creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
จุดสัมผัส log กับ expo

ให้ a เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 1 และกำหนด f(x) = ax อินเวอร์สของ f(x) คือ g(x) = logax มีโอกาสหรือไม่ที่สองฟังก์ชั่นนี้จะสัมผัสกัน? ถ้ามี a ควรเป็นเท่าไร และจุดสัมผัสคือจุดอะไร?

คำถามนี้คุณ packham แห่งหว้ากอ pantip.com นำมาฝากเพื่อน ๆ ในกลุ่มคณิตศาสตร์ บอกว่า 'เคยคิดเล่น ๆ สมัยเรียน undergrad โจทย์ไม่ยากมาก แต่คำตอบสวยงามครับ รับรอง' ในเมื่อผู้ตั้งกระทู้บอกแบบนี้ ผมก็ต้องคิดในทำนองว่ามีจุดสัมผัสไว้ก่อน ก็เขาบอกว่าสวยงามนี่ครับ จะให้คิดว่าไม่มีแล้วมันจะสวยงามยังไง บังเอิญว่าเห็นโจทย์ข้อนี้ก่อนไปกินข้าวเที่ยงพอดี ตอนตอบกระทู้จึงไม่ได้ทิ้งรายละเอียดเอาไว้ เพียงสเก็ตคร่าว ๆ ว่าถ้ามันมี มันควรจะมีที่ตรงไหน? โชคดีที่โจทย์เตือนความจำว่า log กับ expo เป็นอินเวอร์สกันและกัน ทำให้นึกถึงทริกตอนเรียนเลข ม. 4 คุณจำโจทย์ประเภทให้กราฟมาแล้วให้กากบาทว่า ก ข ค ง ข้อใดเป็นอินเวอร์สของกราฟโจทย์ได้มั้ยครับ ตอนนั้นด้วยความขี้เกียจ ถ้าเจอโจทย์แบบนี้ผมจะพับกราฟโจทย์ตามแนวเส้นตรงที่ทำมุม 45 องศากับแกน x แล้วดูรูปรอยกราฟที่ด้านหลังกระดาษ (ถ้ากระดาษหนา ใช้ปากกาขีดย้ำกราฟให้นูนด้านหลังก็จบ) รูปนั้นจะเป็นหน้าตาของกราฟอินเวอร์ส พูดง่าย ๆ ว่าถ้าคุณมีกระจกเงา แล้วเอาไปวางบนเส้น x = y อินเวอร์สของมันก็คือเส้นที่อยู่ในกระจก เหตุที่เป็นเช่นนี้เพราะอินเวอร์สคือการเปลี่ยนบทกันเล่นของ x กับ y ถ้าเดิมคือจุด (a,b) อินเวอร์สก็จะเป็นจุด (b,a) เส้นตรงที่เชื่อม 2 จุดนี้มีความชันเท่ากับ (a-b)/(b-a) = -1 เสมอ (ตั้งฉากกับเส้น x = y) และระยะห่างจากจุด (a,b) ถึงเส้นตรง x = y ที่ลากมาตั้งฉากเท่ากับระยะห่างจากจุด (b,a) มาถึงเส้นตรงเดียวกัน (เท่ากับ |a-b|/21/2 ใช้สูตรระยะห่างระหว่างเส้นตรงกับจุดธรรมดา ๆ) ที่พูดลักษณะ 2 ประการนี้ขึ้นมาเพื่อที่จะยืนยันกับคุณว่า ถ้า (a,b) เป็นจุดหน้ากระจกที่วางบนแนว x = y เราจะได้ (b,a) เป็นจุดในกระจกโดยปริยาย 2 จุดนี้เป็นอินเวอร์สกันและกัน ฉะนั้นคำถามของคุณ packham จึงลดรูปเหลือเพียงถามคุณว่า คุณจะสัมผัสกับตัวคุณที่เป็นเงาสะท้อนในกระจกได้ยังไง คำตอบก็คือ สัมผัสที่กระจกสิ!

สเก็ตก่อนกินข้าวของผมจึงเป็น ถ้า log กับ expo สัมผัสกัน มันจะต้องสัมผัสกันที่เส้น x = y นั่นคือ f'(x) = g'(x) = 1 แก้สมการหา a ได้ก็จบ (กลับจากกินข้าว อิ่มแล้ว) จึงนั่งคิดส่วนที่เหลือต่อ และพบว่าสวยงามสมราคาโฆษณาจริง ๆ ครับ (จนรู้สึกว่าน่าจะนำมาประดับบล็อกไร้สาระแห่งนี้ด้วย)

จาก f(x) = ax ได้ f'(x) = axln(a) (เปิดดูสูตร) และจาก g(x) = logax ได้ g'(x) = (xln(a))-1 นำไปใส่สมการที่ตั้งไว้ f'(x) = g'(x) = 1 ได้ axln(a) = 1 หรือ ax = 1/ln(a) ใส่ ln ทั้งสองข้างได้ xln(a) = 0 - ln(ln(a)) ฉะนั้น x = -ln(ln(a))/ln(a) และ (xln(a))-1 = 1 หรือ x = 1/ln(a) ดังนั้น -ln(ln(a))/ln(a) = 1/ln(a) หรือ ln(ln(a)) = -1 เรารู้ว่า ln(e) = 1 จึงได้ค่า a ออกมาเท่ากับ e1/e ได้ f(x) = ex/e และ g(x) = elogex หาจุดตัดโดยจับ f(x) = g(x) ได้ x = e และ f(x) = g(x) = e นั่นคือกราฟสองเส้นนี้สัมผัสกันที่ (e,e) เมื่อ a = e1/e




Create Date : 15 มิถุนายน 2552
Last Update : 15 มิถุนายน 2552 22:13:01 น. 0 comments
Counter : 1450 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.