creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

เหตุการณ์ที่ไม่เป็นอิสระจากกัน

เนื้อหาตอนนี้เกินความรู้คณิตศาสตร์ ม.ปลาย นิดนึงครับ อีกทั้งยังเป็นเรื่องที่ชวนสับสน และวันดีคืนดีก็ลุกขึ้นมาเป็น talks of the town ได้สบาย ๆ ในทฤษฎีความน่าจะเป็น ม.ปลาย คุณครูเลขจะสอนว่า P(A&B) = P(A)P(B) เมื่อ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่อิสระจากกัน เช่น โอกาสที่ทอยเต๋า 2 ครั้ง ครั้งแรกได้แต้ม 1 ครั้งที่สองได้แต้ม 6 เท่ากับเท่าไร?

นักเรียนก็คิด ให้ A = เหตุการณ์ที่ทอยเต๋าครั้งแรกแล้วได้แต้ม 1 ฉะนั้น P(A) = 1/6 (เพราะเป็นลูกเต๋าในอุดมคติที่มีความสมมาตร โอกาสออกแต่ละหน้าเท่าเทียมกัน) B = เหตุการณ์ที่ทอยเต๋าครั้งที่สองแล้วได้แต้ม 6 ฉะนั้น P(B) = 1/6 จึงสรุปว่า P(A&B) = P(A)P(B) = (1/6)(1/6) = 1/36 ถูกต้องครับ และกรณีนี้ A และ B เป็นอิสระจากกัน ครูบางคนอาจอธิบายง่าย ๆ ว่าที่ A และ B เป็นอิสระจากกันเพราะการทอยเต๋าทั้งสองครั้งไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกันเลย หรือไม่ ก็ลองคิดดูสิว่าการทอยเต๋าครั้งหลังไม่เป็นอิสระจากครั้งแรกตรงไหน ซึ่งก็ถูกอีกนั่นแหละครับ แต่คำอธิบายดังกล่าวขึ้นอยู่กับความหยั่งรู้ส่วนบุคคลมากเกินไป อาจก่อกำเนิดเมล็ดพันธุ์แห่งความเข้าใจผิดได้โดยง่ายเมื่อเจอปัญหาที่ยากขึ้นและซับซ้อนขึ้น

ผมถามใหม่ เราใช้อะไรเป็นตัวบ่งชี้ครับว่า A และ B เป็นอิสระจากกัน? เพื่อให้เห็นภาพชัดเจนลองพิจารณา ไพ่ 1 สำรับ 52 ใบ ให้ A = เหตุการณ์หยิบได้ ♠ และ B = เหตุการณ์หยิบได้ Q นั่นคือ P(♠Q) = 1/52 ซึ่งเรารู้ว่า P(♠) = 1/4, P(Q) = 4/52 และ P(♠Q) = P(♠)P(Q) = (1/4)(4/52) = 1/52 ความหยั่งรู้ (สำหรับบางคน) บอกเราว่าการหยิบได้ ♠ ไม่เกี่ยวข้องอะไรกับการหยิบได้ Q ฉะนั้น A และ B เป็นอิสระจากกัน ทีนี้สมมติว่าไพ่สำรับนี้ ♥2 หายไป 1 ใบ เหลือไพ่แค่ 51 ใบ P(♠Q) = 1/51 คุณคิดว่า A และ B ยังเป็นอิสระจากกันอยู่มั้ยครับ? เหตุผลการหยิบได้ Q ไม่เกี่ยวข้องอะไรกับการหยิบได้ ♠ ยังช่วยให้ A และ B เป็นอิสระจากกันอยู่มั้ย? เรามองออกได้ง่าย ๆ ว่ากรณีที่ไพ่หายไป 1 ใบแบบนี้ P(♠) = 13/51 และ P(Q) = 4/51 ซึ่ง P(♠)P(Q) = (13/51)(4/51) ≠ P(♠Q) = 1/51 นั่นคือความหยั่งรู้หรือสัญชาตญาณแทบไม่ช่วยมากเท่าไรในการมองเหตุการณ์ใดเป็นอิสระต่อกันหรือไม่เป็นอิสระต่อกันเลย เพราะ กรณีไพ่ ♥2 หายไป แสดงให้เราเห็นว่า P(A&B) ≠ P(A)P(B) นั่นคือ A และ B ไม่เป็นอิสระจากกัน นี่เป็นเครื่องมือบ่งชี้ตัวสำคัญว่าเหตุการณ์เป็นอิสระจากกันหรือไม่เป็นอิสระจากกันครับ เราจะมั่นใจได้ว่า A และ B เป็นอิสระจากกันก็ต่อเมื่อ P(A)P(B) = P(A&B) ไม่งั้นเราต้องคิด P(A&B) จากกรณีทั่วไป คือ P(A&B) = P(A)P(B|A) = P(A|B)P(B) สัญลักษณ์ P(A|B) แทน ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อเกิดเหตุการณ์ B

ลองมาทำความเข้าใจให้ลึกขึ้นอีกนิดถึงความแตกต่างระหว่าง P(A) กับ P(A|B)

P(A) บอกเราถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อเราไม่มีความรู้อะไรเพิ่มเติมเกี่ยวกับมันเลย นิยมเรียก P(A) ว่า prior probability ส่วน P(A|B) นั้นบอกเราถึงโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อเกิดเหตุการณ์ B (นิยมเรียก P(A|B) ว่า posterior probability) ซึ่ง P(A) = P(A|B) เมื่อ A และ B เป็นอิสระจากกัน นี่เป็นหนึ่งในความผิดพลาดที่เราพบเห็นบ่อยครับ ในบางปัญหาเรามองโดยใช้สัญชาตญาณอย่างเดียวไม่ออกว่า P(A|B) ≠ P(A) แต่เราก็ประเมินให้ P(A|B) = P(A) เพราะคิดเอาเองว่า A และ B เป็นอิสระจากกัน เดี๋ยวผมจะยกตัวอย่างปัญหาประเภทนี้ให้ชมกันตอนท้าย ส่วนอีกหนึ่งปัญหาที่พบบ่อยมากไม่แพ้กันคือการประเมินให้ P(A|B) = P(B|A) ซึ่งถ้าเราเข้าใจเรื่องความไม่เป็นอิสระจากกันดีพอแล้ว เราจะแก้ความเข้าใจผิดในประเด็นนี้ได้ไม่ยาก

ย้อนกลับไปดูไพ่ที่ถูกดึง ♥2 ออกไปอีกที P(♠Q) = P(♠)P(Q|♠) ซึ่ง P(♠) = 13/51 และ P(Q|♠) เท่ากับการตั้งคำถามว่า ถ้าไพ่ที่หยิบมาได้นั้นเป็น ♠ โอกาสที่มันจะเป็น Q เท่ากับเท่าไร? P(Q|♠) จึงเท่ากับ 1/13 ฉะนั้น P(♠Q) = P(♠)P(Q|♠) = (13/51)(1/13) = 1/51

ลองมาดูอีกสักตัวอย่างที่เราอาจประเมินความเป็นอิสระหรือไม่เป็นอิสระผิด สมมติมีสามเหตุการณ์ A, B, C ที่แต่ละคู่ไม่มีผลลัพธ์ร่วมกัน (exclusive) กล่าวคือ A&B = Ø (หรือเขียน A∩B = Ø) และ A&C = Ø และ B&C = Ø อย่างนี้เราจะสรุปว่า A&B&C = Ø ได้ใช่มั้ยครับ แต่จะเลียนแบบมาใช้กับความอิสระของเหตุการณ์ไม่ได้ กล่าวคือ ถึงแม้ว่า P(A&B) = P(A)P(B) และ P(A&C) = P(A)P(C) และ P(B&C) = P(B)P(C) หมายความว่าคู่ของเหตุการณ์ใด ๆ เป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระจากกัน แต่ P(A&B&C) อาจจะไม่เป็นอิสระจากกันก็ได้ ถ้ามันไม่เท่ากับ P(A)P(B)P(C) ทำนองเดียวกัน มันไม่มีสมบัติถ่ายทอด หรือ transitive ฉะนั้นถ้าคุณได้ยินใครสรุปว่า "ถ้า A ไม่เป็นอิสระจาก B , และ B ไม่เป็นอิสระจาก C แล้ว A จะต้องไม่เป็นอิสระจาก C" ก็ขอให้เข้าใจว่าข้อสรุปนี้ไม่เป็นจริงเสมอไป ดูตัวอย่างครับ

ไพ่ 1 สำรับ 52 ใบ ที่เราแทนที่ ♣Q ด้วย ♦Q หมายความว่าไพ่สำรับนี้มี 52 ใบเท่าเดิม ไม่มี ♣Q แต่มี ♦Q สองใบ ให้ A = เหตุการณ์หยิบได้ Q, B = หยิบได้ไพ่หน้าสีแดง (R = ♥ หรือ ♦) และ C = หยิบได้ไพ่ ♥ แบบนี้เห็นชัดว่า P(A&B) = P(QR) = 3/52 ≠ P(Q)P(R) = (4/52)(27/52) นั่นทำให้ A และ B ไม่เป็นอิสระจากกัน ทีนี้ดูคู่ B กับ C บ้าง P(B&C) = P(R♥) = 13/52 ≠ P(R)P(♥) = (27/52)(13/52) ทำให้ B และ C ไม่เป็นอิสระจากกัน แต่ P(A&C) = P(Q♥) = 1/52 = P(Q)P(♥) = (4/52)(13/52) นั่นคือ A และ C เป็นอิสระจากกัน

ที่พูดมาทั้งหมด ผมอยากให้เห็นภาพว่าเมื่อเรามีเหตุการณ์ A, B การที่เราจะพูดว่า 2 เหตุการณ์นี้เป็นอิสระจากกันหรือไม่เป็นอิสระจากกันนั้น บางครั้ง มันก็ไม่ง่ายที่เราจะมองมันเห็นชัดด้วยสัญชาตญาณครับ เครื่องตัดสินเดียวที่จะบอกได้ว่า A และ B เป็นอิสระจากกันคือ P(A&B) = P(A)P(B) แต่ถ้า P(A&B) ≠ P(A)P(B) ไม่ว่าสัญชาตญาณจะบอกคุณว่า A ไม่เห็นเกี่ยวอะไรกับ B เลย แต่จงรู้ไว้เถอะ A และ B ไม่ได้เป็นอิสระจากกัน!

ตัวอย่างการประเมิน posterior probability ผิด เพราะคิดว่า P(A|B) = P(A) หรือเพราะคิดว่า P(A|B) = P(B|A) เช่น ปัญหา Monty Hall มีประตู 3 บาน A, B, C หลังประตูบานหนึ่งมีรถ หลังประตูอีก 2 บาน มีแกะ คุณเลือก A และ มอนตี้เปิด B เพื่อโชว์ให้ดูว่าไม่มีแกะ พร้อมถามคุณว่าจะเปลี่ยนใจมั้ย? สัญชาตญาณที่บอกว่า P(มีรถหลัง C) = P(มีรถหลัง A) เกิดจากการประเมินว่า P(มีรถหลัง C|มอนตี้เปิด B) = P(มีรถหลัง C) เพราะเหตุการณ์ "มีรถหลัง C" เป็นอิสระจากเหตุการณ์ "มอนตี้เปิด B" หรืออาจประเมินว่า P(มีรถหลัง C|มอนตี้เปิด B) = P(มีรถหลัง A|มอนตี้เปิด B) ซึ่งทั้งคู่เป็นการประเมินที่ผิดครับ หรือปัญหา false positive paradox เกิดจากการประเมิน P(เป็นโรค|ผลตรวจเป็น positive) = P(ผลตรวจเป็น positive|เป็นโรค) หรือปัญหาซอง 2 ซอง เองก็เกิดจากการประเมินให้ P(ซองนั้นมีเงิน 2x|ซองนี้มีเงิน x) = P(ซองนั้นมีเงิน x/2|ซองนี้มีเงิน x) หรือปัญหาลูกของสมิท ที่บอกว่า สมิทมีลูก 2 คน ถ้าลูกคนหนึ่งเป็นผู้ชาย โอกาสที่ลูกอีกคนจะเป็นผู้ชายเท่ากับเท่าไร? สำหรับคำตอบมาตรฐานที่บอกว่าลูกอีกคนจะเป็นชายหรือหญิงก็ได้เท่า ๆ กัน เพราะ P(ลูกอีกคน ♂) = P(ลูกอีกคน ♀) ก็เกิดจากประเมินให้ P(ลูกอีกคน ♂|ลูกคนหนึ่ง ♂) = P(ลูกอีกคน ♂) หรือแม้กระทั่งปัญหาที่ดูฮา (แต่แรง) ตีพิมพ์ใน nature บทความ Is the Pope an Alien? ก็เกิดจากการประเมินใน P(เป็นโป๊ป|เป็นมนุษย์) = P(เป็นมนุษย์|เป็นโป๊ป) รวมไปถึงปัญหา fallacy ในศาลจำพวกที่ชอบสรุปว่า P(เป็นฆาตกร|มีหลักฐาน) = P(มีหลักฐาน|เป็นฆาตกร)




 

Create Date : 14 พฤษภาคม 2553    
Last Update : 14 พฤษภาคม 2553 14:27:12 น.
Counter : 2016 Pageviews.  

วิธีที่นิวตันใช้ประมาณค่า π (พาย)

จากความเรียงปี 1671 Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum (ตีพิมพ์หลังจากปีที่เขียนอีกทศวรรษ) นิวตันได้แสดงวิธีที่เขาใช้ประมาณค่า π (พาย) ที่น่าทึ่งครับ เริ่มจากครึ่งวงกลมรัศมี r = ½ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C (½,0) ดังรูป สมการของครึ่งวงกลมคำนวณได้โดยใช้ความรู้เรขาคณิต

     (x - ½)2 + (y - 0)2 = (½)2


จัดรูป และเลือกเฉพาะ y ที่เป็นค่าบวก


     y = √x - x2 = x½(1-x)½

ขั้นต่อมา นิวตันกระจายพจน์ (1 - x)½ ด้วยการกระจายทวินามครับ ก่อนหน้านี้สัมประสิทธิ์ของการกระจายทวินามปาสคาลได้นำเสนอแล้วในรูปสามเหลี่ยมปาสคาล ซึ่งเป็นสัมประสิทธิ์ของการกระจาย (a + b)n เมื่อ n คือจำนวนเต็มบวก นิวตันขยายไอเดียต่อด้วยเชื่อในความมีรูปแบบของมันว่า n ที่เป็นเศษส่วนหรือจำนวนลบก็ควรจะมีหน้าตารูปแบบที่พ้องต้องกันด้วยสิ จึงมีเวอร์ชั่นการกระจายทวินามแบบนิวตันขึ้นมา ไอเดียดังกล่าวปรากฎในจดหมายที่แกเขียนไปหาไลบ์นิซปี 1676 ครับ นิวตันเขียนว่า

     

เมื่อ A, B, C ... แทนพจน์ติดกันที่อยู่ข้างหน้า นั่นคือ

     

ถ้าเอา Pm/n หารทั้งสองข้าง ได้

     

ทีนี้เราลองมากระจาย √1-x โดยแทน Q = -x และ m/n ด้วย ½

     

ไม่เชื่อคุณลองเอาพจน์ฝั่งขวาคูณตัวมันเองดูก็ได้ครับ ผลลัพธ์เหลือ 1 - x เพราะพจน์ที่ x ดีกรีสูงฆ่าฟันกันเองหมด

นิวตันต้องการกระจาย (1 - x)½ ทำไม? เหตุผลคือต้องการหาพื้นที่แรเงาตามรูปด้านบนครับ ซึ่งการหาพื้นที่ที่ปิดด้วยเส้นโค้ง AD กับส่วนของเส้นตรง AB (ยาว x) ที่เป็นฐานและส่วนของเส้นตรง BD (ยาว y) ที่ตั้งฉากกับ AB และตัด AD นิวตันได้เสนอไว้ใน De Analysi โดยบอกว่าพื้นที่ของ ABD = anx([m+n]/n)/[m+n] เมื่อ axm/n = y (พูดด้วยภาษาปัจจุบัน มันก็คือการอินทิเกรต y = axm/n เมื่อ x มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง x นั่นแหละครับ) และถ้า y ประกอบด้วยผลรวมของหลายพจน์ย่อย พื้นที่รวมใต้ y ก็เกิดจากผลรวมของพื้นที่ที่เกิดจากแต่ละพจน์ย่อย


ด้วยวิธีการนี้ นิวตันสามารถคำนวณพื้น ABD ของครึ่งวงกลม (ดูรูปบนสุด) ที่ B คือจุด (¼,0) ได้โดยการกระจาย y = x½(1-x)½ แล้วคำนวณพื้นที่ด้วย fluxion คือ กฎสองข้อแรกที่นิวตันพูดถึงใน De Analysi

     

พื้นที่แรเงา ABD เท่ากับ

     

แทน x = ¼ (ตรงนี้จะเห็นว่าการที่นิวตันเริ่มด้วยครึ่งวงกลมดังกล่าวมีความหมายแล้วล่ะครับ เพราะ ¼ ช่วยในการคำนวณได้มากทีเดียว (¼)3/2 = 1/8, (¼)5/2 = 1/32, ...) และใช้ผลรวมเพียง 9 พจน์แรก ได้

     

นิวตันอยากได้พื้นที่สีชมพู (รูปบนสุด) ไปทำไมครับ? ไอเดียในการประมาณค่า π ของแกคือ เปรียบเทียบพื้นที่จากวิธี fluxion กับวิธีเรขาคณิตธรรมดา ๆ ซึ่งการคำนวณพื้นที่แรเงาด้วยวิธีเรขาคณิตธรรมดานั้นจะมีค่า π โผล่ออกมา จากทฤษฎีไพทากอรัส เราหา BD ได้ BD2 = (½)2 - (¼)2 หรือ BD = √3/4 ทำให้เราสามารถหาพื้นที่ ΔDBC = (½)(¼)(√3/4) = √3/32

ใช้ความรู้ตรีโกณมิติอีกนิดหน่อย หามุม BCD เท่ากับ 60° ฉะนั้น พื้นที่สีชมพู = (1/3)(พื้นที่ครึ่งวงกลม) - (พื้นที่ ΔDBC) = (1/3)(πr2/2) - √3/32 = π/24 - √3/32

     π ≈ 24(0.07677310678 + √3/32) = 3.141592668...

ค่า π จากการประมาณของนิวตันที่กระจายทวินามแค่ 9 พจน์นี้ต่างจากค่า π จริงน้อยกว่า 0.000000014 อีกนะครับ ส่วนยากอีกนิดเดียวของวิธีนี้คือการประมาณค่า √3 ซึ่งก็ใช้การกระจายทวินามแบบนิวตันได้อีกนั่นแหละครับ เราอาจเริ่มด้วย 3 = 9(1 - 2/3) ฉะนั้น 3½ = 9½(1 - 2/3)½ กระจายโดยแทน Q = -2/3 และ m/n = ½




 

Create Date : 08 พฤษภาคม 2553    
Last Update : 5 ธันวาคม 2553 12:46:25 น.
Counter : 3108 Pageviews.  

วิธีที่อาร์คิมิดีสใช้คำนวณพื้นที่ของวงกลม

วิธีที่อาร์คิมิดิสใช้ในการหาพื้นที่ของวงกลมถูกเขียนในความเรียงชื่อ Measurement of a Circle ราว 225 ปีก่อนคริสตกาล อาศัยพื้นฐานความรู้ก่อนหน้าจากยุคลิด 2-3 ข้อร่วมกับการให้เหตุผลที่เดี๋ยวคุณจะเห็นว่ายอดเยี่ยมจริง ๆ ครับ สิ่งที่นักคณิตศาสตร์กรีกรู้กันอยู่ก่อนแล้วเกี่ยวกับวงกลมคือสัดส่วนระหว่างเส้นรอบวง (C) ต่อเส้นผ่านศูนย์กลาง (D) ของวงกลมเป็นค่าคงที่ (นั่นคือค่า π ไงครับ แต่สมัยนั้นยังไม่มีใครเรียกว่าพาย) อันนี้เป็นความสัมพันธ์ของปริมาณ 1 มิติ (เส้นต่อเส้น) ใน Elements ของยุคลิด Proposition XII.2 ยังพูดถึงความสัมพันธ์ของปริมาณ 2 มิติ (พื้นที่ต่อพื้นที่) ยุคลิดบอกว่าอัตราส่วนของพื้นที่วงกลมวงหนึ่งต่อวงกลมอีกวงหนึ่งเท่ากับอัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลมวงนั้นต่อพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านเท่ากับเส้นผ่านศูนย์กลางของอีกวงหนึ่ง

พูดใหม่นะครับ ถ้าวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง D มีพื้นที่ A ยุคลิดบอกว่า A/D2 เป็นค่าคงที่ (แหงล่ะ 0.25π เด็ก ม.ต้น สมัยนี้รู้ทุกคน) การพิสูจน์พื้นที่วงกลมของยุคลิดใช้ตรรกะที่เราเรียกว่า double reductio ad absurdum ถ้ามีความเป็นไปได้ 3 ทาง ในเมื่อไม่ใช่ทางที่ 1 และไม่ใช่ทางที่ 2 ฉะนั้นย่อมต้องเป็นทางที่ 3

พื้นฐานที่สำคัญอีกประการคือ พื้นที่รูปหลายเหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ hQ/2 เมื่อ h คือระยะห่างที่ลากจากจุดกึ่งกลางรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าไปตั้งฉากกับด้านของมัน และ Q คือ ความยาวรอบรูป พิสูจน์ไม่ยากครับ สมมติว่าเรามีรูป n เหลี่ยมด้านเท่าที่ยาวด้านละ b ดังรูป


พื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่า เท่ากับ ผลรวมพื้นที่สามเหลี่ยม (สีฟ้า) n รูป เท่ากับ nhb/2 และ nb = Q ดังนั้นพื้นที่รูป n เหลี่ยมด้านเท่าเท่ากับ hQ/2

คราวนี้สมมติว่าเรามีวงกลมหนึ่งวง แล้วยัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ใหญ่ที่สุดลงไปในวงกลม ใครก็รู้ว่าพื้นที่สี่เหลี่ยมเล็กกว่าพื้นที่วงกลม ถ้าเปลี่ยนสี่เหลี่ยมเป็นแปดเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของแปดเหลี่ยมก็จะเข้าใกล้พื้นที่วงกลมมากขึ้น ถ้าเปลี่ยนเป็นสิบหกเหลี่ยมด้านเท่า พื้นที่ของสิบหกเหลี่ยมที่อยู่ในวงกลมก็จะใกล้พื้นที่วงกลมยิ่งขึ้นไปอีก ประเด็นสำคัญอยู่ตรงนี้ครับ เราสามารถทำให้ส่วนต่างของพื้นที่วงกลมกับพื้นรูปหลายเหลี่ยมด้านเท่าน้อยกว่าค่าอะไรก็ได้ที่เราต้องการด้วยการเพิ่มจำนวนด้านขึ้นเรื่อย ๆ

เอาล่ะ อาร์คิมิดีสพร้อมสำหรับคำนวณพื้นที่วงกลมแล้วครับ proposition แรกใน Measurement of a Circle อาร์คิมิดีสอ้างว่า "พื้นที่ของวงกลมเท่ากับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านประกอบมุมฉากด้านหนึ่งยาวเท่ากับรัศมีของวงกลมและด้านประกอบมุมฉากอีกด้านยาวเท่ากับเส้นรอบวง"


พูดว่า อาร์คิมิดีสอ้าง A = T ตรงนี้น่าทึ่งมาก อาร์คิมิดีสมีปริมาณคือ พื้นที่สองตัว A กับ T และมีความเป็นไปได้ 3 ทาง ก. A > T ข. A < T และ ค. A = T หลักการ double reductio ad absurdum บอกว่าถ้าเราตัดตัวเลือก (โดยการพิสูจน์ให้เห็นว่ามันผิด) ทิ้งได้ 2 ตัวเลือก เท่ากับเราได้พิสูจน์ว่าตัวเลือกที่เหลือคือตัวเลือกที่ถูกต้อง

สมมติว่า A > T

A - T เป็นค่าบวกค่าหนึ่ง และอาร์คิมิดีสรู้ว่าเขาสามารถสร้างรูป n เหลี่ยมด้านเท่า (สมมติว่ามีพื้นที่ B) ยัดใส่วงกลมพื้นที่ A ที่ A - B < A - T ได้ ฉะนั้น T < B และ B = hQ/2 ซึ่งแน่นอนว่า Q < C และ h < r ดังนั้นที่กล่าวว่า T < B หรือ rC/2 < hQ/2 จึงไม่อาจเป็นจริง



สมมติว่า A < T

T - A เป็นค่าบวกค่าหนึ่ง คราวนี้อาร์คิมิดีสจับวงกลมพื้นที่ A นี้ยัดใส่ให้สัมผัสในรูป n เหลี่ยมด้านเท่าบ้าง (สมมติว่ามีพื้นที่ B) และอาร์คิมิดีสสามารถเพิ่มเหลี่ยมเพื่อทำให้ B - A < T - A ได้ หรือ B < T เช่นเคยครับ B = hQ/2 ที่ h = r (เพราะวงกลมสัมผัสกับด้านของรูปเหลี่ยมด้านเท่า) และ Q > C ดังนั้น B = hQ/2 ไม่อาจน้อยกว่า T = rC/2



นั่นหมายความว่าพื้นที่ของวงกลมไม่ใหญ่กว่าและเล็กกว่าพื้นที่สามเหลี่ยม หรือ A = T = rC/2 และ C = πD = 2πr ดังนั้น A = r(2πr)/2 = πr2




 

Create Date : 07 พฤษภาคม 2553    
Last Update : 7 พฤษภาคม 2553 23:08:21 น.
Counter : 2826 Pageviews.  

วิธีที่ออยเลอร์ใช้คำนวณ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

ทุกคนรู้ว่าผลงานของออยเลอร์มหาศาล แต่ผลงานชิ้นนี้ผมว่าเป็นหนึ่งในมาสเตอร์พีสยุคสร้างชื่อของแกเลยทีเดียว คำตอบถูกประกาศในปี 1734 ปีแรกของออยเลอร์ที่ St. Petersburg ก่อนหน้านี้คนที่เฉียดคำตอบและรู้ว่าผลรวมของอนุกรมน้อยกว่า 2 คือแบร์นูลลี (ว่ากันว่า คนผสมเครื่องปรุงคือโยฮันน์ ส่วนคนชงคือยาโคบ) ผู้สรุปเป็นทฤษฎีบทตั้งแต่ปี 1689 ใน Tractatus de seriebus infinitis (ความเรียงว่าด้วยอนุกรมอนันต์) เราลองแวะไปชมวิธีของแบร์นูลลีกันก่อนดีมั้ยครับ

     1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...

แบร์นูลลีสังเกตว่า 1/4 < 1/3, 1/9 < 1/6, 1/16 < 1/10 พูดในกรณีทั่วไป

     1/k2 < 2/k(k+1)

ฉะนั้น

     1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... < 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ...

ซึ่งฝั่งขวาของอสมการนั้นนั้นไลบ์นิซเคยคิดออกมาแล้วว่าเท่ากับ 2 (จากโจทย์ที่ฮอยเก้นส์เคยให้หาผลรวมของส่วนกลับจำนวนสามเหลี่ยม)

     1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ... = 2

วิธีที่ไลบ์นิซใช้ก็สวยสดงดงามครับ เริ่มแบบนี้

     S = 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + ...
     S/2 = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ...

จากนั้นแทนพจน์ 1/2 ด้วย (1 - 1/2) แทนพจน์ 1/6 ด้วย (1/2 - 1/3) แทนพจน์ 1/12 ด้วย (1/3 - 1/4) แบบนี้ไปเรื่อย ๆ ได้

     S/2 = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + ...

พอเอาวงเล็บออก ตัวเลขก็ฆ่าฟันกันเองหมดครับ (นี่เป็นวิธีของไลบ์นิซนะครับ นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่บางคนคงบอกว่า เฮ้ย เอ็งจะจัดการกับอนุกรมอนันต์แบบนี้ไม่ได้นะเว้ย โอเค ปล่อยมันไปครับ มันพูดถูก แต่แม้กระทั่งคนที่พูดแบบนั้นก็คงปฏิเสธไม่ได้ว่าสัญชาตญาณหรือความหยั่งรู้ของไลบ์นิซไม่ธรรมดา)

     S/2 = 1 หรือ S = 2

กลับมาที่ออยเลอร์ ปัญหานี้ออยเลอร์ก็คงได้ยินได้ฟังมาจากคุณครูโยฮันน์ และครั้งแรกใช้วิธีลูกบ้ามหาถึก บวกมันตรง ๆ เลย พบว่าแนวโน้มคือ 1.6449 แต่ตัวเลขดังกล่าวกลับไม่ช่วยเหลืออะไรเท่าไร (แน่นอนมันน้อยกว่า 2) จนกระทั่งค้นพบเงื่อนงำที่นำไปสู่คำตอบ และเป็นคำตอบที่ออยเลอร์เองก็ประหลาดใช่ย่อย เพราะมันเกี่ยวพันกับค่า π

เงื่อนงำ (หรือเครื่องมือ) สองชิ้นที่ใช้ไขคำตอบผลรวมอนุกรมนี้คือฟังก์ชั่น sine (ความรู้จากทั้งตรีโกณมิติและแคลคูลัส) กับความรู้พีชคณิตเบื้องต้น รูปร่างหน้าตาของฟังก์ชั่น y = sin x แสดงดังรูป


     sin x = 0 เมื่อ x = 0, ±π, ±2π, ±3π, ±4π ...

และกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ sin x = x - x3/3! + x5/5! + x7/7! + x9/9! + ...

สำหรับพีชคณิต ออยเลอร์เริ่มต้นจากสำรวจสมการพหุนาม P(x) = 0 ดีกรี n ที่ x มี n คำตอบ แล้วค่อยใช้ common sense แบบเดียวกับนิวตันที่ศรัทธาในความมีรูปแบบ (pattern) เพื่อเอาข้อสรุปจากพหุนามจำกัดดีกรี n ไปประยุกต์ใช้กับพหุนามไม่จำกัด (เช่นเคยครับ คณิตศาสตร์สมัยใหม่มองว่าแบบนี้ล่อแหลม)

ออย์เลอร์บอกว่าถ้าสมการ P(x) = 0 ดีกรี n มีคำตอบ n คำตอบคือ x = a, b, c, ..., d หรือ P(a) = P(b) = P(c) = ... = P(d) = 0 และถ้า P(0) = 1 นั่นย่อมทำให้

     P(x) = (1 - x/a)(1 - x/b)(1 - x/c)...(1 - x/d)

เช่น ถ้าเรารู้ว่า P(x) เป็นพหุนามดีกรี 3 ที่ P(2) = P(3) = P(6) = 0 และ P(0) = 1 เราก็จะรู้ได้ทันทีว่า

     P(x) = (1 - x/2)(1 - x/3)(1 - x/6) = 1 - x - 11x2/36 - x3/36

เงื่อนงำสองชิ้นนี้ก็พอที่จะให้ออยเลอร์หาค่า 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... แล้วครับ

ทฤษฎีบท 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... = π2/6

ออยเลอร์เริ่มจากแนะนำฟังก์ชั่น

     

เห็นว่า f(x) เป็นพหุนามอนันต์ที่ f(0) = 1 จัดรูปโดยคูณ x/x เมื่อ x ≠ 0 ร่วมกับการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ได้

     

ตราบเท่าที่ x ≠ 0 การหาค่า x ที่ f(x) = 0 ก็เทียบเท่ากับการหาค่า x ที่ sin x = 0 ซึ่งดูจากกราฟ ได้ x = ±π, ±2π, ±3π, ±4π ... และสำหรับ f(x) ของออยเลอร์ตัวนี้ f(0) = 1 ดังนั้นออยเลอร์แยกตัวประกอบได้

     

ทีนี้ก็จินตนาการคูณพจน์ขวามือเข้าไปตรง ๆ เลยครับ โดยจัดกลุ่มสัมประสิทธิ์ของ x ดีกรีเดียวกันไว้ด้วยกัน

     

เห็นว่าซ้ายมือกับขวามือเป็นพหุนามที่อยู่ใน format เดียวกันเป๊ะเลย ออยเลอร์จึงจับสัมประสิทธิ์ของพจน์ดีกรีเดียวกันมาเท่ากัน ซึ่งในที่นี้คือสัมประสิทธิ์ของ x2

     

QED




 

Create Date : 05 พฤษภาคม 2553    
Last Update : 8 พฤษภาคม 2553 10:01:49 น.
Counter : 5738 Pageviews.  

แตรของเกเบรียล

ในคัมภีร์วิวรณ์ 11.15 เขียนไว้ว่า เทวทูตองค์ที่เจ็ดเป่าแตร และมีเสียงร้องป่าวบนสรวงสวรรค์ "อาณาจักรแห่งโลกได้กลายเป็นอาณาจักรแห่งพระเจ้าของผองเรา และเป็นของพระคริสต์ และพระองค์จะทรงปกครองชั่วนิจนิรันดร์" (แปลจากฉบับ NIV) ตำนานพื้นบ้านคริสเตียนเชื่อว่าเกเบรียลคือเทวทูตองค์ที่เจ็ด และเชื่อว่าเกเบรียลเป็นผู้เป่าแตรประกาศการมาถึงของวันพิพากษา ส่วนนี้ผมเข้าใจว่าไม่มีระบุในพันธะสัญญาใหม่หรือไบเบิ้ลฮิบรูนะครับ ซึ่งการเป่าแตรส่งซิกเนลของเกเบรียลมีผู้เปรียบเทียบว่าคล้ายเทพปกรณัมนอร์ส ในมหาสงครามแร็กนาร็อก ที่เทพ Heimdall ผู้ึุ้คุ้มครองสะพาน Bifröst เป่า Gjallarhorn เพื่อเตือนเหล่าเทพเจ้า (æsir)

แตรเป็นสิ่งที่เราสนใจสำหรับตอนนี้นะครับ สมมติว่าเราจะสร้างแตรของเกเบรียลโดยเริ่มจากสมการ y = 1/x เมื่อ x ≥ 1


หมุนเส้นโค้ง y = 1/x รอบแกน x ได้พื้นผิวรูปแตร (สีเขียว) เรียกแตรอันนี้ว่าแตรของเกเบรียล


มีเรื่องน่าฉงนซ่อนอยู่ในแตรของเกเบรียลครับ อย่างน้อยถ้าคุณดูจากนิยามการสร้างแตร คุณย่อมบอกได้ว่าแตรยาวอนันต์ เพราะเส้น y = 1/x ไม่ตัดแกน x แต่ส่วนที่น่าทึ่งจริง ๆ คือความสัมพันธ์ระหว่างปริมาตรของแตรกับพื้นที่ผิวของมัน เดี๋ยวผมจะแสดงให้คุณเห็นว่าแตรนี้ปิดคลุมปริมาตรที่จำกัดค่าหนึ่ง คือคุณบอกได้ว่าปริมาตรอากาศที่อยู่ในแตรเท่ากับเท่าไร แต่ถ้าคุณคิดจะซื้อสีสเปรย์มาพ่นพื้นที่ผิวรอบนอกของแตร คุณต้องใช้สเปรย์ถึงอนันต์กระป๋อง หรือพูดว่าคุณไม่มีทางพ่นสีผิวแตรที่ปิดคลุมปริมาตรจำกัดได้ ฟังดูขัดกันแล้วใช่มั้ยล่ะ ก่อนอื่นจำต้องทบทวนแคลคูลัสพื้นฐานสองเรื่อง เพื่อที่เราจะได้ใช้ความรู้สองเรื่องนี้มาคำนวณหาพื้นที่ผิวและปริมาตร

หาปริมาตร (ด้วย Disc Method)

ปริมาตรของแข็งที่เกิดจากการหมุนพื้นที่ระหว่างเส้นโค้ง f(x) และ g(x) และเส้นตรง x = a และ x = b รอบแกน x หาได้จาก



ถ้า g(x) = 0



หาพื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของการหมุนเส้นโค้ง y = f(x) เมื่อ a ≤ x ≤ b รอบแกน x หาได้จาก



คำนวณปริมาตรและพื้นที่ผิวของแตรของเกเบรียล โดยให้ a = 1 และ b = b


พบว่าเมื่อ b เข้าสู่ ∞ ทำให้ V เข้าสู่ π และ A เข้าสู่ ∞ แปลกดีมั้ยครับ? รูปแตรของเกเบรียลที่มีพื้นที่ผิวไม่จำกัดแต่ปริมาตรจำกัดนี้ผู้ริเริ่มคือนักคณิตศาสตร์ นักฟิสิกส์ชาวอิตาลี เอวานเยลิสต้า โตริเชลลี (Evangelista Torricelli, 1608-1647)




 

Create Date : 02 พฤษภาคม 2553    
Last Update : 2 พฤษภาคม 2553 17:28:56 น.
Counter : 1832 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.