creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
farey Sequence

มันเป็นลำดับเศษส่วนชนิดหนึ่งที่มีความงามความน่าสนใจทีเดียว ถ้า m1/n1 กับ m2/n2 เป็น 2 พจน์ที่อยู่ติดกันในลำดับ fareay แล้ว m2n1 - m1n2 = 1 โดยพจน์แรกของลำดับนี้คือ 0/1 และตัวสุดท้ายคือ 1/1

0/1, m/n, ...

(1)(m) - (0)(n) = 1

เห็นว่า m = 1 ส่วน n เป็นจำนวนนับใด ๆ เรานิยมเขียนแทนลำดับ farey ที่ n = N ด้วย FN

เช่น

F1 = {0/1, 1/1}
F2 = {0/1, 1/2, 1/1}

มีคุณสมบัติที่น่าสนใจอันหนึ่ง ถ้า m1/n1, m2/n2, m3/n3 เป็น 3 พจน์ที่เรียงต่อกันของลำดับแล้ว พจน์กลางจะเป็น mediant ของสองพจน์หน้าหลัง


mediant ของเศษส่วนคือผลรวมของเศษหารผลรวมของส่วนนะครับ เช่น a/c กับ b/d คือ (a+b)/(c+d)



พิสูจน์ได้ไม่ยาก จากคุณลักษณะของ 2 พจน์ที่อยู่ติดกันของ farey เราได้

m2n1 - m1n2 = 1
m3n2 - m2n3 = 1

ดังนั้น

m2n1 - m1n2 = m3n2 - m2n3

หรือ (m3 + m1)n2 = m2(n3 + n1)

m2/n2 = (m3+m1)/(n3+n1)

ทั่วไป เรากำหนดให้ลำดับ FN มีพจน์สุดท้ายคือ 1/1 จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราไม่หยุดลำดับที่ 1/1 ลองมาดูกรณี F5 กันครับ 0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1 ถ้าตัวต่อไปคือ m/n นั่นคือ (4+m)/(5+n) = 1/1 ดังนั้นพจน์ต่อไปคือ 5/4 และถัดจาก 5/4 คือ m/n ที่ทำให้ (1+m)/(1+n) = 5/4 ซึ่งก็คือ 4/3 ทำไปเรื่อย ๆ ครับ จะได้

0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1, 5/4, 4/3, 3/2, 5/3, 2/1, 5/2, 3/1, 4/1, 5/1, 1/0

ถ้าพูดว่า 1/0 คือ ค่าอนันต์ เราสามารถหาตัวถัดไปหลังจากค่าอนันต์นี้ได้มั้ยครับ ? คำตอบคือ ไม่ได้ เพราะ หากตัวหลังจาก 1/0 คือ m/n ดังนั้นเราต้องหาค่า m/n ที่ทำให้ (5+m)/(1+n) = 1/0 ค่าที่ได้คือ n = -1 ส่วน m เป็นอะไรก็ได้

ถ้าเปรียบเทียบ 1/1 เป็นกระจก พจน์ด้านหน้าและด้านหลังของ farey เป็นเสมือนเงาสะท้อนกันและกัน ดูสวยดีใช่มั้ยครับ





Create Date : 22 พฤษภาคม 2551
Last Update : 22 พฤษภาคม 2551 17:41:19 น. 0 comments
Counter : 1068 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.