรสุดท้ายที่ออกมาคือ

ที่ว่างอย่างน้อย (ความยาวที่ว่าง) = ความยาวรถ + [(r2 - l2) + (l + k)2 - ((r2 - l2)1/2 - w)2]1/2 - l - k



ตัวอย่าง ถ้ารัศมีวงกลมหักเลี้ยว r = 5.4 เมตร, l = 2.6 m, k = 1.3 m และ w = 1.7 m ก็หมายความว่าคุณต้องการความยาวที่มากกว่าความยาวรถของคุณอีก 1.43 m สำหรับ perfect parallel parking ขั้นตอนการจอดดูตามรูป


จากผังด้านล่าง AEFD แทนแนวขอบถนน รถของเราคือ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า เส้นสีฟ้าแทนขอบของรถที่จอดข้างหน้าและข้างหลัง เราถอยให้มุม A เคลื่อนตามแนวเส้นสีแดง ล้อ E และ F เคลื่อนตามเส้นประ วงกลมทั้งสามวงมีจุดศูนย์กลางร่วมกันที่ X ซึ่งเป็นศูนย์กลางหักเลี้ยวของรถนะครับ นั่นคือ |EX| = r, |EF| = l, |AE| = k และ |GH| = w สิ่งที่เราต้องการหาก็คือ |AH|


ใช้ทฤษฎีไพทากอรัสกับสามเหลี่ยม EFX เราหา |FX| = (r2-l2)1/2 จากนั้นใช้กับสามเหลี่ยม AFX หา |AX| = ((l+k)2+|FX|2)1/2 และเรารู้ว่า |GX| = |AX| เพราะมันเป็นรัศมีของวงกลมวงเดียวกัน (วงกลมแดง) จากนั้นเพิ่มเส้นลากดิ่งจาก G ขนานกับขอบถนนจนตัดกับ FX ที่ K ให้สังเกตว่า |KX| = |FX| - w ใช้ไพทากอรัสกับ GKX เพื่อหา |GK| ได้ [(r2 - l2) + (l + k)2 - ((r2 - l2)1/2 - w)2]1/2 และสุดท้ายสิ่งที่เราต้องการ |AH| = |GK| - l - k สวยใช่มั้ยครับ?




 

Create Date : 24 มีนาคม 2553    
Last Update : 26 ตุลาคม 2553 21:09:41 น.
Counter : 1937 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.