creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
ความสมมาตร

เมื่อเราพูดถึงสมมาตรในโลกสามมิติ จะมีตัวดำเนินการสมมาตร 4 ชนิดที่ต้องพิจารณา ได้แก่ การหมุน (rotation), การสะท้อน (reflection), การหมุนและสะท้อน (roto-reflection) และการผกผัน (inverse)

การหมุน (rotation)

วัตถุบางอย่างมีสมมาตรการหมุน อย่างเช่นวงกลม ถ้าเราหมุนมันรอบจุดศูนย์กลาง ไม่ว่าจะหมุนไปเท่าไร มันก็ยังดูเหมือนเดิม แต่วัตถุบางอย่างที่มีสมมาตรการหมุน อาจจะต้องหมุนไป (360/n) องศา สำหรับบางค่า n มันจึงจะเหมือนเดิม เช่นก๊อกน้ำรูปกากบาท เราหมุนมัน 90 องศา หรือ n = 4 ถ้าวัตถุสมมาตรต่อการหมุน (360/n) องศา นั่นก็หมายความว่าถ้าเราหมุนมัน n ที วัตถุนั้นจะกลับไปเริ่มต้นที่ตำแหน่งเดิมก่อนหมุน



วัตถุบางชิ้นอาจจะมีแกนหมุนมากกว่าหนึ่งแกนก็ได้นะครับ อย่างดัมบ์เบลมีแกนการหมุนนับอนันต์ แต่แกนการหมุนหลัก (main axis of ratation) คือแกนที่เราต้องหมุนมันด้วยจำนวนทีที่มากที่สุดเพื่อให้กลับไปยังตำแหน่งตั้งต้นก่อนหมุน ดังนั้นแกนที่ผ่านตุ้มน้ำหนักทั้ง 2 ตุ้มและแผ่นแกนจับ แกนนี้แหละคือแกนหลัก (เราจะจับมันหมุน step ละกี่เศษเสี้ยวองศาก็ได้ - ทำเป็นมองไม่เห็นแหวนดาว 6 แฉกในรูปนะครับ) เส้นตรงใดก็ตามที่ผ่านจุด c.g. ของดัมบ์เบลและตั้งฉากกับแกนหลัก ก็เป็นแกนการหมุนได้ทั้งนั้น ซึ่งบรรดาแกนเหล่านี้เราอาจจะหมุนมัน step ละ 180 หรือ 360 องศา



การสะท้อน (reflection)

เหมือนสะท้อนกระจกนั่นแหละครับ วัตถุสมมาตรแบบสะท้อนเทียบกับระนาบ (กระจก) ถ้าบนระนาบมีแกนการหมุนหลัก เราก็จะเรียกว่าระนาบการสะท้อนแนวดิ่ง ถ้าระนาบตั้งฉากกับแกนการหมุนหลัก เรียกว่าระนาบการสะท้อนแนวนอน สำหรับดัมบ์เบล ระนาบที่ตัดกึ่งกลางผ่าน c.g. แยกตุ้มทั้งสองออกจากกัน อันนี้ก็คือระนาบสะท้อนแนวนอน ส่วนระนาบที่ผ่าตุ้มแต่ละข้างออกเป็นสองซีก (ระนาบนี้มีแกนการหมุนหลัก) คือ ระนาบสะท้อนแนวดิ่ง

การหมุนและสะท้อน (roto-reflection)

การดำเนินการ roto-reflection มี 2 ขั้น ขั้นแรกหมุนวัตถุด้วย (360/n) องศารอบแกนหมุน จากนั้นสะท้อนมันกับระนาบที่ตั้งฉากกับแกนหมุน ดูตัวอย่าง CH4



การผกผัน (inversion)

พูดแบบง่ายที่สุด สมมติว่าศูนย์กลางของการอินเวิร์สคือจุด (0,0,0) การดำเนินการอินเวิร์สก็คือย้ายจุด (x,y,z) ของวัตถุใด ๆ ไปที่จุด (-x,-y,-z) ซะ ตัวอย่างที่เห็นได้ง่ายที่สุดอันหนึ่งคือดัมบ์เบล เพราะมันมีสมมาตรผกผัน ณ จุด c.g.



วัตถุทุกชิ้น ทุกโมเลกุล จะมีสมมาตรอย่างน้อย 1 ตัวดำเนินการเรียกว่า C1 หรือ identity operation คือการหมุน 360 องศา ซึ่งสมมูลกับการไม่ได้ทำอะไรเลย โมเลกุลจะเริ่มมีอะไรน่าสนใจถ้ามีสมมาตรมากกว่า C1 ตัวอย่างเช่นการสมมาตรของ PF5 โมเลกุล PF5 มีสมมาตรแตกต่างกันหลายแบบ แกนสมมาตรการหมุนหลักคือแกน C3 เป็นแกนที่ร้อยผ่านอะตอม F4, F5 และ P โมเลกุลนี้ยังมีแกน C2 อีก 3 แกน C2(1), C2(2) และ C2(3) แต่ละแกนประกอบด้วยอะตอมของ P และ F อย่างละหนึ่งอะตอม เราจะเขียน C31 และ C32 แทนการหมุน 120 และ 240 องศาตามแกน C3 ตามลำดับ นอกจากนี้ PF5 ยังมีระนาบสะท้อนแนวดิ่งอีก 3 ระนาบ σν(1) - (3) และระนาบสะท้อนแนวนอน σh และก็ยังมีแกน rotoreflection ซ้อนอยู่กับแกนการหมุนหลัก ดังรูป



ถ้าเราหมุน PF5 ตามแกนหมุน C3 120 องศาแล้วสะท้อนมันกับระนาบ σv(1) มันจะเท่ากับเราทำการสะท้อนกับระนาบ σv(3) ความสัมพันธ์เช่นนี้เขียนสมการ

σv(1) o C31 = σv(3)

ในทุกโมเลกุลเราสามารถใช้ชุดของตัวดำเนินการอะไรก็ได้ต่อเนื่อง จะหาตัวดำเนินการสมมูลได้เสมอ (เป็น group) และ C1 จะทำตัวเสมือนเอกลักษณ์การคูณ ถ้าเราตีความ o ว่าคือการคูณ โดยที่ o จะดำเนินการจากขวาไปซ้าย ซึ่งในการตีความแบบนี้เราพบว่ามันเชื่อว่ากฎการจัดกลุ่ม (associativity) และมีอินเวิร์สการคูณเหมือนระบบจำนวนจริง เช่น

C31 o (σv(1) o σh) = C31 o C2(1) = C2(2)
(C31 o σv(1)) o σh = σv(2) o C2(1) = C2(2)

อินเวิร์สคือตัวดำเนินการสองตัวที่คูณกันแล้วได้ C1 เช่น C31 กับ C32 เป็นอินเวิร์สการคูณกันและกัน เพราะ C31 o C32 = C1






Create Date : 07 สิงหาคม 2552
Last Update : 14 สิงหาคม 2552 22:06:55 น. 0 comments
Counter : 5228 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.