creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
การกระจาย Boltzmann

เราจะเริ่มจากการสมมติว่าเรารู้ว่าอะตอมสามารถอยู่ในพลังงานได้บางค่าจากกลศาสตร์ควอนตัม สสารที่อุณหภูมิใด ๆ (เดี๋ยวต่อไปเราจะเห็นความหมายของคำว่าอุณหภูมิชัดเจนขึ้น แต่ตอนนี้เมื่อผมพูดว่าที่อุณหภูมิใด ๆ ขอให้คุณเข้าใจว่าผมหมายถึงสสารทั้งก้อน หรือน้ำทั้งแก้ว แล้วเอาเทอร์โมมิเตอร์จุ่มลงไปวัดอุณหภูมิ อ่านค่าได้เท่าไร ซึ่งค่าที่อ่านได้อาจจะอยู่ในระบบวัดองศาเซลเซียส, องศาฟาห์เรนไฮต์ หรือเคลวิน ค่านั้นแหละครับคืออุณหภูมิใด ๆ ที่พูดถึง) อะตอมที่เกาะเกี่ยวรวมกลุ่มกันนั้น อะตอมทุกตัวไม่จำเป็นต้องมีพลังงานเท่ากัน มีอะตอมบางตัวที่อยู่ในสถานะพลังงานต่ำสุดของกลุ่มพวกมัน ซึ่งเราจะเรียกว่า 'สถานะพื้น' มีอะตอมบางตัวอยู่ในสถานะพลังงานที่สูงขึ้นไป และมีอะตอมบางตัวที่อยู่ในสถานะพลังงานที่สูงขึ้นไปอีกเรื่อย ๆ ถ้าผมบอกว่าอะตอมที่อยู่ในสถานะพื้นมีจำนวนมากกว่าใครเพื่อน และในชั้นที่สูง ๆ ขึ้นไปก็มีจำนวนลดหลั่นลง คงไม่ทำให้คุณประหลาดใจใช่มั้ยครับ (หัวข้อที่เรากำลังพูดถึงตอนนี้เรียกว่า Statistical Thermodynamics) และอะตอมอาจมีการแลกเปลี่ยนพลังงานกันเอง คุณก็นึกภาพอะตอมกระโดดขึ้นหรือลงจากชั้นสถานะพลังงานของตัวเองไปยังชั้นอื่น ตราบใดที่มันไม่มีการแลกเปลี่ยนพลังงานกับสิ่งแวดล้อมภายนอก เราก็ยังพูดว่ามันมีอุณหภูมิเท่าเดิม คุณอาจนึกภาพต้มน้ำร้อนแล้วเทใส่กระติกเก็บความร้อนที่มีประสิทธิภาพ 100% เป็นระบบปิดสมบูรณ์ แบบนี้น้ำก็จะคงอุณหภูมิเดิมตลอด เราไม่แคร์ว่าโมเลกุลของน้ำจะแลกเปลี่ยนสถานะพลังงานกันเอง เพราะไม่ว่ายังไงจำนวนสุทธิของอะตอมแต่ละระดับชั้นพลังงานก็ไม่เปลี่ยนแปลง เป็นอันว่าตามโมเดลของ Boltzmann ตอนนี้เขาได้อะตอมอยู่เป็นชั้น ๆ ตามสถานะพลังงานที่มีจำนวนประชากรลดลงเมื่อสถานะพลังงานสูงขึ้น ซึ่ง Boltzmann บอกว่าเราสามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนประชากรกับระดับพลังงานได้จาก

(จำนวนประชากรสถานะพลังงาน E)/(จำนวนประชากรสถานะพลังงานพื้น) = e-βE

รูปแบบการกระจายของประชากรที่ระดับสถานะพลังงงานต่าง ๆ กันนี่แหละครับที่เรียกว่า การกระจาย Boltzmann (Boltzmann Distribution) คุณสังเกตให้ได้ไม่ยากว่าในการกระจาย Boltzmann ที่ระดับสถานะพลังงานสูง จำนวนประชากรลดลงอย่างเป็น exponential และเรามี β ที่คอยกำกับว่าสัดส่วนของประชากรที่ระดับพลังงาน E เทียบกับพลังงานสถานะพื้นลดลงฮวบฮาบแค่ไหน ถ้า β เพิ่มมากขึ้น จะทำให้สัดส่วนประชากดลงลง นั่นหมายความว่าที่ β มาก อะตอมส่วนใหญ่กระจุกกันอยู่ที่พลังงานต่ำ ๆ แต่ถ้า β มีค่าน้อย อะตอมจะมีการกระจายตัวมาก นอกจากนี้เรายังพบความสัมพันธ์

β = 1/kT

เมื่อ k คือ ค่าคงที่ของ Boltzmann เท่ากับ 1.38 x 10-23 J/K และ T คือ อุณหภูมิในหน่วยเคลวิน ความสัมพันธ์อันนี้บอกเราว่า β แปรผกกันกับ T ถ้า T มีค่าสูง β มีค่าต่ำ อะตอมมีการกระจายในระดับพลังงานต่าง ๆ กันมาก จะเห็นว่าคำว่า 'อุณหภูมิ' นั้นเป็นตัวบอกเราว่าอะตอมของสสารมีการกระจายในระดับพลังงานต่าง ๆ กันอย่างไร (อุณหภูมิไม่ใช่พลังงานนะครับ) ดูรูป



ฉะนั้นถ้าเราตั้งคำถามว่าอุณหภูมิคืออะไร? พลังงานมั้ย? ไม่! คุณจะพบว่าคุณให้นิยามของอุณหภูมิได้ยากมากถ้าไม่พิจารณาถึงกลไกในระดับการกระจาย Boltzmann แต่พอมองแบบนี้ เราตอบได้ง่าย ๆ เลยครับว่า (ซึ่งคำตอบง่าย ๆ อันนี้มันจะช่วยตอบคำถามที่ตามมาได้อีกหลายคำถาม) อุณหภูมิเป็นตัวที่บอกสัดส่วนประชากรของระดับพลังงานในสภาวะสมดุล สังเกตว่ามันทำหน้าที่เดียวกับ β ครับ Peter Atkins บอกว่าจริง ๆ แล้ว β เป็นตัวแปรที่ใช้แสดงอุณหภูมิที่เป็นธรรมชาติยิ่งกว่าตัว T เสียอีก (ตัวอย่าง T = 0 เป็นจริงไม่ได้ในจำนวนระดับที่จำกัด ทำไม? แต่ถ้าพูดว่า β เป็นอนันต์ ในจำนวนขั้นที่จำกัด มันดูจะ make sense มากกว่า) แต่การที่ β เป็นตัวแสดงอุณหภูมิที่เป็นธรรมชาติ ก็ไม่ได้แปลว่ามันเป็นตัวแสดงอุณหภูมิที่เหมาะสมสำหรับนำมาพูดในชีวิตประจำวันใช่มั้ยครับ เราคงสะดุ้งถ้าได้ฟังพยากรณ์อากาศพรุ่งนี้ท้องฟ้าแจ่มใส เมฆกำลังดี มีลมอ่อน ๆ 2.47 x 1020 J-1 (20οC)

โปรเฟสเซอร์ Atkins บอกว่า "การมีตัวตนและค่าของค่าคงที่พื้นฐาน k เป็นเพียงผลสืบเนื่องจากความดื้อรั้นของเราที่จะใช้ระบบการวัดอุณหภูมิที่สะดวกสบายแทนที่จะใช้ระบบการวัดที่มีพื้นฐานอย่างแท้จริงซึ่งมาจาก β ระบบการวัดฟาห์เรนไฮต์ เซลเซียส และเคลวิน เป็นตัวทำให้สับสน จำนวนที่กลับกันของอุณหภูมิ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง β เป็นสิ่งที่มีความหมายมากกว่า เป็นธรรมชาติมากกว่าในฐานะตัววัดอุณหภูมิ แต่กระนั้นมันก็สิ้นหวังที่จะได้รับการยอมรับ สำหรับประวัติศาสตร์และศักยภาพของจำนวนอย่างง่าย เช่น 0 กับ 100 และแม้แต่ 32 และ 212 ที่ถูกฝังลึกลงอย่างิย่งในวัฒนธรรมของเรา และเพียงแค่สะดวกสบายอย่างยิ่งสำหรับการใช้ในชีวิตประจำวัน" แล้วแถมปิดท้ายว่านี่นะ ถ้า Boltzmann ได้เริ่มก่อนฟาห์เรนไฮต์หรือเซลซิอุสนะ เราอาจจะได้เห็นการใช้ β เป็นการวัดอย่างเป็นธรรมชาติของอุณหภูมิก็ได้ ดังนั้น k จึงเป็น "เพียงการนำกลับคืนจากความผิดพลาดทางประวัติศาสตร์" (ดู Four Laws That Drive the Universe, Oxford University Press, 2007)


Create Date : 29 กันยายน 2552
Last Update : 29 กันยายน 2552 11:57:39 น. 0 comments
Counter : 3139 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.