creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
การพิสูจน์แบบเกรียนที่เกรียนเองก็ยังไม่เข้าใจ

(กรุณาข้ามไปอ่าน ป.ล. ก่อน)

ผมบังเอิญเจอการพิสูจน์ว่า 10 = e ในเว็บบอร์ดสาธารณะที่ท่องเป็นประจำแห่งหนึ่ง รูปแบบเป็นดังนี้ครับ

ก. log101 = 0
ข. loge1 = 0

ฉะนั้น ค. 10 = e

แน่นอนว่ามันเป็นโจ๊ก แต่ถ้าเราอยากจะรู้แบบจริง ๆ จัง ๆ ว่าโจ๊กนี้แหกตาตรงไหน เราต้องรู้ prior knowledge ของ ก. ข. และ ค. ก่อน (อันนี้เกรียนที่มีสติปัญญาต่ำกว่ามาตรฐานจะไม่เข้าใจ) เพื่อที่จะได้ไม่ใช้ knowledge ใหม่ที่มากเกินกว่า knowledge เดิมมากเกินไปในการชี้ให้ผู้พิสูจน์เห็นว่า ค. ผิด ลองมาสืบค้น prior knowledge ของ ก. กับ ข. เป็นไปได้ว่าผู้พิสูจน์ รู้เพียง "logx1 = 0" เราจะเรียกความรู้ตรงนี้ว่า pk1 ต่อมาการสรุป ค. เกิดจากความรู้ "ถ้า A = B และ C = B แล้ว A = C" เรียก pk2 แต่เชื่อมั้ยครับว่าลำพังเพียง pk1 กับ pk2 ไม่สามารถทำให้เกิดข้อสรุปได้ เพราะถ้าผู้พิสูจน์มี prior knowledge แค่นั้น สิ่งที่เขาหรือหล่อน (ซึ่งแน่นอนว่าเกรียน) จะสรุปได้ก็คือ

log101 = loge1

แล้วการสรุป ค. ใช้ความรู้อะไร? คำตอบที่สมเหตุสมผลที่สุดคือ pk3 "ถ้าสองข้างของเครื่องหมายเท่ากับมีหน้าตาเกือบเหมือนกัน ต่างกันแค่เพียงจำนวนในตำแหน่งใดตำแหน่งหนึ่งตำแหน่งเดียว แล้วจำนวนนั้นจะมีค่าเท่ากัน" ก่อนจะพูดถึง pk3 ผมขอพาไปชมข้อโต้แย้งก่อนว่า การสรุป ค. ไม่จำเป็นต้องใช้ pk3 ก็ได้ เพราะ ผู้พิสูจน์รู้ว่า logxy = z เป็นการเขียนแทนข้อความ xz = y ดังนั้น

ก. log101 = B เขียนแทนได้ด้วย 10B = 1
ข. log1 = B เขียนแทนได้ด้วย eB = 1

ใช้ pk2 เพื่อสรุป 10B = eB จากนั้นถอดรากที่ B (หรือยกกำลัง 1/B) ทั้งสองข้าง ได้ 10 = e เอาล่ะ เกรียนขาประจำก็จะแย้งว่า "เห็นมั้ยค่ะ ไม่ต้องใช้ pk3 เลย" แต่ขออภัยครับ อาจจะโดยที่ไม่รู้ตัว เกรียนตนนั้นได้ introduce ความรู้ใหม่ซึ่งไม่ได้บอกให้ใครรู้ล่วงหน้าว่าผู้พิสูจน์มี นั่นคือ pk4 "logxy = z เป็นการเขียนแทนข้อความ xz = y" และ pk5 "รากที่ n ของ xn เท่ากับ x"

เพื่อไม่ให้ต้องถกทุก argument ที่เป็นไปได้ ผมจะตั้ง proposition ขึ้นมาว่า ในการที่จะสรุป ค. หากไม่ใช้ pk3 ผู้พิสูจน์จะต้องมี {pkn} ที่ n > 3 และเนื่องจากการพิสูจน์ในคำถามนี้ค่อนข้างเกรียน ผู้ที่แย้งการพิสูจน์สามารถใช้ความรู้ {pki} ซึ่งเป็นเซต prior knowledge ของผู้พิสูจน์เดิมก็พอ

ที่กล่าวมาทั้งหมดคือเรากำลังเตรียม "องค์ความรู้" ที่จะใช้ในการพิสูจน์ แต่ยังไม่ได้พูดถึงวิธีพิสูจน์ สำหรับปัญหาแบบนี้วิธีที่เรียบง่ายที่สุดผมคิดว่าคือวิธีพิสูจน์โดยใช้ข้อขัดแย้ง (proof by contradiction) ทำไมผมถึงเลือกวิธีนี้แทนที่จะเป็นวิธีอื่น เหตุผลคือวิธีนี้ค่อนข้างใกล้ชิดกับชีวิตประจำวัน (วิธีพิสูจน์เราถือว่าเป็นเครื่องมือ - โอเค คุณอาจจะถือว่ามันเป็น prior knowledge ด้วยก็ได้ แต่จะสะดวกกว่าถ้าคุณแยกมันออกมาเป็นเครื่องมือ และถือว่าทุกคน (แม้แต่เกรียน - ซึ่งอันนี้ผมไม่แน่ใจ) จะมีเครื่องมือเหล่านี้ เครื่องมือที่ใช้กรณี "ก. และ ข. แล้ว ค." ใช้คือเครื่องมือที่มีชื่อเรียกว่าการพิสูจน์โดยการสร้างหรือแสดงให้เห็น - แหงล่ะ มันผิด) เช่น มีคนพูดว่า "เกรียนทุกคนสวย" เราอยากจะแย้งคำพูดนี้ เราก็แค่หาเกรียนที่ขี้เหร่ขึ้นมาสักคน แล้วเขียนในรูป 1. เกรียนทุกคนสวย (สิ่งที่ยอมรับ) 2. คุณมลเป็นเกรียน (ข้อเท็จจริง) 3. คุณมลขี้เหร่ (ข้อเท็จจริง) เกิดข้อขัดแย้งกับ 1. ดังนั้น "ใช่ว่าเกรียนทุกคนจะสวย"

คราวนี้เราจะลองพิสูจน์แย้งด้วยวิธีใช้ข้อขัดแย้งเป็นตัวอย่างสัก 2 กรณี เริ่มต้นด้วยกรณีมี PK = {pk1, pk2, pk3}

1. ยอมรับ ค. (หมายความว่าเรายอมรับ PK เพราะ ค. สรุปโดยใช้ PK)
2. จาก pk3 และ ข. ทำให้เรารู้ว่า log1001 = loge1
3. จาก PK ทำให้เรารู้ว่า 100 = e
4. จาก pk2 ทำให้เรารู้ว่า 10 = 100 เกิดข้อขัดแย้ง ดังนั้น ค. ผิด

กรณี PK = {pk1, pk2, pk4, pk5}

1. ยอมรับ ค.
2. เราเขียนแทน 1000 = 1 ด้วย log1001 = 0 ได้จาก pk4 (หรือใช้ pk1)
3. จาก pk2 และ pk4 ทำให้ 1100 = 1e
4. จาก pk5 ทำให้ 100 = e จากนั้นทำเหมือนกรณีแรก เกิดข้อขัดแย้ง

ตรงนี้คงเคลียร์ แต่ในเมื่อไหน ๆ ก็พูดแล้ว จึงขอพูดเพิ่มอีกนิดในกรณีที่เกรียนคนเดิมแย้งว่า "ไม่ใช่ค่ะ pk1 ของผู้พิสูจน์ไม่ใช่ logx1 = 0 แต่เป็น ก. และ ข. เพียงเท่านั้นเอง" พูดง่าย ๆ คือเกรียนตนนี้กำลังจะบอกว่าความรู้เดิมของผู้พิสูจน์ไม่ใช่ pk1 แต่เป็น pk1 เมื่อ x = 10 และ x = e เท่านั้น ตรงนี้ก็ไม่เป็นปัญหาอะไรนะครับ เราสามารถพิสูจน์ให้เห็นว่าแม้ pk1 ใหม่จะแคบ แต่ตราบใดก็ตามที่หล่อนนำไปสู่ข้อสรุปว่า 10 = e ได้ เราก็จะใช้วิธีเดียวกันนั้นนำไปสู่ข้อสรุปว่า 100 = e ได้เสมอ ยกเว้นกรณีเดียวครับ คือกรณีที่จำนวนจริงที่หล่อนรู้จักมีเพียง {0, 1, e, 10}

อันที่จริงแล้วปัญหาเกรียนข้อนี้ถ้าเรายินยอมให้มี PK มากขึ้นเช่นเพิ่ม "0/0 ไม่นิยาม" หรือ "ถ้า ab = cb เมื่อ b = 0 แล้ว a ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ c" หรือ "ab = cb เมื่อ b = 0 แล้ว a ไม่จำเป็นต้องเท่ากับ c" ฯลฯ มันก็พอ ๆ กับปอกกล้วยเข้าปาก

ป.ล. ผมพูดไปตามสิ่งที่ผมคิดและผมไม่ใช่นักตรรกศาสตร์ (หรือนักคณิตศาสตร์) สิ่งที่คุณอ่าน (ถ้าคุณอ่าน) อาจจะทำลายความรู้เดิมที่ถูกต้องที่คุณมี ยังกด cancel ทันครับ


Create Date : 07 มิถุนายน 2552
Last Update : 7 มิถุนายน 2552 15:04:57 น. 0 comments
Counter : 972 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.