creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
Paradoxes and Sophisms in Calculus



จัดว่าเป็นหนังสือรวมมุกหลอกเด็กในวิชาแคลคูลัสชั้นดีครับ ความรู้ตั้งแต่ระดับ ม.ปลาย จนถึง ปี 1 มีมุกคลาสสิก ๆ เพียบ ปัญหาในกลุ่ม paradox คือปัญหามีผลเฉลยชวนประหลาดใจ จะขอยกตัวอย่างสักเล็กน้อย เปิดหนังสือมาบทแรกข้อแรกก็เจอปัญหาที่ Martin Gardner เรียกว่า infinite-offset paradox ตามรูป 1.1 ข้อนี้ฮิตนะ ใน Physical Paradoxes and Sophisms ของ Mir Publishers (1987) ก็มี แถมขั้นตอนเฉลยก็คล้าย ๆ กัน คำตอบคืออนันต์ (แต่ก็เป็นไปได้เพียงแค่ในทางทฤษฎี)



รูป 4.2 ปัญหาการไถลของบันไดที่พาดกำแพง ถ้าปลายที่เป็นฐานเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วคงที่ในทิศ +x ปลายที่สัมผัสกำแพงจะตกลงมาด้วยอัตราเร็วที่เข้าสู่อนันต์ เพราะ lim_{x to l} y' = lim_{x to l} (-frac{xx'}{sqrt{l^2-x^2}}) = -infty นั่นหมายความว่าจะต้องมีบางจุดที่มันมีอัตราเร็วสูงกว่าอัตราเร็วแสง คำถามคือ เป็นไปได้อย่างไร



นี่เป็นตัวอย่างแสดงให้เห็นข้อผิดพลาดจากการใช้โมเดลผิด โมเดลสามเหลี่ยมมุมฉากและบรรยายด้วยพีทากอรัสเป็นจริงก็ต่อเมื่อปลายบันไดสัมผัสกำแพงตลอดเวลา แต่ในการเคลื่อนที่ตามความเป็นจริงนั้น พอถึงจุดหนึ่งปลายบันใดจะหลุดจากกำแพง ทำให้ไม่เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากอีกต่อไป



กรณีทั่วไป เราไม่ค่อยชอบโจทย์ทำนองอย่างข้อ 6 เพราะคำตอบมันจะเป็นเลขอะไรก็ได้ (เว้นแต่จะมีคนถือใบมีดโกนของ Ockham ซึ่งก็เป็นเพียงการเปลี่ยนเวทีการถกเถียงไปฝั่งปรัชญา) คำตอบแรกที่คนส่วนใหญ่ตอบคือ 32 เพราะนึกถึงลำดับ 2^n แต่ถ้าลำดับจริง ๆ มันเป็น 2^n - B ที่ค่าของ B เป็น 0 เฉพาะกรณี n = 1 ถึง 4 ล่ะ มันจะทำให้พจน์ที่ 5 เป็นอะไรก็ได้ขึ้นอยู่กับค่าของ B เช่น ถ้า B = 4(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/3 คำตอบก็จะเป็น 0, สำหรับข้อ 7 แวบแรกดูเหมือนจะถูก (แวบแรกจริง ๆ) แต่ใครก็เดาได้ว่าโจทย์มันคาดหวังคำตอบว่า ผิด เท่านั้นแหละ รูปทรงอื่นผุดขึ้นมาเต็มเลย นึกถึงนิยามของวงกลม เซ็ตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดคงที่เป็นระยะทางคงที่ (รัศมี) และรัศมีคงที่ก็ใช้สรุปว่าเส้นผ่านศูนย์กลางคงที่ได้ แต่กรณีย้อนกลับ ไม่ได้



ข้อนี้คำนวณไม่ยากเราจะพบว่าเส้นรอบรูปเมื่อดำเนินการ n ครั้งเท่ากับ (4/3)^n และค่านี้เข้าสู่อนันต์เมื่อ n เข้าสู่อนันต์ แต่กระนั้นมันอยู่ระหว่างวงกลมที่สัมผัสด้านนอกกับวงกลมที่สัมผัสด้านใน พื้นที่ที่มันปิดล้อมจึงเป็นพื้นที่จำกัด

ปัญหาในกลุ่ม Sophism คือปัญหาที่ให้เหตุผลผิด เช่น พิสูจน์ว่า 1 = 0 หรือ 0 สามารถใช้เป็นตัวหารได้ หรือ 2 > 3 หรือ เราสามารถประมาณให้ 1 ล้านมีค่าใกล้เคียงกับ 2 ล้าน



ถึงแม้ C_1 กับ C_2 จะมีค่าเป็นเท่าไรก็ได้ แต่พวกมันไม่เป็นอิสระต่อกัน C_1 หรือ C_2 เป็น 0 ได้ แต่เป็น 0 พร้อมกันไม่ได้



ปัญหาเกิดจากฟังก์ชั่น sec-square ไม่ต่อเนื่องในช่วง [0,pi]



คำตอบสำหรับปัญหาข้อนี้ในทางกายภาพคือ จะมีล้อใดล้อหนึ่งที่ slip (ไถลโดยไม่หมุนหรือหมุนฟรี) เช่น ถ้าล้อใหญ่ไม่ slip จะมีจังหวะที่ล้อเล็กไถล (เคลื่อนที่ แต่ไม่หมุน) แต่ถ้าล้อเล็กไม่ slip จะมีจังหวะที่ล้อใหญ่หมุนฟรี (หมุน แต่ไม่เคลื่อนที่) ทีนี้ สมมติทำให้เป็นนามธรรมขึ้นโดยมีล้อใหญ่ล้อเดียว และกำหนดว่ามันไม่ slip ไม่มีล้อเล็ก ไม่มีรางสำหรับล้อเล็ก แต่เราวาดวงกลมวงเล็กแทน แน่นอนว่า พอล้อใหญ่หมุนครบหนึ่งรอบ (เคลื่อนที่ไป 2*pi*R) วงกลมวงเล็กก็หมุนครบหนึ่งรอบพอดี และการหมุนของล้อใหญ่ทำให้เกิดการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างจุดบนเส้นรอบวงของวงกลมเล็กกับจุดบนส่วนของเส้นตรง CD ซึ่งยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรง AB เป็นไปได้ยังไง อันนี้คือคำถามที่ถามอีกอัน คำตอบคือ คาร์ดินัลลิตี้ของ continuum (การที่เส้นรอบวงวงเล็กจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับ CD หรือมีคาร์ดินัลลิตี้เดียวกัน ไม่ได้ imply ว่ามันยาวเท่ากัน ตัวอย่างอีกอัน Cantor dust มีความยาวเท่ากับ 0 (0 Lebesgue measure) แต่มีจุดอยู่ uncountable)

หนังสือเหมาะสำหรับใช้สร้างบรรยากาศสนุก ๆ ในชั้นเรียนครับ

ผมให้


Create Date : 19 มีนาคม 2558
Last Update : 19 มีนาคม 2558 0:54:35 น. 0 comments
Counter : 832 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.