creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
วิธีที่ออยเลอร์ใช้คำนวณ 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ...

ทุกคนรู้ว่าผลงานของออยเลอร์มหาศาล แต่ผลงานชิ้นนี้ผมว่าเป็นหนึ่งในมาสเตอร์พีสยุคสร้างชื่อของแกเลยทีเดียว คำตอบถูกประกาศในปี 1734 ปีแรกของออยเลอร์ที่ St. Petersburg ก่อนหน้านี้คนที่เฉียดคำตอบและรู้ว่าผลรวมของอนุกรมน้อยกว่า 2 คือแบร์นูลลี (ว่ากันว่า คนผสมเครื่องปรุงคือโยฮันน์ ส่วนคนชงคือยาโคบ) ผู้สรุปเป็นทฤษฎีบทตั้งแต่ปี 1689 ใน Tractatus de seriebus infinitis (ความเรียงว่าด้วยอนุกรมอนันต์) เราลองแวะไปชมวิธีของแบร์นูลลีกันก่อนดีมั้ยครับ

     1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ...

แบร์นูลลีสังเกตว่า 1/4 < 1/3, 1/9 < 1/6, 1/16 < 1/10 พูดในกรณีทั่วไป

     1/k2 < 2/k(k+1)

ฉะนั้น

     1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... < 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ...

ซึ่งฝั่งขวาของอสมการนั้นนั้นไลบ์นิซเคยคิดออกมาแล้วว่าเท่ากับ 2 (จากโจทย์ที่ฮอยเก้นส์เคยให้หาผลรวมของส่วนกลับจำนวนสามเหลี่ยม)

     1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + ... = 2

วิธีที่ไลบ์นิซใช้ก็สวยสดงดงามครับ เริ่มแบบนี้

     S = 1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + 1/15 + 1/21 + ...
     S/2 = 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 + 1/30 + ...

จากนั้นแทนพจน์ 1/2 ด้วย (1 - 1/2) แทนพจน์ 1/6 ด้วย (1/2 - 1/3) แทนพจน์ 1/12 ด้วย (1/3 - 1/4) แบบนี้ไปเรื่อย ๆ ได้

     S/2 = (1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + (1/3 - 1/4) + (1/4 - 1/5) + ...

พอเอาวงเล็บออก ตัวเลขก็ฆ่าฟันกันเองหมดครับ (นี่เป็นวิธีของไลบ์นิซนะครับ นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่บางคนคงบอกว่า เฮ้ย เอ็งจะจัดการกับอนุกรมอนันต์แบบนี้ไม่ได้นะเว้ย โอเค ปล่อยมันไปครับ มันพูดถูก แต่แม้กระทั่งคนที่พูดแบบนั้นก็คงปฏิเสธไม่ได้ว่าสัญชาตญาณหรือความหยั่งรู้ของไลบ์นิซไม่ธรรมดา)

     S/2 = 1 หรือ S = 2

กลับมาที่ออยเลอร์ ปัญหานี้ออยเลอร์ก็คงได้ยินได้ฟังมาจากคุณครูโยฮันน์ และครั้งแรกใช้วิธีลูกบ้ามหาถึก บวกมันตรง ๆ เลย พบว่าแนวโน้มคือ 1.6449 แต่ตัวเลขดังกล่าวกลับไม่ช่วยเหลืออะไรเท่าไร (แน่นอนมันน้อยกว่า 2) จนกระทั่งค้นพบเงื่อนงำที่นำไปสู่คำตอบ และเป็นคำตอบที่ออยเลอร์เองก็ประหลาดใช่ย่อย เพราะมันเกี่ยวพันกับค่า π

เงื่อนงำ (หรือเครื่องมือ) สองชิ้นที่ใช้ไขคำตอบผลรวมอนุกรมนี้คือฟังก์ชั่น sine (ความรู้จากทั้งตรีโกณมิติและแคลคูลัส) กับความรู้พีชคณิตเบื้องต้น รูปร่างหน้าตาของฟังก์ชั่น y = sin x แสดงดังรูป


     sin x = 0 เมื่อ x = 0, ±π, ±2π, ±3π, ±4π ...

และกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ sin x = x - x3/3! + x5/5! + x7/7! + x9/9! + ...

สำหรับพีชคณิต ออยเลอร์เริ่มต้นจากสำรวจสมการพหุนาม P(x) = 0 ดีกรี n ที่ x มี n คำตอบ แล้วค่อยใช้ common sense แบบเดียวกับนิวตันที่ศรัทธาในความมีรูปแบบ (pattern) เพื่อเอาข้อสรุปจากพหุนามจำกัดดีกรี n ไปประยุกต์ใช้กับพหุนามไม่จำกัด (เช่นเคยครับ คณิตศาสตร์สมัยใหม่มองว่าแบบนี้ล่อแหลม)

ออย์เลอร์บอกว่าถ้าสมการ P(x) = 0 ดีกรี n มีคำตอบ n คำตอบคือ x = a, b, c, ..., d หรือ P(a) = P(b) = P(c) = ... = P(d) = 0 และถ้า P(0) = 1 นั่นย่อมทำให้

     P(x) = (1 - x/a)(1 - x/b)(1 - x/c)...(1 - x/d)

เช่น ถ้าเรารู้ว่า P(x) เป็นพหุนามดีกรี 3 ที่ P(2) = P(3) = P(6) = 0 และ P(0) = 1 เราก็จะรู้ได้ทันทีว่า

     P(x) = (1 - x/2)(1 - x/3)(1 - x/6) = 1 - x - 11x2/36 - x3/36

เงื่อนงำสองชิ้นนี้ก็พอที่จะให้ออยเลอร์หาค่า 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... แล้วครับ

ทฤษฎีบท 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + ... = π2/6

ออยเลอร์เริ่มจากแนะนำฟังก์ชั่น

     

เห็นว่า f(x) เป็นพหุนามอนันต์ที่ f(0) = 1 จัดรูปโดยคูณ x/x เมื่อ x ≠ 0 ร่วมกับการกระจายอนุกรมเทย์เลอร์ได้

     

ตราบเท่าที่ x ≠ 0 การหาค่า x ที่ f(x) = 0 ก็เทียบเท่ากับการหาค่า x ที่ sin x = 0 ซึ่งดูจากกราฟ ได้ x = ±π, ±2π, ±3π, ±4π ... และสำหรับ f(x) ของออยเลอร์ตัวนี้ f(0) = 1 ดังนั้นออยเลอร์แยกตัวประกอบได้

     

ทีนี้ก็จินตนาการคูณพจน์ขวามือเข้าไปตรง ๆ เลยครับ โดยจัดกลุ่มสัมประสิทธิ์ของ x ดีกรีเดียวกันไว้ด้วยกัน

     

เห็นว่าซ้ายมือกับขวามือเป็นพหุนามที่อยู่ใน format เดียวกันเป๊ะเลย ออยเลอร์จึงจับสัมประสิทธิ์ของพจน์ดีกรีเดียวกันมาเท่ากัน ซึ่งในที่นี้คือสัมประสิทธิ์ของ x2

     

QED




Create Date : 05 พฤษภาคม 2553
Last Update : 8 พฤษภาคม 2553 10:01:49 น. 1 comments
Counter : 5767 Pageviews.

 
ขอบคุณนะคับ


โดย: . (Aloner ) วันที่: 5 พฤษภาคม 2553 เวลา:18:11:14 น.  

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.