creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
ปัญหาของ Cardano และความสับสนระหว่างโอกาสกับค่าคาดหมาย

ในบทความ 15 หน้า Liber du ludo aleae ของ Gerolamo Cardano แพทย์และนักคณิตศาสตร์ศตวรรษที่สิบหก มีปัญหาความน่าจะเป็นข้อหนึ่งน่าสนใจ หากอาศัยความรู้ปัจจุบัน เด็กนักเรียนมัธยมยุคนี้ตอบได้สบาย ๆ ครับ แต่ในสมัยนั้น แม้แต่ Cardano เอง ก็ยังผิด

คำถามที่กวนใจ Cardano คือ เราต้องทอยลูกเต๋ายุติธรรมกี่ครั้งเพื่อให้โอกาสออกแต้มหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่ง



Cardano ให้เหตุผลว่า ถ้าเหตุการณ์ใดก็ตามมีโอกาสเกิดเท่ากับ p ในการทดลองหนึ่งครั้ง ดังนั้น สำหรับการทดลองที่เป็นอิสระจากกัน n ครั้ง เหตุการณ์จะเกิดขึ้นโดยเฉลี่ย np ครั้ง (ตรงนี้ถูกต้องนะ แต่พลาดตรงที่ดันสรุปว่า) ฉะนั้น นั่นคือสิ่งที่บ่งชี้ถึงโอกาสเกิดเหตุการณ์ดังกล่าวในการทดลอง n ครั้ง เมื่อเราลองแทนค่าตามปัญหาดู p = 1/6 และถ้าโยนสามครั้ง n = 3 ทำให้ np = 1/2 เท่ากับการโยน 3 ครั้งทำให้โอกาสออกหกอย่างน้อยหนึ่งครั้งเท่ากับ 1/2

ตรงนี้ Cardano เขียนในบทที่ 9 ของ Liber du ludo aleae ว่า "One-half of the total number of faces always represents equality; thus the chances are equal that a given point will turn up in three throws..."

เด็ก ๆ ที่เรียนจบบทความน่าจะเป็นคงจับผิดได้ไม่ยาก การให้เหตุผลของ Cardano นั้น เกิดจากสับสนเอาค่าคาดหมายไปเป็นโอกาส ถ้าเราทอยเต๋าสามครั้ง ค่าคาดหมายของการออกแต้มหกเท่ากับ 1/2 ครั้ง ไม่ใช่โอกาสเท่ากับ 1/2 เพราะในการโยน n ครั้ง โอกาสที่ไม่ออกแต้มหกเลยเท่ากับ (5/6)n ฉะนั้น โอกาสออกหกอย่างน้อย 1 ครั้งเท่ากับ 1 - (5/6)n และเราต้องการให้โอกาสนี้เท่ากับ 1/2 เราก็แค่แก้สมการ 1/2 = 1 - (5/6)n ได้ n ประมาณ 3.8 นั่นคือต้องทอยเต๋า 4 ครั้ง เป็นคำตอบครับ


Create Date : 29 ธันวาคม 2555
Last Update : 29 ธันวาคม 2555 22:43:25 น. 0 comments
Counter : 1728 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.