creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
The Jordan Curve Theorem is Nontrivial



รูปนี้เป็นรูปที่ 2 ประกอบบทความ The Jordan Curve Theorem is Nontrivial ของ Fiona Ross กับ William T. Ross และเป็นรูปที่วาดโดยผู้เขียนชื่อแรก ซึ่งวาดเพื่อใช้ในการนี้โดยเฉพาะ ชื่อรูปคือ A Thread in the Labyrinth

บทความเริ่มด้วยบทรำพันถึงครูเลขที่เวลาพูดถึง Jordan Curve Theorem ก็มักจะพูดทำนองว่า มัน trivial ด้วยความจริงของทฤษฎีบทอันนี้เป็นสิ่งที่ทิ่มแทงตา, JCT บอกว่า เส้นโค้งจอร์แดนบนระนาบจะแบ่งระนาบออกเป็น 2 ส่วน คือ ส่วนภายในที่ถูกปิดล้อมด้วยเส้นโค้ง กับส่วยภายนอก (เส้นโค้งจอร์แดนคือ เส้นหนึ่งเส้นที่วดเป็นลูปปิด และไม่ตัดกันเอง) คุณครูส่วนใหญ่มักจะแสดงถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้ด้วยการวาดวงกลมง่าย ๆ หนึ่งวงบนกระดาน แล้วชี้ในวงกลม นี่คือส่วนภายใน ชี้นอกวงกลม นี่คือส่วนภายนอก จบ ก่อนจะข้ามไปพูดถึงหัวข้ออื่นที่สำคัญต่อ

อาจมีครูบางคนที่พยายามวาดเส้นโค้งจอร์แดนให้ซับซ้อนกว่าวงกลม แล้วชี้พื้นที่หนึ่งส่วน หันไปถามนักเรียนว่า อันนี้ภายในหรือภายนอก นักเรียนก็มักตอบได้แทบจะทันที ครูบางคนอาจะแสดงวิธีพิสูจน์ที่ formal มากขึ้นหน่อย โดยการบอกว่า เริ่มจากจุดหนึ่งจุดที่ไม่อยู่บนเส้น แล้วลากเส้นตรงจากจุดนั้นออกไปนอกรูปเส้นโค้ง แล้วนับจำนวนจุดตัดของเส้นตรงดังกล่าวกับเส้นโค้ง ถ้าเป็นจำนวนคี่ ก็แสดงว่าจุดนั้นอยู่ภายใน ถ้าเป็นจำนวนคู่ จุดนั้นอยู่ภายนอก

ประเด็นของผู้เขียนมี 2 ส่วนหลัก ๆ คือ นอกจากวิธีพิสูจน์แบบตะกี้จะมีข้อผิดแล้ว ยังขาดจินตนาการเกินไป JCT ไม่ trivial ขนาดนั้น ดูตัวอย่างรูปนี้สิ (รูปนี้แหละครับ) เส้นโค้งที่เห็นเป็นเส้นโค้งจอร์แดน แต่มันไม่ง่ายเลยที่จะให้นักเรียนตอบว่าพื้นที่ไหนคือพื้นที่ภายใน ภายนอก อันนี้คือประเด็นสุนทรียะ อีกประเด็นคือเรื่องข้อผิดพลาดซึ่งจะเกิดขึ้นเมื่อ ถ้าเราใช้ฟังก์ชั่นอย่างฟังก์ชั่น Weierstrass ในการสร้างเส้นโค้งจอร์แดน (ฟังก์ชั่น Weierstrass เป็นฟังก์ชั่นต่อเนื่อง นั่นคือ เราใช้มันสร้างเส้นที่ต่อเนื่องได้ แต่ไม่มีจุดไหนบนฟังก์ชั่นนี้เลยที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ พูดภาษาชาวบ้านคือ เป็นเส้นที่ยึกยักทุกจุด) ทำให้เวลาเราลากเส้นตรงจากจุดใด ๆ ที่ไม่อยู่บนเส้นโค้งออกไปนอกรูปที่วาดด้วยเส้นโค้ง จำนวนจุดตัดอาจเป็นอนันต์ได้ จำนวนคู่ คี่ ก็ไม่ถูกนิยาม :))



Create Date : 30 มกราคม 2557
Last Update : 30 มกราคม 2557 20:10:45 น. 0 comments
Counter : 1447 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.