creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
Littlewood's Miscellany

พ่อชวนลูกชาย 2 คนเล่นเกม

ให้ลูกทั้งสองคนอยู่คนละห้อง พ่อเข้าไปหาลูกแต่ละคนพร้อมกับซองใส่เงิน 1 ซอง แล้วบอกกับลูกว่า มีเงินใส่ซองอยู่ 2 ซอง ซองหนึ่งมีเงินอยู่ 10^n บาท อีกซองหนึ่งมีเงินอยู่ 10^(n+1) บาท โดยค่า n พ่อสุ่มเอาจากการโยนลูกเต๋ายุติธรรม 1 ครั้ง (นั่นคือ n มีค่าที่เป็นไปได้ตั้งแต่ 1 ถึง 6 ด้วยโอกาสเท่า ๆ กัน) หลังจากเอาเงินใส่ซองแล้ว ก็สุ่มให้ลูกคนละซอง (พ่ออาจโยนเต๋าอีก 1 ครั้ง ถ้าออกแต้มคู่ เอาซองแรกให้ลูกคนแรก เป็นต้น)

หลังจากได้รับซอง ลูก ๆ ก็แกะดูเงินในซองของตัวเอง

ลูกคนแรกพบว่าในซองของตนมีเงินอยู่ 10,000 บาท เฟลนิดหน่อย เพราะได้น้อยจัง จึงคำนวณอย่างรวดเร็ว (และถูกต้อง) ว่ามีโอกาส 50-50 ที่อีกซองหนึ่งจะมีเงินเยอะกว่า เนื่องจากอีกซองอาจจะมีเงินอยู่ 1,000 บาท หรือ 100,000 บาทก็ได้เท่า ๆ กัน จากนั้นก็คำนวณค่าคาดหมายของเงินอีกซอง ได้ตัวเลข (ที่ถูกต้องอีกเช่นกัน) คือ 50,500 บาท ซึ่งมากกว่า 10,000 บาท

ลูกชายคนที่สอง พบว่าเงินในซองของตัวเองคือ 1,000 บาท ก็คิดด้วยลอจิกเดียวกับพี่ชาย และพบว่าค่าคาดหมายของเงินอีกซองคือ 5,050 บาท ซึ่งมากกว่า 1,000 บาท

พ่อถามลูกแต่ละคนว่าจะยอมจ่าย 1 บาทเพื่อแลกเปลี่ยนซองกับอีกคนมั้ย

ลูกทั้งสองตอบว่า "แน่นอน ยอมจ่าย 1 บาทเพื่อแลกกับอีกซอง"

พ่อก็เอาคำตอบนี้ของลูกคนหนึ่งไปบอกให้ลูกอีกคนหนึ่งรู้ หลังจากที่ทั้งคู่รู้ว่าแต่ละคนตอบว่าอะไรแล้ว พ่อก็ถามด้วยคำถามเดิมเป็นครั้งที่ 2 อีกว่า "พอรู้คำตอบนี้แล้ว ยังอยากจะยอมจ่าย 1 บาท เพื่อแลกเปลี่ยนซองอีกมั้ย"

ลูกทั้งสองก็ยังยืนยันในคำตอบเดิม

พ่อก็เอาคำตอบไปบอกลูกทั้งสองเหมือนเดิม และถามคำถามเดิมอีกเป็นครั้งที่ 3

เกมนี้จะจบลงหลังจากพ่อต้องถามคำถามนี้กี่ครั้งฮะ หรือไม่มีวันจบ ไม่มีวันที่ลูกคนใดคนหนึ่งจะไม่ยอมปฏิเสธ



โน้ต: เกมนี้ดูผิวเผินเหมือน two envelopes paradox แต่จริง ๆ แล้วไม่เหมือนกันนะครับ, ดัดแปลงจาก Littlewood's Miscellany


เพิ่มเติม 1

หลังจากมีคนร่วมเล่นเกม บน facebook ก็มี comments ที่น่าสนใจ ข้อความหลังจากนี้เป็นการตอบ comments ดังกล่าว

คุยเล่นเพิ่มเติมสำหรับคำถามพ่อเล่นเกมกับลูกชาย 2 คน

เพื่อความง่าย เราจะเปลี่ยนโจทย์ใหม่เป็น เอกับบีได้รับตัวเลขจำนวนเต็มบวกคนละตัวและเราบอกทั้งคู่ว่าตัวเลขทั้งสองเป็นจำนวนที่ต่อเนื่องกัน เช่น b = a+1 ทั้งเอและบีรู้ว่าตัวเองได้เลขอะไร

ทุก ๆ ช่วงเวลาที่กำหนดจะมีสัญญาณดัง 1 ครั้ง และทันทีที่สัญญาณดัง ถ้าใครรู้ว่าอีกฝ่ายหนึ่งได้เลขอะไรให้รีบพูดออกมาทันทีที่ได้ยินเสียงสัญญาณ จบเกม (คุณคงเชื่อมโยงกับเกมที่พ่อเล่นกับลูก 2 คนได้ไม่ยาก)

จากเกมนี้ เราสามารถสร้างทฤษฎีบทได้แบบนี้ "สำหรับผู้เล่นที่สมบูรณ์แบบ (หมายถึง ผู้เล่นที่รู้จักใช้ information ทั้งหมดในแบบที่จะสามารถเอาไปแก้ปัญหาได้ และรู้ว่าผู้เล่นอีกฝ่ายก็สมบูรณ์แบบเหมือนกัน) คนที่ได้จำนวน n จะประกาศว่าอีกฝ่ายหนึ่งได้จำนวน n+1 หลังจากสัญญาณครั้งที่ n ดัง"

พิสูจน์ได้ง่าย ๆ ด้วย induction บนค่าของ n

basis: กรณีที่คนได้ n = 1 จะประกาศว่าอีกคนหนึ่งได้ 1 + 1 = 2 ทันทีหลังจากสัญญาณครั้งที่ 1 ดัง เป็น self-evident

inductive step: สมมติว่าเอได้ n+1 ถ้าบีได้ n จาก induction hypothesis บีก็จะประกาศไปตั้งแต่สัญญาณดังครั้งที่ n แต่ถ้าเอไม่ได้ยินบีประกาศ ก็แปลว่าจำนวนของบีคือ n+2 แล้วจะประกาศในครั้งที่ n+1 QED

บทพิสูจน์นี้ถูกต้อง แต่ยังปัญหาค้างคา (ที่มีพี่ท่านหนึ่งถามมา) คือ ข้อมูลที่ทั้งเอและบีรู้อยู่แล้วจากการไม่ประกาศ เช่นสมมติกรณีเอได้ 3 และบีได้ 4 ทำให้ทั้งคู่รู้แน่ ๆ ว่าอีกฝ่ายหนึ่งไม่ประกาศหลังจากสัญญาณดังครั้งแรก มีประโยชน์ยังไง

นึกภาพแบบนี้ครับ ทั้งคู่รู้แน่ ๆ ว่าจะไม่มีใครประกาศในครั้งแรก แต่ทั้งคู่ไม่รู้ว่าอีกฝ่ายหนึ่งรู้สิ่งนี้ เช่น

ถ้าเขียน "A(y)" แทน "เอรู้ว่า y" และ "A(-y)" แทน "เอไม่รู้ว่า y"

ถ้า y = "ไม่มีใครประกาศในรอบแรก"

หลังจากที่เอและบีรู้ว่าตัวเองได้เลข 3 และ 4 ตามลำดับ ฉะนั้น A(y) และ B(y) แต่ A(-B(y))

ทำไม?

ถ้าเขียน "?z" แทน "มีความเป็นไปได้ที่จะ z"

"n(A)" แทน "ตัวเลขของ A" และ "A=m" แทน "n(A) = m"

คำตอบสำหรับคำถามว่าทำไมคือ เพราะ A(?(B=2)) และถ้า n(B) = 2 แล้ว B(?(A=1)) ฉะนั้น พูดอีกอย่างว่า A(?(B?(A=1))) และถ้า ?B(A=1) แล้ว ?B(-y) นั่นคือ A(?(B(-y))) หรือพูดอีกอย่างว่า A(-B(y))

นั่นคือ การไม่ประกาศหลังจากสัญญาณดังครั้งแรก information ของมันไม่ใช่การทำให้เอหรือบีรู้ว่าไม่มีใครมีตัวเลข 1 ทั้งคู่รู้อยู่แล้วตั้งแต่ก่อนมีสัญญาณว่าไม่มีใครมีเลข 1 แต่มันทำให้ A(B(y)) ซึ่ง B(y) นี่เป็นความรู้ใหม่ของเอที่เกิดขึ้นหลังจากเสียงสัญญาณครับ ก่อนหน้านี้ A(-B(y))


เพิ่มเติม 2

หลังจากนั้นมีพี่ท่านหนึ่งถามว่า ถ้า n(A) กับ n(B) เยอะ ๆ เช่น 300 กว่า ๆ A(B(y)) อยู่แล้วนี่? ต่อไปนี้เป็นคำตอบของผม

เอ่อ ที่ว่า A(-B(y)) อันนั้นมันแค่ตัวอย่างกรณี n(A) = 3 และ n(B) = 4 นะครับ

ถ้าเป็นกรณี n(A) = 4 และ n(B) = 5 เราก็บอกได้ว่า A(B(y)) ไม่ต้องไปไกลถึง 300 กว่า ๆ ด้วยซ้ำ และยังบอกได้ด้วยว่า BAy (ต่อไปนี้เอาวงเล็บออกละนะ) แต่ A-BAy (หมายความว่า ABAy จะเกิดขึ้นหลังจากสัญญาณครั้งแรก ขณะที่ ABy กับ BAy เกิดขึ้นมาก่อนมีสัญญาณอยู่แล้ว ที่พี่เขียนมานะ ถูกต้อง! แต่มันไม่ใช่ข้อโต้แย้ง)

ทำไมกรณีนี้ A-BAy เพราะ A?B=3 แล้ว A?B?A=2 นั่นคือ A?B?A-y หรือ A?B-Ay หรือ A-BAy

ถ้าค่า n ต่างกัน ความไม่รู้ที่ใครคนใดคนหนึ่งมี หรือ A-xxx จะต่างกัน ตัวอย่าง A-By สำหรับเคส n(A) = 3 กับ n(B) = 4 ครับ ฉะนั้นเคส 300 กว่า ๆ ของพี่ ABy หรือ BAy ก็แน่นอนอยู่แล้ว

ที่ค่า n ต่างกัน ความรู้ใหม่จากสัญญาณครั้งแรกต่างกัน ลองแกะจากกระดาษทด




เพิ่มเติม 3

ต่อไปนี้เป็นคำตอบของผมต่อคำถามที่ได้รับทางโทรศัพท์จากพี่ท่านหนึ่ง

ตอนนี้คิดว่าพอเข้าใจปัญหาล่ะ คำถามที่ได้รับเป็นแบบนี้ สมมติ A ได้ m, A ก็จะคิดว่า B อาจจะได้ m-1 หรือ m+1, และ A ก็จะคิดว่า B คิดว่า A อาจจะได้ m-2, m, หรือ m+2, นั่นคือ A รู้ว่า B รู้ว่า ตัวเลขของ A ที่เป็นไปได้คือ {m-2, m, m+2}, ไม่เห็นต้องไล่ A รู้ว่า B รู้ว่า A รู้ว่า ... ไปจนถึง 1 เลย (นี่แหละเหตุผลที่เราต้องสร้างภาษาใหม่ในการพูดข้อความพวกนี้ ต่อให้คนสติดีแค่ไหนเจอ "รู้ว่า" ซ้อนกัน 4 ทีก็เริ่มไปไม่ถูกแล้ว) และไม่เห็นว่าข้อมูลจากการไล่ดังกล่าวไม่มีประโยชน์

อันนี้หลงประเด็นนะฮะ

ก่อนอื่น ลองมองภาพรวมใหม่

1. physical source อันเดียวที่จะเป็นแหล่งของ information ได้คือเสียงสัญญาณ และถ้ามี information ใหม่จริง information ตัวนั้นจะต้องถูกตีความจากสัญญาณดังกล่าว พูดเจาะจง ข้อมูล physical มีอยู่แค่ชิ้นเดียว คือ จำนวนครั้งของสัญญาณ และถ้ามีวิธีที่จะทำให้เกมจบอยู่จริงสำหรับจำนวน m ใด ๆ วิธีนั้นจะต้องเป็นฟังก์ชั่นของจำนวนครั้งของสัญญาณ และถ้ามีวิธีจบเกมที่ดีเร็วที่สุดอยู่จริง จำนวนครั้งของสัญญาณจะต้อง map แบบ 1 ต่อ 1 กับ m (อันนี้สามารถใช้เป็นตัวพิสูจน์ได้ว่า ไม่มีวิธีจบเกมที่เร็วกว่าทฤษฎีบทในสเตตัสก่อนหน้า)

2. ผู้เล่นสร้างความรู้ได้หลายแบบ บางแบบเอาไปใช้ประโยชน์ได้ บางแบบ ใช้ไม่ได้ แบบหนึ่งเช่น ถ้า n(A) = m แล้ว A รู้ว่า B รู้ว่า ตัวเลขของ A ที่เป็นไปได้คือสมาชิกของ {m-2, m, m+2} แต่คำถามที่เราต้องตอบก่อนคือ ข้อมูลชิ้นไหนบ้างที่ผู้เล่นจะสามารถใช้ deduce ตัวเลขของอีกคนหนึ่งได้ เนื่องจากเรา assume การเล่นแบบ perfect play นั่นคือผู้เล่นรู้ว่าข้อมูลชิ้นไหนถึงจะเอามาใช้ได้ และอีกฝ่ายก็รู้ว่าต้องเอาข้อมูลชิ้นนั้นมาใช้เหมือนกัน แต่เนื่องจาก m ของผู้เล่นแต่ละคนไม่เท่ากัน ความรู้ของผู้เล่นแต่ละคนจึงไม่เท่ากัน แปลว่า มีผู้เล่นคนหนึ่งได้เปรียบ

3. ความรู้ "A รู้ว่า B รู้ว่า ตัวเลขของ A ที่เป็นไปได้คือสมาชิกของ {m-2, m, m+2}" ไม่เพียงพอที่จะใช้ deduce ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้ด้วยการที่เรารู้ว่า ถ้ามีวิธีที่จะทำให้จบเกมอยู่จริง (มีหรือไม่มีเป็นอีกเรื่องหนึ่งนะครับ) ตัวเลขของอีกคนหนึ่งจะต้องเป็นฟังก์ชั่นของจำนวนครั้งของสัญญาณกับ m

จากที่ได้อธิบายการเกิดความรู้ใหม่ของ A เมื่อได้ยินเสียงสัญญาณครั้งแรกและไม่มีใครประกาศ ความรู้ใหม่อันนี้จะอยู่ในรูป ABABA...y (นั่นคือ ก่อนหน้าจะได้ยินเสียงสัญญาณ A-BABA...y จำนวน BA ที่สลับกันขึ้นอยู่กับ m, ดูรูปในกระดาษทด) และความไม่รู้ของ A ในตอนแรก หรือ BABA...y มันเกิดขึ้นได้ผ่าน path ที่ถูกไล่ไปจนถึง 1 เท่านั้นครับ และความรู้/ไม่รู้ชิ้นนี้แหละ ที่สามารถเอาไปใช้ในการ deduce จนรู้ตัวเลขของอีกฝ่ายได้


Create Date : 08 กรกฎาคม 2558
Last Update : 10 กรกฎาคม 2558 17:29:35 น. 1 comments
Counter : 469 Pageviews.

 
สวัสดีนะจ้ะ เราแวะมาเยี่ยมนะจ้ะ ^____^ สักคิ้ว 6 มิติ ลบรอยสักคิ้วด้วยเลเซอร์ ลบรอยสักคิ้ว Eyebrow Tattoo Removal เพ้นท์คิ้วลายเส้น เพ้นท์คิ้ว 3 มิติ
ให้ใจหายใจ สุขภาพ วิธีลดความอ้วน การดูแลสุขภาพ อาหารเพื่อสุขภาพ ออกกำลังกาย สุขภาพผู้หญิง สุขภาพผู้ชาย สุขภาพจิต โรคและการป้องกัน สมุนไพรไทย ผู้หญิง ศัลยกรรม ความสวยความงาม แม่ตั้งครรภ์ สุขภาพแม่ตั้งครรภ์ พัฒนาการตั้งครรภ์ 40 สัปดาห์ อาหารสำหรับแม่ตั้งครรภ์ โรคขณะตั้งครรภ์ การคลอด หลังคลอด การออกกำลังกาย ทารกแรกเกิด สุขภาพทารกแรกเกิด ผิวทารกแรกเกิด การพัฒนาการของเด็กแรกเกิด การดูแลทารกแรกเกิด โรคและวัคซีนสำหรับเด็กแรกเกิด เลี้ยงลูกด้วยนมแม่ อาหารสำหรับทารก เด็กโต สุขภาพเด็ก ผิวเด็ก การพัฒนาการเด็ก การดูแลเด็ก โรคและวัคซีนเด็ก อาหารสำหรับเด็ก การเล่นและการเรียนรู้ ครอบครัว ชีวิตครอบครัว ปัญหาภายในครอบครัว ความเชื่อ คนโบราณ


โดย: peepoobakub วันที่: 14 มีนาคม 2560 เวลา:12:27:46 น.  

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.