creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
สมการพนุหามดีกรี n มี n ราก

บันทึกไว้สักหน่อย: ถูกถามว่าทำไมสมการพนุหามดีกรี n ถึงมี n ราก (เช่น x2 - 1 = 0 ดีกรี 2 มี 2 ราก คือ x = 1 กับ -1) แอบเหวอแวบหนึ่ง เพราะอันนี้เป็นความรู้ ม. 2 ม. 3 มั้งว่าสมการดีกรี n มี n ราก (แน่นอน คุณครูมัธยมไม่สอนเด็กหรอกว่าทำไม เพราะคำตอบมันไม่ง่ายเลย) หลังจากหายเหวอก็คิดว่า ถ้าเด็ก ม. 2 ม. 3 ถามเราด้วยคำถามนี้ มันคงรู้สึกดี เรียกความประทับใจจากเราได้ แต่พอเป็นเด็กมหาลัยถาม หรือจะถูกเล่นซะแล้วเรา

ข้อความสมการพหุนามดีกรี n มี n ราก คนพิสูจน์คนแรกคือเกาส์ แต่เคยอ่านเจอวิธีพิสูจน์ที่เขาว่าง่ายวิธีหนึ่ง ไอเดียของวิธีนี้อาศัยความจริงจากข้อความ ถ้าสมการพหุนามมีอย่างน้อย 1 รากแล้วสมการพนุนามดีกรี n มี n ราก, ข้อความนี้พิสูจน์ไม่ยาก สมมติ f(x) = 0 มีอย่างน้อย 1 รากคือ x = a (หรือ f(a) = 0) ถ้าเราเอา x-a ไปหาร f(x) สมมติว่าได้ผลหารคือ g(x) กับเศษ r (หรือเขียนว่า f(x) = (x-a)g(x) + r) ซึ่งดีกรีของ g จะน้อยกว่าดีกรีของ f อยู่ 1 และเรารู้ว่าการหารนี้เป็นการหารที่ลงตัว (r = 0) เพราะ f(a) = 0 เราก็ให้เหตุผลเดิมแบบ recursive กับ g(x) (ว่า ถ้า g(x) มีอย่างน้อยหนึ่งราก g(b) = 0 แล้วเอา x-b ไปหาร g(x) ได้ h(x) ซึ่งมีดีกรีลดลง 1 ...) เราก็สามารถแสดงได้ว่า ถ้าสมการพหุนามมีอย่างน้อย 1 รากแล้วสมการพนุนามดีกรี n มี n ราก จากการให้เหตุผลแบบ recursive n-1 ครั้ง

ไอ้ความยากมันอยู่ที่จะพิสูจน์ว่าสมการพหุนามมีอย่างน้อย 1 รากนี่แหละครับ ภาพกว้าง ๆ คือย้าย x ไปบนระนาบเชิงซ้อนแล้วพิจารณา magnitude ของ f(x) หรือ |f(x)| โดยกำหนดว่าที่ x = a นั้น |f(x)| มีค่าต่ำสุดเท่ากับ |f(a)| ซึ่งค่านี้จะต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ (แม็กนิจูดของจำนวนเชิงซ้อนนะ) ลองสมมติว่า |f(a)| > 0 ก่อน แล้ววาดวงกลมเล็ก ๆ ให้มีจุดศูนย์กลางที่ a เลือกค่า x ที่อยู่ใกล้ a และอยู่ภายในวงกลม แล้วแสดงให้เห็นว่าค่าที่เลือกมานั้น สมมติว่า b เป็นค่าที่ทำให้ |f(b)| < |f(a)| เกิดข้อขัดแย้ง เพราะ |f(a)| เป็นค่าต่ำสุด ฉะนั้น |f(a)| > 0 เป็นเท็จ เท่ากับ พูดว่าจะมีค่า a ที่ |f(a)| = 0 เป็นอันเสร็จพิธี ส่วนว่ามีวิธีเลือกค่า b อย่างไรนั้น จำไม่ได้ และขี้เกียจคิด กูเกิ้ลดูเอาเอง


Create Date : 20 กุมภาพันธ์ 2557
Last Update : 21 กุมภาพันธ์ 2557 6:18:50 น. 0 comments
Counter : 500 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.