creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
koch Snowflake

เป็นอีกหนึ่ง fractal ติดอันดับฮิต ที่พ่วงคุณสมบัติอะเมซซิ่งข้อหนึ่งคือ มันเป็นรูปทรงที่มีเส้นรอบรูปอนันต์แต่กลับมีพื้นที่จำกัด เราเริ่มจากวิธีสร้างกันก่อนนะครับ

(1) วาดสามเหลี่ยมด้านเท่า



(2) แบ่งแต่ละด้านออกเป็น 3 ส่วนเท่า ๆ กัน แล้วแทนที่ส่วนกลางของแต่ละด้าน ด้วยเส้น 2 เส้นที่มีความยาวเท่ากับเส้นที่ลบทิ้งไป (มันก็คือแตกหน่อ 2 ด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้านเท่ากับด้านที่ลบทิ้งไป)



(3) ย้อนกลับไปทำ (2) ซ้ำอนันต์ครั้ง ผลที่ได้จากการวนทำ 2 ครั้ง 3 ครั้ง และ 4 ครั้งแสดงดังรูปด้านล่างนี้



เราลองมาดูความยาวเส้นรอบรูปกันนะครับ เนื่องจากมันตั้งต้นด้วยสามเหลี่ยมด้านเท่า เราจึงพิจารณาเพียงด้านเดียวพอ กำหนดให้ด้านยาว L




มีความยาวเท่ากับ L



มี 4 ส่วนแต่ละส่วนยาว L/3 ดังนั้นความยาวรวมเท่ากับ (4/3)L



แต่ละส่วนทั้ง 4 ส่วนในรอบที่แล้วมี 4 ส่วน แต่ละส่วนยาว (L/3)/3 ดังนั้นความยาวรวมเท่ากับ (4/3)2L



ถ้าเราวนตามขั้นตอนดังกล่าว n รอบ จะได้ความยาวรวม (4/3)nL ซึ่งเห็นชัดเจนว่าเมื่อ n เข้าสู่อนันต์ ลำดับนี้ก็มีค่าเข้าสู่อนันต์ นั่นหมายความว่าเส้นรอบรูปเกร็ดหิมะ Koch มีความยาวเป็นอนันต์

ดูพื้นที่ ถ้าให้สามเหลี่ยมตั้งต้นมีพื้นที่เท่ากับ A ในการทำรอบแรกเราได้ พ.ท. เพิ่มขึ้นอีกเนื่องจากมีสามเหลี่ยมเล็ก ๆ งอกจาก A อีก 3 รูป จากความรู้เรขาคณิต (พ.ท. สามเหลี่ยมด้านเท่ายาวด้านละ x)2 เท่ากับ 3x4/16 หรือ พ.ท. แปรตาม x2 ถ้าความยาวด้านของสามเหลี่ยมลดลง 3 เท่า พื้นที่จะลดลง 9 เท่า ดังนั้นสามเหลี่ยมที่งอกมาอีก 3 รูปแต่ละรูปมี พ.ท. A/9 เมื่อวนลูปสร้างรอบที่ 2 จะมีสามเหลี่ยมเล็ก ๆ งอกเพิ่มขึ้นมาอีก 3 x 4 = 12 ลูก แต่ละลูกมี พ.ท. A/92 เมื่อวนลูปสร้างรอบที่ 3 จะมีสามเหลี่ยมเล็ก ๆ งอกเพิ่มขึ้นมาอีก 12 x 4 = 48 ลูก แต่ละลูกมี พ.ท. A/93 เมื่อวนลูปสร้างรอบที่ n จะมีสามเหลี่ยมเล็กๆ งอกเพิ่มขึ้นมาอีก 3(4)n-1 ลูก แต่ละลูกมี พ.ท. A/9n หรือมีพื้นที่รวมเท่ากับ A + 3A/9 + 3(4)A/92 + 3(4)2A/93 + ... + 3(4)n-1A/9n = S(n)

หรือหา S(n) เมื่อ n เป็นอนันต์ได้

S = A[1 + (1/3)(1+(4/9) + (4/9)2 + (4/9)3 + (4/9)4 + ...)] = 8A/5

น่าอัศจรรย์ดีใช่มั้ยครับ เส้นรอบรูปยาวเป็นอนันต์แต่มีพื้นที่จำกัด






Create Date : 02 พฤษภาคม 2551
Last Update : 6 กรกฎาคม 2551 17:19:51 น. 0 comments
Counter : 1799 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.