creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
รากที่สองของสองเป็นอตรรกยะ

ดูเหมือนใคร ๆ แม้แต่นักเรียนมัธยมก็รู้กันแล้วใช่มั้ยครับว่า เป็นจำนวนอตรรกยะ (irrational number) ทำไมมันถึงเป็นจำนวนอตรรกยะ คุณครูก็จะสอนกันว่าเพราะมันไม่สามารถเขียนในรูป p/q เมื่อ p และ q เป็นจำนวนเต็มได้ หรือพูดว่าถ้าเขียนมันในรูปทศนิยมแล้ว มันเป็นทศนิยมที่ยาวนับอนันต์ ไม่มีรูปแบบซ้ำคาบเลย ใครมีแรงเท่าไรก็หารกันไปไม่รู้จบ แต่พอถามต่อว่ารู้ได้ไงว่ารากที่สองของสองเขียนให้อยู่ในรูป p/q ที่ p และ q เป็นจำนวนเต็มไม่ได้ นักเรียนมัธยม (หรือมหาวิทยาลัย) บางคนอาจจะชะงักครับ บางคนอาจจะตอบกลับมาว่าก็เพราะมันเป็นทศนิยมไม่รู้จบและไม่ซ้ำ โดย common sense ก็บอกได้แล้วว่าเขียนในรูป p/q ไม่ได้ ในตอนนี้เราจะลองมาดูพิสูจน์ (ที่นักเรียนมหาวิทยาลัยส่วนใหญ่รู้กัน - แน่นอนว่านักเรียนมัธยมบางคนก็รู้กัน) ว่าทำไม จึงเขียนในรูป p/q ไม่ได้



เราจะใช้วิธีพิสูจน์ด้วยข้อขัดแย้ง (reductio ad absurdum) เริ่มด้วยการยอมรับว่ารากที่สองของสองเขียนให้อยู่ในรูป p/q ได้ หรือพูดง่าย ๆ ว่าเรายอมรับว่ามันเป็นจำนวนตรรกยะ แล้วค่อยย้อนแย้งว่าถ้าฉันเป็นจำนวนตรรกยะมันก็จะมีเรื่องงี่เง่าเช่นนี้เกิดขึ้น ฉะนั้นฉันไม่ใช่จำนวนตรรกะ วิธีเช่นนี้ละครับ 'proof by contradiction' (การแบ่ง step ผมลอกเลียนและเรียนมาจาก Mathematics - A Very Short Introduction ของโปรเฟสเซอร์ Timothy Gowers)

1. เขียนในรูป p/q ที่ p และ q เป็นจำนวนจริงได้
2. p/q สามารถเขียนในรูป r/s ที่ r และ s ไม่เป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ได้ (ถ้า p/q ยังเป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ คุณก็จับ 2 หารบนหารล่างจนกว่าจะมีอย่างน้อยหนึ่งตัวไม่เป็นจำนวนคู่)
3. ก็ต้องเขียนในรูป r/s ตามข้อ 2. ได้
4. จากข้อ 3. ยกกำลังสองทั้งสองข้าง 2 = r2/s2
5. ถ้า 2 = r2/s2 แล้ว 2s2 = r2
6. ถ้า 2s2 = r2 แล้ว r2 เป็นจำนวนคู่ หมายความว่า r ต้องเป็นจำนวนคู่
7. ถ้า r เป็นจำนวนคู่ แล้ว r = 2t สำหรับจำนวนเต็ม t ใด ๆ
8. ถ้า 2s2 = r2 และ r = 2t แล้ว 2s2 = (2t)2 = 4t2 ทำให้ s2 = 2t2
9. ถ้า s2 = 2t2 แล้ว s2 เป็นจำนวนคู่ หมายความว่า s ต้องเป็นจำนวนคู่
10. เกิดข้อขัดแย้ง เพราะ 2. และ 3. บอกว่า r และ s ไม่เป็นจำนวนคู่ทั้งคู่ นำไปสู่ 6. และ 9. บอกว่าทั้ง r และ s ต่างก็เป็นจำนวนคู่ ฉะนั้น ไม่สามารถเขียนในรูป p/q ได้ กล่าวคือ มันเป็นจำนวนอตรรกยะ




Create Date : 06 สิงหาคม 2552
Last Update : 6 สิงหาคม 2552 10:38:40 น. 0 comments
Counter : 2962 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.