creatio ex nihilo

ศล
Location :
กรุงเทพ Thailand

[Profile ทั้งหมด]

ให้ทิปเจ้าของ Blog [?]
ฝากข้อความหลังไมค์
Rss Feed
Smember
ผู้ติดตามบล็อก : 85 คน [?]




Group Blog
 
All Blogs
 
Friends' blogs
[Add ศล's blog to your web]
Links
 

 
ทฤษฎีของ Pick

เกออร์ก อเล็ซอันเดอร์ พิ๊ค (Georg Alexander Pick) นักคณิตศาสตร์ชาวออสเตรีย คนนี้เป็นเพื่อนกับไอน์สไตน์นะครับ แต่โชคร้ายถูกส่งไปค่ายมรณะของนาซีที่เธเรเซี่ยนชตัดท์ (1942) ตายใน 2 สัปดาห์ด้วยอายุ 82 ปี ก่อนหน้านั้น 42 ปี ตอนเค้าอายุ 40 พิ๊คได้ตีพิมพ์ทฤษฎีบทที่สวยงามบทหนึ่งคือ Pick's Theorem

พิ๊คบอกว่าถ้า P เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดมุมอยู่บนแลททิส (lattice ก็นึกถึงจุดตาข่ายนะครับ) รูปทรงแบบนี้เค้าเรียกว่า lattice polygon (ดูรูป)



และถ้า B คือ จำนวนจุดที่อยู่บนเส้นขอบ และ I คือจำนวนจุดที่อยู่ใน P เราจะหาพื้นที่ของ P ได้จาก I + B/2 - 1

อาจพิสูจน์โดยกำหนดฟังก์ชั่นพิ๊ค f(P) = A(P) - (I + B/2 - 1) เมื่อ A(P) คือ พื้นที่ของ P สิ่งที่ต้องพิสูจน์คือเราต้องแสดงให้เห็นว่าที่ P เป็น lattice polygon ใด ๆ f(P) = 0

(1) ถ้าเรามี P1 กับ P2 มีด้านหนึ่งด้านร่วมกัน และ P คือ P1 U P2 คงไม่ปฏิเสธนะครับว่า A(P) = A(P1) + A(P2) ถ้าให้ I, I1, I2 คือ จุดที่อยู่ใน P, P1, P2 ตามลำดับ และ B, B1, B2 คือจุดที่อยู่บนเส้นขอบของ P, P1, P2 ตามลำดับ เราจะพบว่า I = I1 + I2 + X - 2 เมื่อ X คือจำนวนจุดที่อยู่บนด้านร่วม (เราลบ 2 เพราะจุดปลาย 2 จุดของด้านนั้นจะไม่เป็นส่วนหนึ่งของ I) และ B = B1 + B2 - 2X + 2



คำนวณ f(P) = A(P) - (I + B/2 - 1) = A(P1) + A(P2) - (I1 + I2 + X - 2) - (B1 + B2 - 2X + 2)/2 + 1 = A(P1) - (I1 + B1/2 - 1) + A(P2) - (I2 + B2/2 - 1) = f(P1) + f(P2)

ถ้ามันไม่ได้มีแค่ P1 กับ P2 แต่มีไปจนถึง Pn เราก็พิสูจน์แบบเดียวกันได้ว่า f(P1 + P2 + ... + Pn) = f(P1) + f(P2) + ... + f(Pn) ดังนั้น f เป็นฟังก์ชั่นที่เราเรียกว่า additive #

(2) ใช้ทฤษฎีทดสอบกับรูปทรงมาตรฐาน เช่น สี่เหลี่ยมมุมฉาก สามเหลี่ยมมุมฉาก ดูรูป case 1 นะครับ สมมติว่าจุดมุมมันเป็นจุด (0,0), (a,0), (a,b), (0,b) เรารู้ว่า A(P) = ab, I = (a-1)(b-1) และ B = 2(a+b)



f(P) = A(P) - (I + B/2 - 1) = ab - (a-1)(b-1) - (a+b) +1 = 0

เห็นว่าทฤษฎีนี้เป็นจริงกับรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก

ต่อมา ดู case 2 สามเหลี่ยมมุมฉาก (0,0), (a,0), (a,b) ซึ่งมีพื้นที่ครึ่งหนึ่งของ case แรก มี A(P) = ab/2, B = a + b + x - 2 เมื่อ x คือ จำนวนจุดที่อยู่บนด้านตรงข้ามมุมฉาก และ I = ((a-1)(b-1) - x + 2)/2

f(P) = A(P) - (I + B/2 - 1) = ab/2 - (a-1)(b-1)/2 + x/2 - 1 - (a + b + x - 2)/2 + 1 = 0

เห็นว่าทฤษฎีนี้เป็นจริงกับรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

ถ้าเรามีรูปดัง case 3a หรือ 3b เราสามารถสร้างกรอบสี่เหลี่ยมมุมฉากที่เล็กที่สุดที่ครอบมันได้เสมอ ในกรณี 3a กรอบที่ครอบมันคือเส้นสีน้ำเงินนะครับ เราได้พิสูจน์มาแล้วว่า f(P) เป็น additive และทฤษฎีเป็นจริงสำหรับสี่เหลี่ยมุมฉาก และสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นพื้นที่ที่ถูกปิดล้อมโดยสีชมพูก็ต้องเป็นจริงตามทฤษฎีด้วย พิจารณาได้ดังนี้



f(T + T_1 + T_2 + T_3) = f(T) + f(T_1) + f(T_2) + f(T_3)

กรณีสี่เหลี่ยมมุมฉาก: f(T + T_1 + T_2 + T_3) = 0

กรณีสามเหลี่ยมมุมฉาก: f(T_1) = f(T_2) = f(T_3) = 0

ดังนั้น f(T) = 0


(3) ไม่ว่ารูปทรงใด ๆ เราสร้างจากองค์ประกอบสามเหลี่ยมุมฉากเล็ก ๆ และสี่เหลี่ยมมุมฉากได้เสมอ (ดูตัวอย่างกรณี 3b) ดังนั้น f(P) = 0

ตัวอย่างเช่น



I = 2, B = 14 ดังนั้น A(P) = 2 + 14/2 - 1 = 8

จะเกิดอะไรขึ้นหากเราจับโพลิกอนสีเขียวหมุนนิดหน่อยดังรูป



รูปแบบนี้ทฤษฎีไม่อาจรองรับแน่นอนครับ เพราะมันไม่ใช่ lattice polygon ถ้าเราคำนวณโดยใช้ I = 6, B = 2 จะได้พื้นที่เพียง 6 + 2/2 - 1 = 6 ซึ่งผิด แต่เราก็มีวิธีประมาณมันโดยสร้าง lattice polygon รูปที่ใหญ่กว่ามันมาครอบมันไว้ดังรูป



แล้วหาค่าเฉลี่ยของพื้นที่ระหว่าง lattice polygon ข้างในมันกับที่เป็นกรอบของมัน ก็จะได้ค่าประมาณที่ใกล้เคียง จากตัวอย่างนี้ พ.ท. แลททิสโพลีกอนขนาดใหญ่ที่สุดที่อยู่ในมันคือ 1 + 6/2 - 1 = 3 และ พ.ท. แลททิสโพลีกอนที่เป็นกรอบ (ขนาดเล็กที่สุดที่ครอบตัวมันได้) เท่ากับ 8 + 10/2 - 1 = 12 ได้ค่าเฉลี่ยของทั้งสองรูป (3+12)/2 = 7.5 ใกล้เคียง 8 ขึ้นมาหน่อยใช่มั้ยครับ





Create Date : 22 พฤษภาคม 2551
Last Update : 23 พฤษภาคม 2551 13:10:36 น. 0 comments
Counter : 4682 Pageviews.

ชื่อ : * blog นี้ comment ได้เฉพาะสมาชิก
Comment :
  *ส่วน comment ไม่สามารถใช้ javascript และ style sheet
 
 Pantip.com | PantipMarket.com | Pantown.com | © 2004 BlogGang.com allrights reserved.