creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 

วิธีที่ออยเลอร์ใช้แก้ปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก



จากรูป แผนที่เมืองเคอนิกส์แบร์กของปรัสเซียน ก่อตั้งโดยพวกอัศวินทอยโทนิคในปี 1254 มีแม่น้ำเพรเกลไหลผ่านล้อมรอบพื้นที่เกาะ Kneiphof แบ่งเมืองออกเป็นดินแดนสี่ส่วน เชื่อมต่อถึงกันด้วยสะพาน 7 แห่ง (ตำแหน่งของสะพาน ชี้โดยลูกศรสีน้ำเงิน รูปล่าง)



กิจกรรมยามว่างอย่างหนึ่งของชาวเมืองคือ การหาเส้นทางเดินผ่านสะพานทั้ง 7 โดยข้ามสะพานแต่ละแห่งแค่เพียงครั้งเดียวเท่านั้น ไม่มีผู้ใดประสบความสำเร็จเลย ออยเลอร์ได้รับจดหมายจากนายกเทศมนตรีคาร์ล เลออนฮาร์ด กอตลีบ เอห์เลอร์ แห่งดานซิกส์ (ปัจจุบันอยู่ในโปแลนด์) ขอเฉลยปัญหาสะพานทั้ง 7 แห่งเคอนิกส์แบร์กพร้อมข้อพิสูจน์ ตอนนั้นปัญหานี้ยังไม่เป็นปัญหาคณิตศาสตร์นะครับ ถึงแม้จะมีการพูดถึง Geometriam situs หรือ geometry of position โดยไลบ์นิซมาก่อน ออยเลอร์ก็ตอบกลับไปว่า "ปัญหาดังกล่าวมีความสัมพันธ์กับคณิตศาสตร์แค่นิดเดียว ฉันไม่เข้าใจเลยทำไมท่านถึงคาดหวังให้นักคณิตศาสตร์เป็นผู้ตอบ แทนที่จะเป็นคนอื่น ด้วยคำตอบของมันอยู่บนหลักของเหตุและผลเท่านั้น การค้นพบผลเฉลยไม่ได้ขึ้นอยู่กับหลักการทางคณิตศาสตร์ใด ๆ" แต่สิ่งที่ออยเลอร์กำลังจะแสดงต่อไปนี้ ในปัจจุบันเราเรียกมันว่าทฤษฎีกราฟ กระนั้นหน้าตา และวิธีการแก้ปัญหาของออยเลอร์ ก็มิได้วาดรูปกราฟมีเซ็ตของจุด เซ็ตของเส้นดังที่เราเรียนกันทุกวันนี้

ในบทความปี 1736 ออยเลอร์เริ่มต้นด้วยการแนะนำวิธีเขียนเส้นทางเดินโดยใช้ตัวอักษรของแผ่นดิน เช่น ถ้าคุณเดินข้ามสะพานจาก A ไป B ก็เขียนเส้นทางเดินว่า AB จากนั้นข้ามสะพานจากฝั่ง B ไปยัง C เส้นทางเดินก็เพิ่มขึ้นเป็น ABC หากต่อมาข้ามจาก C กลับมา A อีก เส้นทางก็เป็น ABCA



เมื่อเราเขียนอย่างนี้ ออยเลอร์บอกว่า เส้นทางที่เขียนด้วยตัวอักษร n ตัว ย่อมหมายความว่ามีการข้ามสะพานทั้งหมด n-1 สะพาน เช่น เส้นทาง ABCA มีตัวอักษร 4 ตัว เท่ากับการเดินข้ามสะพาน 4-1 = 3 สะพาน นั่นคือ ปัญหาสะพานเคอนิกส์แบร์ก ถ้าหากเราจะข้ามแต่ละสะพานแค่ครั้งเดียว เราต้องเขียนเส้นทางโดยใช้ตัวอักษร 8 ตัว (เพราะมี 7 สะพาน)

ต่อมา ออยเลอร์สำรวจข้อเท็จจริงพื้นฐานอย่างง่ายว่า ถ้าดินแดนใด ๆ มีสะพานอยู่ k สะพาน และ k เป็นจำนวนคี่ จำนวนตัวอักษรของดินแดนนั้นที่ปรากฎในเส้นทางสุดท้าย ย่อมเท่ากับ (k+1)/2 เช่น ถ้ามีดินแดน 2 ฝั่งคือ A กับ B และมีสะพานอยู่ 1 สะพาน เส้นทางคือ AB หรือ BA แต่ถ้ามีสะพานอยู่ 3 สะพาน เส้นทางคือ ABAB หรือ BABA (ขึ้นอยู่กับว่าคุณเริ่มเดินจากฝั่ง A หรือ B)



แต่ถ้า k เป็นจำนวนคู่ล่ะ เช่น 2 สะพาน เส้นทางอาจเป็น ABA หรือ BAB (ขึ้นอยู่กับว่าคุณเริ่มเดินจากดินแดนไหน) หรือกรณี 4 สะพาน เส้นทางอาจเป็น ABABA หรือ BABAB คงมองเห็นได้ไม่ยากว่า กรณีที่ k เป็นจำนวนคู่ จำนวนตัวอักษรของดินแดนนั้นที่ปรากฎในเส้นทางสุดท้าย ย่อมเท่ากับ (k/2) + 1 ถ้าเราเริ่มต้นในดินแดนนั้น หรือ k/2 ถ้าเราเริ่มต้นนอกดินแดนนั้น

จากนั้นออยเลอร์ก็ใช้หลักการเรียบง่ายอันนี้แหละครับ ย้อนกลับไปมองแผนที่เคอนิกส์แบร์ก ซึ่งมีบริเวณดินแดน 4 บริเวณคือ A B C D แต่ละบริเวณมีสะพาน 5 3 3 3 ตามลำดับ (ดูรูปด้านล่าง) ซึ่งเป็นจำนวนคี่ทั้งหมด ฉะนั้นแต่ละดินแดนจะมีตัวอักษรปรากฎ 3 2 2 2 ตามลำดับ ก็เป็นไปตามสูตร (k+1)/2 นะครับ



ทีนี้ พอเรารวมจำนวนตัวอักษรทั้งหมดที่ปรากฎ (รวม frequency) ได้ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 มันฟ้องว่า เส้นทางที่ใช้ 9 ตัวอักษร ต้องมีสะพาน 9 - 1 = 8 สะพาน แต่เมืองเคอร์นิกส์แบร์กมีแค่ 7 สะพาน จึงเป็นไปไม่ได้แน่นอนที่เราจะเดินข้ามให้ครบทุกสะพาน โดยผ่านแค่เพียงสะพานละหนึ่งครั้ง

ออยเลอร์ไม่หยุดแค่เคอนิกส์แบร์ก ในบทความนั้น ออยเลอร์ยังยกตัวอย่างที่ซับซ้อนขึ้นอีก ดังรูป



ดินแดนที่มีเครื่องหมายดอกจัน (*) หมายถึงดินแดนที่มีจำนวนสะพานเป็นเลขคู่ ซึ่งในตาราง (รูปบน) ออยเลอร์เขียนความถี่ของตัวอักษรโดยใช้สูตร k/2 นั่นคือออยเลอร์สมมติว่าไม่ได้เริ่มต้นเดินจากในดินแดนเหล่านี้ ถ้าผลรวมของความถี่เท่ากับจำนวนสะพานพอดี ก็แปลว่าเราต้องหาทางเริ่มเดินจากดินแดนที่มีเครื่องหมายดอกจัน (เพื่อให้ผลรวมของความถี่เพิ่มขึ้นอีกหนึ่ง ตามสูตร (k/1)+1 และเท่ากับจำนวนตัวอักษรที่ต้องใช้บรรยายเส้นทางสุดท้าย-ซึ่งเท่ากับจำนวนสะพานบวกด้วยหนึ่ง) แต่ถ้าผลรวมความถี่มากกว่าจำนวนสะพานอยู่หนึ่ง (หรือพูดว่าผลรวมความถี่เท่ากับจำนวนตัวอักษรที่ใช้บรรยายเส้นทางสุดท้ายพอดี) ก็ให้เริ่มต้นเดินจากดินแดนที่ไม่มีเครื่องหมายดอกจัน จากรูป ผลรวมความถี่คือ 16 และจำนวนสะพานเท่ากับ 15 ดังนั้นจึงมีเส้นทางที่เราสามารถเดินครบทุกสะพานได้ โดยข้ามแต่ละสะพานแค่เพียงครั้งเดียว และเริ่มต้นในดินแดนที่ไม่มีเครื่องหมายดอกจัน ตัวอย่างเส้นทางแสดงดังรูป



ผลรวมของสะพานแต่ละดินแดนทุกดินแดน (ผลรวมในช่อง bridges) จะต้องเท่ากับ 2 เท่าของจำนวนสะพาน อันนี้ปัจจุบันเราเรียกว่า handshaking lemma เห็นชัดนะครับ ก็เพราะสะพาน 1 สะพานต้องเชื่อมดินแดนสองดินแดนเสมอ สุดท้ายออยเลอร์สรุปว่า ถ้ามีดินแดนมากกว่าสองดินแดนที่มีจำนวนสะพานเป็นจำนวนคี่ เราจะไม่สามารถเดินข้ามสะพานทุกสะพานได้ครบโดยเดินผ่านแค่เพียงสะพานและหนึ่งครั้ง



ทำไมล่ะ? ก็เพราะถ้ามีดินแดนที่มีสะพานเป็นจำนวนคี่มากกว่า 2 สะพาน ผลรวมของความถี่ทั้งหมดจะได้ค่าจำนวนที่เกินผลรวมของจำนวนสะพานทั้งหมดอยู่มากกว่า 1 เสมอ เนื่องจากดินแดนที่มีสะพานเป็นจำนวนคี่จะมีความถี่มากกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนสะพานที่ติดกับดินแดนนั้น ลองย้อนกลับไปดูสะพานทั้ง 7 ของเคอนิกส์แบร์กสิครับ




 

Create Date : 21 กุมภาพันธ์ 2555    
Last Update : 21 กุมภาพันธ์ 2555 15:44:58 น.
Counter : 9372 Pageviews.  

ถ้า 2 + 2 = 5 แล้วคุณเป็นโป๊ปเหรอ

"คุณหมายความว่าถ้า 2 + 2 = 5 แล้วคุณเป็นโป๊ปเหรอ"

นักปรัชญาขี้สงสัยคนหนึ่งถามเบอร์ทรันด์ รัสเซลล์



รัสเซลล์ตอบใช่ พร้อมบทพิสูจน์ขำ ๆ ว่า "ถ้าคุณบอกว่า 2 + 2 = 5 งั้นคุณต้องเห็นด้วยว่าถ้าเราลบออกด้วย 2 ทั้งจากสองข้างของสมการ ได้ 2 = 3 สลับตำแหน่ง ได้ 3 = 2 จากนั้นลบด้วย 1 จากทั้งสองข้างของสมการ ได้ 2 = 1 ทีนี้ เนื่องจากโป๊ปกับผมเป็นคนสองคน และ 2 = 1 ดังนั้นโป๊ปกับผมเป็นหนึ่งคน ใช่ครับ ผมเป็นโป๊ป"

(อ่านเจอใน I Think, Therefore I Laugh ของ John Allen Paulos)




 

Create Date : 11 กุมภาพันธ์ 2555    
Last Update : 11 กุมภาพันธ์ 2555 20:41:13 น.
Counter : 1278 Pageviews.  

ดวงจันทร์กับ angular diameter ของมันเมื่อมองโดยคนบนโลก

ดวงจันทร์อยู่ห่างจากโลกประมาณ d=381,554.541 กิโลเมตร มีรัศมีประมาณ r=1,737.1 กิโลเมตร คนบนโลกที่แหงนดูดวงจันทร์ ก็จะมองเห็นดวงจันทร์มีขนาด angular diameter เท่ากับ 2*arctan(r/d) ประมาณ 0.0091 เรเดียนหรือ 0.52 องศา จากรูปด้านล่าง ถ้าหน้าต่างกว้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของส่วนสูงคนในภาพ (สมมติคนสูง 180 ซม) หน้าต่างกว้าง 90 ซม จากรูป ถ้าเอาดวงจันทร์มาเรียงต่อกันแนวนอน จะใช้ดวงจันทร์ 4 ดวง เรียงกันเต็มหน้าต่างพอดี ฉะนั้น angular diameter ของหน้าต่างเท่ากับ 4*0.52 = 2.08 องศา ลองคำนวณ tan(1.04) = 45/x ได้ x = 2479 ซม แปลว่า คนที่วาดภาพนี้ต้องนั่งอยู่ห่างจากหน้าต่างประมาณ 250 เมตร!



คนวาดจะนั่งห่างออกไปประมาณความยาวมากกว่าสองสนามฟุตบอลเพื่อ? ยังมองเห็นคนที่นั่งอยู่ข้างหน้าต่างอีกเหรอ? เหลือความเป็นไปได้ 2 ทาง 1. วาดจากจินตนาการ และต้องจินตนาการว่าตัวเองวาดคนที่อยู่ห่างออกไป 2 สนามฟุตบอล 2. วาดจากแบบจริงหรือจินตนาการที่ผู้วาดอยู่ไม่ไกลจากคนในภาพ อาจจะห่างออกไปแค่ 1-2 เมตร แต่จงใจขยายขนาดของดวงจันทร์ให้ใหญ่เกินจริง สมมติว่าผู้วาดอยู่ห่างจากหน้าต่าง 2 เมตร angular diameter ของหน้าต่างประมาณ 2*arctan(45/200) หรือ 25.36 องศา เอาไปหารด้วย 0.52 ได้ 48.77 แปลว่าขนาดของดวงจันทร์ที่ถูกต้อง จะต้องสามารถเอามาเรียงแนวนอนแบบไม่ซ้อนกันประมาณ 49 ดวงเต็มหน้าต่างพอดี นั่นคือ ดวงจันทร์ที่สมเหตุสมผลต้องเล็กกว่าดวงจันทร์ในภาพนี้อย่างน้อย 12 เท่า

คนวาดตก math เหรอ? จะไปรู้ได้ไง แต่ก็เป็นไปได้ว่า บางทีเขาอาจอยากทำให้คนดูดื่มด่ำกับสุนทรียะแห่งอารมณ์ที่ตกอยู่ภายใต้อิทธิพลของดวงจันทร์

หมายเหตุ เตรียมใช้เป็นมุกหลอกเด็กในค่ายวันพฤหัสบดีนี้ :P




 

Create Date : 07 กุมภาพันธ์ 2555    
Last Update : 7 กุมภาพันธ์ 2555 11:24:07 น.
Counter : 1496 Pageviews.  

ปัญหาซอมบี้ของคุณชโรนนท์

จากปัญหาคณิตศาสตร์ในห้องหว้ากอของคุณชโรนนท์** โจทย์บอก คุณเข้าไปในตึกหนึ่งซึ่งไม่รู้ว่ามีคนอยู่กี่คน และคนในตึกนั้นเป็นซอมบี้บ้างหรือไม่ หรือเป็นซอมบี้กี่คน ปรากฎว่าคนแรกที่คุณเจอเป็นซอมบี้ คุณฆ่ามันตาย ต่อมาคุณเจออีกคนหนึ่ง ถามว่าคนที่สองนี้มีโอกาสเป็นซอมบี้เท่าไร



ถ้าในตึกมีคน 2 คน และโอกาสที่จะมีซอมบี้ 0 หรือ 1 หรือ 2 ตัว มีค่าเท่า ๆ กัน (อันนี้เป็น priori knowledge) ต่อมาเราได้รับประสบการณ์เพิ่มเติม เพราะเจอกับคนแรก แล้วมันเป็นซอมบี้ เราจะมีความรู้ใหม่ เป็น posteriori knowledge ว่า กรณีซอมบี้ 0 ตัวนั้นไม่ใช่ล่ะ ฉะนั้นอาจมีซอมบี้ 1 ตัวหรือ 2 ตัวก็ได้ แต่ทั้งนี้ทั้งนั้นด้วยความน่าจะเป็นไม่เท่ากัน ทำไมไม่เท่ากันครับ เพราะถ้ามีซอมบี้ 1 ตัว โอกาสที่จะเจอคนแรกแล้วคนนั้นเป็นซอมบี้เท่ากับ 50% ขณะที่ถ้าเป็นกรณีซอมบี้ 2 ตัว โอกาสที่จะเจอคนแรก แล้วคนนั้นเป็นซอมบี้เท่ากับ 100% นั่นคือ กรณีมีซอมบี้ 2 ตัวมีโอกาสเป็นไปได้มากกว่ากรณีมีซอมบี้ 1 ตัวอยู่เท่าตัวในการที่จะทำให้เราเจอกับซอมบี้เป็นตัวแรก ฉะนั้น หลังจากคุณมีประสบการณ์ว่าคนแรกที่เจอเป็นซอมบี้ โอกาสที่คนที่สองจะเป็นซอมบี้ด้วยเท่ากับ (1/3)(0) + (2/3)(1) = 2/3

ถ้าในตึกมีคน 3 คน และด้วย priori knowledge แบบเดิม คือ โอกาสที่จะมีซอมบี้ 0 หรือ 1 หรือ 2 หรือ 3 ตัว มีค่าเท่า ๆ กัน เราตัดกรณี 0 ตัวทิ้งไปเหมือนเดิม เพราะเรามีความรู้เพิ่มหลังจากที่เราเจอซอมบี้ตัวแรก เช่นเคยครับ คราวนี้กรณีมีซอมบี้ 1 หรือ 2 หรือ 3 ตัวก็ไม่เท่ากันแล้วล่ะ (แต่ละกรณี มีความน่าจะเป็นที่จะเจอคนแรกแล้วคนนั้นเป็นซอมบี้เท่ากับ 1/3, 2/3, 1 ตามลำดับ) ฉะนั้น โอกาสที่คนที่สองจะเป็นซอมบี้เท่ากับ (1/6)(0) + (2/6)(1/2) + (3/6)(1) = 2/3

ถ้าในตึกมีคน 4 คน ... โอกาสที่คนที่สองจะเป็นซอมบี้เมื่อเราเจอซอมบี้ตัวแรกเท่ากับ (1/10)(0) + (2/10)(1/3) + (3/10)(2/3) + (4/10)(1) = 2/3

ถ้าในตึกมีคน n คน ... (1/s)(0) + (2/s)(1/[n-1]) + (3/s)(2/[n-1]) + ... + ([n-1]/s)([n-2]/[n-1]) + (n/s)(1) = 2/3* เมื่อ s = 1 + 2 + 3 + ... + n

เราเห็นว่าโอกาสที่คนที่สองจะเป็นซอมบี้ (เมื่อเราตั้งสมมติฐานว่าตึกนี้มีโอกาสมีซอมบี้ 0 ตัว หรือ 1 ตัว หรือ 2 ตัว ... หรือ n ตัวเท่า ๆ กัน และเรามีประสบการณ์เพิ่มเติมว่าคนแรกที่เราเจอในตึกนี้เป็นซอมบี้) ไม่ขึ้นอยู่กับค่าของ n คือเท่ากับ 2/3

ทีนี้จะเกิดอะไรขึ้น ถ้า priori knowledge เปลี่ยนไป สมมติเรามีความรู้ (หรือตั้งสมมติฐานเริ่มต้น) ว่า แต่ละคนมีโอกาสเป็นซอมบี้หรือไม่เป็นซอมบี้ก็ได้เท่า ๆ กัน หมายความว่า ถ้าเราเข้าตึกนี้แล้วสุ่มเลือกคนออกมาหนึ่งคน โอกาสที่คน ๆ นั้นจะเป็นซอมบี้เท่ากับ 50% คำถามคือ หลังจากเรามีประสบการณ์ พบว่าคนแรกที่เจอเป็นซอมบี้นั้น จะเปลี่ยนแปลงการประเมินโอกาสที่คนที่สองที่เราเจอเป็นซอมบี้ไปอย่างไร คำตอบอาจจะดู amazing สำหรับบางคนนะครับ คือความรู้หรือประสบการณ์การเจอซอมบี้ตัวแรกไม่ได้ช่วยในการประเมินความเป็นซอมบี้ของคนที่สองที่เราเจอเลย เหมือนกับการที่เราโยนเหรียญครั้งแรกออกหัว มันไม่ช่วยบอกอะไรเกี่ยวกับผลลัพธ์ของการโยนเหรียญครั้งที่สอง เพราะ เรารู้เพียง (priori knowledge คือ) การโยนเหรียญแต่ละครั้งมีโอกาสออกหัวหรือก้อยเท่า ๆ กัน ทำนองเดียวกับการเป็นหรือไม่เป็นซอมบี้ของคน ๆ หนึ่งที่อาจจะเป็นหรือไม่เป็นก็ได้เท่า ๆ กัน ตรงนี้แตกต่างปัญหาลูกของคุณสมิธนะครับ

คุณสมิธมีลูก 2 คน ถ้าเรารู้ว่ามีลูกคนหนึ่งเป็นผู้ชาย (รู้เพียงเท่านี้) โอกาสที่ลูกอีกคนจะเป็นผู้ชายเท่ากับ 1/3 ไม่ใช่ 1/2 แต่ถ้าเรารู้ว่าคุณสมิธมีลูกหนึ่งคนเป็นผู้ชายภายใต้บางสถานการณ์ (ที่ทำให้เกิดความรู้อื่นเพิ่มขึ้นมาอีก) เช่น เราเจอเด็กคนหนึ่ง เด็กคนนั้นบอกว่า ฉันเป็นลูกของพ่อสมิธนะ (หรือ มีใครเดินมาบอกเราและชี้ไปที่เด็กคนนั้น ว่านั่นเป็นลูกของคุณสมิธ) ถามว่าโอกาสที่ลูกอีกคนหนึ่งของคุณสมิธจะเป็นผู้ชาย ยังเท่ากับ 1/3 มั้ยครับ? กรณีนี้ไม่ใช่แน่นอน! โอกาสที่ลูกอีกคนหนึ่งของคุณสมิธจะเป็นผู้ชายเท่ากับ 1/2, ทำไม?

ถ้าเราไม่มีความรู้อะไรเลย (นอกจาก priori knowledge ที่ว่า ลูกแต่ละคนอาจเป็นหญิงหรือชายก็ได้เท่า ๆ กัน) ลูกของคุณสมิธอาจเป็น ชาย-ชาย, ชาย-หญิง, หญิง-ชาย, หญิง-หญิง ด้วยโอกาสเท่ากัน พอเรารู้ว่าคนหนึ่งเป็นชาย เราประเมินใหม่โดยตัดกรณี หญิง-หญิง ทิ้ง แล้วพบว่ากรณี ชาย-ชาย มีความเป็นไปได้คือ 1/3 แต่ถ้าเราเจอลูกชายของแกหนึ่งคน กรณี ชาย-ชาย เป็นกรณีที่ทำให้เรามีโอกาสเจอลูกชายมากกว่ากรณี ชาย-หญิง หรือ กรณี หญิง-ชาย นั่นคือกรณี ชาย-ชาย คนที่เราเจอ อาจจะเป็นชาย 1 หรือ ชาย 2 ก็ได้ (ความรู้ที่เพิ่มขึ้นมาจากการรู้ว่ามีลูกคนหนึ่งเป็นชายในกรณีนี้เกิดจากการประเมินร่วมกับโอกาสที่คุณจะได้เจอลูกชายคนใดคนหนึ่งของคุณสมิธ) โอกาสที่ลูกอีกคนหนึ่งของสมิธจะเป็นชายจึงเท่ากับ 1/2 (หรือคิดอีกอย่างหนึ่งว่า ลูกอีกคนหนึ่งของคุณสมิธ คนที่คุณยังไม่เคยเจอมีโอกาสเป็นหญิงหรือชายก็ได้เท่า ๆ กัน เพราะลูกแต่ละคนมีโอกาสเป็นหญิงหรือชายก็ได้เท่ากัน เพราะความเป็นเพศของลูกอีกคนหนึ่ง ที่ไม่ใช่คนนี้ ไม่ขึ้นอยู่กับว่าเพศของคนที่คุณเจอว่าเป็นเพศอะไร) กรณีซอมบี้ก็เช่นเดียวกันครับ ด้วย priori knowledge ว่าคนใด ๆ มีโอกาสเป็นซอมบี้หรือไม่เป็นซอมบี้ก็ได้เท่า ๆ กัน การที่เราเจอคนแรกว่าเป็นซอมบี้ มันก็ไม่มีผลอะไรกับโอกาสการเป็นซอมบี้ของคนที่สองที่เราเจอเมื่อเรามีเฉพาะ priori knowledge

ตัวอย่าง กรณีในตึกมี 2 คน ความเป็นไปได้ทั้งหมดคือ คน-คน, คน-ซอมบี้, ซอมบี้-คน, ซอมบี้-ซอมบี้ ต่อมาเราเจอคนหนึ่งและพบว่าคนนั้นเป็นซอมบี้ เราตัดกรณี คน-คน ทิ้งไป เหลือกรณี คน-ซอมบี้, ซอมบี้-คน, ซอมบี้-ซอมบี้ การที่เราพบว่าคนแรกที่เราเจอเป็นซอมบี้นั้น กรณี คน-ซอมบี้, ซอมบี้-คน มีโอกาสเป็นไปได้กรณีละ 50% ส่วนกรณี ซอมบี้-ซอมบี้ มีโอกาสเป็นไปได้ 100% ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่คนที่สองเป็นซอมบี้เมื่อคนแรกเป็นซอมบี้เท่ากับ 50% (เท่ากับความน่าจะเป็นที่คนที่สองเป็นซอมบี้เมื่อคนแรกไม่เป็นซอมบี้)

กรณีในตึกมี 3 คน ความเป็นไปได้ทั้งหมดคือ ค-ค-ค, ค-ค-ซ, ค-ซ-ค, ค-ซ-ซ, ซ-ค-ค, ซ-ค-ซ, ซ-ซ-ค, ซ-ซ-ซ ต่อมาเราเจอคนแรกและพบว่าเป็นซอมบี้ เราตัดกรณี ค-ค-ค ทิ้งไป เหลือ 7 กรณีคือ ซ-ซ-ซ, ค-ค-ซ, ค-ซ-ค, ค-ซ-ซ, ซ-ค-ค, ซ-ค-ซ, ซ-ซ-ค ซึ่งแต่ละกรณีมีโอกาสที่คนแรกที่เราเจอเป็นซอมบี้เท่ากับ 1, 1/3, 1/3, 2/3, 1/3, 2/3 และ 2/3 ตามลำดับ ฉะนั้นความน่าจะเป็นที่คนที่สองเป็นซอมบี้เมื่อคนแรกเป็นซอมบี้เท่ากับ (3/12)(1) + (1/12)(0) + (1/12)(0) + (2/12)(1/2) + (1/12)(0) + (2/12)(1/2) + (2/12)(1/2) = 1/2, กรณี n คนก็เหมือนกัน

คำตอบทั้ง 2 แบบนี้ คือ 2/3 กับ 1/2 ขึ้นอยู่กับว่าคุณจะยึดถืออะไรเป็น priori knowledge ระหว่าง (1) จำนวนซอมบี้ในตึกที่อาจจะเป็นเท่าไรก็ได้เท่า ๆ กัน หรือ (2) โอกาสที่คนคนหนึ่งจะกลายเป็นซอมบี้หรือไม่เป็นซอมบี้ที่เท่า ๆ กัน

มีอีกประเด็นที่คุณอิอิคุงตั้งข้อสังเกตไว้ ถ้ามีลูกบอลในถุง 3 ลูก ซึ่งอาจจะเป็นลูกบอลสีแดง 0 ถึง 3 ลูก เราเขียนแซมเปิ้ลสเปซได้ 2 แบบ S = {มีลูกบอลแดง 0 ลูก , มีลูกบอลแดง 1 ลูก , มีลูกบอลแดง 2 ลูก , มีลูกบอลแดง 3 ลูก} กับ S = {แดงแดงแดง , แดงแดงฟ้า ,แดงฟ้าแดง ,แดงฟ้าฟ้า ,ฟ้าแดงแดง ,ฟ้าแดงฟ้า ,ฟ้าฟ้าแดง ,ฟ้าฟ้าฟ้า} คุณอิอิคุงบอกว่า "แล้วควรมองแบบไหนถึงจะถูก? ผมก็ไม่แน่ใจถึงขนาดฟันธงได้ แต่คิดว่าแบบที่ 2 ถึงจะถูกครับ"

คำตอบต่อคำถามนี้คือ ขึ้นอยู่กับเรามี priori knowledge ว่ายังไง เรารู้วิธีการจัดเตรียมถุงนั้นมั้ย หรือเรารู้อะไรเกี่ยวกับลูกบอลและสีของลูกบอลบ้าง ถ้าเรารู้ว่าลูกบอลแต่ละลูกมีโอกาสเป็นสีแดงหรือสีฟ้าก็ได้เท่า ๆ กัน แบบที่สองถูกครับ แต่เราเอาความรู้อันนี้มาจากไหน? สมมติว่า คนจัดเตรียมถุง จัดเตรียมด้วยวิธีการดังนี้ (1.) ล้วงมือเข้าไปในกระเป๋าของโดราเอม่อนแล้วหยิบลูกบอลขึ้นมา 1 ลูก (2.) กระเป๋าโดราเอม่อมถูกควบคุมโดยกฎบางอย่างว่าลูกบอลที่ออกมาแต่ละลูกนั้นมีโอกาสเป็นสีแดงหรือสีฟ้าเท่า ๆ กัน (3.) ล้วงเอาลูกบอลที่ได้ใส่ถุงจนกว่าจะครบ 3 ลูก ถ้าเรารู้วิธีการจัดเตรียมถุงที่มีลักษณะทำนองนี้ เราสามารถใช้ priori knowledge ว่าลูกบอลแต่ละลูกมีโอกาสเป็นสีแดงหรือสีฟ้าก็ได้เท่า ๆ กันได้ครับ แต่ถ้าสมมติว่าวิธีการจัดเตรียมถุงคือ (1.) ล้วงมือเข้าไปในกระเป๋าโดราเอม่อน ซึ่งในกระเป๋าโดราเอม่อนนั้นมีถุงใส่ลูกบอล 3 ลูกอยู่ 4 ถุงที่มีลักษณะทางกายภาพเหมือนกันทุกประการ แต่ภายในถุงแต่ละถุงจะบรรจุลูกบอกสีแดงไว้ไม่เท่ากันเลย (2.) หยิบถุงออกมา 1 ถุง เราเห็นว่า วิธีการจัดเตรียมแบบนี้ (หรือแบบที่สมมูลกันนี้) จะได้แซมเปิ้ลสเปซแบบที่หนึ่งครับ และเราสามารถใช้ priori knowledge ว่าจำนวนลูกบอลสีแดงในถุงอาจเป็นเท่าไรก็ได้เท่า ๆ กัน อันที่จริงกรณีนี้ มันไม่มีทางบอกได้ว่าแซมเปิ้ลสเปซแบบไหนเหมาะสมกว่ากัน ต่างกับกรณีลูกของคุณสมิธ ที่เราบอกว่าโอกาสที่ลูกแต่ละคนจะเป็นหญิงหรือชายก็ได้เท่า ๆ กันนั้นเหมาะสมกว่า การตั้งสมมติฐานว่าคุณสมิธมีลูกผู้ชาย 0 คน 1 คน หรือ 2 คนก็ได้เท่า ๆ กัน สำหรับกรณีซอมบี้ ถ้าผมเป็นตัวละครในเรื่อง ผมเลือก priori knowledge แบบที่ 1 จำนวนซอมบี้ในตึกที่อาจจะเป็นเท่าไรก็ได้เท่า ๆ กัน เพราะเราไม่รู้โอกาสการเป็นซอมบี้ จึงไม่มีเหตุผลอะไรมากนักที่จะประมาณ (จากความไม่รู้ว่า) คนคนหนึ่งอาจเป็นซอมบี้หรือไม่เป็นซอมบี้ก็ได้เท่า ๆ กัน มันเหมาะสมกว่า (อย่างน้อยก็สำหรับ) ที่จะประเมินความเป็นไปได้ว่า โอกาสการเป็นซอมบี้ของคนคนหนึ่งอาจจะน้อยมากหรือสูงมากหรือค่าระหว่างกลางเท่าไรก็ได้ เท่า ๆ กัน นั่นเท่ากับการตั้งสมมติฐานว่ามันอาจจะเป็นไปได้ที่จะมีซอมบี้ตั้งแต่ 0 ตัวถึง n ตัว เท่า ๆ กัน

* มันเท่ากับ sum [k=1..n] (2*k*(k-1)/(n*(n+1)*(n-1))) ลอง copy เอาไปป้อนใส่ wolfram alpha ด้านซ้ายมือดูละกันครับ หรือดูวิธีทำของคุณชโรนนท์ตามรูปด้านล่าง

** วิธีทำของคุณชโรนนท์




 

Create Date : 29 พฤศจิกายน 2554    
Last Update : 29 พฤศจิกายน 2554 19:56:52 น.
Counter : 1526 Pageviews.  

Ma c'ubah than

ต้นฤดูใบไม้ผลิปี 1519, Hernán Cortés de Monroy y Pizarro กับลูกสมุนมาถึงแนวชายฝั่งแผ่นดินใหญ่เม็กซิโก ท่านกองกิสตาดอร์ กอร์เตส ก็สั่งเด็ก ๆ ไปพาตัวชาวพื้นเมืองมาคนหนึ่ง พอชาวพื้นเมืองมาถึง กอร์เตสก็ถาม (ด้วยภาษาสเปน) ว่า "แผ่นดินอันแปลกประหลาดนี้เรียกว่าอันใด" ชาวพื้นเมืองตอบ "Ma c'ubah than" พวกสเปนได้ยินเป็น 'ยูกาตาน' (Yucatán) ก็ฟังใกล้เคียงดีนะครับ กองกิสตาดอร์จึงประกาศว่า นับแต่นี้เป็นต้นไป ยูกาตานและทองคำบนแผ่นดินยูกาตานตกเป็นของสเปน



ประมาณ 450 ปีต่อมา ราวช่วงทศวรรษ 1970 นักภาษาศาสตร์ได้ศึกษา วิจัย ค้นคว้า ภาษาถิ่นมายันโบราณ สรุปว่า "Ma c'ubah than" นั้นแปลว่า "กูไม่รู้ว่ามึงพูดอะไร!"

เกี่ยวกับ toponym นี้ ลองดูในวิกิพีเดีย เห็นเขียน "Ma'anaatik ka t'ann" แปลอย่างเดียวกัน อีกแห่งบอกว่าอาจมาจาก "uh yu ka t'ann" แปลว่า hear how they talk, บางแหล่งก็บอกว่า Yucatá หมายถึง ดินแดนแห่งต้นมันสำปะหลัง, คำว่า yuca หมายถึง มันสำปะหลัง

(อยากไปเที่ยววิหารแห่งกูกัลป์คันจัง)




 

Create Date : 27 พฤศจิกายน 2554    
Last Update : 27 พฤศจิกายน 2554 16:11:15 น.
Counter : 1043 Pageviews.  

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27  28  29  30  31  32  33  34  35  36  37  38  39  40  41  42  43  44  45  46  47  48  49  50  
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.