creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

หมากรุกกลบนกระดานเมอบีอุส

ผมเจอโจทย์ข้อนี้ในอินเทอร์เน็ต เป็น chess puzzle ที่น่าสนใจดีครับ ใครอยากลับสมองก็ลองมาเล่นกัน ก่อนอื่น ขออนุญาตออกตัวว่าผมทราบเฉลย ดังนั้นเฉลยในแบบที่คุณจะได้เห็นต่อไปบล็อกตอนนี้คือเฉลยแบบที่ผมคิด ซึ่งถ้าหากท่านใดพบว่ามันผิดพลาดประการใดก็ชี้แนะได้เต็มที่ครับ

จากรูปเป็นกระดานหมากรุกขนาด 4x∞ เท่านั้นไม่พอ กระดานหมากรุกดังกล่าวยังถูกนำมาม้วนเป็นแถบเมอบีอุส (ผมไม่แน่ใจว่า ∞ (อนันต์) ในโจทย์หมายถึงอะไร อาจหมายถึงแถบกระดานหมากรุกเดิมมีความยาวอนันต์แล้วเอามาม้วนเป็นเมอบีอุส คุณก็ใช้สมมติฐานนิดหน่อยว่ามันทำได้ (ถึงแม้ว่ามันจะทำไม่ได้ หรือทำได้แต่ไม่รู้ว่าทำอย่างไร) ตรงนี้ไม่มีปัญหา เพราะเกมถูกควบคุมโดยตรรกะ ไม่ว่ากระดานจะยาวแค่ไหน ควีนหรือเรือบนกระดานก็ต้องสามารถเดินไปยังตำแหน่งใด ๆ ก็ได้ตราบใดที่ไม่มีตัวหมากอื่นมาขวางทาง หรือบางทีอนันต์อาจหมายถึงลักษณะของกระดานที่ถูกม้วนเป็นวง ไม่มีจุดต้น ไม่มีจุดปลาย (เราคำนวณความยาวในการเคลื่อนที่ครบรอบได้ แต่ไม่มีขีดจำกัดว่าหมากหนึ่งตัวจะเดินได้ยาวที่สุดแค่ไหน) หมายความว่าเกมหมากรุกบนกระดานเช่นนี้ มีโอกาสที่คุณสามารถเดินโดยไม่ต้องเดินก็ได้ เพราะมีความเป็นไปได้ที่เรือหรือควีนตัวหนึ่งอาจจะเดินไปข้างหน้าจน "ถึง" ตำแหน่งเดิม ไม่ว่าอนันต์จะเป็นความหมายใด ก็ไม่มีผลกระทบต่อลอจิกของเกมครับ) บนกระดานมีตัวหมากเท่าที่เห็นในภาพ ไม่มีหมากตัวใดซ่อนอยู่ด้านที่เรามองไม่เห็น สาเหตุที่ต้องกำหนดเช่นนี้เพราะแถบเมอบีอุสเป็นรูปทรงที่มีแค่พื้นผิวเดียว ภาพต้นฉบับไม่ชัดเท่าไร ผมเพิ่มคำบรรยายให้ตามภาพด้านล่าง สำหรับทิศทางของเบี้ยดำไม่ต้องสนใจว่าทิศทางเป็นยังไง โจทย์คือ สีขาวเดิน และต้องรุกจนภายใน 2 ที (White to move, mate in 2)



สำหรับใครที่ไม่รู้จักแถบเมอบีอุส เรามาทำความรู้จักกับเจ้าแถบนี้สักนิดนึง ถ้าคุณเริ่มต้นด้วยแถบกระดาษยาว 1 แผ่น พิจารณากระดาษแผ่นนี้คุณจะพบว่ามันมีพื้นผิว 2 ด้าน และขอบกระดาษ 4 ขอบ ถ้าคุณนำขอบตรงข้าม 2 ขอบมาประกบกัน (ตามรูป) คุณก็จะได้ทรงกระบอก เหมือนซิลิโคน wristband ที่สมัยหนึ่งเราฮิตใส่กัน โดยรูปทรงกระบอกนี้มีพื้นผิว 2 ด้าน ด้านนอกกับด้านใน และขอบ 2 ขอบ



แต่ถ้าก่อนนำขอบตรงข้าม 2 ขอบมาประกบกัน เราบิดแถบกระดาษครึ่งรอบ (ดูรูป) รูปทรงใหม่ที่เราได้จะเป็นรูปทรงที่มีพื้นผิวแค่พื้นผิวเดียว และขอบแค่ขอบเดียว วัตถุชิ้นนี้นี่แหละครับเรียกว่าแถบเมอบีอุส (Möbius strip) ภาพมดแดงเดินบนแถบเมอบีอุสของ Escher แสดงมดแดงเดินต่อ ๆ กันไป ถ้ากระดาษยาว x เมื่อมดแดงเดินได้ระยะทาง 2x มันจะพบว่าพวกมันวนกลับมาที่เดิม

เมื่อรู้จักแถบเมอบีอุสแล้วปริศนาข้อนี้ก็ไม่ยากเย็นอะไร เพียงเส้นทางเดินของหมากแต่ละตัวที่สามารถเดินยาวได้อาจชวนสับสนเล็กน้อย เพราะพื้นผิวด้านหน้าและด้านหลังของกระดาษเชื่อมประสานเป็นพื้นผิวเดียวกัน แถวที่ 1 2 3 4 ของด้านหน้าไม่ได้เชื่อมโดยตรงกับแถวที่ 1 2 3 4 ของด้านหลัง แต่เชื่อมกับแถวที่ 4 3 2 1 แทน ถ้าเราเขียนเส้นทางของแต่ละแถวออกมา คุณจะพบว่ามีการเชื่อมต่อดังรูป




เห็นว่าหมากรุกนี้ก็ยังมี 4 แถวเหมือนเดิม ผมเขียนหมายเลขกำกับชิ้นส่วนของแถบเมอบีอุส 3 ส่วนด้วยเลข 1 2 3 ประกอบกับทิศทางของลูกศร ถ้าคุณเดินไปตามทิศของลูกศร คุณต้องเดินตามลำดับตัวเลข 1→2→3→1→2→... แต่ถ้าคุณเดินสวนทางกับทิศของลูกศร คุณต้องเดินตามลำดับ 3→2→1→3→2→... เช่น เรือขาวที่อยู่บนส่วนที่ 1 สามารถเดินตามทิศลูกศรไปกินเรือดำบนส่วนที่ 2 เพื่อรุกคิงดำได้ หรืออาจจะเดินย้อนทิศลูกศรไปกินบิชอบดำเพื่อรุกคิงดำได้เหมือนกัน อันที่จริงพอคุณสร้างความสัมพันธ์แบบนี้ออกมาได้ ปริศนาก็เกือบคลี่คลายแล้วครับ

คิงดำเหลือตาเดินแค่ไม่กี่ช่องคือกินม้าขาวหรือไม่ก็เดินขึ้นไปหาบิชอบ ม้าขาวหมดสิทธิรุกคิงดำ ถ้าเราเดินตาแรกโดยไม่รุก เราอาจถูกหมากดำใช้เรือบนส่วนที่ 1 โจมตีคิงขาว ทำให้หมดโอกาสทำจนใน 2 ที มีความเป็นไปได้สูงมากว่าเราควรรุกในตาแรก เนื่องจากตัวที่เราจะเอาไปรุกมีแค่เรือกับควีน คำถามต่อมาจึงเป็นการพิจารณาว่ารุกทางไหนดี ทางทิศลูกศร หรือย้อนทิศลูกศร ซึ่งถ้าเรารุกโดยมีทิศโจมตีตามทิศลูกศร (แปลว่า ตัวหมากที่กระทำการรุก จะต้องเดินไปตามทิศลูกศรเพื่อสังหารคิงดำ) เราก็พบว่าดำมีกลยุทธ์เด่นในการปกป้องตันเอง นั่นคือการใช้ม้าหรือควีนเดินมาปิดในตำแหน่งที่หมากสองตัวนี้ผูกกันและกัน มองไปมองมาผมคิดว่าตาที่สวยเท่าที่คิดได้ คือ เอาควีนขาวเดินย้อนศรกินม้าแล้วรุก คิงดำกินควีนไม่ได้เพราะมีม้าขาวดูแลอยู่ ส่วนบิชอบก็กินควีนไม่ได้เพราะเรือขาวบนส่วนที่ 1 คุมเชิงอยู่ บีบให้คิงดำกินม้า หลังจากคิงดำกินม้า เราก็เดินเรือขาวบนส่วนที่ 2 ไปกินควีนดำ และรุกจน




 

Create Date : 17 มิถุนายน 2554    
Last Update : 19 มิถุนายน 2554 10:10:40 น.
Counter : 1781 Pageviews.  

ไล่จับมนุษย์ล่องหน

คุณกำลังไล่จับมนุษย์ล่องหน ก่อนที่เธอจะล่องหน คุณเห็นเธอครั้งล่าสุดอยู่ห่างออกไป 1 กิโลเมตรในทิศทางหนึ่ง คุณรู้ว่าเมื่อเธอล่องหนแล้ว เธอจะวิ่งหนีไปในทิศทางไหนก็ได้ด้วยความเร็วคงที่ (หมายถึงอัตราเร็วคงที่และเส้นทางที่เธอใช้เป็นเส้นตรง) ถ้าคุณวิ่งเร็วกว่าเธอ 3 เท่า คุณจะจับเธอได้มั้ยครับ ถ้าได้ ใช้เส้นทางไหน? ถ้าไม่ได้ ทำไม? (ให้ถือว่าเธอล่องหนได้แค่ครั้งนี้ครั้งเดียว)

โจทย์ข้อนี้เป็นปัญหาคลาสสิกข้อหนึ่งในแคลคูลัส ซึ่งแวบแรกดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ที่คุณจะไล่จับสิ่งที่คุณมองไม่เห็น เพราะมีความเป็นไปได้ หรือมีทิศทางให้เธอหนีนับอนันต์ ก่อนอื่นเรามาสร้างข้อตกลงเพื่อสะดวกในการคำนวณสัก 2 ข้อนะครับ 1. เธอจะหายตัวและเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงแบบนี้ไปตลอดกาลหรือจนกว่าจะจับได้ และ 2. คำว่าจับได้ หมายถึง การที่คุณและเธอครองตำแหน่งเดียวกัน ณ เวลาเดียวกัน

โจทย์ข้อนี้เราจับเธอได้ด้วยการไปจับเธอที่ทุกทิศทางที่เป็นไปได้ครับ กำหนดให้เราเห็นเธอครั้งสุดท้ายที่ตำแหน่ง (0,0) และเราอยู่ตำแหน่ง (d,0) ที่เวลา t = 0 เธอมีอัตราเร็ว v1 ส่วนเรามีอัตราเร็ว v2 และให้ v2/v1 = k เราจะคิดโจทย์ข้อนี้ในกรณีทั่วไป แล้วค่อยแทน d = 1, k = 3 เพื่อเป็นคำตอบเฉพาะสำหรับกรณีเฉพาะของโจทย์

ขั้นแรกเราจะวิ่งเข้าหาเธอโดยสมมติว่าเธอวิ่งเข้าหาเราเช่นกัน (เป็นทิศทางหนึ่งที่เป็นไปได้ใช่มั้ยครับ แม้มันจะน้อยนิดก็ตามที) เราจะได้สมการง่าย ๆ ที่เป็นข้อกำหนดว่าเรากับเธอเจอกันที่ t = T นั่นคือ v2T = dk/(1+k) หมายความว่าเธอวิ่งมาได้ระยะทาง d/(1+k) นับจากจุด (0,0) และตำแหน่งของเราก็อยู่ห่างจากจุก (0,0) เท่ากับ d/(1+k) เช่นกัน จากนั้นที่ t > T ก็ให้วิ่งเป็นวงก้นหอยที่มีขนาดใหญ่ขึ้น (increasing spiral) ซึ่งเส้นโค้ง spiral ดังกล่าวจะต้องสอดคล้องกับความเป็นไปได้ที่เวลา t > T ทั้งเราและเธออยู่ตำแหน่งเดียวกัน

ดังนั้น เราเขียนเวกเตอร์ตำแหน่งของเราที่ t ≥ T ซึ่งชี้ตำแหน่งอยู่บนเส้นโค้ง spiral ได้ด้วย p(t) = v1teiθ(t) เมื่อ θ(t) คือมุมที่เวกเตอร์ p(t) ทำกับแกน x ฉะนั้นเวกเตอร์ความเร็วของเราคือ

p'(t) = v1eiθ(t) + iv1teiθ(t)θ'(t)

จัดรูปนิดหน่อยโดยใช้ Euler's identity

p'(t) = v1[cos(θ) - t⋅sin(θ)⋅θ'(t) + i⋅{sin(θ) + t⋅cos(θ)⋅θ'(t)}]

ซึ่ง |p'(t)|2 ต้องเท่ากับ v22 เงื่อนไขอันนี้แหละครับที่จะทำให้เราไปอยู่จุดที่ p(t) ชี้เวลาเดียวกับเธอถ้าเธอวิ่งหนีมาในทิศทำมุม θ(t) กับแกน x

และ |p'(t)|2 = v12[1 + t2(θ'(t))2]

ได้ (θ'(t))2 = (k2-1)/t2

ถอดรูททั้งสองข้าง เอาแต่ค่าบวก (จะเอาค่าลบก็ได้ครับ มันบอกทิศทางการวิ่งวนของเราว่าจะวิ่งตามเข็มหรือทวนเข็มนาฬิกา) แล้วอินทิเกรตทั้ง 2 ข้าง หา θ(t)

θ(t) = ζ⋅ln(t) + C ที่ t ≥ T และเมื่อ ζ2 = k2-1

หาค่า C จาก ζ⋅ln(T) + C = 0 หรือ C = - ζ⋅ln(T) นั่นคือ θ(t) = ζ⋅ln(t) - ζ⋅ln(T) = ζ⋅ln(t/T)

หรือ t = Teθ(t)/ζ

ฉะนั้น |p(t)| = v1t = v1Teθ(t)/ζ

แทนค่า T = dk/[(1+k)v2]

|p(t)| = [d/(1+k)]eθ/ζ

จากสมการเห็นว่าเราสร้างเส้นโค้งได้เสมอยกเว้นกรณีที่ 0 < k ≤ 1 เพราะจะทำให้ ζ2 ≤ 0 ทีนี้คิดที่กรณีเฉพาะ d = 1, k = 3 ได้ |p(t)| = r = (1/4)eθ/sqrt(8) ลองเอาไปพล๊อตด้วย WolframAlpha ได้กราฟดังรูป อย่าลืมว่าเราสนใจเส้นโค้งนี้ที่ t ≥ T นะครับ (นั่นคือที่ r < 0.25 ก็ไม่ต้องไปสนใจมัน)



กลยุทธ์ที่คุณจะใช้คือเริ่มต้นด้วยวิ่งเข้าหาเธอจนกระทั่งถึงเส้นโค้งแล้ววิ่งต่อไปตามเส้นโค้ง ทุกจุดบนเส้นโค้งเหล่านี้คือจุดที่เป็นไปได้ที่คุณจะอยู่ตำแหน่งเดียวกับเธอ ณ เวลาเดียวกันถ้าเธอวิ่งในทิศนั้น ภายในการวิ่งตามเส้นครบรอบ 360 องศาจะรับประกันว่าคุณจับเธอได้ครับ

ลองเช็คคำตอบกับจุดง่าย ๆ สักจุดนะ สมมติเธอวิ่งในทิศ +y เส้นโค้งตัดแกน y จุดหนึ่งที่ θ = 0.5π หรือ r = 0.25e0.5π/sqrt(8) เธอจะถึงจุด (0,r) นี้ที่ t = 0.25e0.5π/sqrt(8)/v1 เรารู้ว่าที่ t = 0.25/v1 นั้น คุณวิ่งมาถึงเส้นโค้งพอดี ถ้าคุณใช้เวลา 0.25e0.5π/sqrt(8)/v1 - 0.25/v1 = 0.25(e0.5π/sqrt(8)-1)/v1 ในการวิ่งตามเส้นโค้งจากจุด (0.25,0) ถึง (0,r) ก็แปลว่าคุณจะทันกับเธอที่จุด (0,r) พอดี ซึ่งเราคำนวณความยาวเส้นโค้งในช่วงดังกล่าวได้โดยอินทิเกรต sqrt(r2 + (r')2) (วิธีหาความยาวส่วนของเส้นโค้งในรูปเชิงขั้ว) จำกัดเขตจาก θ ตั้งแต่ 0 ถึง 0.5π ถ้าผมอินทิเกรตไม่ผิดนะ มันจะได้ (3/4)(e0.5π/sqrt(8)-1) เมื่อเอาระยะทางหารด้วย v2 เราจะได้ 0.25(e0.5π/sqrt(8)-1)/v1 พอดี นั่นคือทันกันเป๊ะครับ




 

Create Date : 13 มิถุนายน 2554    
Last Update : 14 มิถุนายน 2554 0:07:39 น.
Counter : 1403 Pageviews.  

เหตุผลที่แท้จริงคืออะไร

นักคณิตศาสตร์สองคน ระหว่างเดินถกปรัชญากันอย่างเมามัน ทั้งคู่เหลือบเห็นกระดานหมากรุกที่มีตัวหมากเรียงดังรูป (ด้านล่าง) และถูกทิ้งไว้โดยไม่มีใครอื่นอยู่แถวนั้น นักคณิตศาสตร์ A มองบนกระดานแวบหนึ่งแล้วตั้งคำถาม "พี่ B คิดว่า ถ้าคิงขาวอยากเข้าป้อม (castle) ในรูปตำแหน่งอย่างนี้ จะเป็นไปได้มั้ยครับ"

"หมายความว่าในตาถัดจากรูปตำแหน่งนี้ใช่ไหม" นักคณิตศาสตร์ B ถามเพื่อความมั่นใจ

"ใช่" A ตอบ

B เพ่งมองไม่ถึง 2 วินาทีก่อนยิ้มออกมาแล้วตอบ "ผมว่าเป็นไปไม่ได้นะพี่ A"

"ทำไมไม่ได้ล่ะครับ" A ถาม

"ง่ายมาก" B ยิ้มเจ้าเล่ห์ "ถ้าขาวจะเข้าป้อมได้ มันก็ต้องเป็นตาเดินของขาว แต่นี่เราเห็นได้ชัดว่าตาถัดไปไม่ใช่ตาเดินของขาว"

A ยิ้มบ้าง (ด้วยดีกรีเจ้าเล่ห์ไม่ยิ่งหย่อนกว่ากัน) "รู้ได้อย่างไรครับ"

B อธิบาย "ถ้าตาต่อจากรูปนี้เป็นทีเดินของฝ่ายขาว หมายความว่าก่อนที่จะมาเป็นรูปนี้คิงดำต้องเดิน ถูกมั้ยครับ" (คุณ A พยักหน้า) "แต่คิงดำจะเดินมาจากช่องไหนได้ล่ะ ไม่ว่าคิงดำจะเดินมาจากช่องไหน มันจะต้องเดินมายังช่องนี้เพราะถูกรุก ซึ่งพี่ A คงเห็นได้ไม่ยากว่าทุกช่องที่คิงดำถูกรุกนั้น เป็นการรุกที่เป็นไปไม่ได้ มันไม่มี double check ในรูปนี้ ฉะนั้นผมจึงสรุปว่าตาก่อนที่จะมาเป็นรูปที่เราเห็น ขาวเป็นฝ่ายเดินครับ ในตาถัดไปขาวจึงเป็นฝ่ายเดินอีกไม่ได้ ทำให้ขาวเข้าป้อมไม่ได้"

"ผมเห็นด้วยกับข้อสรุปของพี่ B ว่าคิงขาวเข้าป้อมไม่ได้" A พูด "แต่ผมคิดว่าเหตุผลของพี่ที่นำมาสู่ข้อสรุปนี้ยังไม่เหมาะสมและไม่เพียงพอ ผมคิดว่าเหตุผลที่แท้จริงคือ ..."

คุณคิดว่าเหตุผลที่แท้จริง (ซึ่งเหมาะสมและเพียงพอ) สู่การสรุปว่าคิงขาวเข้าป้อมไม่ได้คืออะไรครับ?

(อ่านเฉลยย่อหน้าถัดไป แน่ใจว่าคุณคิดจำหนำใจแล้วนะครับ)



โจทย์ข้อนี้นำและดัดแปลงจากบทหนึ่งในหนังสือ Chess Mysteries of Sherlock Holmes ของ Raymond Smullyan ผมนำไปตั้งในหว้ากอกับ fb ก็ได้รับคำตอบน่าสนใจหลายแบบ จากรูปนี้มีเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นได้ 2 แบบคือ

1. ตาต่อไปดำเดิน กับ 2. ตาต่อไปขาวเดิน

ถ้าตาต่อไปดำเดิน และดำเดินไม่ได้ อีกทั้งไม่ถูกรุก ก็จะทำให้หมากอับ เสมอกัน ในกรณีที่ 1 นี้นำไปสู่ข้อสรุปว่าขาวเข้าป้อมไม่ได้ได้อย่างปราศจากข้อโต้แย้ง และในกรณีนี้ก็คือข้อคาดการณ์ของของ B เนื่องจาก B วิเคราะห์แล้วพบกว่า กรณีที่ 2 นั้นเป็นไปไม่ได้ เพราะถ้าต่อตาไปขาวเดิน หมายความว่า ตาก่อนหน้านั้นดำต้องเดิน และ B ให้เหตุผลว่า ดำไม่สามารถเดินมาจากช่องใดได้เลย ถ้าดำไม่สามารถเดินมาจากช่องใดได้เลย ข้อสรุปของ B ก็ดูจะ valid ทุกกรณี แต่เป็นเช่นนั้นจริงหรือ

มีคำถามที่น่าสนใจครับ ในเมื่อทั้งคู่เข้ามาพบกระดานหมากรุกที่ไม่มีคนเล่น แล้วพวกเขารู้ได้อย่างไรว่าขาวอยู่ฝั่งไหน ดำอยู่ฝั่งไหน นั่นคือ รูปดังกล่าวมีความเป็นไปได้ 2 แบบ 1. แบบที่หมากไปกระจุกกันที่ฝั่งขาวกับ 2. แบบที่หมากไปกระจุกกันที่ฝั่งดำ ถ้าเป็นกรณีที่หมากไปกระจุกกันที่ฝั่งขาว เหตุผลของ B จะ valid ทุกกรณีย่อยในกรณีนี้ (กล่าวคือตาต่อไปไม่ใช่ตาเดินของขาว) แต่ถ้าเป็นกรณีที่หมากไปกระจุกกันที่ฝั่งดำ เหตุผลที่ว่าตาต่อไปไม่ใช่ตาของขาวจะไม่เป็นจริงทุกกรณี เพราะมีความเป็นไปได้ว่าประวัติศาสตร์หนึ่งของเกมจะเป็นแบบนี้ (ขวาคือ Raymond Smullyan)



จากรูปขาวกินม้าโปรโมตเป็นเรือ (Rook) รุกคิงดำ ดำเดินคิงหนี ทำให้เกิดรูปตามโจทย์แต่คนละ direction นั่นคือตาถัดไปขาวเดินได้ครับ แต่เข้าป้อมไม่ได้เพราะหากเป็นแบบนี้คิงขาวเดินมาหลายทีแล้ว ฉะนั้นเหตุผลที่สมบูรณ์อันนำไปสู่ข้อสรุปว่าคิงขาวไม่สามารถเข้าป้อมได้คือ ไม่ใช่ตาเดินของขาวหรือถ้าใช่ตาเดินของขาวมันก็ไม่ใช่ฝั่งที่ขาวสามารถเข้าป้อมได้




 

Create Date : 09 มิถุนายน 2554    
Last Update : 9 มิถุนายน 2554 16:26:17 น.
Counter : 1237 Pageviews.  

La habitación de Fermat ตอนที่ 1 ปริศนาในห้องของแฟร์มาต์

     La habitación de Fermat หรือ Fermat's Room (ห้องของแฟร์มาต์) หนังเขย่าขวัญสัญชาติสเปน ที่ดูแค่ชื่อก็ฟ้องความเกี่ยวข้องกับคณิตศาสตร์ออกมาเต็มตา ใครคือแฟร์มาต์? แฟร์มาต์เป็นทนายความชาวฝรั่งเศสศตวรรษที่ 17 และเป็นนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นผู้มีผลงานคณิตศาสตร์โดดเด่นมากมาย จนได้รับฉายาว่าจ้าวแห่งมือสมัครเล่น (The King of Amateurs) แต่ห้องของแฟร์มาต์ไม่มีอะไรเกี่ยวข้องกับศตวรรษที่ 17 เท่าไร (ถ้า 18 ก็ไม่แน่ – ตัวละครลับที่เราจะพูดถึงในตอนที่ 2) เนื้อเรื่องหลักคือนักคณิตศาสตร์ 4 คนถูกลวงให้มาติดอยู่ในห้องปิดตาย และทั้ง 4 คนนี้ใช้นามแฝงตามชื่อนักคณิตศาสตร์ยิ่งใหญ่ในอดีต ได้แก่ กาโลอีส โอลิวา ฮิลแบร์ต กับปาสกาล ความสัมพันธ์ประการเดียวระหว่างนามแฝงกับตัวจริงคือนักคณิตศาสตร์ยิ่งใหญ่ทั้ง 4 เสียชีวิตตอนอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของคนที่ใช้นามแฝงนั้น นั่นคือใครก็ตามที่ตั้งนามแฝงให้กับพวกเขา มีเจตนาที่จะบอกพวกเขาเป็นนัยว่าวันนี้คือวันตายของพวกแก และคนที่ตั้งนามแฝงให้กับพวกเขาทั้ง 4 เรียกตัวเองด้วยนามแฝงว่าแฟร์มาต์ ห้องปิดตายห้องนั้นก็คือห้องของแฟร์มาต์

     

     วิธีฆาตกรรมของนายแฟร์มาต์แห่งศตวรรษที่ 21 คนนี้สร้างสรรค์ครับ นักคณิตศาสตร์ทั้ง 4 คนต้องช่วยกันแก้ปริศนาให้ทันตามเวลาที่กำหนด หากหมดเวลาแล้วยังไม่พบคำตอบ ผนังทั้ง 4 ด้านของห้องจะค่อย ๆ บีบเข้าหากัน บี้ทุกสิ่งทุกอย่างที่อยู่ในห้องนั้นอัดเป็นก้อนเดียว แถมปริศนาที่คุณฆาตกรเตรียมไว้ก็มีหลายข้อเสียด้วยสิ ลองเล่นกันสักหน่อยไหม ปริศนาส่วนใหญ่ไม่ยากจนถึงขั้นต้องถามหาเฉลย

อ่านต่อฉบับเต็มคลิกที่นี่ (ไฟล์ pdf)




 

Create Date : 14 มีนาคม 2554    
Last Update : 14 มีนาคม 2554 12:01:22 น.
Counter : 8234 Pageviews.  

พาย ความบ้าที่มีจุดสิ้นสุด

     แม็กซ์ โคเฮน นักคณิตศาสตร์ผู้หมกมุ่นกับความจริงเพียงประการเดียว นั่นคือความจริงที่อยู่เบื้องหลังจำนวน เขามีสมมติฐาน 3 ข้อ (1) คณิตศาสตร์เป็นภาษาของธรรมชาติ (2) ทุกสิ่งทุกอย่างรอบตัวเราสามารถนำเสนอและเข้าใจได้ด้วยจำนวน (3) ถ้าคุณวาดกราฟจำนวนของระบบใด ๆ คุณจะพบรูปแบบ สมมติฐานทั้ง 3 ข้อนี้นำไปสู่ข้อสรุปว่า มีรูปแบบอยู่ทุกหนแห่งในธรรมชาติ ตัวอย่าง วงจรการเกิดโรคระบาด วงจรการเพิ่มและลดจำนวนประชากรของกวางแคริบู ฉะนั้นแม็กซ์เชื่อว่าในตลาดหุ้นก็ต้องมีรูปแบบเช่นกัน งานวิจัยของเขาคือหารูปแบบนั้นออกมา

     

     π เป็นหนังยาวเรื่องแรกของดาร์เรน อโรนอฟสกี ผู้กำกับชาวยิวอเมริกัน ผมกล้าพูดว่าหนังของเขาเจ๋งทุกเรื่อง และเพลงประกอบส่วนใหญ่รวมถึง π เป็นผลงานของคลินท์ แมนเซลล์ งานของคู่นี้ที่คุณจะเสียดายหากไม่ได้ดูและได้ฟังก็อาทิ Requiem for a Dream (2000), The Fountain (2006) เพลง Lux Æterna ประกอบ Requiem for a Dream นั้น ฮิตขนาดที่ไม่รู้จะบรรยายกันยังไง ใน π อโรนอฟสกีถ่ายทอดเรื่องราวความบ้า ความโดดเดี่ยว ความทุกข์ทรมานจากอาการปวดหัวขั้นรุนแรง ความหลงใหลในความคิดเกี่ยวกับรูปแบบของนักคณิตศาสตร์หนุ่มนามแม็กซ์ หนังบอกเล่าด้วยสำเนียงของหนังขาวดำทุนต่ำ แต่กระแสและเงินตอบรับกลับมิได้ต่ำตาม สิ่งที่แม็กซ์ทำคือมองหารูปแบบในตลาดหุ้นจากจำนวนที่ปรากฏแล้วใช้รูปแบบนั้นทำนายอนาคต เขามีเครื่องคำนวณชื่อยุคลิดเป็นผู้ช่วย (คอมพิวเตอร์นั่นแหละครับ แต่เป็นคอมพิวเตอร์ทำงานเฉพาะอย่าง) และผู้ช่วยขณะที่กำลังทำนายความเคลื่อนไหวของตลาด ได้ผลิตตัวเลขชุดหนึ่งออกมาก่อนที่มันจะพัง ต่อมาพบว่าคำทำนายนั้นตรงกันเป๊ะกับดัชนีในวันรุ่งขึ้น แน่นอน งานของเขาต้องเข้าตาบรรดาบริษัทที่ข้องเกี่ยว คนกลุ่มนี้ก็อยากได้ตัวเลขของแม็กซ์เพื่อผลประโยชน์ของตัวเอง ขณะเดียวกัน ด้วยความที่หนังเล่นกับ numerology ตัวเลขชุดนี้จึงดูเหมือนมีความสัมพันธ์กับรหัสลับในคัมภีร์โตราห์ กลายเป็นภาษาของพระเจ้า และเป็นที่หมายปองของคนอีกกลุ่มหนึ่งเช่นกัน บทสรุปของหนังอยากให้หาชมกันเอาเองครับ

     แล้วเรื่องของแม็กซ์เกี่ยวกับ π ตรงไหน? อาจารย์ของแม็กซ์ชื่อโซลใช้เวลา 40 ปีในการหารูปแบบของ π สุดท้ายล้มเลิกเพราะไม่พบรูปแบบอะไรเลย แต่ก่อนล้มเลิกแกก็ได้ตัวเลขชุดเดียวกับที่แม็กซ์ได้ และเชื่อว่าไม่มีความหมายใดซ่อนเร้นนอกจากบั๊กของโปรแกรม โซลเป็นคนแนะนำให้แม็กซ์ปล่อยวางและยอมรับความเป็นไปได้ของการไร้รูปแบบ ความยุ่งเหยิง ความซับซ้อน ไม่ใช่พยายามที่จะมองหาความสำคัญของตัวเลขใดตัวเลขหนึ่ง และความสัมพันธ์ของตัวเลขนั้นกับสิ่งรอบตัว เพราะถ้าคุณอยากให้มี มันก็มี แม็กซ์แย้งกลับ คุณรู้ได้ไงว่าไม่มี? คำถามนี้น่าสนใจครับ และเอามาตั้งคำถามกับ π ได้ด้วย คำว่ารูปแบบนั้นสามารถเป็นอะไรได้หลายอย่าง แต่ในที่นี้เราจะพิจารณารูปแบบอย่างง่ายหรือรูปแบบของการเกิดขึ้นซ้ำ ๆ เรารู้ได้อย่างไรว่าทศนิยมหลัง π ไม่มีรูปแบบหรือไม่ซ้ำ เหมือน 73/22 ซึ่งเป็นตัวอย่างจากหนังที่หนูน้อยเจนนาเอามาเล่นกับแม็กซ์ 73/22 = 3.31818... มีทศนิยมยาวต่อเนื่องกันไปไม่รู้จบ แต่มีรูปแบบ 18 ปรากฏซ้ำ หรือ 77/73 มีรูปแบบ 05479452 ซ้ำ บางที π อาจมีรูปแบบซ้ำที่ยาวมาก ๆ ก็ได้นี่นา เป็นไปได้ไหมว่าที่เราเห็นไม่ซ้ำนั่นเป็นเพราะเรายังเห็นมันไม่ยาวพอ

อ่านต่อฉบับเต็มคลิกที่นี่ (ไฟล์ pdf)

หมายเหตุ บทความนี้เขียนก่อน Black Swan ฉายครับ




 

Create Date : 12 มีนาคม 2554    
Last Update : 12 มีนาคม 2554 20:17:11 น.
Counter : 1139 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.