creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
6174

โดย ศล

เลือกตัวเลข 4 หลักใด ๆ ที่ทั้ง 4 หลักไม่เป็นเลขซ้ำกัน (เช่น 0000, 1111, 2222, ...) ตัวอย่าง 2131 จากนั้นสลับหลักของเลขชุดนี้ให้กลายเป็นเลขที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุด ได้ 3211 กับ 1123 ตามลำดับ นำค่าสูงสุดลบค่าต่ำสุด 3211-1123 = 2088 สลับหลักของเลขผลลัพธ์นี้ให้กลายเป็นเลขที่มีค่าสูงสุดและต่ำสุดอีกครั้ง ได้ 8820 กับ 0288 นำมาลบกันอีก ได้ 8820-288 = 8532 แล้วนำไปสลับและลบเช่นนี้ต่อไปเรื่อย ๆ เราจะพบสิ่งที่น่าสนใจประการหนึ่ง



นั่นคือเมื่อถึง 6174 จะเกิดการวนซ้ำ 6174 ตลอดกาล ตัวเลขมหัศจรรย์ 6174 นี้ถูกค้นพบโดยนักคณิตศาสตร์ชาวอินเดีย Dattaraya Ramchandra Kaprekar (1905 – 1986) เรียก 6174 ว่าค่าคงที่ของ Kaprekar (Kaprekar’s constant) และเรียกกระบวนสลับหลักแล้วนำมาหักลบว่าการดำเนินการของ Kaprekar (Kaprekar’s operation) บางครั้งเราจึงเรียก 6174 ว่าเป็นแก่น (Kernel) ของการดำเนินการ Kaprekar ลองดูอีกสักตัวอย่างนะครับ 7551

7551 – 1557 = 5994
9954 – 4599 = 5355
5553 – 3555 = 1998
9981 – 1899 = 8082
8820 – 0288 = 8532

8532 กลับไปซ้ำกับตัวอย่างแรกของเรา 8532 – 2358 = 6174 ทำไมเมื่อถึง 6174 แล้วมันจึงซ้ำ 6174 อีก คงตอบได้ไม่ยากว่าเพราะ 6174 = 7641 – 1467 แต่คำถามที่น่าสนใจคือ กระบวนการของ Kaprekar นำมาสู่ 6174 เพียงค่าเดียวจริงหรือเปล่า ? สามารถพิสูจน์ได้หรือไม่ ? เมื่อเรานำกระบวนการนี้ไปใช้กับเลข 2 หลัก 3 หลัก ฯลฯ แล้วจะทำให้พบแก่น (Kernel) เหมือนกรณี 4 หลักหรือไม่ ? ลองมาสำรวจกันครับ

สมมติว่าเลข 4 หลักคือ wxyz ซึ่งไม่เป็นเลขที่ซ้ำกันทั้ง 4 หลัก และ 9 w x y z 0 ดังนั้นเมื่อผ่านการลบกัน เราจะได้ค่า

(1000w + 100x + 10y + z) – (1000z + 100y + 10x + w)
= 999w – 999z + 90x – 90y
= 999(w-z) + 90(x-y)

w กับ z ไม่มีสิทธิเท่ากัน w-z จึงมีค่าอยู่ในช่วง 1-9 ส่วน x กับ y อาจเท่ากันได้ x-y จึงมีค่าอยู่ในช่วง 0-9 จากผลลัพธ์ข้างต้น หมายความว่ามีเลขที่เป็นไปได้จากการลบเพียง 90 ตัว





จากเงื่อนไข 9 w x y z 0 เมื่อทั้ง 4 หลักไม่เป็นจำนวนเดียวกัน ดังนั้น w-z x-y เราสามารถลดสมาชิกเซตคำตอบลงได้ 36 ตัวเหลือ 54 ตัว โดยส่วนแรงเงาคือส่วนที่ w-z < x-y เป็นส่วนที่ตัดทิ้งได้



คุณผู้อ่านคงสังเกตพบว่าใน 54 คำตอบที่เหลือ เช่น 4995 กับ 5994 ตัวเลขคู่นี้ใช้เลข 4 หลักชุดเดียวกัน เมื่อนำไปผ่านกระบวนการ Kaprekar จะให้ผลลัพธ์เหมือนกัน นั่นคือเราสามารถลด 54 คำตอบนี้ลงได้อีกโดยลดเลขที่ประกอบจากเลข 4 หลักที่ซ้ำกันลง



จึงเหลือตัวเลขที่เป็นคำตอบเพียง 30 คำตอบ ถ้าเราตรวจสอบทั้ง 30 ตัวเลขนี้แล้วพบว่าทั้ง 30 ค่ามีแก่นของการดำเนินการ Kaprekar เท่ากับ 6174 ก็เป็นอันสรุปได้ ผลจากการทำ Kaprekar’s operation ทั้ง 30 ตัวนี้ ผมนำมาจากบทความ Mysterious number 6174 ของศาสตราจารย์ Yutaka Nishiyama แห่ง Osaka University of Economics ประเทศญี่ปุ่น แสดงเส้นทางสู่ 6174 ดังแผนภาพ



เห็นชัดเจนว่า 6174 เป็นแก่นสำหรับการดำเนินการ Kaprekar จริง และเป็นเพียงค่าเดียว นอกจากนี้เรายังสังเกตได้ว่าจำนวนครั้งสูงสุดที่ต้องวนทำซ้ำคือ 7 ครั้ง ศจ. Yutaka Nishiyama ได้เขียนโปรแกรมตรวจสอบ 8991 จำนวน (ตั้งแต่ 0000 – 9999 มี 10,000 จำนวน ลบด้วย 000 – 999 มี 1,000 จำนวน ลบด้วย 1111 – 9999 มี 9 จำนวน ดังนั้นเหลือ 8991 จำนวน) เพื่อนับความถี่ในการวนทำซ้ำของจำนวนเหล่านั้น แสดงข้อมูลดังตาราง



นอกจากนี้ Yutaka Nishiyama ยังได้แสดงวิธีพิสูจน์ตัวเลข 6174 ไว้ด้วยครับ สมมติว่าตัวเลขตั้งต้นคือ wxyz มีเงื่อนไขเหมือนเดิม และ



ได้

D = 10 + z – w (เพราะ z < w เสมอ)
C = 10 + (y – 1) – x (y-1 เพราะให้ z ยืมไป 1 และ x y แต่ y ถูกยืมไปแล้ว 1 ทำให้ x > y)
B = (x-1) - y (x-1 เพราะให้ y ยืมไป 1 และ x y ถึงแม้ x จะถูกยืมไป 1 แต่ x-1-y 0 อยู่ดี)
A = w - z (เพราะ w > z เสมอ)

คำตอบของ wxyz – zyxw จะทำให้เกิดการซ้ำค่าเดิม ก็ต่อเมื่อ ABCD เกิดจากการสลับ w, x, y และ z ซึ่ง 4 ตัวนี้สามารถสับเปลี่ยนกันได้ 4! = 24 แบบ เช่น wxyz, wxzy, wyzx, … ดังนั้นเราจึงได้ระบบสมการ 4 ตัวแปร 4 สมการ 24 ระบบสมการ เช่นระบบสมการที่ ABCD = wxyz

z = 10 + z – w
y = 9 + y – x
x = x – y – 1
w = w – z

แก้ระบบสมการนี้ได้ z = 0, w = 10, y = -1, x = 9 ซึ่งเป็นคำตอบไม่สมเหตุสมผล ขัดแย้งกับเงื่อนไข 9 w x y z 0 จึงสรุป ABCD ไม่เท่ากับ wxyz ทำเช่นนี้ทั้ง 24 ระบบสมการ คุณผู้อ่านจะพบว่าคำตอบที่สมเหตุสมผลเกิดขึ้นกรณีเดียวเท่านั้นคือกรณีที่ ABCD = xzwy หรือ

y = 10 + z – w
w = 9 + y – x
z = x – y – 1
x = w – z

คำตอบ w = 7, x = 6, y = 4 และ z = 1 สวยงามดีใช่ไหมครับที่กรณีตัวเลข 4 หลัก ผลจาก Kaprekar’s operation ให้แก่นเท่ากับ 6174 เสมอ คำถามถัดมาคือ กรณี 2 หลัก 3 หลัก n หลักล่ะ จะมีแก่นที่สวยงามเช่นนี้หรือไม่

กรณี 2 หลัก xy ที่ 9 x > y 0 ผลลัพธ์ xy – yx หาได้จาก 10x+y – (10y + x) = 9x – 9y หรือ 9(x-y) และค่า x-y มีค่าได้ตั้งแต่ 1 ถึง 9 คำตอบจึงมีอยู่เพียง 9 ค่า



ใน 9 ค่านี้ลดค่าที่ใช้ตัวเลขซ้ำกันลงได้ 4 ค่า (ส่วนที่แรเงา) แล้วลองตรวจสอบค่าที่เหลือ

90 – 9 = 81
81 – 18 = 63
63 – 36 = 27
72 – 27 = 45
54 – 45 = 9 (วนกลับไป 90 – 9)

เราพบว่ากรณี 2 หลักไม่มีแก่นสำหรับการดำเนินการ Kaprekar ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จะวนเป็นวง 9 81 63 27 45 9 ส่วนกรณี 3 หลัก มีแก่นคือ 495 พิสูจน์ได้ทำนองเดียวกัน โดยกำหนดให้ตัวตั้งต้นคือ xyz เมื่อ 9 x y z 0 และเป็นตัวเลขที่ไม่ซ้ำกันทั้ง 3 หลัก



ได้

C = 10 + z – x
B = 10 + (y-1) – y = 9
A = x – 1 – z = -1-(z-x) = 9 - C

B = 9 ดังนั้นต้องเท่ากับ x ด้วย เพราะ x เป็นค่าที่ใหญ่ที่สุด และ A + C = 9 มีเพียง 4 คู่คือ 1+8, 2+7, 3+6 และ 4+5 ดังนั้นค่า ABC ที่เรียงจากมากไปน้อยที่เป็นไปได้คือ 981, 972, 963 และ 954 ลองตรวจสอบคำตอบทั้ง 4 ตัวเลข

981 – 189 = 792
972 – 279 = 693
963 – 369 = 594
954 – 459 = 495

คำตอบคือ x = 9, y = 5 และ z = 4 เท่านั้นที่ทำให้เกิดการวนซ้ำ

จาก Mathews: the Archive of Recreational Mathematics โดย Walter Schneider แสดงแก่นของการดำเนินการ Kaprekar ตั้งแต่ 2 หลัก ถึง 15 หลัก ผลที่ได้พบว่ามีเพียง 3 กับ 4 หลักเท่านั้นมีแก่นเป็นค่าคงที่ค่าเดียว ที่เหลือจะมีแก่นหลายค่า และบางกรณีมีรูปแบบผลลัพธ์วนเป็นวง รายละเอียดผู้อ่านดูได้จากภาคผนวก และหากคุณผู้อ่านสังเกตดี ๆ จะพบข้อสังเกตที่น่าสนใจอีกประการ นั่นคือแก่นแต่ละค่า หรือค่าตัวเลขที่อยู่ในวงแต่ละวง เมื่อนำตัวเลขแต่ละหลักมารวมกัน มันจะเป็น 9 เสมอ เช่น 6174 → 6 + 1 + 7 + 4 = 18 → 1 + 8 = 9 หรือ 864333197666532 ซึ่งเป็นแก่นค่าหนึ่งกรณี 15 หลัก

864333197666532 → 8 + 6x4 + 4 + 3x4 + 1 + 9 + 7 + 5 + 2 = 72
72 → 7 + 2 = 9

คำอธิบายที่อยู่เบื้องหลังความสวยงามนี้คือแก่นหรือจำนวนที่อยู่ในวงล้วนหารด้วย 9 ลงตัว เช่นกรณี 4 หลัก wxyz – zyxw = 999(w-z) + 90(x-y) = 9(111(w-z) + 10(x-y)) และจำนวนใดก็ตามที่หารด้วย 9 ลงตัวผลรวมของเลขแต่ละหลักของจำนวนนั้นก็ต้องหารด้วย 9 ลงตัวด้วย

ตัวอย่างกรณี 4 หลัก wxyz ที่หาร 9 ลงตัว ค่าของมันคือ

1000w + 100x + 10y + z = 999w + 99x + 9y + (w + x + y + z)

ค่าในวงเล็บเท่ากับผลบวกของเลขแต่ละหลัก ดังนั้น w + x+ y + z หารด้วย 9 ลงตัว ผู้เขียนคิดว่ามันสวยงามดีแท้ทั้ง 6174 และ 9 คุณผู้อ่านเห็นด้วยรึเปล่าครับ

ภาคผนวก







Create Date : 05 กรกฎาคม 2551
Last Update : 8 กรกฎาคม 2551 11:31:29 น. 0 comments
Counter : 2864 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.